Lecție video „Transformarea expresiilor raționale. Transformarea expresiilor raționale, tipuri de transformări, exemple Cum se rezolvă transformarea expresiilor raționale

Această lecție va acoperi informații de bază despre expresiile raționale și transformările lor, precum și exemple de transformări ale expresiilor raționale. Acest subiect rezumă subiectele pe care le-am studiat până acum. Transformările expresiilor raționale implică adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, exponențiarea fracțiilor algebrice, reducerea, factorizarea etc. În cadrul lecției, vom analiza ce este o expresie rațională și, de asemenea, vom analiza exemple de transformare a acestora.

Subiect:Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice

Lecţie:Informații de bază despre expresiile raționale și transformările lor

Definiţie

Exprimarea rațională este o expresie formată din numere, variabile, operații aritmetice și operația de exponențiere.

Să ne uităm la un exemplu de expresie rațională:

Cazuri speciale de expresii raționale:

gradul I: ;

2. monom: ;

3. fracție: .

Transformarea unei expresii raționale este o simplificare a unei expresii raționale. Ordinea acțiunilor la transformarea expresiilor raționale: mai întâi sunt operații între paranteze, apoi operații de înmulțire (împărțire), apoi operații de adunare (scădere).

Să ne uităm la câteva exemple de transformare a expresiilor raționale.

Exemplul 1

Soluţie:

Să rezolvăm acest exemplu pas cu pas. Acțiunea din paranteze este executată mai întâi.

Răspuns:

Exemplul 2

Soluţie:

Răspuns:

Exemplul 3

Soluţie:

Răspuns: .

Nota: Poate că, când ați văzut acest exemplu, a apărut o idee: reduceți fracția înainte de a o reduce la un numitor comun. Într-adevăr, este absolut corect: mai întâi este indicat să simplificați cât mai mult expresia, apoi să o transformați. Să încercăm să rezolvăm același exemplu în al doilea mod.

După cum puteți vedea, răspunsul s-a dovedit a fi absolut similar, dar soluția s-a dovedit a fi ceva mai simplă.

În această lecție ne-am uitat expresii raţionale şi transformările lor, precum și câteva exemple specifice ale acestor transformări.

Referințe

1. Bashmakov M.I. Algebră clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. si altele Algebra 8. - Ed. a V-a. - M.: Educație, 2010.

Conversia expresiilor raționale

În această lecție vom lucra cu expresii raționale. Folosind exemple specifice, vom lua în considerare metode de rezolvare a problemelor care implică transformări ale expresiilor raționale și demonstrarea identităților asociate acestora.

O expresie rațională este o expresie algebrică compusă din numere, variabile alfabetice, operații aritmetice, ridicare la o putere naturală și simboluri pentru succesiunea acestor operații (paranteze). Împreună cu expresia „expresie rațională” în algebră, sunt uneori folosiți termenii „întreg” sau „fracție”.

De exemplu, expresii

sunt atât raționale, cât și întregi.

Expresii

sunt atât raționale cât și fracționale, deoarece numitorul conține o expresie cu o variabilă.

Nu trebuie să uităm că o fracție își pierde sensul dacă numitorul ajunge la zero.

Scopul principal al lecției va fi acumularea de experiență în rezolvarea problemelor de simplificare a expresiilor raționale.

Simplificarea expresiilor raționale este utilizarea transformărilor identității pentru a simplifica scrierea unei expresii (a face-o mai scurtă și mai convenabilă pentru lucrări ulterioare).

Pentru a transforma expresii raționale, avem nevoie de reguli de adunare (scădere), înmulțire, împărțire și exponențiere a fracțiilor algebrice, toate aceste acțiuni sunt efectuate după aceleași reguli ca și acțiunile cu fracții obișnuite:

Și, de asemenea, formule de înmulțire abreviate:

La rezolvarea exemplelor de transformare a expresiilor raționale trebuie urmată următoarea ordine a acțiunilor: mai întâi se execută acțiunile din paranteze, apoi produsul/diviziunea (sau exponențiarea) și apoi acțiunile de adunare/scădere.

Deci, să ne uităm la exemplul 1:

este necesară simplificarea expresiei

În primul rând, efectuăm acțiunile dintre paranteze.

Aducem fracțiile algebrice la un numitor comun și adunăm (scădem) fracții cu aceiași numitori conform regulilor scrise mai sus.

Folosind formula scurtă (și anume pătratul diferenței), expresia rezultată ia forma:

În al doilea rând, conform regulilor de înmulțire a fracțiilor algebrice, înmulțim separat numărătorii și numitorii:

Și apoi reducem expresia rezultată:

În urma transformărilor efectuate, obținem o expresie simplă

Să luăm în considerare un exemplu 2 mai complex de transformare a expresiilor raționale: este necesar să se dovedească identitatea:

A demonstra o identitate înseamnă a stabili că, pentru toate valorile admisibile ale variabilelor, laturile ei stânga și dreapta sunt egale.

Dovada:

Pentru a demonstra această identitate, este necesară transformarea expresiei din partea stângă. Pentru a face acest lucru, ar trebui să urmați ordinea acțiunilor prezentate mai sus: în primul rând, sunt efectuate acțiunile dintre paranteze, apoi înmulțirea și apoi adăugarea.

Deci, acțiunea 1:

efectuați adunarea/scăderea unei expresii dintr-o paranteză.

Pentru a face acest lucru, factorizați expresiile în numitorii fracțiilor și aduceți aceste fracții la un numitor comun.

Deci la numitorul primei fracții punem 3 dintre paranteze, la numitorul celei de-a doua scoatem semnul minus și, folosind formula de înmulțire prescurtată, o factorăm în doi factori, iar la numitorul celei de-a treia fracții punem x din paranteze.

Numitorul comun al acestor trei fracții este expresia

Acțiunea 2:

înmulțiți o fracție

Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi factorizarea numărătorului primei fracții și ridicați această fracție la puterea lui 2.

Și atunci când înmulțiți fracții, efectuați reducerea corespunzătoare.

Acțiunea 3:

Însumăm prima fracție a expresiei inițiale și fracția rezultată

Pentru a face acest lucru, mai întâi factorizați numărătorul și numitorul primei fracții și reduceți:

Acum tot ce rămâne este să adunăm fracțiile algebrice rezultate cu diferiți numitori:

Astfel, în urma a 3 acțiuni și a simplificării părții stângi a identității, am obținut o expresie din partea dreaptă a acesteia și, prin urmare, am demonstrat această identitate. Cu toate acestea, amintiți-vă că identitatea este valabilă numai pentru valorile admisibile ale variabilei x. În acest exemplu, acestea sunt orice valori ale lui x, cu excepția celor care fac numitorii fracțiilor zero. Aceasta înseamnă că toate valorile lui x sunt acceptabile, cu excepția celor pentru care cel puțin una dintre egalități este îndeplinită:

Următoarele valori vor fi invalide:

Deci, folosind exemple specifice, am analizat rezolvarea problemelor care implică transformări ale expresiilor raționale și demonstrarea identităților asociate acestora.

Lista literaturii folosite:

1. Mordkovich A.G. „Algebra” clasa a VIII-a. La 2 p.m. partea 1. Manual pentru instituții de învățământ / A.G. Mordkovici. – Ed. a 9-a, revizuită. – M.: Mnemosyne, 2007. – 215 p.: ill.
2. Mordkovich A.G. „Algebra” clasa a VIII-a. La 2 p.m. partea 2. Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulchinskaya.. – ed. a VIII-a, – M.: Mnemosyne, 2006 – 239 p.
3. Algebră. clasa a VIII-a. Teste pentru studenții instituțiilor de învățământ din L.A. Alexandrov, ed. A.G. Mordkovich ed. a 2-a, șters. - M.: Mnemosyne 2009. - 40 p.
4. Algebră. clasa a VIII-a. Muncă independentă pentru studenții instituțiilor de învățământ: la manualul de A.G. Mordkovich, L.A. Alexandrov, ed. A.G. Mordkovici. Ed. a 9-a, șters. - M.: Mnemosyne 2013. - 112 p.

Orice expresie fracțională (clauza 48) poate fi scrisă sub forma , unde P și Q sunt expresii raționale, iar Q conține în mod necesar variabile. O astfel de fracție se numește fracție rațională.

Exemple de fracții raționale:

Proprietatea principală a unei fracții este exprimată printr-o identitate care este corectă în condițiile de aici - o întreagă expresie rațională. Aceasta înseamnă că numărătorul și numitorul unei fracții raționale pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, monom sau polinom.

De exemplu, proprietatea unei fracții poate fi folosită pentru a schimba semnele membrilor unei fracții. Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu -1, obținem. Astfel, valoarea fracției nu se va schimba dacă semnele numărătorului și numitorului sunt modificate simultan. Dacă schimbați doar semnul numărătorului sau numai al numitorului, atunci fracția își va schimba semnul:

De exemplu,

60. Fracțiile raționale reducătoare.

A reduce o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul fracției la un factor comun. Posibilitatea unei astfel de reduceri se datorează proprietății de bază a fracției.

Pentru a reduce o fracție rațională, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul. Dacă se dovedește că numărătorul și numitorul au factori comuni, atunci fracția poate fi redusă. Dacă nu există factori comuni, atunci transformarea unei fracții prin reducere este imposibilă.

Exemplu. Reduceți o fracție

Soluţie. Avem

Reducerea unei fracții se realizează în condiția .

61. Reducerea fracțiilor raționale la un numitor comun.

Numitorul comun al mai multor fracții raționale este o expresie rațională întreagă care este împărțită la numitorul fiecărei fracții (a se vedea paragraful 54).

De exemplu, numitorul comun al fracțiilor este un polinom, deoarece este divizibil cu ambele și prin și polinom și polinom și polinom, etc. Acest cel mai simplu numitor este uneori numit cel mai mic numitor comun.

În exemplul discutat mai sus, numitorul comun este Avem

Reducerea acestor fracții la un numitor comun se realizează prin înmulțirea numărătorului și numitorului primei fracții cu 2. iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții prin Polinoame se numesc factori adiționali pentru prima și, respectiv, a doua fracție. Factorul suplimentar pentru o fracție dată este egal cu câtul împărțirii numitorului comun la numitorul fracției date.

Pentru a reduce mai multe fracții raționale la un numitor comun, aveți nevoie de:

1) factorizați numitorul fiecărei fracții;

2) creați un numitor comun prin includerea ca factori a tuturor factorilor obținuți în pasul 1) a expansiunilor; dacă un anumit factor este prezent în mai multe expansiuni, atunci se ia cu un exponent egal cu cel mai mare dintre cele disponibile;

3) găsiți factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții (pentru aceasta, numitorul comun este împărțit la numitorul fracției);

4) prin înmulțirea numărătorului și numitorului fiecărei fracții cu un factor suplimentar, aduceți fracția la un numitor comun.

Exemplu. Reduceți o fracție la un numitor comun

Soluţie. Să factorizăm numitorii:

În numitorul comun trebuie incluși următorii factori: și cel mai mic multiplu comun al numerelor 12, 18, 24, i.e. Aceasta înseamnă că numitorul comun are forma

Factori suplimentari: pentru prima fracție pentru a doua pentru a treia.

62. Adunarea și scăderea fracțiilor raționale.

Suma a două (și în general a oricărui număr finit) fracții raționale cu aceiași numitori este identic egală cu o fracție cu același numitor și cu un numărător egal cu suma numărătorilor fracțiilor care se adună:

Situația este similară și în cazul scăderii fracțiilor cu numitori similari:

Exemplul 1: Simplificați o expresie

Soluţie.

Pentru a adăuga sau scădea fracții raționale cu diferiți numitori, trebuie mai întâi să reduceți fracțiile la un numitor comun, apoi să efectuați operații asupra fracțiilor rezultate cu aceiași numitori.

Exemplul 2: Simplificați o expresie

Soluţie. Avem

63. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor raționale.

Produsul a două fracții raționale (și, în general, a oricărui număr finit) este identic cu o fracție al cărei numărător este egal cu produsul numărătorilor, iar numitorul este egal cu produsul numitorilor fracțiilor înmulțite:

Cât de împărțire a două fracții raționale este identic cu o fracție al cărei numărător este egal cu produsul dintre numărătorul primei fracții și numitorul celei de-a doua fracții, iar numitorul este produsul dintre numitorul primei fracții și numărătorul celei de-a doua fracții:

Regulile formulate de înmulțire și împărțire se aplică și în cazul înmulțirii sau împărțirii cu un polinom: este suficient să scrieți acest polinom sub forma unei fracții cu numitorul 1.

Având în vedere posibilitatea reducerii unei fracții raționale obținute ca urmare a înmulțirii sau împărțirii fracțiilor raționale, aceștia se străduiesc de obicei să factorizeze numărătorii și numitorii fracțiilor originale înainte de a efectua aceste operații.

Exemplul 1: Efectuați înmulțirea

Soluţie. Avem

Folosind regula pentru înmulțirea fracțiilor, obținem:

Exemplul 2: Efectuați împărțirea

Soluţie. Avem

Folosind regula împărțirii, obținem:

64. Ridicarea unei fracții raționale la o putere întreagă.

Pentru a ridica o fracție rațională la o putere naturală, trebuie să ridicați numărătorul și numitorul fracției separat la această putere; prima expresie este numărătorul, iar a doua expresie este numitorul rezultatului:

Exemplul 1: Convertiți într-o fracțiune de putere 3.

Soluție Soluție.

La ridicarea unei fracții la o putere întreagă negativă, se folosește o identitate care este valabilă pentru toate valorile variabilelor pentru care .

Exemplul 2: Convertiți o expresie într-o fracție

65. Transformarea expresiilor raţionale.

Transformarea oricărei expresii raționale se reduce la adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor raționale, precum și ridicarea unei fracții la o putere naturală. Orice expresie rațională poate fi convertită într-o fracție, al cărei numărător și numitor sunt expresii raționale întregi; Acesta este, de regulă, scopul transformărilor identice ale expresiilor raționale.

Exemplu. Simplificați o expresie

66. Cele mai simple transformări ale rădăcinilor aritmetice (radicale).

La conversia koriilor aritmetice, se utilizează proprietățile lor (a se vedea punctul 35).

Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a proprietăților rădăcinilor aritmetice pentru cele mai simple transformări ale radicalilor. În acest caz, vom considera că toate variabilele iau numai valori nenegative.

Exemplul 1. Extrageți rădăcina unui produs

Soluţie. Aplicând proprietatea 1°, obținem:

Exemplul 2. Îndepărtați multiplicatorul de sub semnul rădăcină

Soluţie.

Această transformare se numește eliminarea factorului de sub semnul rădăcinii. Scopul transformării este de a simplifica expresia radicală.

Exemplul 3: Simplificați.

Soluţie. Prin proprietatea lui 3° avem De obicei ei încearcă să simplifice expresia radicală, pentru care scot factorii din semnul corium. Avem

Exemplul 4: Simplificați

Soluţie. Să transformăm expresia introducând un factor sub semnul rădăcinii: Prin proprietatea 4° avem

Exemplul 5: Simplificați

Soluţie. Prin proprietatea lui 5°, avem dreptul de a împărți exponentul rădăcinii și exponentul expresiei radicalului la același număr natural. Dacă în exemplul luat în considerare împărțim indicatorii indicați cu 3, obținem .

Exemplul 6. Simplificați expresiile:

Rezolvare, a) După proprietatea 1° constatăm că pentru a înmulți rădăcini de același grad, este suficient să înmulțim expresiile radicale și să extragem rădăcina de același grad din rezultatul obținut. Mijloace,

b) În primul rând, trebuie să reducem radicalii la un singur indicator. După proprietatea lui 5°, putem înmulți exponentul rădăcinii și exponentul expresiei radicalului cu același număr natural. Prin urmare, în continuare, avem acum în rezultatul care împărțim exponenții rădăcinii și gradul expresiei radicalului la 3, obținem.

Lecție și prezentare pe tema: „Transformarea expresiilor raționale. Exemple de rezolvare a problemelor”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Ajutoare și simulatoare educaționale în magazinul online Integral pentru clasa a VIII-a
Manual pentru manualul Muravin G.K. Un manual pentru manual de Makarychev Yu.N.

Conceptul de exprimare rațională

Conceptul de „expresie rațională” este similar cu conceptul de „fracție rațională”. Expresia este reprezentată și ca o fracție. Numai că numărătorii noștri nu sunt numere, ci diferite tipuri de expresii. Cel mai adesea acestea sunt polinoame. O fracție algebrică este o expresie fracțională formată din numere și variabile.

La rezolvarea multor probleme din clasele elementare, după efectuarea operațiilor aritmetice, am primit valori numerice specifice, cel mai adesea fracții. Acum, după efectuarea operațiilor, vom obține fracții algebrice. Băieți, amintiți-vă: pentru a obține răspunsul corect, trebuie să simplificați cât mai mult posibil expresia cu care lucrați. Trebuie să obțineți cel mai mic grad posibil; expresiile identice în numărători și numitori ar trebui reduse; cu expresii care pot fi prăbușite, trebuie să faci asta. Adică, după efectuarea unei serii de acțiuni, ar trebui să obținem cea mai simplă fracție algebrică posibilă.

Procedura cu expresii raționale

Procedura de efectuare a operațiilor cu expresii raționale este aceeași ca și pentru operațiile aritmetice. Mai întâi se efectuează operațiile din paranteze, apoi înmulțirea și împărțirea, exponențiarea și în final adunarea și scăderea.

A demonstra o identitate înseamnă a arăta că pentru toate valorile variabilelor părțile din dreapta și din stânga sunt egale. Există o mulțime de exemple de demonstrare a identităților.

Principalele modalități de a rezolva identitățile includ.

• Transformați partea stângă pentru a fi egală cu partea dreaptă.
• Transformați partea dreaptă pentru a fi egală cu stânga.
• Transformați părțile stânga și dreapta separat până când obțineți aceeași expresie.
• Partea dreaptă este scăzută din partea stângă, iar rezultatul ar trebui să fie zero.

Conversia expresiilor raționale. Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1.
Dovediți identitatea:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Soluţie.
Evident, trebuie să transformăm partea stângă.
Mai întâi, să facem pașii din paranteze:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1) )(5a-1))$

.

Ar trebui să încercați să aplicați la maximum factorii comuni.
2) Transformă expresia cu care împărțim:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Efectuați operația de împărțire:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Efectuați operația de adăugare:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

Părțile din dreapta și din stânga au coincis. Aceasta înseamnă că identitatea este dovedită.
Băieți, atunci când am rezolvat acest exemplu, aveam nevoie de cunoștințe despre multe formule și operații. Vedem că după transformare, expresia mare s-a transformat într-una foarte mică. Când se rezolvă aproape toate problemele, transformările duc de obicei la expresii simple.

Exemplul 2.
Simplificați expresia:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Soluţie.
Să începem cu primele paranteze.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Transformați a doua paranteză.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b) )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Să facem împărțirea.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Răspuns: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Exemplul 3.
Urmați acești pași:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16) )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Soluţie.
Ca întotdeauna, trebuie să începeți cu paranteze.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2) )(k^2+2k+4))$.

2. Acum să facem împărțirea.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Să folosim proprietatea: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Să executăm operația de scădere.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

După cum am spus mai devreme, trebuie să simplificați cât mai mult posibil fracția.
Răspuns: $\frac(k)(k-4)$.

Probleme de rezolvat independent

1. Demonstrați identitatea:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Simplificați expresia:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Urmați acești pași:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Expresiile și fracțiile raționale sunt piatra de temelie a întregului curs de algebră. Cei care învață să lucreze cu astfel de expresii, să le simplifice și să le factorizeze, vor putea, în esență, să rezolve orice problemă, deoarece transformarea expresiilor este o parte integrantă a oricărei ecuații serioase, inegalități sau chiar probleme de cuvinte.

În acest tutorial video vom analiza cum să folosim corect formulele de înmulțire abreviate pentru a simplifica expresiile și fracțiile raționale. Să învățăm să vedem aceste formule în care, la prima vedere, nu există nimic. În același timp, vom repeta o tehnică atât de simplă precum factorizarea unui trinom pătratic printr-un discriminant.

După cum probabil ați ghicit deja din formulele din spatele meu, astăzi vom studia formulele de înmulțire abreviate sau, mai precis, nu formulele în sine, ci utilizarea lor pentru a simplifica și reduce expresii raționale complexe. Dar, înainte de a trece la rezolvarea exemplelor, să aruncăm o privire mai atentă la aceste formule sau să le amintim:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — diferența de pătrate;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ este pătratul sumei;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — diferența la pătrat;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ este suma cuburilor;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ este diferența de cuburi.

De asemenea, aș dori să menționez că sistemul nostru de învățământ școlar este structurat în așa fel încât să fie cu studiul acestei teme, i.e. expresii raționale, precum și rădăcini, module, toți elevii au aceeași problemă, pe care o voi explica acum.

Cert este că chiar la începutul studierii formulelor de înmulțire abreviate și, în consecință, a acțiunilor de reducere a fracțiilor (aceasta este undeva în clasa a VIII-a), profesorii spun ceva de genul următor: „Dacă ceva nu îți este clar, atunci nu” nu vă faceți griji, vom reveni la acest subiect de mai multe ori, cu siguranță în liceu. Vom analiza asta mai târziu.” Ei bine, atunci, la trecerea claselor 9-10, aceiași profesori le explică acelorași elevi care încă nu știu să rezolve fracții raționale, ceva de genul: „Unde ai fost în ultimii doi ani? Acest lucru a fost studiat la algebră în clasa a VIII-a! Ce ar putea fi neclar aici? Este atât de evident!”

Cu toate acestea, astfel de explicații nu ușurează cu nimic elevii obișnuiți: aveau totuși o mizerie în cap, așa că acum ne vom uita la două exemple simple, pe baza cărora vom vedea cum să izolăm aceste expresii în probleme reale. , ceea ce ne va conduce la formule de înmulțire abreviate și cum să le aplicăm apoi pentru a transforma expresii raționale complexe.

Reducerea fracțiilor raționale simple

Sarcina nr. 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Primul lucru pe care trebuie să-l învățăm este să identificăm pătratele exacte și puterile mai mari în expresiile originale, pe baza cărora apoi putem aplica formule. Să vedem:

Să ne rescriem expresia ținând cont de aceste fapte:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Răspuns: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Problema nr. 2

Să trecem la a doua sarcină:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Nu este nimic de simplificat aici, deoarece numărătorul conține o constantă, dar am propus această problemă tocmai pentru a învăța cum să factorizezi polinoamele care conțin două variabile. Dacă în schimb am avea polinomul de mai jos, cum l-am extinde?

\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]

Să rezolvăm ecuația și să găsim $x$ pe care îl putem pune în locul punctelor:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Putem rescrie trinomul după cum urmează:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]

Am învățat cum să lucrăm cu un trinom pătratic - de aceea a trebuit să înregistrăm această lecție video. Dar dacă, pe lângă $x$ și o constantă, există și $y$? Să le considerăm ca un alt element al coeficienților, adică. Să ne rescriem expresia după cum urmează:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Să scriem extinderea construcției noastre pătrate:

\[\stanga(x-y\dreapta)\stanga(x+6y\dreapta)\]

Deci, dacă revenim la expresia originală și o rescriem ținând cont de modificări, obținem următoarele:

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

Ce ne oferă un astfel de record? Nimic, pentru că nu se poate reduce, nu se înmulțește sau se împarte cu nimic. Cu toate acestea, de îndată ce această fracțiune se dovedește a fi parte integrantă a unei expresii mai complexe, o astfel de extindere va fi utilă. Prin urmare, de îndată ce vedeți un trinom pătratic (nu contează dacă este împovărat cu parametri suplimentari sau nu), încercați întotdeauna să îl factorizați.

Nuanțe ale soluției

Amintiți-vă regulile de bază pentru transformarea expresiilor raționale:

• Toți numitorii și numărătorii trebuie factorizați fie prin formule de înmulțire abreviate, fie printr-un discriminant.
• Trebuie să lucrați conform următorului algoritm: atunci când ne uităm și încercăm să izolăm formula pentru înmulțirea prescurtată, atunci, în primul rând, încercăm să convertim totul la cel mai înalt grad posibil. După aceasta, scoatem gradul general din paranteză.
• Foarte des veți întâlni expresii cu un parametru: alte variabile vor apărea ca coeficienți. Le găsim folosind formula de expansiune pătratică.

Deci, odată ce vezi fracții raționale, primul lucru de făcut este factorul atât numărătorului, cât și numitorului în expresii liniare, folosind formulele de înmulțire abreviate sau discriminante.

Să ne uităm la câteva dintre aceste expresii raționale și să încercăm să le factorizăm.

Rezolvarea de exemple mai complexe

Sarcina nr. 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Rescriem și încercăm să descompunem fiecare termen:

Să rescriem întreaga noastră expresie rațională ținând cont de aceste fapte:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\left(3y \right))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

Răspuns: $-1$.

Problema nr. 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Să ne uităm la toate fracțiile.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\stanga(x-2 \dreapta))^(2))\]

Să rescriem întreaga structură ținând cont de modificări:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \left(x-2 \right))\]

Răspuns: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Nuanțe ale soluției

Deci ceea ce tocmai am învățat:

• Nu orice trinom pătrat poate fi factorizat în special, acest lucru se aplică pătratului incomplet al sumei sau diferenței, care se găsesc foarte des ca părți ale cuburilor de sumă sau diferență.
• Constante, adică numerele obișnuite care nu au variabile pot acționa și ca elemente active în procesul de expansiune. În primul rând, ele pot fi scoase dintre paranteze, iar în al doilea rând, constantele în sine pot fi reprezentate sub formă de puteri.
• Foarte des, după factorizarea tuturor elementelor, apar construcții opuse. Aceste fracții trebuie reduse extrem de atent, deoarece atunci când le tăiați fie deasupra, fie dedesubt, apare un factor suplimentar $-1$ - aceasta este tocmai o consecință a faptului că sunt opuse.

Rezolvarea problemelor complexe

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Să luăm în considerare fiecare termen separat.

Prima fracție:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\stanga(b-2 \dreapta)\stanga(b+2 \dreapta)\]

Putem rescrie întregul numărător al celei de-a doua fracții după cum urmează:

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Acum să ne uităm la numitor:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]

Să rescriem întreaga expresie rațională ținând cont de faptele de mai sus:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Răspuns: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Nuanțe ale soluției

După cum am văzut încă o dată, pătratele incomplete ale sumei sau pătratele incomplete ale diferenței, care se găsesc adesea în expresii raționale reale, totuși, nu vă fie teamă de ele, deoarece după transformarea fiecărui element sunt aproape întotdeauna anulate. În plus, în niciun caz nu trebuie să vă fie frică de construcții mari în răspunsul final - este foarte posibil ca aceasta să nu fie greșeala dvs. (mai ales dacă totul este factorizat), dar autorul a intenționat un astfel de răspuns.

În concluzie, aș vrea să mă uit la un alt exemplu complex, care nu mai are legătură directă cu fracțiile raționale, ci conține tot ce vă așteaptă la teste și examene reale și anume: factorizarea, reducerea la numitor comun, reducerea termenilor similari. Este exact ceea ce vom face acum.

Rezolvarea unei probleme complexe de simplificare și transformare a expresiilor raționale

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \dreapta)\]

În primul rând, să ne uităm și să deschidem prima paranteză: în ea vedem trei fracții separate cu numitori diferiți, deci primul lucru pe care trebuie să-l facem este să aducem toate cele trei fracții la un numitor comun și, pentru a face acest lucru, fiecare dintre ele ar trebui să să fie luate în considerare:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \dreapta)\]

Să rescriem întreaga noastră construcție după cum urmează:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x) -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2) )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ stânga(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Acesta este rezultatul calculelor din prima paranteză.

Să ne ocupăm de a doua paranteză:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \ corect)\]

Să rescriem a doua paranteză ținând cont de modificări:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\stanga(x-2\dreapta)\stanga(x+2\dreapta))\]

Acum să notăm întreaga construcție originală:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Răspuns: $\frac(1)(x+2)$.

Nuanțe ale soluției

După cum puteți vedea, răspunsul s-a dovedit a fi destul de rezonabil. Cu toate acestea, vă rugăm să rețineți: foarte des în timpul unor astfel de calcule la scară largă, când singura variabilă apare doar la numitor, elevii uită că acesta este numitorul și ar trebui să fie în partea de jos a fracției și scrie această expresie la numărător - aceasta este o greșeală gravă.

În plus, aș dori să vă atrag atenția în mod deosebit asupra modului în care sunt formalizate astfel de sarcini. În orice calcule complexe, toți pașii sunt efectuati unul câte unul: mai întâi numărăm primul paranteză separat, apoi al doilea separat și abia la sfârșit combinăm toate părțile și calculăm rezultatul. În acest fel, ne asigurăm de greșelile stupide, notăm cu atenție toate calculele și, în același timp, nu pierdem timp în plus, așa cum ar părea la prima vedere.