Rezolvarea inegalităților. Disponibil despre cum se rezolvă inegalitățile

În această lecție vom începe să studiem sistemele de inegalități. În primul rând, vom lua în considerare sistemele de inegalități liniare. La începutul lecției, vom lua în considerare unde și de ce apar sistemele de inegalități. În continuare, vom studia ce înseamnă rezolvarea unui sistem și vom aminti uniunea și intersecția mulțimilor. La final vom rezolva exemple specifice de sisteme de inegalități liniare.

Subiect: Dietatoate inegalitățile și sistemele lor

Lecţie:Principalconcepte, rezolvarea sistemelor de inegalități liniare

Până acum am rezolvat inegalitățile individuale și le-am aplicat metoda intervalului; inegalități liniare, atât pătrat cât și rațional. Acum să trecem la rezolvarea sistemelor de inegalități - mai întâi sisteme liniare. Să ne uităm la un exemplu de unde vine necesitatea de a lua în considerare sistemele de inegalități.

Găsiți domeniul unei funcții

Găsiți domeniul unei funcții

O funcție există atunci când există ambele rădăcini pătrate, adică.

Cum se rezolvă un astfel de sistem? Este necesar să găsim toți x care satisfac atât prima cât și cea de-a doua inegalități.

Să înfățișăm pe axa boi mulțimea de soluții la prima și a doua inegalități.

Soluția noastră este intervalul de intersecție a două raze.

Această metodă de a descrie o soluție la un sistem de inegalități este uneori numită metoda acoperișului.

Soluția sistemului este intersecția a două mulțimi.

Să reprezentăm acest lucru grafic. Avem o mulțime A de natură arbitrară și o mulțime B de natură arbitrară, care se intersectează.

Definiție: Intersecția a două mulțimi A și B este a treia mulțime care constă din toate elementele incluse atât în ​​A cât și în B.

Folosind exemple specifice de rezolvare a sistemelor liniare de inegalități, să luăm în considerare cum să găsim intersecții ale mulțimilor de soluții ale inegalităților individuale incluse în sistem.

Rezolvați sistemul de inegalități:

Răspuns: (7; 10].

4. Rezolvați sistemul

De unde poate veni a doua inegalitate a sistemului? De exemplu, din inegalitate

Să desemnăm grafic soluțiile fiecărei inegalități și să găsim intervalul de intersecție a acestora.

Astfel, dacă avem un sistem în care una dintre inegalități satisface orice valoare a lui x, atunci acesta poate fi eliminat.

Răspuns: sistemul este contradictoriu.

Am examinat probleme tipice de suport la care poate fi redusă soluția oricărui sistem liniar de inegalități.

Luați în considerare următorul sistem.

7.

Uneori un sistem liniar este dat de o dublă inegalitate.

8.

Ne-am uitat la sistemele de inegalități liniare, am înțeles de unde provin, am analizat sistemele standard la care pot fi reduse toate sistemele liniare și am rezolvat unele dintre ele.

1. Mordkovich A.G. si altele Algebra clasa a IX-a: Manual. Pentru invatamantul general Instituții.- Ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. și alții Algebră clasa a IX-a: Cartea de probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina etc. - ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Makarychev Yu N. Algebră. Clasa a IX-a: educațională. pentru elevii din învățământul general. instituții / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — Ed. a VII-a, rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebră. clasa a 9-a. a 16-a ed. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 9-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — Ed. a XII-a, șters. - M.: 2010. - 224 p.: ill.

6. Algebră. clasa a 9-a. În 2 părți. Partea 2. Cartea cu probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina și alții; Ed. A. G. Mordkovici. — Ed. a XII-a, rev. - M.: 2010.-223 p.: ill.

1. Portalul Științelor Naturii ().

2. Electronică complex educaţional şi metodologic pentru pregătirea claselor 10-11 pentru examenele de admitere la informatică, matematică, limba rusă ().

4. Centrul de învățământ „Tehnologia predării” ().

5. College.ru secțiunea de matematică ().

1. Mordkovich A.G. și alții Algebră clasa a IX-a: Cartea de probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina etc. - ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. nr. 53; 54; 56; 57.

Rezolvarea unei inegalități în două variabile, și cu atât mai mult sisteme de inegalităţi cu două variabile, pare a fi o sarcină destul de dificilă. Cu toate acestea, există un algoritm simplu care ajută la rezolvarea problemelor aparent foarte complexe de acest gen cu ușurință și fără prea mult efort. Să încercăm să ne dăm seama.

Să avem o inegalitate cu două variabile de unul dintre următoarele tipuri:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Pentru a descrie setul de soluții la o astfel de inegalitate pe planul de coordonate, procedați după cum urmează:

1. Construim un grafic al funcției y = f(x), care împarte planul în două regiuni.

2. Selectăm oricare dintre zonele rezultate și luăm în considerare un punct arbitrar în ea. Verificăm fezabilitatea inegalității originale pentru acest punct. Dacă testul are ca rezultat o inegalitate numerică corectă, atunci concluzionăm că inegalitatea inițială este satisfăcută în întreaga regiune căreia îi aparține punctul selectat. Astfel, setul de soluții ale inegalității este regiunea căreia îi aparține punctul selectat. Dacă verificarea are ca rezultat o inegalitate numerică incorectă, atunci setul de soluții ale inegalității va fi a doua regiune căreia nu îi aparține punctul selectat.

3. Dacă inegalitatea este strictă, atunci limitele regiunii, adică punctele graficului funcției y = f(x), nu sunt incluse în setul de soluții, iar limita este reprezentată cu o linie punctată. Dacă inegalitatea nu este strictă, limitele regiunii, adică punctele graficului funcției y = f(x), sunt incluse în setul de soluții ale acestei inegalități și granița în acest caz este reprezentată ca o linie continuă.
Acum să ne uităm la mai multe probleme pe acest subiect.

Sarcina 1.

Ce set de puncte este dat de inegalitatea x · y ≤ 4?

Soluţie.

1) Construim un grafic al ecuației x · y = 4. Pentru a face acest lucru, mai întâi îl transformăm. Evident, x in în acest caz, nu se transformă în 0, pentru că altfel am avea 0 · y = 4, ceea ce este incorect. Aceasta înseamnă că ne putem împărți ecuația la x. Se obține: y = 4/x. Graficul acestei funcții este o hiperbolă. Împarte întregul plan în două regiuni: cea dintre cele două ramuri ale hiperbolei și cea din afara acestora.

2) Să selectăm un punct arbitrar din prima regiune, să fie punctul (4; 2).
Să verificăm inegalitatea: 4 · 2 ≤ 4 – fals.

Aceasta înseamnă că punctele acestei regiuni nu satisfac inegalitatea inițială. Apoi putem concluziona că setul de soluții ale inegalității va fi a doua regiune căreia nu îi aparține punctul selectat.

3) Deoarece inegalitatea nu este strictă, trasăm cu linie continuă punctele de limită, adică punctele graficului funcției y = 4/x.

Să pictăm setul de puncte care definește inegalitatea inițială, galben (Fig. 1).

Sarcina 2.

Desenați aria definită pe planul de coordonate de către sistem
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Soluţie.

Pentru început, construim grafice ale următoarelor funcții (Fig. 2):

y = x 2 + 2 – parabolă,

y + x = 1 – linie dreaptă

x 2 + y 2 = 9 – cerc.

1) y > x 2 + 2.

Luăm punctul (0; 5), care se află deasupra graficului funcției.
Să verificăm inegalitatea: 5 > 0 2 + 2 – adevărat.

În consecință, toate punctele situate deasupra parabolei date y = x 2 + 2 satisfac prima inegalitate a sistemului. Să le vopsim în galben.

2) y + x > 1.

Luăm punctul (0; 3), care se află deasupra graficului funcției.
Să verificăm inegalitatea: 3 + 0 > 1 – adevărat.

În consecință, toate punctele situate deasupra dreptei y + x = 1 satisfac cea de-a doua inegalitate a sistemului. Să le pictăm cu umbrire verde.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Luați punctul (0; -4), care se află în afara cercului x 2 + y 2 = 9.
Să verificăm inegalitatea: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – incorect.

Prin urmare, toate punctele situate în afara cercului x 2 + y 2 = 9, nu satisfac a treia inegalitate a sistemului. Apoi putem concluziona că toate punctele aflate în interiorul cercului x 2 + y 2 = 9 satisfac a treia inegalitate a sistemului. Să le pictăm cu umbrire violet.

Nu uitați că, dacă inegalitatea este strictă, atunci linia de delimitare corespunzătoare trebuie trasă cu o linie punctată. Obținem următoarea imagine (Fig. 3).

(Fig. 4).

Sarcina 3.

Desenați aria definită pe planul de coordonate de către sistem:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Soluţie.

Pentru început, construim grafice ale următoarelor funcții:

x 2 + y 2 = 16 – cerc,

x = -y – linie dreaptă

x 2 + y 2 = 4 – cerc (Fig. 5).

Acum să ne uităm la fiecare inegalitate separat.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Luați punctul (0; 0), care se află în interiorul cercului x 2 + y 2 = 16.
Să verificăm inegalitatea: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – adevărat.

Prin urmare, toate punctele situate în interiorul cercului x 2 + y 2 = 16 satisfac prima inegalitate a sistemului.
Să le pictăm cu umbrire roșie.

Luăm punctul (1; 1), care se află deasupra graficului funcției.
Să verificăm inegalitatea: 1 ≥ -1 – adevărat.

În consecință, toate punctele situate deasupra dreptei x = -y satisfac cea de-a doua inegalitate a sistemului. Să le pictăm cu umbrire albastră.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Luați punctul (0; 5), care se află în afara cercului x 2 + y 2 = 4.
Să verificăm inegalitatea: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – adevărat.

În consecință, toate punctele situate în afara cercului x 2 + y 2 = 4 satisfac cea de-a treia inegalitate a sistemului. Să le vopsim în albastru.

În această problemă, toate inegalitățile nu sunt stricte, ceea ce înseamnă că trasăm toate limitele cu o linie continuă. Obținem următoarea imagine (Fig. 6).

Zona de căutare este zona în care toate cele trei zone colorate se intersectează (Figura 7).

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi un sistem de inegalități cu două variabile?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Articolul acoperă subiectul inegalităților, sunt examinate definițiile sistemelor și soluțiile acestora. Vor fi luate în considerare exemple frecvente de rezolvare a sistemelor de ecuații în școală în algebră.

Definirea unui sistem de inegalități

Sistemele de inegalități sunt determinate de definițiile sistemelor de ecuații, ceea ce înseamnă că se acordă o atenție deosebită înregistrărilor și semnificației ecuației în sine.

Definiția 1

Sistemul de inegalități este o înregistrare a ecuațiilor combinate printr-o acoladă cu un set de soluții simultan pentru toate inegalitățile incluse în sistem.

Mai jos sunt exemple de inegalități. Sunt date două inegalități: 2 x − 3 > 0 și 5 − x ≥ 4 x − 11. Este necesar să scrieți o ecuație sub cealaltă și apoi să o combinați folosind o acoladă:

2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11

În același mod, definițiile sistemelor de inegalități sunt prezentate în manualele școlare atât pentru utilizarea unei variabile, cât și a două.

Principalele tipuri de sisteme de inegalități

Se creează un număr infinit de sisteme de inegalități. Ele sunt clasificate în grupuri care diferă în anumite caracteristici. Inegalitățile sunt împărțite după următoarele criterii:

• numărul de inegalități ale sistemului;
• numărul de variabile de înregistrare;
• tip de inegalități.

Numărul de inegalități de intrare poate fi două sau mai multe. Paragraful anterior a considerat un exemplu de rezolvare a unui sistem cu două inegalități.

2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11

Să luăm în considerare rezolvarea unui sistem cu patru inegalități.

x ≥ - 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 - x 2 - 4 y 2

Rezolvarea separată a unei inegalități nu indică soluția sistemului ca întreg. Pentru a rezolva sistemul, este necesar să folosiți toate inegalitățile existente.

Astfel de sisteme de inegalități pot avea una, două, trei sau mai multe variabile. În ultimul sistem reprezentat acest lucru este clar vizibil acolo avem trei variabile: x, y, z. Ecuațiile pot conține o variabilă, ca în exemplu, sau mai multe. Pe baza exemplelor, inegalitatea x + 0 · y + 0 · z ≥ − 2 și 0 · x + y + 0 · z ≤ 5 nu sunt considerate echivalente. Programa școlară se concentrează pe rezolvarea inegalităților dintr-o variabilă.

Când scrieți un sistem, ecuațiile pot fi folosite diferite tipuri si cu sume diferite variabile. Cel mai adesea există inegalități întregi grade diferite. Când vă pregătiți pentru examene, puteți întâlni sisteme cu ecuații iraționale, logaritmice, exponențiale de forma:

544 - 4 - x 32 - 2 - x ≥ 17 , log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1

Un astfel de sistem include o ecuație exponențială și logaritmică.

Rezolvarea sistemului de inegalități

Definiția 2

Să luăm în considerare un exemplu de rezolvare a sistemelor de ecuații cu o variabilă.

x > 7, 2 - 3 x ≤ 0

Dacă valoarea x = 8, atunci soluția sistemului este evidentă, deoarece 8 > 7 și 2 − 3 8 ≤ 0 sunt valabile. Când x = 1, sistemul nu va fi rezolvat, deoarece prima inegalitate numerică în timpul substituției are 1 > 7. Un sistem cu două sau mai multe variabile este rezolvat în același mod.

Definiția 3

Rezolvarea unui sistem de inegalități cu două sau mai multe variabile Numiți valorile care sunt soluția tuturor inegalităților atunci când fiecare se transformă într-o inegalitate numerică corectă.

Dacă x = 1 și y = 2 va fi soluția inegalității x + y< 7 x - y < 0 , потому как выражения 1 + 2 < 7 и 1 − 2 < 0 верны. Если подставить числовую пару (3 , 5 , 3) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 < 0 .

Când rezolvă sisteme de inegalități, acestea pot da o anumită sumă răspunsuri, și poate infinite. Aceasta înseamnă că există multe soluții pentru un astfel de sistem. Dacă nu există soluții, spunem că are un set gol de soluții. Dacă o soluție are un anumit număr, atunci mulțimea soluției are un număr finit de elemente. Dacă există multe soluții, atunci setul de soluții conține un număr infinit de numere.

Unele manuale oferă o definiție a unei anumite soluții a unui sistem de inegalități, care este înțeleasă ca o soluție separată. O decizie generală sistemele de inegalități numără toate soluțiile sale particulare. Această definiție este rar folosită, așa că se spune „rezolvarea unui sistem de inegalități”.

Aceste definiții ale sistemelor de inegalități și soluții sunt considerate ca intersecții de mulțimi de soluții pentru toate inegalitățile sistemului. O atenție deosebită ar trebui acordată secțiunii dedicate inegalităților echivalente.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Să ne uităm la exemple de rezolvare a unui sistem de inegalități liniare.

4x - 19 \end(array) \right.\]" title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Pentru a rezolva un sistem, aveți nevoie de fiecare dintre inegalitățile sale constitutive. Doar că s-a luat decizia de a nu scrie separat, ci împreună, combinându-le cu bretele.

În fiecare dintre inegalitățile sistemului, transferăm necunoscutele într-o parte, pe cele cunoscute în cealaltă cu semnul opus:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

După simplificare, ambele părți ale inegalității trebuie împărțite la numărul din fața lui X. Împărțim prima inegalitate la un număr pozitiv, astfel încât semnul inegalității nu se schimbă. Împărțim a doua inegalitate la un număr negativ, deci semnul inegalității trebuie inversat:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Marcăm soluția inegalităților pe dreptele numerice:

Ca răspuns, notăm intersecția soluțiilor, adică partea în care există umbrire pe ambele linii.

Răspuns: x∈[-2;1).

În prima inegalitate, să scăpăm de fracție. Pentru a face acest lucru, înmulțim ambele părți termen cu termen cu cel mai mic numitor comun 2. Când este înmulțit cu un număr pozitiv, semnul inegalității nu se modifică.

În a doua inegalitate deschidem parantezele. Produsul sumei și diferența dintre două expresii este egal cu diferența pătratelor acestor expresii. În partea dreaptă este pătratul diferenței dintre cele două expresii.

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Mutăm necunoscutele într-o parte, pe cele cunoscute în cealaltă cu semnul opus și simplificăm:

Împărțim ambele părți ale inegalității la numărul din fața lui X. În prima inegalitate, împărțim la un număr negativ, deci semnul inegalității este inversat. În al doilea, împărțim la un număr pozitiv, semnul inegalității nu se schimbă:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Ambele inegalități au semnul „mai puțin decât” (nu contează că un semn este strict „mai mic decât”, celălalt este liber, „mai mic decât sau egal”). Nu putem marca ambele soluții, dar folosim regula „ “. Cel mai mic este 1, prin urmare sistemul se reduce la inegalitate

Marcăm soluția sa pe linia numerică:

Răspuns: x∈(-∞;1].

Deschiderea parantezelor. În prima inegalitate - . Este egală cu suma cuburilor acestor expresii.

În al doilea, produsul sumei și diferența a două expresii, care este egal cu diferența de pătrate. Deoarece aici există un semn minus în fața parantezelor, este mai bine să le deschideți în două etape: mai întâi utilizați formula și abia apoi deschideți parantezele, schimbând semnul fiecărui termen în opus.

Mutăm necunoscutele într-o direcție, cunoscutele în cealaltă cu semnul opus:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Ambele sunt mai mari decât semnele. Folosind regula „mai mult decât mai mult”, reducem sistemul de inegalități la o singură inegalitate. Cel mai mare dintre cele două numere este 5, prin urmare,

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Marcăm soluția inegalității pe dreapta numerică și notăm răspunsul:

Răspuns: x∈(5;∞).

Deoarece în sistemele algebre de inegalități liniare apar nu numai ca sarcini independente, ci și în cursul rezolvării diferitelor tipuri de ecuații, inegalități etc., este important să stăpânim acest subiect în timp util.

Data viitoare ne vom uita la exemple de rezolvare a sistemelor de inegalități liniare în cazuri speciale când una dintre inegalități nu are soluții sau soluția ei este orice număr.

Categorie: |

este orice set de două sau mai multe inegalități liniare care conțin aceeași cantitate necunoscută

Iată exemple de astfel de sisteme:

Soluția noastră este intervalul de intersecție a două raze. Prin urmare, soluția la această inegalitate este totul X situat între doi și opt.

Răspuns: X

Utilizarea acestui tip de cartografiere pentru a rezolva un sistem de inegalități este uneori numită metoda acoperișului.

Definiţie: Intersecția a două mulțimi OŞi ÎN se numește a treia mulțime care include toate elementele incluse în O si in ÎN. Acesta este sensul intersecției mulțimilor de natură arbitrară. Acum luăm în considerare mulțimile numerice în detaliu, prin urmare, atunci când găsim inegalități liniare, astfel de mulțimi sunt raze - codirecționale, contradirecționale și așa mai departe.

Să aflăm pe real exemple găsirea sistemelor liniare de inegalități, cum se determină intersecțiile mulțimilor de soluții ale inegalităților individuale incluse în sistem.

Să calculăm sistem de inegalități:

Să plasăm două linii de forță una sub alta. În partea de sus vom reprezenta acele valori X, care satisfac prima inegalitate x>7 , iar în partea de jos - care acționează ca o soluție la cea de-a doua inegalitate x>10 Să comparăm rezultatele dreptelor numerice și să aflăm că ambele inegalități vor fi satisfăcute când x>10.

Răspuns: (10;+∞).

O facem prin analogie cu primul eșantion. Pe o anumită axă a numărului trasăm toate aceste valori X pentru care primul există sistem de inegalitate, iar pe a doua axă numerică, situată sub prima, toate acele valori X, pentru care a doua inegalitate a sistemului este satisfăcută. Să comparăm aceste două rezultate și să determinăm că ambele inegalități vor fi satisfăcute simultan pentru toate valorile X situat între 7 și 10, ținând cont de indicatoare, obținem 7<x≤10

Răspuns: (7; 10].

Următoarele probleme sunt rezolvate în mod similar. sisteme de inegalităţi.