Exemple de ecuații folosind teorema lui Vieta. Teorema lui Vieta, formula Vieta inversă și exemple cu soluții pentru manechine

François Viète (1540-1603) – matematician, creatorul celebrelor formule Viète

teorema lui Vieta necesare pentru a rezolva rapid ecuații pătratice (în cuvinte simple).

Mai detaliat, atunci Teorema lui Vieta este suma rădăcinilor unui dat ecuație pătratică este egal cu al doilea coeficient, care este luat din semnul opus, iar produsul este egal cu termenul liber. Orice ecuație pătratică redusă care are rădăcini are această proprietate.

Folosind teorema lui Vieta, puteți rezolva cu ușurință ecuații patratice prin selecție, așa că să-i spunem „mulțumesc” acestui matematician cu o sabie în mână pentru fericita noastră clasă a VII-a.

Dovada teoremei lui Vieta

Pentru a demonstra teorema, puteți folosi formule de rădăcină binecunoscute, datorită cărora vom compune suma și produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice. Abia după aceasta ne putem asigura că sunt egale și, în consecință, .

Să presupunem că avem o ecuație: . Această ecuație are următoarele rădăcini: și . Să demonstrăm că , .

Conform formulelor pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

1. Aflați suma rădăcinilor:

Să ne uităm la această ecuație, cum am obținut-o exact așa:

= .

Pasul 1. Reducând fracțiile la un numitor comun, rezultă:

= = .

Pasul 2. Avem o fracție în care trebuie să deschidem parantezele:

Reducem fracția cu 2 și obținem:

Am demonstrat relația pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice folosind teorema lui Vieta.

2. Aflați produsul rădăcinilor:

= = = = = .

Să demonstrăm această ecuație:

Pasul 1. Există o regulă pentru înmulțirea fracțiilor, conform căreia înmulțim această ecuație:

Acum ne amintim definiția rădăcinii pătrate și calculăm:

= .

Pasul 3. Să reamintim discriminantul ecuației pătratice: . Prin urmare, în loc de D (discriminant), înlocuim în ultima fracție, apoi rezultă:

= .

Pasul 4. Deschideți parantezele și adăugați termeni similari la fracție:

Pasul 5. Scurtăm „4a” și obținem .

Deci am demonstrat relația pentru produsul rădăcinilor folosind teorema lui Vieta.

IMPORTANT!Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația pătratică are o singură rădăcină.

Teorema conversie la teorema lui Vieta

Folosind teorema inversă teoremei lui Vieta, putem verifica dacă ecuația noastră este rezolvată corect. Pentru a înțelege teorema în sine, trebuie să o luați în considerare mai detaliat.

Dacă numerele sunt așa:

Și atunci ele sunt rădăcinile ecuației pătratice.

Dovada teoremei inverse a lui Vieta

Pasul 1.Să substituim expresii pentru coeficienții săi în ecuație:

Pasul 2.Să transformăm partea stângă a ecuației:

Pasul 3. Să găsim rădăcinile ecuației și pentru aceasta folosim proprietatea că produsul este egal cu zero:

Sau . De unde vine: sau .

Exemple cu soluții folosind teorema lui Vieta

Exemplul 1

Exercita

Aflați suma, produsul și suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice fără a găsi rădăcinile ecuației.

Soluţie

Pasul 1. Să ne amintim formula discriminantă. Înlocuim literele cu numerele noastre. Adică , – aceasta înlocuiește , și . Din aceasta rezultă:

Se dovedește:

Title="Redată de QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Să exprimăm suma pătratelor rădăcinilor prin suma și produsul lor:

Răspuns

7; 12; 25.

Exemplul 2

Exercita

Rezolvați ecuația. Cu toate acestea, nu utilizați formule de ecuație pătratică.

Soluţie

Această ecuație are rădăcini al căror discriminant (D) este mai mare decât zero. În consecință, conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații este egală cu 4, iar produsul este 5. În primul rând, determinăm divizorii numărului, a căror sumă este egală cu 4. Acestea sunt numerele „ 5” și „-1”. Produsul lor este egal cu 5, iar suma lor este 4. Aceasta înseamnă că, conform teoremei inverse teoremei lui Vieta, ele sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns

ŞI Exemplul 4

Exercita

Scrieți o ecuație în care fiecare rădăcină este de două ori rădăcina corespunzătoare a ecuației:

Soluţie

Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații este egală cu 12, iar produsul = 7. Aceasta înseamnă că două rădăcini sunt pozitive.

Suma rădăcinilor noii ecuații va fi egală cu:

Și munca.

Prin teorema inversă teoremei lui Vieta, noua ecuație are forma:

Răspuns

Rezultatul este o ecuație, fiecare rădăcină a cărei rădăcină este de două ori mai mare:

Deci, ne-am uitat la cum să rezolvăm ecuația folosind teorema lui Vieta. Este foarte convenabil să folosiți această teoremă dacă rezolvați probleme care implică semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Adică, dacă termenul liber din formulă este un număr pozitiv și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci ambele pot fi fie negative, fie pozitive.

Și dacă termenul liber este un număr negativ și dacă există rădăcini reale în ecuația pătratică, atunci ambele semne vor fi diferite. Adică, dacă o rădăcină este pozitivă, atunci cealaltă rădăcină va fi doar negativă.

Surse utile:

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A Algebra clasa a VIII-a: Moscova „Iluminismul”, 2016 – 318 p.
2. Rubin A.G., Chulkov P.V – manual Algebră clasa a VIII-a: Moscova „Balass”, 2015 – 237 p.
3. Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – Algebră clasa a VIII-a: Moscova „Iluminismul”, 2014 – 300

Teorema lui Vieta, formula inversă a lui Vieta și exemple cu soluții pentru manechine actualizat: 22 noiembrie 2019 de: Articole stiintifice.Ru

Formularea și demonstrarea teoremei lui Vieta pentru ecuații patratice. Teorema inversă a lui Vieta. Teorema lui Vieta pentru ecuații cubice și ecuații de ordin arbitrar.

Conţinut

Vezi și: Rădăcinile unei ecuații pătratice

Ecuații cuadratice

teorema lui Vieta

Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice reduse
(1) .
Apoi suma rădăcinilor este egală cu coeficientul lui , luat cu semnul opus. Produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber:
;
.

O notă despre mai multe rădăcini

Dacă discriminantul ecuației (1) este zero, atunci această ecuație are o rădăcină. Dar, pentru a evita formulările greoaie, se acceptă în general că, în acest caz, ecuația (1) are două rădăcini multiple sau egale:
.

Dovada unu

Să găsim rădăcinile ecuației (1). Pentru a face acest lucru, aplicați formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:
;
;
.

Aflați suma rădăcinilor:
.

Pentru a găsi produsul, aplicați formula:
.
Apoi

.

Teorema a fost demonstrată.

Dovada a doua

Dacă numerele sunt rădăcinile ecuației pătratice (1), atunci
.
Deschiderea parantezelor.

.
Astfel, ecuația (1) va lua forma:
.
Comparând cu (1) găsim:
;
.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema inversă a lui Vieta

Să fie numere arbitrare. Atunci și sunt rădăcinile ecuației pătratice
,
Unde
(2) ;
(3) .

Dovada teoremei inverse a lui Vieta

Luați în considerare ecuația pătratică
(1) .
Trebuie să demonstrăm că dacă și , atunci și sunt rădăcinile ecuației (1).

Să înlocuim (2) și (3) în (1):
.
Grupăm termenii din partea stângă a ecuației:
;
;
(4) .

Să înlocuim în (4):
;
.

Să înlocuim în (4):
;
.
Ecuația este valabilă. Adică, numărul este rădăcina ecuației (1).

Teorema a fost demonstrată.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică completă

Acum luați în considerare ecuația pătratică completă
(5) ,
unde , și sunt câteva numere. În plus.

Să împărțim ecuația (5) la:
.
Adică, am obținut ecuația dată
,
Unde ; .

Atunci teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică completă are următoarea formă.

Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice complete
.
Apoi suma și produsul rădăcinilor sunt determinate de formulele:
;
.

Teorema lui Vieta pentru ecuația cubică

Într-un mod similar, putem stabili conexiuni între rădăcinile unei ecuații cubice. Luați în considerare ecuația cubică
(6) ,
unde , , , sunt unele numere. În plus.
Să împărțim această ecuație la:
(7) ,
Unde , , .
Fie , , rădăcinile ecuației (7) (și ecuației (6)). Apoi

.

Comparând cu ecuația (7) găsim:
;
;
.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație de gradul al n-lea

În același mod, puteți găsi conexiuni între rădăcinile , , ... , , pentru ecuație gradul al n-lea
.

Teorema lui Vieta pentru a n-a ecuații gradul are următoarea formă:
;
;
;

.

Pentru a obține aceste formule, scriem ecuația după cum urmează:
.
Apoi echivalăm coeficienții pentru , , , ... , și comparăm termenul liber.

Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: un manual pentru clasa a 8-a în instituțiile de învățământ general, Moscova, Educație, 2006.

Vezi și:

Când se studiază metode de rezolvare a ecuațiilor de ordinul doi într-un curs de algebră școlară, se iau în considerare proprietățile rădăcinilor rezultate. Ele sunt cunoscute în prezent ca teorema lui Vieta. Exemple de utilizare a acestuia sunt date în acest articol.

Ecuație cuadratică

Ecuația de ordinul doi este egalitatea prezentată în fotografia de mai jos.

Aici simbolurile a, b, c sunt niște numere numite coeficienți ai ecuației luate în considerare. Pentru a rezolva o egalitate, trebuie să găsiți valorile lui x care o fac adevărată.

Rețineți că, deoarece puterea maximă la care poate fi ridicat x este de două, atunci și numărul de rădăcini în cazul general este de asemenea două.

Există mai multe modalități de a rezolva acest tip de egalități. În acest articol vom lua în considerare una dintre ele, care implică utilizarea așa-numitei teoreme Vieta.

Formularea teoremei lui Vieta

ÎN sfârşitul XVI-lea Renumitul matematician François Viète (francez) a observat, analizând proprietățile rădăcinilor diverselor ecuații pătratice, că anumite combinații ale acestora satisfac relații specifice. În special, aceste combinații sunt produsul și suma lor.

Teorema lui Vieta stabilește următoarele: rădăcinile unei ecuații pătratice, însumate, dau raportul dintre coeficienții liniari și pătratici luați cu semnul opus, iar atunci când sunt înmulțiți duc la raportul dintre termenul liber și coeficientul pătratic. .

Dacă vedere generală ecuația este scrisă așa cum se arată în fotografia din secțiunea anterioară a articolului, apoi matematic această teoremă poate fi scrisă sub forma a două egalități:

• r2 + r1 = -b/a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Unde r 1, r 2 este valoarea rădăcinilor ecuației în cauză.

Cele două egalități de mai sus pot fi folosite pentru a rezolva o serie de probleme matematice diferite. Utilizarea teoremei lui Vieta în exemple cu soluții este dată în următoarele secțiuni ale articolului.

Aproape orice ecuație pătratică \poate fi convertită la forma \ Totuși, acest lucru este posibil dacă inițial împărțiți fiecare termen cu un coeficient \before \ În plus, puteți introduce o nouă notație:

\[(\frac (b)(a))= p\] și \[(\frac (c)(a)) = q\]

Din aceasta cauza, vom avea o ecuatie \ numita in matematica ecuatie patratica redusa. Rădăcinile acestei ecuații și coeficienții sunt interconectate, ceea ce este confirmat de teorema lui Vieta.

Teorema lui Vieta: Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse \ este egală cu al doilea coeficient \ luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este termenul liber \

Pentru claritate, să rezolvăm următoarea ecuație:

Să rezolvăm această ecuație pătratică folosind regulile scrise. Analizând datele inițiale, putem concluziona că ecuația va avea două rădăcini diferite, deoarece:

Acum, din toți factorii numărului 15 (1 și 15, 3 și 5), îi selectăm pe cei a căror diferență este egală cu 2. Numerele 3 și 5 se încadrează în această condiție. Punem semnul minus în fața celui mai mic număr. Astfel, obținem rădăcinile ecuației \

Răspuns: \[ x_1= -3 și x_2 = 5\]

Unde pot rezolva o ecuație folosind teorema lui Vieta online?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https://site. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.

Între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice, pe lângă formulele rădăcinilor, există și alte relații utile care sunt date teorema lui Vieta. În acest articol vom oferi o formulare și o demonstrație a teoremei lui Vieta pentru o ecuație pătratică. În continuare considerăm teorema inversă cu teorema lui Vieta. După aceasta, vom analiza soluțiile la cele mai tipice exemple. În cele din urmă, notăm formulele Vieta care definesc relația dintre rădăcinile reale ecuație algebrică gradul n și coeficienții săi.

Navigare în pagină.

Teorema lui Vieta, formulare, demonstrație

Din formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice a·x 2 +b·x+c=0 de forma, unde D=b 2 −4·a·c, urmează următoarele relații: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 · x 2 = c/a . Aceste rezultate sunt confirmate teorema lui Vieta:

Teorema.

Dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice a x 2 +b x+c=0, atunci suma rădăcinilor este egală cu raportul dintre coeficienții b și a, luați cu semnul opus, și produsul dintre rădăcinile este egală cu raportul dintre coeficienții c și a, adică .

Dovada.

Vom efectua demonstrația teoremei lui Vieta după următoarea schemă: vom compune suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice folosind formule de rădăcină cunoscute, apoi vom transforma expresiile rezultate și ne vom asigura că acestea sunt egale cu − b/a și, respectiv, c/a.

Să începem cu suma rădăcinilor și să o alcătuim. Acum aducem fracțiile la un numitor comun, avem . În numărătorul fracției rezultate, după care:. În cele din urmă, după 2, obținem . Aceasta dovedește prima relație a teoremei lui Vieta pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să trecem la al doilea.

Compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice: . Conform regulii înmulțirii fracțiilor, ultimul produs poate fi scris ca . Acum înmulțim o paranteză cu o paranteză în numărător, dar este mai rapid să restrângem acest produs cu formula diferenței pătrate, Deci . Apoi, amintindu-ne, efectuăm următoarea tranziție. Și întrucât discriminantul ecuației pătratice corespunde formulei D=b 2 −4·a·c, atunci în loc de D în ultima fracție putem înlocui b 2 −4·a·c, obținem. După ce deschidem parantezele și aducem termeni similari, ajungem la fracția , iar reducerea ei cu 4·a dă . Aceasta dovedește a doua relație a teoremei lui Vieta pentru produsul rădăcinilor.

Dacă omitem explicațiile, demonstrația teoremei lui Vieta va lua o formă laconică:
,
.

Rămâne doar de observat că dacă discriminantul este egal cu zero, ecuația pătratică are o rădăcină. Cu toate acestea, dacă presupunem că ecuația în acest caz are două rădăcini identice, atunci sunt valabile și egalitățile din teorema lui Vieta. Într-adevăr, când D=0 rădăcina ecuației pătratice este egală cu , atunci și , și deoarece D=0, adică b 2 −4·a·c=0, de unde b 2 =4·a·c, atunci .

În practică, teorema lui Vieta este folosită cel mai adesea în raport cu ecuația pătratică redusă (cu coeficientul de conducere a egal cu 1) de forma x 2 +p·x+q=0. Uneori se formulează doar pentru ecuații pătratice de acest tip, ceea ce nu limitează generalitatea, deoarece orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Să dăm formularea corespunzătoare a teoremei lui Vieta:

Teorema.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0 este egală cu coeficientul lui x luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber, adică x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Teorema conversie la teorema lui Vieta

A doua formulare a teoremei lui Vieta, dată în paragraful precedent, indică faptul că dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0, atunci relațiile x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Pe de altă parte, din relațiile scrise x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q rezultă că x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 +p x+q=0. Cu alte cuvinte, inversul teoremei lui Vieta este adevărat. Să o formulăm sub forma unei teoreme și să o demonstrăm.

Teorema.

Dacă numerele x 1 și x 2 sunt astfel încât x 1 +x 2 =−p și x 1 · x 2 =q, atunci x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p · x+q =0.

Dovada.

După înlocuirea coeficienților p și q din ecuația x 2 +p·x+q=0 cu expresiile lor prin x 1 și x 2, se transformă într-o ecuație echivalentă.

Să substituim numărul x 1 în loc de x în ecuația rezultată și avem egalitatea x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, care pentru orice x 1 și x 2 reprezintă egalitatea numerică corectă 0=0, deoarece x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Prin urmare, x 1 este rădăcina ecuației x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, ceea ce înseamnă că x 1 este rădăcina ecuației echivalente x 2 +p·x+q=0.

Dacă în ecuație x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0înlocuiți numărul x 2 în loc de x, obținem egalitatea x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Aceasta este o adevărată egalitate, deoarece x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Prin urmare, x 2 este, de asemenea, o rădăcină a ecuației x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, și deci ecuațiile x 2 +p·x+q=0.

Aceasta completează demonstrația teoremei inverse la teorema lui Vieta.

Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta

Este timpul să vorbim despre aplicarea practică a teoremei lui Vieta și a teoremei sale inverse. În această secțiune vom analiza soluții la câteva dintre cele mai tipice exemple.

Să începem prin a aplica teorema inversă la teorema lui Vieta. Este convenabil de utilizat pentru a verifica dacă două numere date sunt rădăcini ale unei ecuații pătratice date. În acest caz, se calculează suma și diferența lor, după care se verifică valabilitatea relațiilor. Dacă ambele dintre aceste relații sunt satisfăcute, atunci, în virtutea teoremei converse cu teorema lui Vieta, se ajunge la concluzia că aceste numere sunt rădăcinile ecuației. Dacă cel puțin una dintre relații nu este satisfăcută, atunci aceste numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice. Această abordare poate fi folosită la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru a verifica rădăcinile găsite.

Exemplu.

Care dintre perechile de numere 1) x 1 =−5, x 2 =3 sau 2) sau 3) este o pereche de rădăcini a ecuației pătratice 4 x 2 −16 x+9=0?

Soluţie.

Coeficienții ecuației pătratice date 4 x 2 −16 x+9=0 sunt a=4, b=−16, c=9. Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor unei ecuații pătratice ar trebui să fie egală cu −b/a, adică 16/4=4, iar produsul rădăcinilor să fie egal cu c/a, adică 9 /4.

Acum să calculăm suma și produsul numerelor din fiecare dintre cele trei perechi date și să le comparăm cu valorile pe care tocmai le-am obținut.

În primul caz avem x 1 +x 2 =−5+3=−2. Valoarea rezultată este diferită de 4, deci nu poate fi efectuată nicio verificare ulterioară, dar folosind teorema inversă teoremei lui Vieta, se poate concluziona imediat că prima pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale ecuației pătratice date.

Să trecem la al doilea caz. Aici, adică prima condiție este îndeplinită. Verificăm a doua condiție: valoarea rezultată este diferită de 9/4. În consecință, a doua pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale ecuației pătratice.

A mai rămas un ultim caz. Aici și. Ambele condiții sunt îndeplinite, astfel încât aceste numere x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice date.

Răspuns:

Reversul teoremei lui Vieta poate fi folosit în practică pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. De obicei, sunt selectate rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi, deoarece în alte cazuri acest lucru este destul de dificil de realizat. În acest caz, ei folosesc faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al ecuației pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice. Să înțelegem asta cu un exemplu.

Să luăm ecuația pătratică x 2 −5 x+6=0. Pentru ca numerele x 1 și x 2 să fie rădăcinile acestei ecuații, trebuie îndeplinite două egalități: x 1 + x 2 =5 și x 1 · x 2 =6. Tot ce rămâne este să selectezi astfel de numere. ÎN în acest caz, acest lucru este destul de simplu de făcut: astfel de numere sunt 2 și 3, deoarece 2+3=5 și 2·3=6. Astfel, 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Teorema inversă teoremei lui Vieta este deosebit de convenabilă de utilizat pentru a găsi a doua rădăcină a unei ecuații pătratice date atunci când una dintre rădăcini este deja cunoscută sau evidentă. În acest caz, a doua rădăcină poate fi găsită din oricare dintre relații.

De exemplu, să luăm ecuația pătratică 512 x 2 −509 x −3=0. Aici este ușor de observat că unitatea este rădăcina ecuației, deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este egală cu zero. Deci x 1 =1. A doua rădăcină x 2 poate fi găsită, de exemplu, din relația x 1 ·x 2 =c/a. Avem 1 x 2 =−3/512, din care x 2 =−3/512. Așa am determinat ambele rădăcini ale ecuației pătratice: 1 și −3/512.

Este clar că selecția rădăcinilor este recomandată doar în cele mai simple cazuri. În alte cazuri, pentru a găsi rădăcini, puteți folosi formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice printr-un discriminant.

Încă un lucru aplicare practică Teorema, invers cu teorema lui Vieta, constă în alcătuirea ecuațiilor pătratice având în vedere rădăcinile x 1 și x 2. Pentru a face acest lucru, este suficient să calculați suma rădăcinilor, care dă coeficientul lui x cu semnul opus al ecuației pătratice date, și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.

Exemplu.

Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt numerele -11 și 23.

Soluţie.

Să notăm x 1 =−11 și x 2 =23. Calculăm suma și produsul acestor numere: x 1 +x 2 =12 și x 1 ·x 2 =−253. Prin urmare, numerele indicate sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse cu un al doilea coeficient de −12 și un termen liber de −253. Adică, x 2 −12·x−253=0 este ecuația necesară.

Răspuns:

x 2 −12·x−253=0 .

Teorema lui Vieta este foarte des folosită la rezolvarea problemelor legate de semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Cum este teorema lui Vieta legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +p·x+q=0? Iată două afirmații relevante:

• Dacă termenul liber q este un număr pozitiv și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci fie ambele sunt pozitive, fie ambele negative.
• Dacă termenul liber q este un număr negativ și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci semnele acestora sunt diferite, cu alte cuvinte, o rădăcină este pozitivă și cealaltă negativă.

Aceste afirmații rezultă din formula x 1 · x 2 =q, precum și din regulile de înmulțire a numerelor pozitive, negative și a numerelor cu semne diferite. Să ne uităm la exemple de aplicare a acestora.

Exemplu.

R este pozitiv. Folosind formula discriminantă găsim D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, valoarea expresiei r 2 +8 este pozitivă pentru orice r real, deci D>0 pentru orice r real. În consecință, ecuația pătratică originală are două rădăcini pentru orice valoare reală a parametrului r.

Acum să aflăm când au rădăcinile semne diferite. Dacă semnele rădăcinilor sunt diferite, atunci produsul lor este negativ și, conform teoremei lui Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egal cu termenul liber. Prin urmare, ne interesează acele valori ale lui r pentru care termenul liber r−1 este negativ. Astfel, pentru a găsi valorile lui r care ne interesează, avem nevoie decide inegalitatea liniară r−1<0 , откуда находим r<1 .

Răspuns:

la r<1 .

formule Vieta

Mai sus am vorbit despre teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică și am analizat relațiile pe care le afirmă. Dar există formule care conectează rădăcinile și coeficienții reale nu numai a ecuațiilor pătratice, ci și a ecuațiilor cubice, a ecuațiilor de gradul al patrulea și, în general, ecuații algebrice gradul n. Sunt numiti formulele lui Vieta.

Să scriem formula Vieta pentru o ecuație algebrică de grad n a formei și vom presupune că are n rădăcini reale x 1, x 2, ..., x n (printre ele pot fi și unele care coincid):

Se pot obține formulele lui Vieta teorema despre descompunerea unui polinom în factori liniari, precum și definirea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților corespunzători acestora. Deci polinomul și expansiunea lui în factori liniari de formă sunt egale. Deschizând parantezele din ultimul produs și echivalând coeficienții corespunzători, obținem formulele lui Vieta.

În special, pentru n=2 avem formulele Vieta deja familiare pentru o ecuație pătratică.

Pentru o ecuație cubică, formulele lui Vieta au forma

Rămâne doar de observat că în partea stângă a formulelor lui Vieta se află așa-numitele elementare polinoame simetrice.

Referințe.

• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a VIII-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a X-a: manual. pentru învăţământul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editat de A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - M.: Educație, 2010.- 368 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-022771-1.