Adunarea și înmulțirea probabilităților: exemple de soluții și teorie. Concepte de sumă și produs al evenimentelor Probabilitatea produsului a două evenimente comune este egală cu
\(\blacktriangleright\) Dacă pentru a executa evenimentul \(C\) este necesar să executați atât evenimentele comune (care pot apărea simultan) \(A\) cât și \(B\) (\(C=\(A\) ) și \( B\)\) ), atunci probabilitatea evenimentului \(C\) este egală cu produsul probabilităților evenimentelor \(A\) și \(B\) .
Rețineți că, dacă evenimentele sunt incompatibile, atunci probabilitatea apariției lor simultane este egală cu \(0\) .
\(\blacktriangleright\) Fiecare eveniment poate fi reprezentat printr-un cerc. Atunci, dacă evenimentele sunt comune, atunci cercurile trebuie să se intersecteze. Probabilitatea unui eveniment \(C\) este probabilitatea de a intra în ambele cercuri în același timp.
\(\blacktriangleright\) De exemplu, când aruncați un zar, găsiți probabilitatea \(C=\) (numărul \(6\)).
Evenimentul \(C\) poate fi formulat ca \(A=\) (scăderea unui număr par) și \(B=\) (scăderea unui număr divizibil cu trei).
Apoi \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\).
Sarcina 1 #3092
Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat
Magazinul vinde adidași de la două mărci: Dike și Ananas. Probabilitatea ca o pereche de adidași aleasă aleatoriu să fie de la Dike este \(0,6\) . Fiecare companie poate face o greșeală scriind numele pe pantofi sport. Probabilitatea ca Dike să-și scrie greșit numele este \(0,05\) ; probabilitatea ca că compania Ananas a scris greșit numele este egal cu \(0,025\) . Găsiți probabilitatea ca o pereche de adidași cumpărată la întâmplare să aibă ortografia corectă a numelui companiei.
Evenimentul A: „o pereche de adidași va fi cu numele corect” este egal cu suma evenimentelor B: „o pereche de adidași va fi de la Dike și cu numele corect” și C: „o pereche de adidași va fi de la Ananas și cu numele corect.”
Probabilitatea evenimentului B este egală cu produsul probabilităților evenimentelor „adidașii vor fi de la Dike” și „numele companiei Dike a fost scris corect”: \ La fel pentru evenimentul C: \
Prin urmare, \
Răspuns: 0,96
Sarcina 2 #166
Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat
Dacă Timur joacă cu dame albe, atunci câștigă împotriva lui Vanya cu probabilitatea de 0,72. Dacă Timur joacă cu dame negre, atunci câștigă împotriva lui Vanya cu probabilitatea de 0,63. Timur și Vanya joacă două jocuri, iar în al doilea joc schimbă culoarea damelor. Găsiți probabilitatea ca Vanya să câștige de ambele ori.
Vanya câștigă cu alb cu probabilitate \(0,37\) și cu negru cu probabilitate \(0,28\) . Evenimentele „Vanya a câștigat din două jocuri cu alb”\(\ \) și „Vanya a câștigat din două jocuri cu negru”\(\ \) sunt independente, atunci probabilitatea apariției lor simultane este \
Răspuns: 0,1036
Sarcina 3 #172
Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat
Intrarea în muzeu este păzită de doi paznici. Probabilitatea ca cel mai mare dintre ei să uite walkie-talkie este \(0,2\) , iar probabilitatea ca cel mai tânăr dintre ei să uite walkie-talkie este \(0,1\) . Care este probabilitatea ca ei să nu aibă un singur radio?
Deoarece evenimentele luate în considerare sunt independente, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor. Atunci probabilitatea necesară este egală cu \
Răspuns: 0,02
Sarcina 4 #167
Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat
Sarind de la o înălțime de 1 metru, Kostya își rupe piciorul cu probabilitate \(0,05\) . Sărind de la o înălțime de 1 metru, Vanya își rupe piciorul cu probabilitate \(0,01\) . Sărind de la o înălțime de 1 metru, Anton își rupe piciorul cu probabilitate \(0,01\) . Kostya, Vanya și Anton sar simultan de la o înălțime de 1 metru. Care este probabilitatea ca doar Kostya să-și rupă piciorul? Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată mie.
Evenimente „când a sărit de la o înălțime de 1 metru, Kostya și-a rupt piciorul”\(,\ \) „când a sărit de la o înălțime de 1 metru, Vanya nu și-a rupt piciorul”\(\ \) și „când a sărit de la o înălțime de 1 metru” înălțimea de 1 metru, Anton nu și-a rupt piciorul”\( \ \) sunt independente, prin urmare, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor: \ După rotunjire obținem în sfârșit \(0,049\) .
Răspuns: 0,049
Sarcina 5 #170
Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat
Maxim și Vanya au decis să joace bowling. Maxim a estimat pe bună dreptate că, în medie, primește o lovitură o dată la opt aruncări. Vanya a estimat pe bună dreptate că, în medie, primește o lovitură o dată la cinci aruncări. Maxim și Vanya fac exact câte o aruncare fiecare (indiferent de rezultat). Care este probabilitatea ca printre ei să nu existe greve?
Deoarece evenimentele luate în considerare sunt independente, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor. În acest caz, probabilitatea ca Maxim să nu primească o lovitură este egală cu \ Probabilitatea ca Vanya să nu primească o lovitură este \(1 - 0,2 = 0,8\) . Atunci probabilitatea necesară este egală cu \[\dfrac(7)(8)\cdot 0,8 = 0,7.\]
Răspuns: 0,7
Sarcina 6 #1646
Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat
Anton și Kostya joacă tenis de masă. Probabilitatea ca Kostya să lovească masa cu lovitura de semnătură este \(0,9\) . Probabilitatea ca Anton să câștige mitingul în care Kostya a încercat să dea o lovitură de semnătură este \(0,3\) . Kostya a încercat să lovească masa cu lovitura lui semnătură. Care este probabilitatea ca Kostya să lovească cu adevărat cu lovitura lui semnătură și, în cele din urmă, să câștige acest raliu?
Deoarece evenimentele luate în considerare sunt independente, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor. Mai mult, probabilitatea ca Anton să nu câștige mitingul în care Kostya a încercat să-și dea lovitura de semnătură este egală cu \(1 - 0,3 = 0,7\) . Atunci probabilitatea necesară este egală cu \
Teorema de înmulțire a probabilităților a două evenimente arbitrare: probabilitatea produsului a două evenimente arbitrare este egală cu produsul probabilității unuia dintre evenimente cu probabilitatea condiționată a celuilalt eveniment, cu condiția ca primul să fi avut deja loc:
P(AB)=P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B). (10)
Demonstrație (nu strictă): demonstrăm teorema înmulțirii pentru schema șanselor (ipoteze equiprobabile). Fie ca rezultatele posibile ale experimentului să fie n șanse. Să presupunem că evenimentul A are m șanse (umbrite în Fig. 11); evenimentul B - k șanse; simultan evenimentele A și B (AB) - l șanse (în Fig. 11 sunt ușor umbrite).
Figura 11
Este evident că m+k-l=n. După metoda clasică de calcul a probabilităţilor P(AB)=l/n; P(A)=m/n; P(B)=k/n. Și probabilitatea este P(B|A)=l/m, deoarece se știe că una dintre cele m șanse de eveniment A a avut loc, iar evenimentul B are l șanse similare. Inlocuind aceste expresii in Teorema (10), obtinem identitatea l/n=(m/n)(l/m). Teorema a fost demonstrată.
Teorema de înmulțire a probabilităților a trei evenimente arbitrare:
P(ABC)=|AB=D|=P(DC)=P(D)P(C|D)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P( C|AB).(11)
Prin analogie, putem scrie teoreme pentru înmulțirea probabilităților pentru un număr mai mare de evenimente.
Corolarul 1. Dacă evenimentul A nu depinde de B, atunci evenimentul B nu depinde de A.
Dovada. Deoarece evenimentul A nu depinde de B, atunci prin definiția independenței evenimentelor P(A)=P(A|B)=P(A|). Trebuie să demonstrăm că P(B)=P(B|A).
Prin teorema înmulțirii, P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B), prin urmare, P(A)P(B|A)=P(B)P (A). Presupunând că P(A)>0, împărțim ambele părți ale egalității la P(A) și obținem: P(B)=P(B|A).
Din Corolarul 1 rezultă că două evenimente sunt independente dacă apariția unuia dintre ele nu modifică probabilitatea de apariție a celuilalt. În practică, evenimentele dependente sunt evenimente (fenomene) care sunt interconectate printr-o relație cauză-efect.
Corolarul 2. Probabilitatea produsului a doi evenimente independente este egal cu produsul probabilităților acestor evenimente. Aceste. dacă evenimentele A și B sunt independente, atunci
P(AB)=P(A)P(B). (11)
Dovada este evidentă, deoarece pentru evenimente independente P(B|A)=P(B).
Identitatea (11) împreună cu expresiile (12) și (13) sunt condiții necesare și suficiente pentru independența a două evenimente aleatoare A și B.
P(A)=P(A|B); P(A)=P(A|); P(A|B)=P(A|); (12)
P(B)=P(B|A); P(B)=P(B|); P(B|A)=P(B|). (13)
Fiabilitatea unui anumit sistem este mărită prin redundanță dublă (vezi Fig. 12). Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a primului subsistem (într-un anumit timp de funcționare) este de 0,9, al doilea - 0,8. Determinați probabilitatea de defecțiune a sistemului în ansamblu într-un anumit timp de funcționare dacă defecțiunile subsistemelor sunt independente.
Figura 12 - Sistem dublu redundant
E: studiul fiabilității unui sistem de control dublu redundant;
A 1 =(funcționarea fără defecțiuni (pentru o anumită perioadă de funcționare) a primului subsistem); P(A1)=0,9;
A 2 = (funcționarea fără defecțiuni a celui de-al doilea subsistem); P(A2)=0,8;
A=(funcționarea fără defecțiuni a sistemului în ansamblu); P(A)=?
Soluţie. Să exprimăm evenimentul A prin evenimentele A 1 și A 2 ale căror probabilități sunt cunoscute. Deoarece pentru ca sistemul să funcționeze fără defecțiuni este suficientă funcționarea fără defecțiuni a cel puțin unuia dintre subsistemele sale, atunci evident A=A 1 A 2.
Aplicând teorema de adunare a probabilității obținem: P(A)=P(A 1 A 2)=P(A 1)+P(A 2)-P(A 1 A 2). Determinăm probabilitatea producerii în comun a evenimentelor A 1 și A 2 folosind teorema înmulțirii probabilităților: P(A 1 A 2)=P(A 1)P(A 2 |A 1). Considerând că (prin condiție) evenimentele A 1 și A 2 sunt independente, P(A 1 A 2)=P(A 1)P(A 2). Astfel, probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului este egală cu P(A)=P(A 1 A 2)=P(A 1)+P(A 2)-P(A 1)P(A 2) =0,9+0, 8-0,90,8=0,98.
Răspuns: probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului într-un anumit timp de funcționare este de 0,98.
Comentariu. În exemplul 20, este posibilă o altă modalitate de a determina evenimentul A prin evenimentele A 1 și A 2: , i.e. Defecțiunea sistemului este posibilă atunci când ambele subsisteme eșuează simultan. Aplicând teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor independente, obținem următoarea valoare a probabilității de defecțiune a sistemului: . În consecință, probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului într-un timp de funcționare dat este egală.
Exemplul 21 (paradoxul independenței)
E: două monede sunt aruncate.
A=(stema de pe prima monedă), P(A)=0,5;
B=(stema de pe a doua monedă), P(B)=0,5;
C=(steama apare doar pe una dintre monede), P(C)=0,5.
Evenimentele A, B și C sunt independente perechi, deoarece sunt îndeplinite condițiile de independență a două evenimente (11)-(13):
P(A)=P(A|B)=0,5; P(B)=P(B|C)=0,5; P(C)=P(C|A)=0,5.
Cu toate acestea, P(A|BC)=0P(A); P(A|C)=1P(A); P(B|AC)=0P(B); P(C|AB)=0P(C).
Comentariu. Independența perechi a evenimentelor aleatoare nu înseamnă independența lor în agregat.
Se spune că evenimentele aleatoare sunt colectiv independente dacă probabilitatea apariției fiecăruia dintre ele nu se modifică odată cu apariția oricărei combinații de alte evenimente. Pentru evenimentele aleatoare A 1, A 2, … A n, independente în agregat, este valabilă următoarea teoremă de multiplicare a probabilității (o condiție necesară și suficientă pentru independență în agregatul a n evenimente aleatoare):
P(A 1 A 2…A n)=P(A 1)P(A 2)…P(A n). (14)
De exemplu 21, condiția (14) nu este îndeplinită: P(ABC)=0P(A)P(B)P(C)=0,50,50,5=0,125. Prin urmare, evenimentele independente pe perechi A, B și C sunt dependente colectiv.
Exemplul 22
Cutia conține 12 tranzistori, dintre care trei sunt defecte. Pentru a asambla un amplificator în două trepte, doi tranzistori sunt îndepărtați aleatoriu. Cât de probabil este amplificatorul asamblat să se defecteze?
E: selectarea a două tranzistoare dintr-o cutie cu 9 tranzistoare bune și 3 rele;
A=(defecțiunea amplificatorului asamblat); P(A)=?
Soluţie. Evident, amplificatorul în două trepte asamblat va fi defect dacă cel puțin unul dintre cei doi tranzistori selectați pentru asamblare este defect. Prin urmare, redefinim evenimentul A după cum urmează:
A=(cel puțin unul dintre cei doi tranzistori selectați este defect);
Să definim următoarele evenimente aleatoare auxiliare:
A 01 = (doar primul dintre cele două tranzistoare selectate este defect);
A 10 =(doar al doilea dintre cele două tranzistoare selectate este defect);
A 00 = (ambele tranzistoare selectate sunt defecte);
Evident, A = A 01 A 10 A 00 (pentru ca evenimentul A să apară, trebuie să se producă cel puțin unul dintre evenimentele A 01 sau A 10 sau A 00), iar evenimentele A 01, A 10 și A 00 sunt incompatibile (ele nu se poate întâmpla împreună), prin urmare vom găsi probabilitatea unui eveniment folosind teorema de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile:
P(A)=P(A01A10A00)=P(A01)+P(A10)+P(A00).
Pentru a determina probabilitățile evenimentelor A 01, A 10 și A 00, introducem evenimente auxiliare:
B 1 =(primul tranzistor selectat este defect);
B 2 = (al doilea tranzistor selectat este defect).
Este evident că A 01 =B 1; A10 =B2; A00 =B1B2; prin urmare, pentru a determina probabilitățile evenimentelor A 01, A 10 și A 00, aplicăm teorema înmulțirii probabilităților.
P(A01)=P(B1)=P(B1)P(|B1),
unde P(B 1) este probabilitatea ca primul tranzistor selectat să fie defect; P(|B 1) este probabilitatea ca al doilea tranzistor selectat să fie operațional, cu condiția ca primul tranzistor selectat să fie defect. Aplicarea mod clasic calcularea probabilităților, P(B 1) = 3/12 și P(|B 1) = 9/11 (deoarece după selectarea primului tranzistor defect, în cutie au mai rămas 11 tranzistori, dintre care 9 buni).
Astfel, P(A01)=P(B1)=P(B1)P(|B1)=3/129/11=0,20(45). Prin analogie:
P(A10)=P(B2)=P()P(B2 |)=9/123/11=0,20(45);
P(A00)=P(B1B2)=P(B1)P(B2 |B1)=3/122/11=0,041(6).
Să substituim valorile obținute ale probabilităților A 01, A 10 și A 00 în expresia pentru probabilitatea evenimentului A:
P(A)=P(A 01 A 10 A 00)=P(A 01)+P(A 10)+P(A 00)=3/129/11+9/123/11+3/122/11 =0,45(45).
Răspuns: Probabilitatea ca amplificatorul asamblat să fie defect este de 0,4545.
Lasă OŞi ÎN sunt cele două evenimente luate în considerare în acest test. În acest caz, apariția unuia dintre evenimente poate influența posibilitatea apariției altuia. De exemplu, apariția unui eveniment O poate influența evenimentul ÎN sau invers. Pentru a lua în considerare o astfel de dependență a unor evenimente față de altele, se introduce conceptul de probabilitate condiționată.
Definiţie. Dacă probabilitatea unui eveniment ÎN se constată cu condiţia ca evenimentul O s-a întâmplat, apoi probabilitatea rezultată a evenimentului ÎN numit probabilitate condiționată evenimentelor ÎN. Pentru a desemna o astfel de probabilitate condiționată, sunt utilizate următoarele simboluri: r A ( ÎN) sau r(IN / O).
Nota 2. Spre deosebire de probabilitatea condiționată, probabilitatea „necondiționată” este de asemenea luată în considerare atunci când orice condiții pentru apariția unui eveniment ÎN lipsesc.
Exemplu. În urnă sunt 5 bile, dintre care 3 roșii și 2 albastre. Din el se scoate câte o minge, cu și fără întoarcere. Aflați probabilitatea condiționată de a extrage o minge roșie pentru a doua oară, cu condiția ca prima dată să fie extrasă: a) o minge roșie; b) bila albastră.
Lasă evenimentul O– extragerea mingii roșii pentru prima dată și evenimentul ÎN– trage mingea roșie a doua oară. Este evident că r(O) = 3 / 5; apoi, în cazul în care mingea scoasă pentru prima dată se întoarce în urnă, r(ÎN)=3/5. În cazul în care bila îndepărtată nu este returnată, probabilitatea de a extrage o minge roșie este r(ÎN) depinde de ce minge a fost extrasă prima dată - roșu (eveniment O) sau albastru (eveniment). Apoi, în primul caz r A ( ÎN) = 2 / 4, iar în al doilea ( ÎN) = 3 / 4.
Teorema de înmulțire a probabilităților de evenimente, dintre care unul are loc sub rezerva apariției altuia
Probabilitatea produsului a două evenimente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele cu probabilitatea condiționată a celuilalt, găsită în ipoteza că primul evenimentul s-a petrecut:
r(A ∙ B) = r(O) ∙ r A ( ÎN) . (1.7)
Dovada. Într-adevăr, să n– numărul total de rezultate ale testelor la fel de posibile și incompatibile (elementare). Și lasă n 1 – numărul de rezultate favorabile evenimentului O, care vine pe primul loc, și m– numărul de rezultate în care are loc evenimentul ÎN presupunând că evenimentul O a sosit. Astfel, m este numărul de rezultate favorabile evenimentului ÎN. Apoi obținem:
Aceste. probabilitatea apariției mai multor evenimente este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre aceste evenimente și probabilitățile condiționate ale celorlalte, iar probabilitatea condiționată a fiecărui eveniment ulterior este calculată în ipoteza că toate evenimentele anterioare au avut loc.
Exemplu. Sunt 4 maeștri ai sportului într-o echipă de 10 sportivi. Prin tragere la sorți sunt selectați 3 sportivi din echipă. Care este probabilitatea ca toți sportivii selectați să fie maeștri ai sportului?
Soluţie. Să reducem problema la modelul „urnă”, adică. Să presupunem că într-o urnă care conține 10 bile sunt 4 bile roșii și 6 bile albe. Din această urna sunt extrase la întâmplare 3 bile (selectare S= 3). Lasă evenimentul O consta in extragerea a 3 bile. Problema poate fi rezolvată în două moduri: după schema clasică și după formula (1.9).
Prima metodă, bazată pe formula combinatorică:
A doua metodă (conform formulei (1.9)). Se extrag secvenţial 3 bile din urnă fără înlocuire. Lasă O 1 – prima bila extrasa este rosie, O 2 – a doua minge extrasă este roșie, O 3 – a treia minge extrasă este roșie. Lasa si evenimentul Oînseamnă că toate cele 3 bile extrase sunt roșii. Apoi: O = O 1 ∙ (O 2 / O 1) ∙ O 3 / (O 1 ∙ O 2), adică
Exemplu. Lăsați din colecția de carduri a, a, p, b, o, t cărțile sunt îndepărtate secvenţial unul câte unul. Care este probabilitatea de a primi cuvântul „ Post” când le pliați secvenţial într-o singură linie de la stânga la dreapta?
Lasă ÎN– evenimentul în care se obține cuvântul declarat. Apoi, folosind formula (1.9), obținem:
r(ÎN) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.
Teorema înmulțirii probabilităților capătă forma sa cea mai simplă atunci când produsul este format din evenimente independente unele de altele.
Definiţie. Eveniment ÎN numit independent de la eveniment O, dacă probabilitatea acestuia nu se modifică în funcție de faptul că evenimentul a avut loc O sau nu. Două evenimente sunt numite independente (dependente) dacă apariția unuia dintre ele nu modifică (modifică) probabilitatea de apariție a celuilalt. Astfel, pentru evenimente independente p(B/O) = r(ÎN) sau = r(ÎN), și pentru evenimente dependente r(ÎN/O)
Teorema. Probabilitatea sumei evenimentelor incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:
Corolarul 1. Folosind metoda inducției matematice, formula (3.10) poate fi generalizată la orice număr de evenimente incompatibile pe perechi:
Corolarul 2. Deoarece evenimentele opuse sunt incompatibile, iar suma lor este un eveniment de încredere, atunci, folosind (3.10), avem:
Adesea, atunci când rezolvați probleme, formula (3.12) este utilizată sub forma:
(3.13)
Exemplul 3.29. Într-un experiment cu aruncarea unui zar, găsiți probabilitățile de a obține mai mult de 3 și mai puțin de 6 puncte pe partea superioară.
Să notăm evenimentele asociate cu pierderea unui punct de pe fața superioară a zarului de U 1 , două puncte prin U 2 ,…, la șase puncte U 6 .
Lasă evenimentul U– un număr de puncte mai mare de 3 și mai mic de 6 care apar pe fața de sus a zarului. Acest eveniment va avea loc dacă are loc cel puțin unul dintre evenimente U 4 sau U 5 , prin urmare, poate fi reprezentat ca suma acestor evenimente: . U 4 Şi U 5 Pentru că evenimentele U 1 , U 2 ,…,U 6 sunt inconsecvente, atunci pentru a afla probabilitatea sumei lor folosim formula (3.11). Avand in vedere ca probabilitatile evenimentelor
sunt egali, obtinem: Comentariu.
Cu toate acestea, abordarea clasică a conceptului de probabilitate, spre deosebire de teorema privind probabilitatea unei sume de evenimente incompatibile, este aplicabilă numai pentru rezultate la fel de posibile.
Exemplul 3.30. Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta este de 0,7.
Care este probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta?
Fie evenimentul că trăgătorul lovește ținta, apoi evenimentul că trăgătorul nu lovește ținta este evenimentul opus evenimentului, deoarece în urma fiecărui test are loc întotdeauna unul și numai unul dintre aceste evenimente. Folosind formula (3.13), obținem:
Definiţie. 3.2.10. Probabilitatea de a avea loc evenimente Evenimentul este numit dependente de la eveniment
Definiţie. dacă probabilitatea unui eveniment depinde dacă evenimentul a avut loc sau nu. Se numește probabilitatea unui eveniment calculată având în vedere că evenimentul a avut loc probabilitate condiționată
Teorema. evenimente și este desemnat
Probabilitatea apariției evenimentelor este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele și probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată cu condiția ca primul să fi avut loc:
Condiția independenței unui eveniment față de un eveniment 
poate fi scris sub forma
Din această afirmație rezultă că pentru evenimente independente este valabilă următoarea relație:
sunt egali, obtinem: adică probabilitatea produsului de evenimente independente și este egală cu produsul probabilităților acestora.
Probabilitatea apariției mai multor evenimente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente, iar probabilitatea fiecărui eveniment ulterior în ordine este calculată cu condiția ca toate cele anterioare să fi avut loc:
Dacă evenimentele sunt independente, atunci avem: Exemplul 3.31.
Într-o cutie sunt 5 bile albe și 3 negre. Două bile sunt extrase din el la întâmplare, succesiv, fără înlocuire. Aflați probabilitatea ca ambele bile să fie albe.
Fie ca evenimentul să fie apariția unei mingi albe în timpul primei extrageri și apariția unei mingi albe în timpul celei de-a doua extrageri. Având în vedere că, (probabilitatea apariției unei a doua mingi albe, având în vedere că prima minge extrasă a fost albă și nu a fost returnată în cutie). Deoarece evenimentele sunt dependente, găsim probabilitatea produsului lor folosind formula (3.15): Exemplul 3.32.
Probabilitatea ca primul trăgător să lovească ținta este de 0,8; al doilea – 0,7. Fiecare trăgător a tras într-o țintă. Care este probabilitatea ca cel puțin un trăgător să lovească ținta? Care este probabilitatea ca un trăgător să lovească ținta? Lăsați evenimentul să fie primul trăgător care lovește ținta și al doilea. Toate opțiunile posibile pot fi reprezentate în formular
tabelul 3.5
Fie evenimentul că cel puțin un trăgător lovește ținta Atunci evenimentul este o sumă de evenimente independente și, prin urmare, este imposibil să se aplice teorema asupra probabilității unei sume de evenimente incompatibile în această situație.
Să considerăm evenimentul opus evenimentului care va avea loc atunci când niciun trăgător nu lovește ținta, adică este un produs de evenimente independente. Folosind formulele (3.13) și (3.15), obținem:
Lăsați evenimentul să fie un trăgător care lovește ținta. Acest eveniment poate fi reprezentat astfel:
Evenimente și sunt independente, evenimente și sunt, de asemenea, independente. Evenimente care sunt produse ale evenimentelor și sunt incompatibile. Folosind formulele (3.10) și (3.15) obținem:
Proprietăți ale operațiilor de adunare și înmulțire a evenimentelor:
3.2.11. Formula probabilității totale. Formula Bayes
Fie ca un eveniment să se producă numai împreună cu unul dintre evenimentele incompatibile în perechi (ipoteze),...,, formând un grup complet, i.e.
Probabilitatea unui eveniment se găsește prin formula probabilitate totala:
Dacă evenimentul a avut deja loc, atunci probabilitățile ipotezelor pot fi reestimate folosind formula Bayesian:
(3.17)
Exemplul 3.33. Sunt două urne identice cu bile. Prima urnă conține 5 bile albe și 10 negre, a doua urnă conține 3 bile albe și 7 negre. Ei aleg o urnă la întâmplare și scot o minge din ea.
Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.
Dintr-o urnă aleasă aleatoriu se extrage o minge albă. Găsiți probabilitatea ca mingea să fie extrasă din prima urnă.
Teoreme de adunare și înmulțire a probabilității.
Evenimente dependente și independente
Titlul pare înfricoșător, dar în realitate totul este foarte simplu. În această lecție ne vom familiariza cu teoremele de adunare și înmulțire a probabilităților de evenimente și, de asemenea, vom analiza probleme tipice care, împreună cu problema de determinare clasica a probabilitatii se va întâlni cu siguranță sau, mai probabil, v-ați întâlnit deja în drumul vostru. Pentru învăţare eficientă materialele acestui articol trebuie să cunoașteți și să înțelegeți termenii de bază teoria probabilitățiiși să poată efectua operații aritmetice simple. După cum puteți vedea, este necesar foarte puțin și, prin urmare, un plus de grăsime în activ este aproape garantat. Dar, pe de altă parte, avertizez din nou împotriva unei atitudini superficiale față de exemplele practice - există și o mulțime de subtilități. Noroc:
Teorema de adunare a probabilitatilor de evenimente incompatibile: probabilitatea de apariție a unuia dintre doi incompatibil evenimente sau (indiferent ce), este egal cu suma probabilităților acestor evenimente:
Un fapt similar este adevărat pentru mai multa cantitate evenimente incompatibile, de exemplu, pentru trei evenimente incompatibile și:
Teorema este un vis =) Cu toate acestea, un astfel de vis este supus demonstrației, care poate fi găsită, de exemplu, în manualul lui V.E. Gmurman.
Să ne familiarizăm cu concepte noi, necunoscute până acum:
Evenimente dependente și independente
Să începem cu evenimente independente. Evenimentele sunt independent , dacă probabilitatea de apariție oricare dintre ei nu depinde asupra aparitiei/neaparitiei altor evenimente ale ansamblului luat in considerare (in toate combinatiile posibile). ...Dar de ce să te deranjezi să încerci fraze generale:
Teoremă de înmulțire a probabilităților evenimentelor independente: probabilitatea apariției în comun a evenimentelor independente și este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:
Să revenim la cel mai simplu exemplu din prima lecție, în care sunt aruncate două monede și următoarele evenimente:
– capete vor apărea pe prima monedă;
– capete vor apărea pe a 2-a monedă.
Să găsim probabilitatea evenimentului (capete vor apărea pe prima monedă Şi pe moneda a 2-a va apărea un vultur - amintește-ți cum să citești produs al evenimentelor!)
. Probabilitatea capetelor pe o monedă nu depinde în niciun fel de rezultatul aruncării unei alte monede, prin urmare, evenimentele sunt independente. 
De asemenea: 
– probabilitatea ca prima monedă să aterizeze capete Şi pe a 2-a cozi; 
– probabilitatea ca pe prima monedă să apară capete Şi pe a 2-a cozi; 
– probabilitatea ca prima monedă să arate capete Şi pe al 2-lea vultur.
Observați că evenimentele se formează grup complet iar suma probabilităţilor lor este egală cu unu: .
Teorema înmulțirii se extinde în mod evident la un număr mai mare de evenimente independente, de exemplu, dacă evenimentele sunt independente, atunci probabilitatea apariției lor comune este egală cu: . Să exersăm cu exemple specifice:
Problema 3
Fiecare dintre cele trei cutii conține 10 părți. Prima cutie conține 8 părți standard, a doua – 7, a treia – 9. O parte este îndepărtată aleatoriu din fiecare cutie. Găsiți probabilitatea ca toate părțile să fie standard.
Soluţie: Probabilitatea de a extrage o piesă standard sau non-standard din orice cutie nu depinde de ce piese sunt luate din alte casete, deci problema tratează evenimente independente. Luați în considerare următoarele evenimente independente:
– se scoate o piesă standard din prima cutie;
– a fost scoasă o piesă standard din a 2-a cutie;
– o parte standard este scoasă din a 3-a cutie.
Conform definiției clasice:
sunt probabilitățile corespunzătoare.
Eveniment de interes pentru noi (o parte standard va fi scoasă din prima cutie Şi de la al 2-lea standard Şi de la al 3-lea standard) este exprimată prin produs.
Conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:
– probabilitatea ca o piesă standard să fie eliminată din trei casete.
Răspuns: 0,504
După exerciții revigorante cu cutii, ne așteaptă urne nu mai puțin interesante:
Problema 4
Trei urne conțin 6 bile albe și 4 negre. Din fiecare urnă se extrage o minge la întâmplare. Aflați probabilitatea ca: a) toate cele trei bile să fie albe; b) toate cele trei bile vor avea aceeași culoare.
Pe baza informațiilor primite, ghiciți cum să faceți față punctului „fi” ;-) Un exemplu aproximativ de soluție este conceput într-un stil academic, cu o descriere detaliată a tuturor evenimentelor.
Evenimente dependente. Evenimentul este numit Evenimentul este numit , dacă probabilitatea sa depinde dintr-unul sau mai multe evenimente care au avut loc deja. Nu trebuie să mergeți departe pentru exemple - mergeți la cel mai apropiat magazin:
– mâine la ora 19.00 pâine proaspătă va fi la vânzare.
Probabilitatea acestui eveniment depinde de multe alte evenimente: dacă pâinea proaspătă va fi livrată mâine, dacă se va epuiza sau nu înainte de ora 19, etc. În funcție de diferite circumstanțe, acest eveniment poate fi fie de încredere, fie imposibil. Deci evenimentul este Evenimentul este numit.
Pâine... și, așa cum cereau romanii, circuri:
– la examen, studentul va primi un bilet simplu.
Dacă nu sunteți chiar primul, atunci evenimentul va fi dependent, deoarece probabilitatea acestuia va depinde de ce bilete au fost deja extrase de colegii de clasă.
Cum se determină dependența/independența evenimentelor?
Uneori, acest lucru este menționat direct în enunțul problemei, dar cel mai adesea trebuie să efectuați o analiză independentă. Nu există nicio orientare clară aici, iar faptul de dependență sau independență a evenimentelor decurge din raționamentul logic natural.
Pentru a nu strânge totul într-o grămadă, sarcini pentru evenimente dependente Voi evidenția următoarea lecție, dar deocamdată vom lua în considerare cel mai comun set de teoreme în practică:
Probleme de teoreme de adunare pentru probabilități incompatibile
și înmulțirea probabilităților de evenimente independente
Acest tandem, conform evaluării mele subiective, funcționează în aproximativ 80% din sarcinile pe tema luată în considerare. Lovitură de lovituri și un adevărat clasic al teoriei probabilităților:
Problema 5
Doi trăgători au tras câte o lovitură în țintă. Probabilitatea unei lovituri pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea - 0,6. Găsiți probabilitatea ca:
a) un singur trăgător va lovi ținta;
b) cel puțin unul dintre trăgători va lovi ținta.
Soluţie: rata de lovire/ ratare a unui trăgător este evident independentă de performanța celuilalt trăgător.
Să luăm în considerare evenimentele:
– Primul trăgător va lovi ținta;
– Al 2-lea trăgător va lovi ținta.
Dupa conditie: .
Să găsim probabilitățile de evenimente opuse - că săgețile corespunzătoare vor rata: 
a) Luați în considerare evenimentul: – un singur trăgător va lovi ținta. Acest eveniment constă din două rezultate incompatibile:
Primul trăgător va lovi Şi Al 2-lea va rata
sau
Primul va rata Şi Al 2-lea va lovi.
Pe limbă algebre de evenimente acest fapt se va scrie prin următoarea formulă: 
În primul rând, folosim teorema pentru a adăuga probabilitățile evenimentelor incompatibile, apoi teorema pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente:
– probabilitatea ca să fie o singură lovitură.
b) Luați în considerare evenimentul: – cel puțin unul dintre trăgători lovește ținta.
În primul rând, SĂ GÂNDIM – ce înseamnă condiția „MAȚIN UNU”? ÎN în acest caz, aceasta înseamnă că fie primul trăgător va lovi (al doilea va rata) sau al 2-lea (primul va rata) sau ambii trăgători simultan - un total de 3 rezultate incompatibile.
Metoda unu: ținând cont de probabilitatea gata a punctului anterior, este convenabil să reprezentăm evenimentul ca suma următoarelor evenimente incompatibile:
cineva va ajunge acolo (un eveniment constând la rândul său din 2 rezultate incompatibile) sau
Dacă ambele săgeți lovesc, notăm acest eveniment cu litera .
Astfel:
Conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:
– probabilitatea ca primul trăgător să lovească Şi Al 2-lea trăgător va lovi.
Conform teoremei de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile:
– probabilitatea ca cel puțin o lovire asupra țintei.
Metoda a doua: Luați în considerare evenimentul opus: – ambii trăgători vor rata.
Conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:
Ca urmare:
Acordați o atenție deosebită celei de-a doua metode - în general, este mai rațională.
În plus, există o alternativă, a treia modalitate de rezolvare, bazată pe teorema adunării evenimentelor comune, care nu a fost menționată mai sus.
! Dacă vă familiarizați cu materialul pentru prima dată, atunci, pentru a evita confuzia, este mai bine să săriți peste următorul paragraf.
Metoda trei
: evenimentele sunt compatibile, ceea ce înseamnă că suma lor exprimă evenimentul „cel puțin un trăgător va lovi ținta” (vezi. algebra evenimentelor). De teorema de adunare a probabilităților evenimentelor comuneși teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:
Să verificăm: evenimente și (0, 1 și respectiv 2 rezultate) formează un grup complet, deci suma probabilităților lor trebuie să fie egală cu unu:
, care era ceea ce trebuia verificat.
Răspuns: 
Cu un studiu amănunțit al teoriei probabilităților, veți întâlni zeci de probleme cu un conținut militarist și, în mod caracteristic, după aceasta nu veți dori să împușcați pe nimeni - problemele sunt aproape un cadou. De ce să nu simplificăm și șablonul? Să scurtăm intrarea:
Soluţie: după condiție: , – probabilitatea de a lovi trăgătorii corespunzători. Apoi, probabilitățile să rateze: 
a) Conform teoremelor de adunare a probabilităţilor de incompatibilitate şi de multiplicare a probabilităţilor de evenimente independente:
– probabilitatea ca un singur trăgător să lovească ținta.
b) Conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:
– probabilitatea ca ambii trăgători să rateze.
Apoi: – probabilitatea ca cel puțin unul dintre trăgători să lovească ținta.
Răspuns: 
În practică, puteți utiliza orice opțiune de design. Desigur, mult mai des iau traseul scurt, dar nu trebuie să uităm de prima metodă - deși este mai lungă, este mai semnificativă - este mai clară, ce, de ce și de ce adună și înmulțește. În unele cazuri, un stil hibrid este adecvat, când este convenabil să folosiți majuscule pentru a indica doar unele evenimente.
Sarcini similare pentru decizie independentă:
Problema 6
Pentru a semnala un incendiu, sunt instalați doi senzori care funcționează independent. Probabilitățile ca senzorul să funcționeze în caz de incendiu sunt de 0,5 și, respectiv, 0,7 pentru primul și al doilea senzor. Găsiți probabilitatea ca într-un incendiu:
a) ambii senzori se vor defecta;
b) ambii senzori vor funcționa.
c) Folosirea teorema de adunare a probabilităţilor evenimentelor care formează un grup complet, aflați probabilitatea ca într-un incendiu să funcționeze un singur senzor. Verificați rezultatul calculând direct această probabilitate (folosind teoreme de adunare și înmulțire).
Aici, independența funcționării dispozitivelor este menționată direct în stare, ceea ce, apropo, este o clarificare importantă. Soluția eșantion este concepută într-un stil academic.
Ce se întâmplă dacă într-o problemă similară sunt date aceleași probabilități, de exemplu, 0,9 și 0,9? Trebuie să decideți exact la fel! (ceea ce, de fapt, a fost deja demonstrat în exemplul cu două monede)
Problema 7
Probabilitatea de a lovi ținta de către primul trăgător cu o singură lovitură este de 0,8. Probabilitatea ca ținta să nu fie lovită după ce primul și al doilea trăgător trag câte o lovitură fiecare este de 0,08. Care este probabilitatea ca cel de-al doilea trăgător să lovească ținta cu o singură lovitură?
Și acesta este un mic puzzle care este conceput drumul scurt. Condiția poate fi reformulată mai succint, dar nu voi reface originalul - în practică, trebuie să mă adâncesc în fabricații mai ornamentate.
Faceți cunoștință cu el - el este cel care ți-a planificat o cantitate enormă de detalii =):
Problema 8
Un muncitor operează trei mașini. Probabilitatea ca în timpul unei ture prima mașină să necesite ajustare este de 0,3, a doua - 0,75, a treia - 0,4. Găsiți probabilitatea ca în timpul schimbului:
a) toate utilajele vor necesita ajustare;
b) o singură mașină va necesita ajustare;
c) cel puțin o mașină va necesita reglare.
Soluţie: deoarece condiția nu spune nimic despre un singur proces tehnologic, atunci funcționarea fiecărei mașini ar trebui considerată independentă de funcționarea altor mașini.
Prin analogie cu problema nr. 5, aici puteți lua în considerare evenimentele pentru care mașinile corespunzătoare vor necesita ajustări în timpul schimbului, notați probabilitățile, găsiți probabilitățile de evenimente opuse etc. Dar, cu trei obiecte, nu mai vreau să formatez sarcina în acest fel - se va dovedi lung și plictisitor. Prin urmare, este vizibil mai profitabil să folosiți stilul „rapid” aici:
După condiția: – probabilitatea ca în timpul schimbului mașinile corespunzătoare să necesite reglaj. Atunci probabilitățile ca acestea să nu necesite atenție sunt: 
Unul dintre cititori a găsit o greșeală grozavă aici, nici nu o voi corecta =)
a) Conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:
– probabilitatea ca în timpul schimbului toate cele trei utilaje să necesite ajustări.
b) Evenimentul „În timpul schimbului, doar o singură mașină va necesita ajustare” constă din trei rezultate incompatibile:
1) Prima mașină va necesita Atenţie Şi a 2-a mașină nu va cere Şi a 3-a mașină nu va cere
sau:
2) Prima mașină nu va cere Atenţie Şi a 2-a mașină va necesita Şi a 3-a mașină nu va cere
sau:
3) Prima mașină nu va cere Atenţie Şi a 2-a mașină nu va cere Şi a 3-a mașină va necesita.
Conform teoremelor de adunare a probabilităților de incompatibilitate și de multiplicare a probabilităților de evenimente independente:
– probabilitatea ca în timpul unei ture doar o mașină să necesite reglaj.
Cred că până acum ar trebui să înțelegi de unde vine expresia
c) Să calculăm probabilitatea ca mașinile să nu necesite ajustare și apoi probabilitatea evenimentului opus:
– că cel puțin o mașină va necesita ajustare.
Răspuns:
Punctul „ve” poate fi rezolvat și prin suma , unde este probabilitatea ca în timpul unei ture doar două mașini să necesite ajustare. Acest eveniment, la rândul său, include 3 rezultate incompatibile, care sunt descrise prin analogie cu punctul „fi”. Încercați să găsiți singur probabilitatea de a verifica întreaga problemă folosind egalitate.
Problema 9
O salvă a fost trasă cu trei tunuri către țintă. Probabilitatea unei lovituri cu o singură lovitură de la prima armă este de 0,7, de la a doua – 0,6, de la a treia – 0,8. Găsiți probabilitatea ca: 1) cel puțin un proiectil să lovească ținta; 2) doar două obuze vor lovi ținta; 3) ținta va fi lovită de cel puțin două ori.
Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.
Și din nou despre coincidențe: dacă, în funcție de condiție, două sau chiar toate valorile probabilităților inițiale coincid (de exemplu, 0,7, 0,7 și 0,7), atunci trebuie urmat exact același algoritm de soluție.
Pentru a încheia articolul, să ne uităm la un alt puzzle comun:
Problema 10
Trăgătorul lovește ținta cu aceeași probabilitate cu fiecare lovitură. Care este această probabilitate dacă probabilitatea de a cel puțin o lovitură cu trei lovituri este 0,973.
Soluţie: să notăm prin – probabilitatea de a lovi ținta cu fiecare lovitură.
și prin - probabilitatea unei rateuri la fiecare lovitură.
Și să scriem evenimentele:
– cu 3 lovituri trăgătorul va lovi ținta cel puțin o dată;
– trăgătorul va rata de 3 ori.
După condiție, atunci probabilitatea evenimentului opus:
Pe de altă parte, conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente: 
Astfel: 
- probabilitatea unei rateuri la fiecare lovitură.
Ca urmare:
– probabilitatea unei lovituri la fiecare lovitură.
Răspuns: 0,7
Simplu și elegant.
În problema luată în considerare, se pot pune întrebări suplimentare despre probabilitatea unei singure loviri, doar două loviri și probabilitatea a trei loviri pe țintă. Schema de soluții va fi exact aceeași ca în cele două exemple anterioare: 
Cu toate acestea, diferența fundamentală de fond este că aici există teste independente repetate, care sunt efectuate succesiv, independent unul de celălalt și cu aceeași probabilitate de rezultate.
Publicații pe această temă
-
Trusa de diagnostic - valiza Semago Examinare Semago
Semago Mikhail Mikhailovich - candidat la științe psihologice, profesor la departamentul de pedagogie corecțională și psihologie specială...
-
Cum să gătești carne de cal în cuptor Secrete de șașlik de carne de cal
Pune o bucată mare de carne de cal cântărind 1-1,5 kilograme într-o tigaie cu apă rece și gătește. Carnea de cal veche sau de calitate scăzută va fi gătită...