Adică, există o mare probabilitate ca. Tipuri de evenimente, calcul direct al probabilității de apariție a unui eveniment

apoi spun că variabila aleatoare ξ are funcția de densitate de probabilitate f(x).

Definiţie. Lasă . Pentru o funcție de distribuție continuă F α-quantila teoretică se numește soluție a ecuației.

Această soluție poate să nu fie singura.

Nivel cuantilă ½ numite teoretice median , niveluri cuantile ¼ Şi ¾ -quartile inferioare și superioare respectiv.

În aplicațiile actuariale joacă un rol important Inegalitatea lui Cebyshev:

la orice

Simbol al așteptărilor matematice.

Se citește astfel: probabilitatea ca modulul să fie mai mare sau egal cu așteptarea matematică a modulului împărțit la .

Durata de viață ca variabilă aleatorie

Incertitudinea momentului decesului este un factor de risc major în asigurarea de viață.

Nimic cert nu se poate spune despre momentul morții unui individ. Cu toate acestea, dacă avem de-a face cu un grup mare omogen de oameni și nu suntem interesați de soarta persoanelor din acest grup, atunci ne aflăm în cadrul teoriei probabilităților ca știință a fenomenelor aleatorii de masă care au proprietatea stabilității frecvenței. .

Respectiv, putem vorbi despre speranța de viață ca o variabilă aleatoare T.

Funcția de supraviețuire

Teoria probabilității descrie natura stocastică a oricărei variabile aleatoare T functie de distributie F(x), care este definită ca probabilitatea ca variabila aleatoare T mai mic decât numărul x:

.

În matematica actuarială este frumos să lucrezi nu cu funcția de distribuție, ci cu funcția de distribuție suplimentară . În ceea ce privește longevitatea, aceasta este probabilitatea ca o persoană să trăiască până la îmbătrânire x ani.

numit funcția de supraviețuire(funcția de supraviețuire):

Funcția de supraviețuire are următoarele proprietăți:

Tabelele de viață presupun de obicei că există unele limita de varsta (limitând vârsta) (de obicei ani) și, în consecință, la x>.

Când se descrie mortalitatea prin legi analitice, de obicei se presupune că durata de viață este nelimitată, dar tipul și parametrii legilor sunt selectați astfel încât probabilitatea de viață dincolo de o anumită vârstă să fie neglijabilă.

Funcția de supraviețuire are semnificație statistică simplă.

Să spunem că observăm un grup de nou-născuți (de obicei), pe care îi observăm și îi putem înregistra momentele morții lor.

Să notăm numărul de reprezentanți vii ai acestui grup la vârstă cu . Apoi:

.

Simbol E aici și mai jos este folosit pentru a desemna așteptări matematice.

Deci, funcția de supraviețuire este egală cu proporția medie a celor care supraviețuiesc până la vârsta dintr-un grup fix de nou-născuți.

În matematica actuarială, se lucrează adesea nu cu funcția de supraviețuire, ci cu valoarea tocmai introdusă (fixarea dimensiunii inițiale a grupului).

Funcția de supraviețuire poate fi reconstruită din densitate:

Caracteristicile duratei de viață

Din punct de vedere practic, sunt importante următoarele caracteristici:

1 . Medie durata de viață

,
2 . Dispersia durata de viață

,
Unde
,

Scurtă teorie

Pentru a compara cantitativ evenimentele în funcție de gradul de posibilitate al apariției lor, se introduce o măsură numerică, care se numește probabilitatea unui eveniment. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr care exprimă măsura posibilității obiective a producerii unui eveniment.

Mărimile care determină cât de semnificative sunt motivele obiective de a aștepta apariția unui eveniment sunt caracterizate de probabilitatea evenimentului. Trebuie subliniat faptul că probabilitatea este o mărime obiectivă care există independent de cunoscător și este condiționată de întregul set de condiții care contribuie la apariția unui eveniment.

Explicațiile pe care le-am dat pentru conceptul de probabilitate nu sunt o definiție matematică, deoarece nu cuantifică conceptul. Există mai multe definiții ale probabilității unui eveniment aleatoriu, care sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea unor probleme specifice (definiție clasică, geometrică a probabilității, statistică etc.).

Definiția clasică a probabilității evenimentului reduce acest concept la conceptul mai elementar de evenimente la fel de posibile, care nu mai este supus definiției și se presupune că este intuitiv clar. De exemplu, dacă un zar este un cub omogen, atunci pierderea oricăreia dintre fețele acestui cub va fi evenimente la fel de posibile.

Să fie împărțit un eveniment de încredere în cazuri la fel de posibile, a căror sumă dă evenimentul. Adică, cazurile în care se descompune sunt numite favorabile evenimentului, întrucât apariția unuia dintre ele asigură producerea.

Probabilitatea unui eveniment va fi indicată prin simbol.

Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul de cazuri favorabile acestuia, din numărul total de cazuri unic posibile, la fel de posibile și incompatibile, la numărul, i.e.

Aceasta este definiția clasică a probabilității. Astfel, pentru a afla probabilitatea unui eveniment, este necesar, luând în considerare diferitele rezultate ale testului, să găsim un set de cazuri unic posibile, la fel de posibile și incompatibile, să calculăm numărul lor total n, numărul de cazuri m favorabil pt. un anumit eveniment și apoi efectuați calculul folosind formula de mai sus.

Probabilitatea unui eveniment egală cu raportul dintre numărul de rezultate experimentale favorabile evenimentului și numărul total de rezultate experimentale se numește probabilitate clasică eveniment aleatoriu.

Următoarele proprietăți ale probabilității decurg din definiție:

Proprietatea 1. Probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu.

Proprietatea 2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.

Proprietatea 3. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr pozitiv între zero și unu.

Proprietatea 4. Probabilitatea de apariție a evenimentelor care formează un grup complet este egală cu unu.

Proprietatea 5. Probabilitatea apariției evenimentului opus este determinată în același mod ca și probabilitatea apariției evenimentului A.

Numărul de cazuri care favorizează apariția unui eveniment opus. Prin urmare, probabilitatea de apariție a evenimentului opus este egală cu diferența dintre unitate și probabilitatea de apariție a evenimentului A:

Un avantaj important al definiției clasice a probabilității unui eveniment este că, cu ajutorul ei, probabilitatea unui eveniment poate fi determinată fără a recurge la experiență, ci pe baza raționamentului logic.

Când sunt îndeplinite un set de condiții, se va întâmpla cu siguranță un eveniment de încredere, dar cu siguranță nu se va întâmpla un eveniment imposibil. Printre evenimentele care pot să apară sau nu atunci când se creează un set de condiții, apariția unora poate fi contată cu un motiv întemeiat, iar apariția altora cu mai puțin motiv. Dacă, de exemplu, într-o urnă există mai multe bile albe decât bile negre, atunci există mai multe motive să sperăm la apariția unei bile albe atunci când sunt extrase la întâmplare din urnă decât la apariția unei bile negre.

Pagina următoare discută.

Exemplu de rezolvare a problemei

Exemplul 1

O cutie conține 8 bile albe, 4 negre și 7 roșii. Se extrag la întâmplare 3 bile. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente: – se extrage cel puțin 1 bilă roșie, – există cel puțin 2 bile de aceeași culoare, – există cel puțin 1 bilă roșie și 1 albă.

Rezolvarea problemei

Găsim numărul total de rezultate ale testului ca număr de combinații de 19 (8+4+7) elemente de 3:

Să aflăm probabilitatea evenimentului– se extrage cel puțin 1 bile roșie (1, 2 sau 3 bile roșii)

Probabilitate necesară:

Lasă evenimentul– sunt cel puțin 2 bile de aceeași culoare (2 sau 3 bile albe, 2 sau 3 bile negre și 2 sau 3 bile roșii)

Numărul de rezultate favorabile evenimentului:

Probabilitate necesară:

Lasă evenimentul– există cel puțin o bilă roșie și 1 albă

(1 roșu, 1 alb, 1 negru sau 1 roșu, 2 alb sau 2 roșii, 1 alb)

Numărul de rezultate favorabile evenimentului:

Probabilitate necesară:

Răspuns: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Exemplul 2

Se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea ca suma punctelor să fie de cel puțin 5.

Soluţie

Fie evenimentul să aibă un scor de cel puțin 5

Să folosim definiția clasică a probabilității:

Numărul total de rezultate posibile ale testului

Numărul de încercări care favorizează evenimentul de interes

Pe partea aruncată a primului zar, pot apărea un punct, două puncte..., șase puncte. în mod similar, șase rezultate sunt posibile la aruncarea celui de-al doilea zar. Fiecare dintre rezultatele aruncării primului zar poate fi combinat cu fiecare dintre rezultatele celui de-al doilea. Astfel, numărul total de rezultate posibile ale testului elementar este egal cu numărul de plasări cu repetări (alegere cu plasări a 2 elemente dintr-un set de volum 6):

Să găsim probabilitatea evenimentului opus - suma punctelor este mai mică de 5

Următoarele combinații de puncte pierdute vor favoriza evenimentul:

Pretul este foarte influentat de urgenta deciziei (de la o zi la cateva ore). Asistența online cu examene/teste este disponibilă pe bază de programare.

Puteți lăsa o solicitare direct în chat, după ce ați trimis în prealabil condițiile sarcinii și v-a informat cu privire la intervalul de timp pentru soluția de care aveți nevoie. Timpul de răspuns este de câteva minute.

Atunci când evaluăm probabilitatea apariției oricărui eveniment aleatoriu, este foarte important să înțelegem bine dacă probabilitatea (probabilitatea unui eveniment) de apariție a evenimentului care ne interesează depinde de modul în care se dezvoltă alte evenimente. În cazul schemei clasice, când toate rezultatele sunt la fel de probabile, putem deja estima independent valorile probabilității evenimentului individual care ne interesează. Putem face acest lucru chiar dacă evenimentul este o colecție complexă de mai multe rezultate elementare. Ce se întâmplă dacă mai multe evenimente întâmplătoare apar simultan sau secvenţial? Cum afectează acest lucru probabilitatea ca evenimentul care ne interesează să se întâmple? Dacă arunc un zar de mai multe ori și vreau să apară un șase și tot am ghinion, înseamnă asta că ar trebui să-mi măresc pariul pentru că, conform teoriei probabilităților, sunt pe cale să am noroc? Din păcate, teoria probabilității nu afirmă așa ceva. Nici zarurile, nici cărțile, nici monedele nu își pot aminti ce ne-au arătat ultima dată. Pentru ei nu contează deloc dacă este prima sau a zecea oară când îmi testez norocul astăzi. De fiecare dată când repet rulada, știu un singur lucru: și de data aceasta probabilitatea de a obține un șase este din nou de o șesime. Desigur, asta nu înseamnă că numărul de care am nevoie nu va apărea niciodată. Asta înseamnă doar că pierderea mea după prima aruncare și după orice altă aruncare sunt evenimente independente. Evenimentele A și B sunt numite independente dacă apariția unuia dintre ele nu afectează în niciun fel probabilitatea celuilalt eveniment. De exemplu, probabilitățile de a lovi o țintă cu prima dintre cele două arme nu depind de dacă ținta a fost lovită de cealaltă armă, astfel încât evenimentele „prima armă a lovit ținta” și „a doua armă a lovit ținta” sunt independent. Dacă două evenimente A și B sunt independente și probabilitatea fiecăruia dintre ele este cunoscută, atunci probabilitatea apariției simultane atât a evenimentului A, cât și a evenimentului B (notat AB) poate fi calculată folosind următoarea teoremă.

Teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente independente

P(AB) = P(A)*P(B) probabilitatea apariției simultane a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente.

Exemplul 1. Probabilitățile de lovire a țintei la tragerea cu primul și respectiv al doilea tun sunt egale: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Găsiți probabilitatea unei lovituri cu o salvă de ambele arme simultan.

după cum am văzut deja, evenimentele A (loviți de prima armă) și B (loviți de a doua armă) sunt independente, adică. P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0,56.

Ce se întâmplă cu estimările noastre dacă evenimentele inițiale nu sunt independente? Să schimbăm puțin exemplul anterior. Exemplul 2.

Doi trăgători trag în ținte la o competiție, iar dacă unul dintre ei trage cu precizie, adversarul începe să devină nervos și rezultatele sale se înrăutățesc. Cum să transformi această situație de zi cu zi într-o problemă matematică și să schițezi modalități de a o rezolva? Este intuitiv clar că este necesar să se separe cumva cele două opțiuni pentru desfășurarea evenimentelor, pentru a crea în esență două scenarii, două sarcini diferite. În primul caz, dacă adversarul a ratat, scenariul va fi favorabil sportivului nervos și precizia acestuia va fi mai mare. În al doilea caz, dacă adversarul și-a luat șansa decent, probabilitatea de a lovi ținta pentru al doilea sportiv scade.

Pentru a separa posibilele scenarii (numite adesea ipoteze) pentru desfășurarea evenimentelor, vom folosi adesea o diagramă „arborele probabilității”. Această diagramă este similară ca semnificație cu arborele de decizie cu care probabil v-ați ocupat deja. Fiecare ramură reprezintă un scenariu separat pentru desfășurarea evenimentelor, doar că acum are propria sa valoare a așa-numitei probabilități condiționate (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). Sa presupunem ca trebuie sa estimam intr-un oras cu o populatie de o suta de mii de locuitori volumul pietei pentru un produs nou care nu este un articol esential, de exemplu, pentru un balsam pentru ingrijirea parului vopsit. Să luăm în considerare diagrama „arborele probabilității”. În acest caz, trebuie să estimăm aproximativ valoarea probabilității pe fiecare „ramură”. Deci, estimările noastre privind capacitatea pieței:

1) din toți locuitorii orașului, 50% sunt femei,

2) dintre toate femeile, doar 30% își vopsesc părul des,

3) dintre ei, doar 10% folosesc balsamuri pentru părul vopsit,

4) dintre ei, doar 10% își pot face curajul să încerce un produs nou,

5) 70% dintre ei cumpără de obicei totul nu de la noi, ci de la concurenții noștri.

Conform legii înmulțirii probabilităților, determinăm probabilitatea evenimentului care ne interesează A = (un locuitor al orașului cumpără acest nou balsam de la noi) = 0,00045. Să înmulțim această valoare a probabilității cu numărul de locuitori ai orașului. Drept urmare, avem doar 45 de clienți potențiali, iar având în vedere că o sticlă din acest produs durează câteva luni, comerțul nu este foarte animat. Și totuși există un anumit beneficiu din evaluările noastre. În primul rând, putem compara previziunile diferitelor idei de afaceri, acestea vor avea diferite „furci” în diagrame și, desigur, valorile probabilității vor fi, de asemenea, diferite. În al doilea rând, așa cum am spus deja, o variabilă aleatoare nu se numește aleatoare deoarece nu depinde deloc de nimic. Semnificația sa exactă pur și simplu nu este cunoscută dinainte. Știm că numărul mediu de cumpărători poate fi crescut (de exemplu, prin promovarea unui produs nou). Așadar, este logic să ne concentrăm eforturile asupra acelor „furci” în care distribuția probabilității nu ni se potrivește în mod special, asupra acelor factori pe care suntem capabili să-i influențăm. Să ne uităm la un alt exemplu cantitativ de cercetare a comportamentului consumatorilor.

Pentru a separa posibilele scenarii (numite adesea ipoteze) pentru desfășurarea evenimentelor, vom folosi adesea o diagramă „arborele probabilității”. Această diagramă este similară ca semnificație cu arborele de decizie cu care probabil v-ați ocupat deja. Fiecare ramură reprezintă un scenariu separat pentru desfășurarea evenimentelor, doar că acum are propria sa valoare a așa-numitei probabilități condiționate (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).În medie, 10.000 de oameni vizitează piața alimentară pe zi. Probabilitatea ca un vizitator al pieței să intre în pavilionul de produse lactate este de 1/2. Se știe că acest pavilion vinde în medie 500 kg de diverse produse pe zi. Putem spune că achiziția medie în pavilion cântărește doar 100 g?

Discuţie.

Desigur că nu. Este clar că nu toți cei care au intrat în pavilion au ajuns să cumpere ceva de acolo.

După cum se arată în diagramă, pentru a răspunde la întrebarea despre greutatea medie a unei achiziții, trebuie să găsim un răspuns la întrebarea care este probabilitatea ca o persoană care intră în pavilion să cumpere ceva acolo. Dacă nu avem astfel de date la dispoziție, dar avem nevoie de ele, va trebui să le obținem noi înșine observând vizitatorii pavilionului o perioadă de timp. Să presupunem că observațiile noastre au arătat că doar o cincime dintre vizitatorii pavilionului cumpără ceva.

Odată ce am obținut aceste estimări, sarcina devine simplă. Din 10.000 de persoane care vin în piață, 5.000 vor merge la pavilionul de produse lactate vor fi doar 1.000 de achiziții. Greutatea medie a unei achiziții este de 500 de grame. Este interesant de observat că, pentru a construi o imagine completă a ceea ce se întâmplă, logica „ramificării” condiționate trebuie definită în fiecare etapă a raționamentului nostru la fel de clar ca și cum am lucra cu o situație „specifică”, și nu cu probabilităţi.

Sarcini de autotestare.

1. Să existe un circuit electric format din n elemente conectate în serie, fiecare dintre ele funcționând independent de celelalte. Este cunoscută probabilitatea p de defectare a fiecărui element. Determinați probabilitatea de funcționare corectă a întregii secțiuni a circuitului (eveniment A).

2. Elevul cunoaște 20 din 25 de întrebări de examen. Găsiți probabilitatea ca elevul să cunoască cele trei întrebări care i-au fost adresate de examinator.

3. Producția constă din patru etape succesive, la fiecare din care funcționează echipamente, pentru care probabilitățile de defecțiune în luna următoare sunt egale cu p 1, p 2, p 3 și, respectiv, p 4. Găsiți probabilitatea ca într-o lună să nu existe întreruperi de producție din cauza defecțiunii echipamentelor.

În general, sunt foarte slab în astfel de probleme, așa că am încercat să găsesc răspunsul pe Internet, dar s-a dovedit că au fost raportate răspunsuri diferite în locuri diferite. Să încercăm să ne dăm seama care dintre ele este corectă. Iată problema reală:

Această întrebare neobișnuită a fost inventată de matematicianul Raymond Johnson:

Dacă alegeți un răspuns la întâmplare, care este probabilitatea ca acesta să fie corect?
a) 25%
b) 50%
c) 60%

d) 25%

Iată explicațiile și opțiunile de răspuns disponibile pe Internet:

Opțiune de răspuns - 0%
Răspunsul corect este 0%, adică nu este oferit printre rezultate.
În plus, deoarece a) și d) sunt aceleași, ambele sunt fie adevărate, fie ambele false.
Deci, avem 4 opțiuni de răspuns care se exclud reciproc:
1: a), b) și d) sunt răspunsurile corecte.
2: a) și d) sunt răspunsurile corecte.
3: b) este răspunsul corect.
4: Nu există un răspuns corect.
Prima opțiune este imposibilă, deoarece probabilitatea nu poate fi atât de 25%, cât și de 50% în același timp.
A doua opțiune este imposibilă deoarece dacă 2 răspunsuri sunt corecte, atunci probabilitatea de selecție ar trebui să fie de 50%, nu de 25%.
La fel și cu a treia opțiune: dacă doar 1 opțiune este corectă, atunci probabilitatea de a o alege este de 25%, nu de 50% (așa cum se menționează în răspunsul b)).
Deci, rămâne varianta 4: nu există un răspuns corect. Prin urmare, probabilitatea de a alege răspunsul corect este de 0%.

Opțiune de răspuns 37,5%:

Există 3 cazuri posibile când ghiciți răspunsul. 1 - a ales 25% și a ghicit bine. 2 - a ales 50% și a ghicit bine. 3 - a ales 60% și a ghicit bine.
1) Șansa de a alege 25% = 1/2. În același timp, șansa de a ghici aceste 25% este de asemenea de 1/2.
Probabilitatea finală a cazului este 1/2 * 1/2 = 1/4.
2) Șansa de a alege 50% = 1/4. În același timp, șansa de a ghici aceste 50% este de asemenea de 1/4.

3) Șansa de a alege 60% = 1/4. În același timp, șansa de a ghici aceste 60% este de asemenea de 1/4.
Probabilitatea finală a cazului este 1/4 * 1/4 = 1/16.
Însumăm probabilitățile finale pentru toate cele 3 cazuri, obținem 3/8, sau 37,5%.

Opțiune de răspuns - 50%

Se va dovedi a fi unu și doi
1) În primul rând, determinăm care este probabilitatea fiecărui răspuns. Totul este simplu aici - logic, probabilitatea ca vom alege una dintre cele patru variante de răspuns va fi 1/4, adică 0,25
2) Acum să calculăm probabilitatea de a atinge opțiunile de răspuns cu numărul 25%. Dacă luăm în considerare faptul că evenimentele nu sunt compatibile, adică apariția unuia exclude apariția celuilalt, atunci putem folosi suma probabilităților (probabilitatea ca să răspundem la 1 sau 4, deoarece acestea conțin cele 25 % avem nevoie), adică 25% + 25% = 50% procente.
Ca urmare, răspunsul corect este b)

Răspuns posibil: recursivitate

Vă explic: din 4 opțiuni, 1 este la întâmplare, adică 25%, dar există 2 astfel de opțiuni, deci înmulțim cu 2, deci devine 50%, dar această opțiune este 1, deci împărțim la 2 și obținem 25%, dar există 2 astfel de opțiuni, deci înmulțim cu 2, a devenit 50%, dar această opțiune este 1, deci împărțim la 2 și obținem 25%, dar există 2 astfel de opțiuni, așa că înmulțim cu 2, devine 50%, dar această opțiune este 1, deci împărțim la 2 și obținem 25%, dar astfel Există 2 opțiuni, deci înmulțim cu 2, devine 50%, dar această opțiune este 1, deci avem împărțim cu 2 și obținem 25%, dar există 2 astfel de opțiuni, deci înmulțim cu 2, devine 50%, dar această opțiune este 1, deci împărțim la 2 și obținem 25%, dar există 2 astfel de opțiuni , deci înmulțim cu 2, devine 50%, dar această opțiune este 1, deci împărțim la 2 și obținem 25%...