Toate proprietățile unui trapez isoscel. Amintiți-vă și aplicați proprietățile unui trapez

Ne întâlnim destul de des în viață cu o astfel de formă ca un trapez. De exemplu, orice pod care este făcut din blocuri de beton este un prim exemplu. O opțiune mai vizuală poate fi considerată direcția fiecăruia vehiculși așa mai departe. Proprietățile figurii erau cunoscute încă din urmă Grecia antică , pe care Aristotel l-a descris mai detaliat în a lui munca stiintifica„A început”. Iar cunoștințele dezvoltate cu mii de ani în urmă sunt și astăzi relevante. Prin urmare, să le aruncăm o privire mai atentă.

Concepte de bază

Figura 1. Forma clasică de trapez.

Un trapez este în esență un patrulater format din două segmente care sunt paralele și alte două segmente care nu sunt paralele. Când vorbim despre această cifră, este întotdeauna necesar să ne amintim concepte precum: baze, înălțime și linie mediană. Două segmente ale unui patrulater care se numesc baze unul față de celălalt (segmente AD și BC). Înălțimea este segmentul perpendicular pe fiecare dintre baze (EH), adică. se intersectează la un unghi de 90° (după cum se arată în Fig. 1).

Dacă adunăm toate măsurile gradelor interne, atunci suma unghiurilor trapezului va fi egală cu 2π (360°), ca și cea a oricărui patrulater. Un segment ale cărui capete sunt punctele medii ale pereților laterali (IF) numită linia mediană. Lungimea acestui segment este suma bazelor BC și AD împărțită la 2.

Există trei tipuri de figuri geometrice: drepte, regulate și isoscele. Dacă cel puțin un unghi la vârfurile bazei este drept (de exemplu, dacă ABD = 90°), atunci un astfel de patrulater se numește trapez drept. Dacă segmentele laterale sunt egale (AB și CD), atunci se numește isoscel (în consecință, unghiurile de la baze sunt egale).

Cum să găsești zona

Pentru asta, pentru a găsi aria unui patrulater ABCD folosește următoarea formulă:

Figura 2. Rezolvarea problemei găsirii unei zone

Pentru un exemplu mai clar, să rezolvăm o problemă ușoară. De exemplu, să fie bazele superioare și inferioare de 16 și respectiv 44 cm, iar laturile - 17 și 25 cm Să construim un segment perpendicular din vârful D astfel încât DE II BC (așa cum se arată în Figura 2). De aici obținem asta

Fie DF . Din ΔADE (care va fi isoscel), obținem următoarele:

Adică să spun într-un limbaj simplu, am găsit mai întâi înălțimea ΔADE, care este și înălțimea trapezului. De aici calculăm, folosind formula deja cunoscută, aria patrulaterului ABCD, cu valoarea deja cunoscută a înălțimii DF.

Prin urmare, aria necesară ABCD este de 450 cm³. Adică putem spune cu încredere că în ordine Pentru a calcula aria unui trapez, aveți nevoie doar de suma bazelor și lungimea înălțimii.

Important! La rezolvarea problemei, nu este necesar să se găsească separat valoarea lungimilor, este destul de acceptabil dacă se folosesc alți parametri ai figurii, care, cu dovezi adecvate, vor fi egali cu suma bazelor.

Tipuri de trapeze

În funcție de ce laturi are figura și de ce unghiuri se formează la baze, există trei tipuri de patrulatere: dreptunghiulare, neuniforme și echilaterale.

Versatil

Există două forme: acut și obtuz. ABCD este acut numai dacă unghiurile de bază (AD) sunt acute și lungimile laturilor sunt diferite. Dacă valoarea unui unghi este mai mare decât Pi/2 (măsura gradului este mai mare de 90°), atunci obținem un unghi obtuz.

Dacă laturile sunt egale ca lungime

Figura 3. Vedere a unui trapez isoscel

Dacă laturile neparalele sunt egale în lungime, atunci ABCD se numește isoscel (regulat). Mai mult, într-un astfel de patrulater măsura gradului unghiurilor de la bază este aceeași, unghiul lor va fi întotdeauna mai mic decât un unghi drept. Din acest motiv, o linie isoscelă nu este niciodată împărțită în unghi ascuțit și unghi obtuz. Un patrulater cu această formă are propriile diferențe specifice, care includ:

1. Segmentele care leagă vârfuri opuse sunt egale.
2. Unghiurile ascuțite cu o bază mai mare sunt de 45° (exemplu ilustrativ în Figura 3).
3. Dacă adunați gradele unghiurilor opuse, acestea se adună până la 180°.
4. Puteți construi în jurul oricărui trapez obișnuit.
5. Dacă adunați măsura gradului de unghiuri opuse, aceasta este egală cu π.

Mai mult, datorită aranjamentului geometric al punctelor, există proprietățile de bază ale unui trapez isoscel:

Valoarea unghiului la bază 90°

Perpendicularitatea laturii bazei este o caracteristică încăpătoare a conceptului de „trapez dreptunghiular”. Nu pot exista două laturi cu colțuri la bază, pentru că altfel va fi deja dreptunghi. În patrulaterele de acest tip, a doua latură va forma întotdeauna un unghi ascuțit cu baza mai mare și un unghi obtuz cu cea mai mică. În acest caz, latura perpendiculară va fi și înălțimea.

Segmentul dintre mijlocul pereților laterali

Dacă conectăm punctele medii ale laturilor, iar segmentul rezultat este paralel cu bazele și egal în lungime cu jumătate din suma lor, atunci linia dreaptă rezultată va fi linia de mijloc. Valoarea acestei distanțe se calculează cu formula:

Pentru un exemplu mai clar, luați în considerare o problemă folosind o linie centrală.

Sarcină. Linia mediană a trapezului este de 7 cm se știe că una dintre laturi este cu 4 cm mai mare decât cealaltă (fig. 4). Aflați lungimile bazelor.

Figura 4. Rezolvarea problemei de a afla lungimile bazelor

Soluţie. Fie baza mai mică DC egală cu x cm, apoi baza mai mare va fi egală cu (x+4) cm, de aici, folosind formula pentru linia mediană a unui trapez, obținem:

Se pare că baza mai mică DC este de 5 cm, iar cea mai mare este de 9 cm.

Important! Conceptul de linie mediană este cheia în rezolvarea multor probleme de geometrie. Pe baza definiției sale, se construiesc multe dovezi pentru alte figuri. Folosind conceptul în practică, este posibilă o soluție mai rațională și căutarea valorii necesare.

Determinarea înălțimii și modalități de a o găsi

După cum sa menționat mai devreme, înălțimea este un segment care intersectează bazele la un unghi de 2Pi/4 și este cea mai scurtă distanță dintre ele. Înainte de a afla înălțimea trapezului, este necesar să se determine ce valori de intrare sunt date. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la problemă. Aflați înălțimea trapezului cu condiția ca bazele să aibă 8 și 28 cm, laturile să aibă 12 și, respectiv, 16 cm.

Figura 5. Rezolvarea problemei găsirii înălțimii unui trapez

Să desenăm segmentele DF și CH în unghi drept față de baza AD. Conform definiției, fiecare dintre ele va avea înălțimea unui trapez dat (Fig. 5). În acest caz, cunoscând lungimea fiecărui perete lateral, folosind teorema lui Pitagora, vom afla cu ce este egală înălțimea în triunghiuri AFD și BHC.

Suma segmentelor AF și HB este egală cu diferența bazelor, adică:

Fie lungimea AF egală cu x cm, apoi lungimea segmentului HB= (20 – x) cm. După cum a fost stabilit, DF=CH, de aici.

Apoi obținem următoarea ecuație:

Rezultă că segmentul AF din triunghiul AFD este egal cu 7,2 cm, de aici calculăm înălțimea trapezului DF folosind aceeași teoremă a lui Pitagora:

Aceste. înălțimea trapezului ADCB va fi egală cu 9,6 cm Cum poți fi sigur că calcularea înălțimii este un proces mai mecanic și se bazează pe calcularea laturilor și unghiurilor triunghiurilor. Dar, într-o serie de probleme de geometrie, pot fi cunoscute doar gradele unghiurilor, caz în care calculele se vor face prin raportul laturilor triunghiurilor interne.

Important!În esență, un trapez este adesea gândit ca două triunghiuri sau ca o combinație de dreptunghi și triunghi. Pentru a rezolva 90% din toate problemele găsite în manualele școlare, proprietățile și caracteristicile acestor cifre. Majoritatea formulelor pentru acest GMT sunt derivate bazându-se pe „mecanismele” pentru cele două tipuri de cifre indicate.

Cum se calculează rapid lungimea bazei

Înainte de a găsi baza trapezului, este necesar să se determine ce parametri sunt deja dați și cum să-i folosească rațional. O abordare practică este extragerea lungimii bazei necunoscute din formula liniei mediane. Pentru o înțelegere mai clară a imaginii, să folosim un exemplu de sarcină pentru a arăta cum se poate face acest lucru. Să se știe că linia de mijloc a trapezului este de 7 cm, iar una dintre baze este de 10 cm. Aflați lungimea celei de-a doua baze.

Rezolvare: Știind că linia de mijloc este egală cu jumătate din suma bazelor, putem spune că suma lor este de 14 cm.

(14 cm = 7 cm × 2). Din condițiile problemei, știm că unul dintre ele este egal cu 10 cm, deci latura mai mică a trapezului va fi egală cu 4 cm (4 cm = 14 – 10).

Mai mult, pentru o soluție mai confortabilă la probleme de acest gen, Vă recomandăm să învățați temeinic astfel de formule din zona trapezului ca:

• linia mediană;
• pătrat;
• înălţime;
• diagonalele.

Cunoscând esența (mai exact esența) acestor calcule, puteți afla cu ușurință valoarea dorită.

Video: trapez și proprietățile sale

Video: caracteristicile unui trapez

Concluzie

Din exemplele de probleme luate în considerare, putem trage o concluzie simplă că trapezul, din punct de vedere al problemelor de calcul, este una dintre cele mai simple figuri din geometrie. Pentru solutie de succes sarcini, în primul rând, nu este necesar să se decidă ce informații se cunosc despre obiectul descris, în ce formule pot fi aplicate și să se decidă ce trebuie găsit. Urmând acest algoritm simplu, nicio sarcină care folosește această figură geometrică nu va fi fără efort.

1. Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egal cu jumătate din diferența bazelor
2. Triunghiurile formate din bazele unui trapez și segmentele diagonalelor până la punctul lor de intersecție sunt similare
3. Triunghiuri formate din segmente ale diagonalelor unui trapez, ale căror laturi se află pe laturile laterale ale trapezului - au dimensiuni egale (au aceeași zonă)
4. Dacă extindeți laturile trapezului spre baza mai mică, atunci acestea se vor intersecta într-un punct cu linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor
5. Un segment care leagă bazele unui trapez și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului este împărțit la acest punct într-o proporție egală cu raportul dintre lungimile bazelor trapezului.
6. Un segment paralel cu bazele trapezului și trasat prin punctul de intersecție al diagonalelor este împărțit la jumătate cu acest punct, iar lungimea sa este egală cu 2ab/(a + b), unde a și b sunt bazele trapez

Proprietățile unui segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez

Să conectăm punctele medii ale diagonalelor trapezului ABCD, în urma căruia vom avea un segment LM.
Un segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez se află pe linia mediană a trapezului.

Acest segment paralel cu bazele trapezului.

Lungimea segmentului care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egală cu jumătate din diferența bazelor acestuia.

LM = (AD - BC)/2
sau
LM = (a-b)/2

Proprietățile triunghiurilor formate din diagonalele unui trapez

Triunghiuri care sunt formate din bazele unui trapez și punctul de intersecție al diagonalelor trapezului - sunt asemănătoare.
Triunghiurile BOC și AOD sunt similare. Deoarece unghiurile BOC și AOD sunt verticale, ele sunt egale.
Unghiurile OCB și OAD sunt unghiuri interne situate transversal cu drepte paralele AD și BC (bazele trapezului sunt paralele între ele) și o dreaptă secantă AC, prin urmare sunt egale.
Unghiurile OBC și ODA sunt egale din același motiv (în cruce internă).

Deoarece toate cele trei unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu unghiurile corespunzătoare ale altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt similare.

Ce rezultă din asta?

Pentru a rezolva probleme de geometrie, asemănarea triunghiurilor este utilizată după cum urmează. Dacă cunoaștem lungimile a două elemente corespondente ale triunghiurilor similare, atunci găsim coeficientul de asemănare (împărțim unul la celălalt). De unde lungimile tuturor celorlalte elemente sunt legate între ele prin exact aceeași valoare.

Proprietățile triunghiurilor situate pe partea laterală și diagonalele unui trapez

Luați în considerare două triunghiuri situate pe laturile laterale ale trapezului AB și CD. Acestea sunt triunghiuri AOB și COD. În ciuda faptului că dimensiunile laturilor individuale ale acestor triunghiuri pot fi complet diferite, dar ariile triunghiurilor formate din laturile laterale si punctul de intersectie al diagonalelor trapezului sunt egale, adică triunghiurile sunt egale ca mărime.

Dacă extindem laturile trapezului spre baza mai mică, atunci punctul de intersecție al laturilor va fi coincid cu o linie dreaptă care trece prin mijlocul bazelor.

Astfel, orice trapez poate fi extins într-un triunghi. În acest caz:

• Triunghiurile formate din bazele unui trapez cu un vârf comun în punctul de intersecție al laturilor extinse sunt similare
• Linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor trapezului este, în același timp, mediana triunghiului construit

Proprietățile unui segment care leagă bazele unui trapez

Dacă desenați un segment ale cărui capete se află pe bazele unui trapez, care se află în punctul de intersecție al diagonalelor trapezului (KN), atunci raportul segmentelor sale constitutive de la partea bazei la punctul de intersecție a diagonalelor (KO/ON) va fi egal cu raportul bazelor trapezului(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Această proprietate rezultă din asemănarea triunghiurilor corespunzătoare (vezi mai sus).

Proprietățile unui segment paralel cu bazele unui trapez

Dacă trasăm un segment paralel cu bazele trapezului și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului, atunci acesta va avea următoarele proprietăți:

• Distanța specificată (KM) bisectată de punctul de intersecție al diagonalelor trapezului
• Lungimea secțiunii care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului și paralel cu bazele este egal cu KM = 2ab/(a + b)

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez

a, b- baze trapezoidale

c, d- laturile trapezului

d1 d2- diagonalele unui trapez

α β - unghiuri cu baza mai mare a trapezului

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez prin baze, laturi și unghiuri de la bază

Primul grup de formule (1-3) reflectă una dintre principalele proprietăți ale diagonalelor trapezoidale:

1. Suma pătratelor diagonalelor unui trapez este egală cu suma pătratelor laturilor plus de două ori produsul bazelor sale. Această proprietate a diagonalelor trapezoidale poate fi demonstrată ca o teoremă separată

2 . Această formulă obtinut prin transformarea formulei anterioare. Pătratul celei de-a doua diagonale este aruncat prin semnul egal, după care rădăcina pătrată este extrasă din partea stângă și dreaptă a expresiei.

3 . Această formulă de găsire a lungimii diagonalei unui trapez este similară cu cea anterioară, cu diferența că o altă diagonală rămâne în partea stângă a expresiei

Următorul grup de formule (4-5) au sens similar și exprimă o relație similară.

Grupul de formule (6-7) vă permite să găsiți diagonala unui trapez dacă se cunosc baza mai mare a trapezului, o latură și unghiul de la bază.

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez prin înălțime

Nota. Această lecție oferă soluții la problemele de geometrie despre trapeze. Dacă nu ați găsit o soluție la o problemă de geometrie de tipul care vă interesează, puneți o întrebare pe forum.

Sarcină.
Diagonalele trapezului ABCD (AD | | BC) se intersectează în punctul O. Aflați lungimea bazei BC a trapezului dacă baza AD = 24 cm, lungimea AO = 9 cm, lungimea OS = 6 cm.

Soluţie.
Soluția la această problemă este ideologic absolut identică cu problemele anterioare.

Triunghiurile AOD și BOC sunt similare în trei unghiuri - AOD și BOC sunt verticale, iar unghiurile rămase sunt egale pe perechi, deoarece sunt formate prin intersecția unei linii și a două linii paralele.

Întrucât triunghiurile sunt similare, toate dimensiunile lor geometrice sunt legate între ele, la fel ca dimensiunile geometrice ale segmentelor AO și OC cunoscute nouă în funcție de condițiile problemei. Adică

AO/OC = AD/BC
9 / 6 = 24 / î.Hr
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Răspuns: 16 cm

Sarcina .
În trapezul ABCD se știe că AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Găsiți aria trapezului.

Soluție.
Pentru a găsi înălțimea unui trapez de la vârfurile bazei mai mici B și C, coborâm două înălțimi la baza mai mare. Deoarece trapezul este inegal, notăm lungimea AM = a, lungimea KD = b ( a nu se confunda cu notația din formulă găsirea ariei unui trapez). Deoarece bazele trapezului sunt paralele și am scăzut două înălțimi perpendiculare pe baza mai mare, atunci MBCK este un dreptunghi.

Mijloace
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Triunghiurile DBM și ACK sunt dreptunghiulare, deci unghiurile lor drepte sunt formate de altitudinile trapezului. Să notăm înălțimea trapezului cu h. Apoi, după teorema lui Pitagora

H2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Şi
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Să luăm în considerare că a = 16 - b, apoi în prima ecuație
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Să substituim valoarea pătratului înălțimii în a doua ecuație obținută folosind teorema lui Pitagora. Primim:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Deci KD = 12
Unde
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Găsiți aria trapezului prin înălțimea sa și jumătate din suma bazelor
, unde a b - baza trapezului, h - înălțimea trapezului
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2

Răspuns: aria trapezului este de 80 cm2.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

În diverse materiale teste iar examenele sunt foarte frecvente probleme de trapez, a cărui soluție necesită cunoașterea proprietăților sale.

Să aflăm ce proprietăți interesante și utile are un trapez pentru rezolvarea problemelor.

După studierea proprietăților liniei mediane a unui trapez, se poate formula și dovedi proprietatea unui segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez. Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egal cu jumătate din diferența bazelor.

MO este linia de mijloc a triunghiului ABC și este egală cu 1/2BC (Fig. 1).

MQ este linia de mijloc a triunghiului ABD și este egal cu 1/2AD.

Atunci OQ = MQ – MO, deci OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Când rezolvați multe probleme pe un trapez, una dintre tehnicile principale este de a desena două înălțimi în el.

Luați în considerare următoarele sarcină.

Fie BT înălțimea unui trapez isoscel ABCD cu bazele BC și AD, cu BC = a, AD = b. Aflați lungimile segmentelor AT și TD.

Soluţie.

Rezolvarea problemei nu este dificilă (Fig. 2), dar vă permite să obțineți proprietatea înălțimii unui trapez isoscel desenat din vârful unui unghi obtuz: înălțimea unui trapez isoscel desenat din vârful unui unghi obtuz împarte baza mai mare în două segmente, dintre care cel mai mic este egal cu jumătate din diferența bazelor, iar cel mai mare este egal cu jumătate din suma bazelor .

Când studiați proprietățile unui trapez, trebuie să acordați atenție unei astfel de proprietăți ca asemănarea. Deci, de exemplu, diagonalele unui trapez îl împart în patru triunghiuri, iar triunghiurile adiacente bazelor sunt similare, iar triunghiurile adiacente laturilor au dimensiuni egale. Această afirmație poate fi numită proprietatea triunghiurilor în care un trapez este împărțit cu diagonalele sale. Mai mult decât atât, prima parte a enunțului poate fi dovedită foarte ușor prin semnul asemănării triunghiurilor în două unghiuri. Să demonstrăm a doua parte a declarației.

Triunghiurile BOC și COD au o înălțime comună (Fig. 3), dacă luăm ca baze segmentele BO și OD. Atunci S BOC /S COD = BO/OD = k. Prin urmare, S COD = 1/k · S BOC .

În mod similar, triunghiurile BOC și AOB au o înălțime comună dacă luăm ca baze segmentele CO și OA. Atunci S BOC /S AOB = CO/OA = k și S A O B = 1/k · S BOC .

Din aceste două propoziții rezultă că S COD = S A O B.

Să nu ne oprim asupra enunțului formulat, ci să găsim relația dintre ariile triunghiurilor în care se împarte trapezul cu diagonalele sale. Pentru a face acest lucru, să rezolvăm următoarea problemă.

Fie punctul O punctul de intersecție al diagonalelor trapezului ABCD cu bazele BC și AD. Se știe că ariile triunghiurilor BOC și AOD sunt egale cu S 1 și, respectiv, S 2. Găsiți aria trapezului.

Deoarece S COD = S A O B, atunci S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

Din asemănarea triunghiurilor BOC și AOD rezultă că BO/OD = √(S₁/S 2).

Prin urmare, S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), ceea ce înseamnă S COD = √(S 1 · S 2).

Atunci S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

Folosind asemănarea se demonstrează că proprietatea unui segment care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor unui trapez paralel cu bazele.

Să luăm în considerare sarcină:

Fie punctul O punctul de intersecție al diagonalelor trapezului ABCD cu bazele BC și AD. BC = a, AD = b. Aflați lungimea segmentului PK care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului paralel cu bazele. Ce segmente este împărțit PK la punctul O (Fig. 4)?

Din asemănarea triunghiurilor AOD și BOC rezultă că AO/OC = AD/BC = b/a.

Din asemănarea triunghiurilor AOP și ACB rezultă că AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Prin urmare, PO = BC b / (a ​​+ b) = ab/(a + b).

În mod similar, din asemănarea triunghiurilor DOK și DBC, rezultă că OK = ab/(a + b).

Prin urmare, PO = OK și PK = 2ab/(a + b).

Deci, proprietatea dovedită poate fi formulată astfel: un segment paralel cu bazele trapezului, care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor și care leagă două puncte pe laturile laterale, este împărțit la jumătate la punctul de intersecție al diagonalelor. diagonalele. Lungimea sa este media armonică a bazelor trapezului.

Urmând proprietate în patru puncte: într-un trapez, punctul de intersecție al diagonalelor, punctul de intersecție al continuării laturilor, punctele medii ale bazelor trapezului se află pe aceeași dreaptă.

Triunghiurile BSC și ASD sunt similare (Fig. 5) iar în fiecare dintre ele medianele ST și SG împart unghiul de vârf S în părți egale. Prin urmare, punctele S, T și G se află pe aceeași dreaptă.

În același mod, punctele T, O și G sunt situate pe aceeași linie. Aceasta rezultă din asemănarea triunghiurilor BOC și AOD.

Aceasta înseamnă că toate cele patru puncte S, T, O și G se află pe aceeași dreaptă.

Puteți găsi, de asemenea, lungimea segmentului care împarte trapezul în două similare.

Dacă trapezele ALFD și LBCF sunt similare (Fig. 6), atunci a/LF = LF/b.

Prin urmare LF = √(ab).

Astfel, un segment care împarte un trapez în două trapeze similare are lungimea egală cu media geometrică a lungimilor bazelor.

Să demonstrăm proprietatea unui segment care împarte un trapez în două zone egale.

Fie aria trapezului S (Fig. 7). h 1 și h 2 sunt părți ale înălțimii, iar x este lungimea segmentului dorit.

Atunci S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 și

S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Să creăm un sistem

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Rezolvând acest sistem, obținem x = √(1/2(a 2 + b 2)).

Astfel, lungimea segmentului care împarte trapezul în două egale este egală cu √((a 2 + b 2)/2)(pătrat mediu al lungimii bazei).

Deci, pentru trapezul ABCD cu bazele AD și BC (BC = a, AD = b) am demonstrat că segmentul:

1) MN, care leagă punctele medii ale laturilor laterale ale trapezului, este paralel cu bazele și egal cu jumătatea sumei lor (medie numere aritmetice a și b);

2) PK care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului paralel cu bazele este egal cu
2ab/(a + b) (media armonică a numerelor a și b);

3) LF, care împarte un trapez în două trapeze similare, are lungimea egală cu media geometrică a numerelor a și b, √(ab);

4) EH, împărțind un trapez în două egale, are lungimea √((a 2 + b 2)/2) (rădăcina pătrată medie a numerelor a și b).

Semnul și proprietatea unui trapez înscris și circumscris.

Proprietatea unui trapez înscris: un trapez poate fi înscris într-un cerc dacă și numai dacă este isoscel.

Proprietățile trapezului descris. Un trapez poate fi descris în jurul unui cerc dacă și numai dacă suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor.

Consecințele utile ale faptului că un cerc este înscris într-un trapez:

1. Înălțimea trapezului circumscris este egală cu două raze ale cercului înscris.

2. Latura trapezului circumscris este vizibilă din centrul cercului înscris în unghi drept.

Primul este evident. Pentru a demonstra cel de-al doilea corolar, este necesar să se stabilească că unghiul COD este corect, ceea ce, de asemenea, nu este dificil. Dar cunoașterea acestui corolar vă permite să utilizați un triunghi dreptunghic atunci când rezolvați probleme.

Să precizăm corolare pentru un trapez circumscris isoscel:

Înălțimea unui trapez circumscris isoscel este media geometrică a bazelor trapezului
h = 2r = √(ab).

Proprietățile luate în considerare vă vor permite să înțelegeți mai profund trapezul și să vă asigurați succesul în rezolvarea problemelor folosind proprietățile sale.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi problemele trapezului?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Trapez este un patrulater care are două laturi paralele, care sunt bazele, și două laturi neparalele, care sunt laturile.

Există și nume precum isoscel sau echilateral.

este un trapez ale cărui unghiuri laterale sunt drepte.

Elemente trapezoidale

a, b - baze trapezoidale(a paralelă cu b),

m, n - laturi trapeze,

d 1 , d 2 — diagonalele trapeze,

h - înălţime trapez (un segment care leagă bazele și, în același timp, perpendicular pe acestea),

MN - linia mediană(segment care leagă punctele medii ale laturilor).

Zona trapezului

1. Prin semisuma bazelor a, b și înălțimea h: S = \frac(a + b)(2)\cdot h
2. Prin linia centrală MN și înălțimea h: S = MN\cdot h
3. Prin diagonalele d 1, d 2 și unghiul (\sin \varphi) dintre ele: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

Proprietățile unui trapez

Linia mediană a trapezului

Linia de mijloc paralel cu bazele, egal cu jumătatea sumei lor și împarte fiecare segment cu capete situate pe linii drepte care conțin bazele (de exemplu, înălțimea figurii) în jumătate:

MN || a, MN || b, MN = \frac(a + b)(2)

Suma unghiurilor trapezoidale

Suma unghiurilor trapezoidale, adiacent fiecărei laturi, este egal cu 180^(\circ) :

\alpha + \beta = 180^(\circ)

\gamma + \delta =180^(\circ)

Triunghiuri trapezoidale cu suprafață egală

Egale ca mărime, adică având zone egale, sunt segmentele diagonale și triunghiurile AOB și DOC formate de laturile laterale.

Asemănarea triunghiurilor trapezoidale formate

Triunghiuri similare sunt AOD și COB, care sunt formate din bazele și segmentele diagonale ale acestora.

\triangle AOD \sim \triangle COB

Coeficient de similitudine k se găsește prin formula:

k = \frac(AD)(BC)

Mai mult, raportul ariilor acestor triunghiuri este egal cu k^(2) .

Raportul lungimilor segmentelor și bazelor

Fiecare segment care leagă bazele și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului este împărțit la acest punct în raport:

\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)

Acest lucru va fi valabil și pentru înălțimea cu diagonalele în sine.