Legea deformarii elastice. Legea lui Hooke generalizată

ELASTICITATE, MODUL DE ELASTICITATE, LEGEA HOOKE. Elasticitatea este capacitatea unui corp de a se deforma sub sarcină și de a-și restabili forma și dimensiunea inițială după ce este îndepărtat. Manifestarea elasticității este cel mai bine observată prin efectuarea unui experiment simplu cu o balanță cu arc - un dinamometru, a cărui diagramă este prezentată în Fig. 1.

Cu o sarcină de 1 kg, acul indicator se va deplasa cu 1 diviziune, cu 2 kg - cu două divizii și așa mai departe. Dacă încărcăturile sunt îndepărtate secvenţial, procesul continuă reversul. Arcul dinamometrului este un corp elastic, prelungirea sa D l, în primul rând, proporțional cu sarcina Pși, în al doilea rând, dispare complet atunci când sarcina este complet îndepărtată. Dacă construiți un grafic, trasați mărimea sarcinii de-a lungul axei verticale și alungirea arcului de-a lungul axei orizontale, obțineți puncte situate pe o linie dreaptă care trece prin originea coordonatelor, Fig. 2. Acest lucru este valabil atât pentru punctele care descriu procesul de încărcare, cât și pentru punctele corespunzătoare încărcării.

Unghiul de înclinare al liniei drepte caracterizează capacitatea arcului de a rezista la acțiunea sarcinii: este clar că arcul este „slab” (Fig. 3). Aceste grafice se numesc caracteristici de resort.

Tangenta pantei caracteristicii se numește rigiditate elastică CU. Acum putem scrie ecuația pentru deformarea arcului D l = P/C

Rigiditatea arcului CU are o dimensiune de kg / cm\up122 și depinde de materialul arcului (de exemplu, oțel sau bronz) și dimensiunile acestuia - lungimea arcului, diametrul bobinei sale și grosimea firului din care este făcut.

Într-o măsură sau alta, toate corpurile care pot fi considerate solide au proprietatea elasticității, dar această împrejurare nu poate fi întotdeauna remarcată: deformațiile elastice sunt de obicei foarte mici și pot fi observate fără instrumente speciale aproape doar la deformarea plăcilor, a corzilor, a arcurilor. , tije flexibile .

O consecință directă a deformărilor elastice sunt vibratii elastice structuri și obiecte naturale. Poți detecta cu ușurință tremuratul unui pod de oțel peste care trece un tren, uneori, poți auzi clinchetul vaselor când trece un camion greu pe stradă; toate instrumentele muzicale cu coarde transformă într-un fel sau altul vibrațiile elastice ale coardelor în vibrații ale particulelor de aer în instrumentele de percuție, vibrațiile elastice (de exemplu, membranele tamburului) sunt, de asemenea, convertite în sunet.

În timpul unui cutremur, apar vibrații elastice ale suprafeței scoarta terestra; in timpul unui cutremur puternic, pe langa deformarile elastice, apar si deformatii plastice (care raman dupa cataclism ca modificari ale microreliefului), iar uneori apar fisuri. Aceste fenomene nu au legătură cu elasticitatea: putem spune că în procesul de deformare a unui corp solid apar întotdeauna mai întâi deformații elastice, apoi deformații plastice și, în final, se formează microfisuri. Deformațiile elastice sunt foarte mici - nu mai mult de 1%, iar cele din plastic pot ajunge la 5-10% sau mai mult, așa că ideea obișnuită a deformărilor se referă la deformații plastice - de exemplu, plastilină sau sârmă de cupru. Cu toate acestea, în ciuda micii lor, deformațiile elastice joacă un rol vital în tehnologie: calculele de rezistență ale avioanelor, submarinelor, tancurilor, podurilor, tunelurilor, rachete spațiale– aceasta este, în primul rând, o analiză științifică a micilor deformații elastice care apar în obiectele enumerate sub influența sarcinilor operaționale.

În neolitic, strămoșii noștri au inventat prima armă cu rază lungă de acțiune - un arc și săgeți, folosind elasticitatea unei ramuri curbe de copac; apoi catapultele și balistele, construite pentru aruncarea cu pietre mari, foloseau elasticitatea frânghiilor răsucite din fibre vegetale sau chiar din fire de femei. par lung. Aceste exemple dovedesc că manifestarea proprietăților elastice este cunoscută și folosită de oameni de mult timp. Dar înțelegerea că orice corp solid sub influența chiar și a sarcinilor mici este în mod necesar deformat, deși într-o cantitate foarte mică, a apărut pentru prima dată în 1660 cu Robert Hooke, contemporan și coleg cu marele Newton. Hooke a fost un om de știință, inginer și arhitect remarcabil. În 1676, el și-a formulat descoperirea pe scurt, sub forma unui aforism latin: „Ut tensio sic vis”, al cărui sens este că „cum este forța, așa este alungirea”. Dar Hooke nu a publicat această teză, ci doar anagrama ei: „ceiiinosssttuu”. (În acest fel au asigurat prioritate fără a dezvălui esența descoperirii.)

Probabil, în acest moment, Hooke a înțeles deja că elasticitatea este o proprietate universală a solidelor, dar a considerat că este necesar să-și confirme încrederea pe cale experimentală. În 1678, a fost publicată cartea lui Hooke despre elasticitate, care descrie experimente din care rezultă că elasticitatea este o proprietate a „metalelor, lemnului, rocilor, cărămizii, părului, cornului, mătasei, oaselor, mușchilor, sticlei etc.” Acolo a fost descifrată și anagrama. Cercetările lui Robert Hooke au dus nu numai la descoperirea legii fundamentale a elasticității, ci și la inventarea cronometrelor cu arc (înainte de asta existau doar pendulare). Studiind diferite corpuri elastice (arcuri, tije, arcuri), Hooke a constatat că „coeficientul de proporționalitate” (în special, rigiditatea arcului) depinde puternic de forma și dimensiunea corpului elastic, deși materialul joacă un rol decisiv. .

Au trecut mai bine de o sută de ani, timp în care au fost efectuate experimente cu materiale elastice de către Boyle, Coulomb, Navier și alții, mai puțin fizicieni celebri. Unul dintre principalele experimente a fost întinderea unei tije de testare din materialul studiat. Pentru a compara rezultatele obținute în laboratoare diferite, a fost necesar fie să se folosească mereu aceleași probe, fie să se învețe să elimine confluența dimensiunilor probelor. Și în 1807, a apărut o carte de Thomas Young, în care a fost introdus modulul de elasticitate - o cantitate care descrie proprietatea de elasticitate a unui material, indiferent de forma și dimensiunea probei utilizate în experiment. Acest lucru necesită putere P, atașat la probă, împărțit la aria secțiunii transversale F, și alungirea rezultată D lîmpărțiți la lungimea eșantionului inițial l. Rapoartele corespunzătoare sunt solicitarea s și deformarea e.

Acum, legea proporționalității lui Hooke poate fi scrisă ca:

s = E e

Factorul de proporționalitate E numită modulul lui Young, are o dimensiune asemănătoare stresului (MPa), iar denumirea sa este prima literă a cuvântului latin elasticitat - elasticitate.

Modulul de elasticitate E este o caracteristică a unui material de același tip cu densitatea sau conductivitatea termică a acestuia.

În condiții normale, este necesară o forță semnificativă pentru a deforma un corp solid. Aceasta înseamnă că modulul E trebuie sa fie mare in comparatie cu tensiunile finale, dupa care deformarile elastice sunt inlocuite cu cele plastice si forma corpului este vizibil distorsionata.

Dacă măsurăm modulul Eîn megapascali (MPa), se obțin următoarele valori medii:

Natura fizică a elasticității este legată de interacțiune electromagnetică(inclusiv forțele van der Waals în rețeaua cristalină). Putem presupune că deformațiile elastice sunt asociate cu modificări ale distanței dintre atomi.

O tijă elastică are o altă proprietate fundamentală - se subțiază atunci când este întinsă. Faptul că frânghiile devin mai subțiri atunci când sunt întinse este cunoscut de mult timp, dar experimente speciale au arătat că atunci când o tijă elastică este întinsă, apare întotdeauna o regularitate: dacă se măsoară deformația transversală e ", adică o scădere a lățimii. a tijei d b, împărțit la lățimea inițială b, adică

și împărțiți-l la deformația longitudinală e, atunci acest raport rămâne constant pentru toate valorile forței de tracțiune P, adică

(Se crede că e" < 0; prin urmare se utilizează valoarea absolută). Constant v se numește raportul lui Poisson (numit după matematicianul și mecanicul francez Simon Denis Poisson) și depinde numai de materialul tijei, dar nu depinde de dimensiunea și forma secțiunii transversale a acesteia. Valoarea raportului lui Poisson pentru diferite materiale variază de la 0 (pentru plută) la 0,5 (pentru cauciuc). În acest din urmă caz, volumul probei nu se modifică în timpul întinderii (astfel de materiale se numesc incompresibile). Pentru metale valorile sunt diferite, dar aproape de 0,3.

Modulul de elasticitate Eși raportul lui Poisson formează împreună o pereche de cantități care caracterizează pe deplin proprietățile elastice ale oricărui material specific (aceasta se referă la materiale izotrope, adică cele ale căror proprietăți nu depind de direcție; exemplul lemnului arată că nu este întotdeauna cazul - acesta este Proprietățile de-a lungul fibrelor și de-a lungul fibrelor variază foarte mult. Acesta este un material anizotrop. .

Proiectarea dinamometrelor - dispozitive pentru determinarea forțelor - se bazează pe faptul că deformarea elastică este direct proporțională cu forța care provoacă această deformare. Un exemplu în acest sens este binecunoscutul oțel de primăvară.

Legătura dintre deformațiile elastice și forțele interne dintr-un material a fost stabilită pentru prima dată de omul de știință englez R. Hooke. În prezent, legea lui Hooke este formulată astfel: solicitarea mecanică într-un corp deformat elastic este direct proporțională cu deformația relativă a acestui corp.

Valoarea care caracterizează dependența tensiunii mecanice dintr-un material de tipul acestuia din urmă și de condițiile externe se numește modul elastic. Modulul elastic se măsoară prin efortul mecanic care trebuie să apară în material atunci când deformația elastică relativă este egală cu unitatea.

Rețineți că deformația elastică relativă este de obicei exprimată printr-un număr mult mai mic decât unitatea. Cu rare excepții, este aproape imposibil să obțineți egalitate cu unul, deoarece materialul este distrus cu mult înainte. Cu toate acestea, modulul elastic poate fi găsit din experiență ca raport și la valori mici în formula (11.5) este o valoare constantă.

Unitatea SI a modulului de elasticitate este 1 Pa. (Demonstrează.)

Să luăm un exemplu de aplicație legea lui Hooke la deformarea tensiunii sau compresiei unilaterale. Formula (11.5) pentru acest caz ia forma

unde E reprezintă modulul de elasticitate pentru acest tip de deformare; se numeşte modul lui Young. Modulul Young este o măsură a tensiunii normale care trebuie să apară într-un material

la o deformare relativă egală cu unitatea, adică atunci când lungimea probei este dublată Valoare numerică Modulul Young este determinat din experimente efectuate în limitele deformației elastice și este luat din tabele în calcule.

Deoarece din (11.6) obținem

Astfel, deformarea absolută în timpul tensiunii sau compresiei longitudinale este direct proporțională cu forța și lungimea corpului care acționează asupra corpului și invers proporțională cu suprafața. secţiune transversală organism și depinde de tipul de substanță.

Cel mai mare stres dintr-un material, după dispariția căruia se restabilește forma și volumul corpului, se numește limită elastică. Formulele (11.5) și (11.7) sunt valabile până la depășirea limitei elastice. Când se atinge limita elastică, în corp apar deformații plastice. În acest caz, poate veni un moment în care, sub aceeași sarcină, deformația începe să crească și materialul se prăbușește. Sarcina la care apare cea mai mare solicitare mecanică posibilă în material se numește distructivă.

La construirea de mașini și structuri, se creează întotdeauna o marjă de siguranță. Factorul de siguranță este o valoare care arată de câte ori sarcina maximă reală în locul cel mai solicitat al structurii este mai mică decât sarcina de rupere.

Tensiune (compresie) tija ia naștere din acțiunea forțelor exterioare îndreptate de-a lungul axei sale. Tensiunea (compresia) se caracterizează prin: - ​​alungire absolută (scurtare) Δ l;

 deformarea longitudinală relativă ε= Δ l/l

 deformarea transversală relativă ε`= Δ o/ o= Δ b/ b

Cu deformari elastice intre σ și ε există o dependență descrisă de legea lui Hooke, ε=σ/E, unde E este modulul de elasticitate de primul fel (modulul Young), Pa. Semnificația fizică a modulului lui Young: Modulul elastic este numeric egal cu efortul la care alungirea absolută a tijei este egală cu lungimea sa inițială, adică E= σ cu ε=1.

14. Proprietăţile mecanice ale materialelor structurale. Diagrama tensiunii.

Proprietățile mecanice ale materialelor includ indicatori de putere rezistența la tracțiune σ in, limita de curgere σ t și limita de anduranță σ -1; caracteristica de rigiditate modulul elastic E și modulul de forfecare G; caracteristicile rezistenței la stresul de contact duritatea suprafeţei NV, HRC; indicatori de elasticitate alungirea relativă δ și contracția transversală relativă φ; puterea de impact O.

Reprezentare grafică a relației dintre forța care acționează F și alungire Δl numit diagrama de întindere eșantion (compresie). Δl= f(F).

X puncte și secțiuni caracteristice ale diagramei: 0-1  secțiunea relației liniare dintre solicitarea normală și alungirea relativă, care reflectă legea lui Hooke. Punct 1 corespunde limitei de proporționalitate σ pc =F pc /A 0, unde F pc este sarcina corespunzătoare limitei de proporționalitate. Punct 1` corespunde limitei elastice σ y, i.e. efortul cel mai mare la care încă nu există deformații reziduale în material. ÎN punctul 2 diagramă, materialul intră în regiunea de plasticitate - are loc fenomenul de fluiditate materială . Secțiunea 2-3 paralel cu axa x (zona de randament). Pe secțiunea 3-4 se observă întărirea materialului. ÎN punctul 4 are loc îngustarea locală a probei. Raportul σ în =F în /A 0 se numește rezistență la tracțiune. ÎN punctul 5 proba se rupe sub o sarcină distructivă dimensiune F.

15. Tensiuni admisibile. Calcule pe baza tensiunilor admisibile.

Se numesc tensiunile la care o mostră dintr-un material dat cedează sau la care se dezvoltă deformații plastice semnificative extrem. Aceste tensiuni depind de proprietatile materialului si de tipul deformarii. Tensiunea, a cărei valoare este reglementată de specificații tehnice, se numește acceptabil. Tensiunile admisibile sunt stabilite luând în considerare materialul structurii și variabilitatea proprietăților sale mecanice în timpul funcționării, gradul de responsabilitate al structurii, precizia sarcinilor, durata de viață a structurii, precizia calculelor pentru statice și putere dinamică.

Pentru materialele plastice, tensiunile admisibile [σ] sunt alese astfel încât, în cazul oricăror inexactități de calcul sau condiții de funcționare neprevăzute, să nu apară deformații reziduale în material, i.e. [σ] = σ 0,2 /[n] t, unde [n] t este factorul de siguranță în raport cu σ t.

Pentru materialele fragile, tensiunile admisibile sunt atribuite în funcție de condiția ca materialul să nu se prăbușească. În acest caz, [σ] = σ în /[n] în. Astfel, factorul de siguranță [n] are o structură complexă și are scopul de a garanta rezistența structurii împotriva oricăror accidente și inexactități care apar în timpul proiectării și exploatării structurii.

Acţiune forțe externe pe un corp solid duce la aparitia unor tensiuni si deformatii in puncte din volumul sau. În acest caz, starea solicitată într-un punct, relația dintre tensiunile pe diferite zone care trec prin acest punct, sunt determinate de ecuațiile staticii și nu depind de proprietățile fizice ale materialului. Starea deformată, relația dintre deplasări și deformații, sunt stabilite folosind considerații geometrice sau cinematice și, de asemenea, nu depind de proprietățile materialului. Pentru a stabili o relație între tensiuni și deformari, este necesar să se țină cont de proprietățile reale ale materialului și de condițiile de încărcare. Modele matematice, care descriu relațiile dintre tensiuni și deformații, sunt dezvoltate pe baza datelor experimentale. Aceste modele trebuie să reflecte proprietățile reale ale materialelor și condițiile de încărcare cu un grad suficient de acuratețe.

Cele mai comune modele pentru materialele structurale sunt elasticitatea și plasticitatea. Elasticitatea este proprietatea unui corp de a-și schimba forma și dimensiunea sub influența sarcinilor externe și de a-și restabili configurația inițială atunci când sarcina este îndepărtată. Matematic, proprietatea elasticității se exprimă în stabilirea unei relații funcționale unu-la-unu între componentele tensorului tensiunii și tensorului deformarii. Proprietatea elasticității reflectă nu numai proprietățile materialelor, ci și condițiile de încărcare. Pentru majoritatea materialelor structurale, proprietatea elasticității se manifestă la valori moderate ale forțelor externe care conduc la deformații mici și la viteze de încărcare scăzute, când pierderile de energie datorate efectelor temperaturii sunt neglijabile. Un material se numește liniar elastic dacă componentele tensorului tensiunii și tensorului deformarii sunt legate prin relații liniare.

La niveluri înalte la încărcare, atunci când apar deformații semnificative în corp, materialul își pierde parțial proprietățile elastice: la descărcare, dimensiunile și forma inițiale nu sunt complet restaurate, iar când încărcările externe sunt complet îndepărtate, se înregistrează deformații reziduale. În acest caz relația dintre tensiuni și deformari încetează să fie lipsită de ambiguitate. Această proprietate materială se numește plasticitate. Deformațiile reziduale acumulate în timpul deformării plastice se numesc plastice.

Nivelurile ridicate de sarcină pot provoca distrugere, adică împărțirea corpului în părți. Solidele realizate din diferite materiale eșuează la diferite cantități de deformare. Fractura este fragilă la deformații mici și apare, de regulă, fără deformații plastice vizibile. O astfel de distrugere este tipică pentru fontă, oțeluri aliate, beton, sticlă, ceramică și unele alte materiale structurale. Oțelurile cu conținut scăzut de carbon, metalele neferoase și materialele plastice se caracterizează printr-o defecțiune de tip plastic în prezența unor deformații reziduale semnificative. Cu toate acestea, împărțirea materialelor în fragile și ductile în funcție de natura distrugerii lor este foarte arbitrară, se referă de obicei la unele condiții standard de funcționare. Același material se poate comporta, în funcție de condiții (temperatura, natura încărcăturii, tehnologia de fabricație etc.) ca fragil sau ductil. De exemplu, materialele care sunt din plastic la temperaturi normale se descompun ca fragile la temperaturi scăzute. Prin urmare, este mai corect să vorbim nu despre materialele fragile și ductile, ci despre starea fragilă sau plastică a materialului.

Fie materialul să fie liniar elastic și izotrop. Să considerăm un volum elementar în condițiile unei stări de efort uniaxiale (Fig. 1), astfel încât tensorul tensiunii are forma

Cu o astfel de sarcină, dimensiunile cresc pe direcția axei Oh, caracterizată prin deformare liniară, care este proporțională cu magnitudinea tensiunii

Fig.1. Stare de efort uniaxială

Această relație este o notație matematică legea lui Hooke stabilirea unei relații proporționale între solicitarea și deformația liniară corespunzătoare într-o stare de efort uniaxială. Coeficientul de proporționalitate E se numește modul longitudinal de elasticitate sau modulul Young. Are dimensiunea stresului.

Odată cu creșterea dimensiunii în direcția acțiunii; Sub aceeași presiune, dimensiunea scade în două direcții ortogonale (Fig. 1). Notăm deformațiile corespunzătoare prin și , iar aceste deformații sunt negative în timp ce pozitive și sunt proporționale cu:

Cu acțiunea simultană a tensiunilor de-a lungul a trei axe ortogonale, când nu există tensiuni tangenţiale, principiul suprapunerii (suprapunerea soluţiilor) este valabil pentru un material liniar elastic:

Ținând cont de formulele (1 4) obținem

Tensiunile tangențiale provoacă deformații unghiulare, iar la deformații mici nu afectează modificarea dimensiunilor liniare și, prin urmare, deformații liniare. Prin urmare, ele sunt valabile și în cazul unei stări de stres arbitrare și exprimă așa-numita legea lui Hooke generalizată.

Deformarea unghiulară este cauzată de solicitarea tangenţială, iar deformarea şi, respectiv, de solicitările şi. Există relații proporționale între tensiunile tangențiale corespunzătoare și deformațiile unghiulare pentru un corp izotrop liniar elastic

care exprimă legea Forfecarea lui Hooke. Se numește factorul de proporționalitate G modul de forfecare. Este important ca solicitarea normală să nu afecteze deformațiile unghiulare, deoarece în acest caz se modifică doar dimensiunile liniare ale segmentelor, și nu unghiurile dintre ele (Fig. 1).

Există, de asemenea, o relație liniară între tensiunea medie (2.18), proporțională cu primul invariant al tensorului de tensiuni și deformarea volumetrică (2.32), care coincide cu primul invariant al tensorului deformarii:

Factorul de proporționalitate corespunzător LA numit modulul volumetric de elasticitate.

Formulele (1 7) includ caracteristicile elastice ale materialului E, , GŞi LA, determinarea proprietăților sale elastice. Cu toate acestea, aceste caracteristici nu sunt independente. Pentru un material izotrop, există două caracteristici elastice independente, care sunt de obicei alese ca modul elastic Eși raportul lui Poisson. Pentru a exprima modulul de forfecare G prin EŞi , Să luăm în considerare deformarea plană prin forfecare sub acțiunea tensiunilor tangențiale (Fig. 2). Pentru a simplifica calculele, folosim un element pătrat cu o latură O. Să calculăm tensiunile principale , . Aceste tensiuni acționează asupra zonelor situate în unghi față de zonele originale. Din fig. 2 vom găsi relația dintre deformarea liniară în direcția tensiunii și deformarea unghiulară . Diagonala majoră a rombului, care caracterizează deformarea, este egală cu

Pentru mici deformari

Ținând cont de aceste relații

Înainte de deformare, această diagonală avea dimensiunea . Atunci vom avea

Din legea lui Hooke generalizată (5) obținem

Compararea formulei rezultate cu notarea legii lui Hooke pentru deplasarea (6) dă

Ca rezultat obținem

Comparând această expresie cu legea volumetrică a lui Hooke (7), ajungem la rezultat

Caracteristici mecanice E, , GŞi LA sunt găsite după prelucrarea datelor experimentale din probele de testare pentru diverse tipuriîncărcături Din punct de vedere fizic, toate aceste caracteristici nu pot fi negative. În plus, din ultima expresie rezultă că raportul lui Poisson pentru un material izotrop nu depășește 1/2. Astfel, obținem următoarele restricții pentru constantele elastice ale unui material izotrop:

Valoarea limită duce la valoarea limită , care corespunde unui material incompresibil (at). În concluzie, din relațiile de elasticitate (5) exprimăm stresul în termeni de deformare. Să scriem prima dintre relațiile (5) în forma

Folosind egalitatea (9) vom avea

Relații similare pot fi derivate pentru și . Ca rezultat obținem

Aici folosim relația (8) pentru modulul de forfecare. În plus, desemnarea

ENERGIE POTENȚIALĂ A DEFORMĂRII ELASTICE

Să luăm în considerare mai întâi volumul elementar dV=dxdydzîn condiţii de efort uniaxial (Fig. 1). Remediați mental site-ul x=0(Fig. 3). O forță acționează pe suprafața opusă . Această forță funcționează asupra deplasării . Când tensiunea crește de la nivelul zero la valoare deformația corespunzătoare datorată legii lui Hooke crește și ea de la zero la valoare , iar lucrul este proporțional cu figura umbrită din Fig. 4 pătrate: . Dacă neglijăm energia cinetică și pierderile asociate fenomenelor termice, electromagnetice și de altă natură, atunci, datorită legii conservării energiei, munca efectuată se va transforma în energie potentiala, acumulate în timpul deformării: . Valoarea Ф= dU/dV numit energia potențială specifică de deformare, având sensul de energie potenţială acumulată într-o unitate de volum a unui corp. În cazul unei stări de efort uniaxiale

legea lui Hooke denumite de obicei relații liniare între componentele de deformare și componentele tensiunii.

Să luăm un element elementar cuboid cu muchii paralele cu axele de coordonate, încărcate cu efort normal σ x, distribuite uniform pe două fețe opuse (Fig. 1). În același timp σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

Până la limita proporționalității, alungirea relativă este dată de formula

Unde E— modulul de elasticitate la tracțiune. Pentru oțel E = 2*10 5 MPa, prin urmare, deformațiile sunt foarte mici și se măsoară ca procent sau 1 * 10 5 (la instrumentele de extensometru care măsoară deformațiile).

Extinderea unui element în direcția axei Xînsoţită de îngustarea acestuia pe direcţia transversală, determinată de componentele de deformare

Unde μ - o constantă numită raportul de compresie laterală sau raportul lui Poisson. Pentru oțel μ de obicei luate egale cu 0,25-0,3.

Dacă elementul în cauză este încărcat simultan cu solicitări normale σ x, σy, σ z, distribuit uniform de-a lungul fețelor sale, apoi se adaugă deformații

Suprapunerea componentelor de deformare cauzate de fiecare dintre cele trei tensiuni se obtin relatiile

Aceste relații sunt confirmate de numeroase experimente. Aplicat metoda de suprapunere sau suprapuneri a afla deformarile si tensiunile totale cauzate de mai multe forte este legitim atata timp cat deformarile si tensiunile sunt mici si dependente liniar de fortele aplicate. În astfel de cazuri, neglijăm micile modificări ale dimensiunilor corpului deformat și mișcările mici ale punctelor de aplicare a forțelor externe și ne bazăm calculele pe dimensiunile inițiale și pe forma inițială a corpului.

De remarcat faptul că micimea deplasărilor nu înseamnă neapărat că relațiile dintre forțe și deformații sunt liniare. Deci, de exemplu, într-o forță comprimată Q tija încărcată suplimentar cu forță tăietoare R, chiar și cu abateri mici δ apare un punct suplimentar M = Qδ, ceea ce face problema neliniară. În astfel de cazuri, deviațiile totale nu sunt funcții liniare ale forțelor și nu pot fi obținute prin suprapunere simplă.

S-a stabilit experimental că dacă tensiunile de forfecare acționează de-a lungul tuturor fețelor elementului, atunci distorsiunea unghiului corespunzător depinde numai de componentele corespunzătoare ale efortului de forfecare.

Constant G numit modul de elasticitate de forfecare sau modul de forfecare.

Cazul general de deformare a unui element datorita actiunii a trei componente normale si a trei componente tangentiale de tensiuni asupra acestuia poate fi obtinut prin suprapunere: trei deformari de forfecare, determinate de relatiile (5.2b), sunt suprapuse pe trei deformatii liniare determinate de expresii ( 5.2a). Ecuațiile (5.2a) și (5.2b) determină relația dintre componentele deformațiilor și tensiunilor și se numesc legea lui Hooke generalizată. Să arătăm acum că modulul de forfecare G exprimat în termeni de modul de elasticitate la întindere Eși raportul lui Poisson μ . Pentru a face acest lucru, luați în considerare cazul special când σ x = σ , σy = -σ Şi σ z = 0.

Să decupăm elementul abcd plane paralele cu axa zși înclinată la un unghi de 45° față de axe XŞi la(Fig. 3). După cum rezultă din condițiile de echilibru ale elementului 0 bс, stres normal σ v pe toate fețele elementului abcd sunt zero și tensiunile tăietoare sunt egale

Această stare de tensiune se numește forfecare pură. Din ecuațiile (5.2a) rezultă că

adică extensia elementului orizontal este 0 c egal cu scurtarea elementului vertical 0 b: εy = -ε x.

Unghiul dintre fețe abŞi bc modificări și valoarea deformarii de forfecare corespunzătoare γ poate fi găsită din triunghiul 0 bс:

Rezultă că