Spațiul funcțiilor continue cu metrică pătratică. Exemple de spații metrice

Până acum, când vorbim despre distanță, ne-am referit întotdeauna la distanță euclidiană. Deci, am definit distanța dintre vectori ca lungimea vectorului, și anume:

Dar distanțele pot fi calculate în alt mod, folosind diferite măsuri de lungime. De exemplu, luați în considerare o hartă simplificată a orașului sub forma unei rețele dreptunghiulare de străzi cu două sensuri. O măsură adecvată a lungimii ar fi atunci cea mai scurtă distanță care trebuie parcursă pentru a ajunge de la o intersecție la alta. Uneori, această distanță se numește Manhattan.

În loc să enumeram toate măsurile posibile ale lungimii, dintre care majoritatea nu vom avea nevoie, vom lua în considerare acum cerințele (axiomele) pe care trebuie să le satisfacă o măsură arbitrară a lungimii. Toate teoremele ulterioare despre distanțe vor fi demonstrate în cadrul acestor axiome, adică în cel mai vedere generală. În matematică, se obișnuiește să se folosească termenul metric în locul expresiei „măsura lungimii”.

Metrici.

O metrică dintr-o mulțime X este o funcție reală d(x, y) definită pe produsul x și care satisface următoarele axiome:

b) presupune

d) pentru toate (inegalitatea triunghiulară).

Un spațiu metric este o pereche Dovada că distanța euclidiană satisface axiomele (a), (b) și (c) este trivială. Inegalitatea triunghiului:

am demonstrat-o în secțiunea 3.1 (Teorema 3.1.2). Astfel, distanța euclidiană este o metrică, pe care o vom numi de acum înainte metrica euclidiană.

Să luăm în considerare o clasă importantă de metrici în spațiu, și anume clasa de metrici. -metric este o generalizare a metricii euclidiene și coincide cu aceasta pentru . Pentru p-metric este definit după cum urmează:

Vom lăsa fără dovezi următorul fapt:

Dovada că -metricul este într-adevăr o metrică, i.e. satisface axiomele pe care le omitem. Această întrebare este parțial inclusă în exerciții.

Rețineți că în definiția metricii nu am cerut ca elementele x și y să aparțină spațiului. Acest lucru ne permite să definim mulțimea X, precum și elementele sale x, y etc., în multe moduri diferite. Sarcina noastră este să indicăm în ce condiții converge construcția fractală. Pentru a face acest lucru, trebuie să puteți măsura distanța dintre seturile compacte, adică trebuie să determinați metrica adecvată.

Teoria mulțimilor în spații metrice.

Trebuie să facem un mare pas înainte și să extindem definițiile teoretice de mulțimi din Secțiunea 3.1, care implica metrica euclidiană, la metrici arbitrare. O bilă deschisă într-un spațiu metric (X, d) este definită după cum urmează:

Ținând cont de (3.4), putem lăsa neschimbate definițiile de mai sus ale următoarelor concepte:

De exemplu, un set este un set deschis dacă și numai dacă pentru oricare se poate specifica o minge deschisă (în sensul definiției (3.4)), care este conținută în E. Lista include toate definițiile fără modificări, cu excepția conceptul de compactitate. O definiție strictă a unei mulțimi compacte într-un spațiu metric arbitrar este dată în anexă. Deoarece ne va interesa în principal compactitatea submulțimii spațiului, definiția dată mai sus (închidere și mărginire) rămâne în vigoare.

Dacă este o metrică pe o mulțime X și este o funcție reală unu-la-unu, atunci

există și o metrică pe X. Axiomele (a) și (c) sunt în mod evident satisfăcute. satisface axioma (b), deoarece este o funcție unu-la-unu. Axioma (d) va fi scrisă ca o inegalitate:

adică inegalitatea clasică a triunghiului pentru numerele reale. Un exemplu de metrică definită astfel:

Două metrici definite pe o mulțime X se spune că sunt echivalente dacă este posibil să se specifice astfel încât:

Se poate arăta că oricare două -metrice din spațiul în care sunt echivalente (cazul este prezentat în Exercițiul 3 la sfârșitul acestei secțiuni). Pe de altă parte, metricile din mulțimea R nu sunt echivalente (Exercițiul 4 de la sfârșitul acestei secțiuni).

Aparent, principala consecință a echivalenței metricii pentru teoria fractalilor este faptul că dimensiunea fractală (Capitolul 5) se păstrează la înlocuirea metricii cu una echivalentă. Mai mult, dacă o mulțime este deschisă (închisă) într-o metrică, atunci este deschisă (închisă) în orice metrică echivalentă. În plus, dacă o mulțime este mărginită într-o metrică, atunci este mărginită în orice metrică echivalentă. Același lucru este valabil și pentru seturile perfecte, conectate și complet discontinue.

Convergenţă.

Fie o metrică pe o mulțime X. O succesiune de puncte a unui spațiu metric X converge către o limită în metrica d dacă șirul de numere converge către zero în sensul obișnuit, adică dacă:

Aici echivalența valorilor este exprimată după cum urmează. Dacă valorile sunt echivalente, atunci în -metrică dacă și numai dacă în -metrică, deoarece:

Dacă da, invers.

Continuitate.

Într-un curs de calcul, o funcție definită pe X se numește continuă în punctul dacă.

Înainte de Riemann, Lobachevsky, Einstein și alți camarazi, geometria a fost construită din planuri, puncte invizibile și drepte infinite în ambele direcții. Timpul plutea cu mândrie peste lumea plată tridimensională, percepută de noi ca un anumit proces, cuantificat pentru comoditate în bătăi ale inimii și ticăitul unui ceas. Totul este familiar, simplu, de înțeles, forțele acționează, trei coordonate în spațiu pot fi determinate oriunde - doar conduceți într-un cuier.

Sfârșitul idilei a venit odată cu apariția matematicienilor care explorează spațiile multidimensionale din vârful stiloului lor. Ei au construit obiecte și sisteme complexe, cu mai multe coordonate, care erau de neconceput pentru ochiul și simțurile umane, de exemplu, celebrul cub cu patru dimensiuni, banda Mobius și așa mai departe. Treptat, a devenit clar că spațiul imaginar nu trebuie să fie neapărat format din planuri și linii drepte cu un timp de proces, el poate consta, de exemplu, dintr-o foaie plată rulată într-un tub de formă neregulată, timpul fiind lungimea; axa trasată în centrul tubului. Un punct plasat într-un spațiu atât de „greșit” nu va mai avea niciodată cele trei coordonate cu care suntem obișnuiți, deoarece un șurub condus nu va ajuta la măsurarea lor. Poziția unui punct dat în spațiul non-euclidian va trebui reprezentată ca o întreagă matrice de numere, care, de asemenea, se schimbă continuu în conformitate cu anumite reguli. Regulile în sine în fiecare spațiu fictiv sunt diferite. O astfel de matrice de numere se numește tensor, acesta stochează date despre punctele din spațiu aproximativ sub forma în care binecunoscuta jucărie „imaginea cuielor” stochează o imagine: lungimea fiecărei tije este un vector care indică un punct de-a lungul una dintre coordonate, combinația lor oferă o imagine a acesteia, una și singura.

Tensorii sunt obiecte complexe, dar au un lucru în comun - un tensor ca o matrice de vectori tije poate fi „decupat” prin definirea așa-numitei matrice tensorice - un tabel bidimensional în care, în loc de numere obișnuite, există sunt formule care descriu regulile de transformare a acestuia. O matrice este un obiect simplu, operațiile cu care au fost bine dezvoltate cu secole în urmă. Șefii matematicienilor au început să muncească din greu, au înlocuit o varietate de formule și au construit tensori pentru puncte în cele mai inimaginabile spații. În cele din urmă, prin eforturile lui Minkowski, Riemann, Lorentz și Einstein, s-au descoperit cei mai simpli tensori care descriu cu suficientă acuratețe spațiul euclidian tridimensional și procesul-timp pe care le percepem. Matricele lor sunt numite metrici.

Ulterior, s-a înțeles că, datorită constanței vitezei luminii în vid, luată ca bază de Einstein, metrica Minkowski devine inaplicabilă la distanțe foarte mari între puncte, sau la rate foarte mari. interacțiune gravitațională. Şefii matematicienilor au început să lucreze din nou, acum în alianţă cu fizicienii care căutau confirmarea experimentală a teoriilor. Așa a apărut, de exemplu, metrica Schwarzschild, care descrie lumea noastră prin multiplicarea matricelor de tensori ai unui plan dreptunghiular bidimensional și a unei sfere bidimensionale (este și un cerc familiar, dar sub forma unui întregul spațiu). Metrica Schwarzschild a făcut posibil să descriem de ce percepem mișcarea obiectelor din sfera cerească în acest mod special și nu altfel. Timpul în el este o valoare constantă(!), introdusă separat în fiecare calcul, iar distanța de la un punct la un observator este de fapt un fel de vector care oferă o descriere a întinderii spațiului (timp) între două nu obiecte, ci evenimentelor.

Spațiu metric.

Spațiu metric este o mulțime în care este definită distanța dintre orice pereche de elemente.

Un spațiu metric este o pereche, unde este o mulțime ( set de subiecte spațiu metric, set puncte spațiu metric) și este o funcție numerică ( metrici spațiu), care este definit pe produsul cartezian și ia valori în mulțimea numerelor reale - astfel încât pentru puncte

Nota: Axiomele implică faptul că funcția de distanță este nenegativă, deoarece

Afișări comprimate.

Afișări comprimate una dintre principalele prevederi ale teoriei spații metrice despre existența și unicitatea unui punct fix al unei mulțimi sub o mapare specială („compresivă”) a acestuia în sine. S. o. p. sunt utilizate în principal în teoria ecuațiilor diferențiale și integrale.

Afișaj personalizat O spațiu metric Mîn tine, care în fiecare punct X din M se potrivește cu un anumit punct y = Ax din M, generează în spațiu M ecuaţie

Ax = x. (*)

Afișare acțiune O pe punct X poate fi interpretat ca o mutare la un punct y = Ax. Punct X numit punct fix al cartografierii O, dacă egalitatea (*) este satisfăcută. Că. problema solvabilității ecuației (*) este o problemă de găsire a punctelor fixe ale mapării O.

Afişa O spațiu metric Mîn sine se numește comprimat dacă există un astfel de număr pozitiv a< 1, что для любых точек XŞi la din M inegalitatea este valabilă

d ( Axe, Ay) £ a d(x, y),

unde este simbolul d(tu, u) înseamnă distanța dintre puncte uși u de spațiu metric M.

S. o. P. afirmă că fiecare mapare comprimată a unui spațiu metric complet în sine are și, în plus, un singur punct fix. Mai mult, pentru orice punct de plecare x 0 din M urmatoarea ( x n), definite prin relații de recurență

x n = Ax n-1 , n = 1,2,...,

are ca limită un punct fix X afişa O. În acest caz, următoarea estimare a erorii este valabilă:

.

S. o. p. permite demonstrarea unor teoreme importante privind existența și unicitatea soluțiilor la ecuații diferențiale, integrale și alte ecuații folosind o metodă unificată. În condițiile aplicabilității S. o. soluția poate fi calculată cu o precizie predeterminată metoda aproximărilor succesive.

Prin intermediul unei anumite alegeri a spatiului metric complet Mși cartografiere O Aceste probleme sunt mai întâi reduse la ecuația (*), apoi sunt găsite condițiile în care se realizează maparea O apare comprimat.

Convergența mapărilor în raport cu această metrică este echivalentă cu convergența lor uniformă pe întreg spațiul.

În cazul special când este un spațiu compact și este dreapta numerică, obținem spațiul tuturor funcțiilor continue pe spațiul X cu metrica convergenței uniforme.

Pentru ca această funcție să devină metrică, în primele două spații este necesar să se identifice funcții care diferă pe mulțimea de măsură 0. În caz contrar, această funcție va fi doar o semimetrică. (În spațiul funcțiilor care sunt continue pe un interval, funcțiile care diferă pe un set de măsură 0 sunt deja aceleași.)

Modulul 2.

Cursul 17. Funcția mai multor variabile

Secțiunea 17.1. spațiu n-dimensional

1. Spații multidimensionale

2. Conceptul de distanță (metrică). Spațiu metric

3. Principiile analizei clusterelor

Secțiunea 17.2 Funcția variabilelor multiple

1. Funcția mai multor variabile

2. Derivate parțiale

3. Integrală dublă

4. Coordonatele polare și integrala Euler-Poisson

Prevederile programului

Prelegerea discută aspecte legate de spațiile de dimensiuni mai mari de două: introducerea conceptului de distanță, utilizarea distanței în analiza clusterului, o funcție a mai multor (în cazul nostru, două) variabile, caracterizarea acesteia folosind derivate parțiale, precum și ca calcule de suprafaţă şi volum. Concepte de funcţii a două variabile şi integrală dublă Vom avea nevoie de ele atunci când studiem vectorii aleatori în teoria probabilității. Materialul de curs se încheie cu calculul integralei Euler-Poisson, una dintre principalele în teoria probabilităților (integrala nedefinită a funcției gaussiene este una care nu poate fi luată, iar în cazul limitelor de integrare, calculul unor astfel de integrale necesită utilizarea unor metode neevidente, dintre care una este prezentată aici).

Înainte de a studia materialul de curs, repetați definiția unei funcții, derivate și integrale.

Literatură

B.P. Demidovich, V.A Kudryavtsev „Curs scurt de matematică superioară” Capitolul XX (§1, 2.3,10), Capitolul XXIV (§1, 2,3,4,7)

Întrebări pentru autocontrol

1. Ce spațiu se numește n-dimensional?

2. Ce condiții trebuie să îndeplinească distanța?

3. Care spațiu se numește metrică?

4. Pentru ce este folosită analiza cluster?

5. Care este graficul unei funcții de 2 variabile? Ce sunt liniile de nivel?

6. Ce este o derivată parțială?

7. Dați definiția unei integrale duble. Cum îl puteți folosi pentru a calcula suprafața și volumul?

8. Găsiți distanța dintre punctele A(1,2,3) și B(5,1,0) (folosind distanțe diferite)

9.Găsiți linii de nivel de funcție

z = x + y.

10. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

11. Găsiți aria figurii, limitat de linii

12. Calculați

Secțiunea 17.1. Conceptul de spațiu multidimensional

Definiție 17.1.1. spațiu n-dimensional.

Dacă un sistem de coordonate dreptunghiular este fixat pe planul R2, atunci există o corespondență unu-la-unu între punctele planului și toate perechile posibile de numere (x, y) (x și y sunt coordonatele punctelor) . Dacă un sistem de coordonate similar este dat în spațiu, atunci există și o corespondență unu-la-unu între punctele spațiului și coordonatele lor - toate tripletele posibile (x, y, z).

Distanța (metrică). Spațiu metric

Definiție 17.1.2

Spațiu metric ( M ,d) este o mulțime de puncte M, pe pătratul cărora (adică pentru orice pereche de puncte din M) este dată o funcție de distanță (metrică). Este definit astfel:

Pentru orice puncte x, y, z din M această funcție trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

Aceste axiome reflectă conceptul intuitiv de distanță. De exemplu, distanța trebuie să fie nenegativă și distanța de la x la y la fel ca de la y la x. Inegalitatea triunghiulară înseamnă că a merge de la x la z poate fi mai scurt, sau cel puțin nu mai lung decât prima mers x la y, iar apoi de la y la z.

Cea mai cunoscută pentru noi este distanța euclidiană. Cu toate acestea, aceasta este departe de a fi singura modalitate de a o seta. De exemplu, următoarea distanță va satisface axiomele de mai sus: d(x,y) = 1, Dacă x ≠ yŞi d(x,y) = 0, Dacă x = y.

În funcție de nevoile sau proprietățile specifice ale spațiului, pot fi luate în considerare diferite metrici.

Să ne uităm la câteva exemple de distanțe:

Definiții 17.1.3.

Distanța euclidiană. Acesta pare a fi cel mai comun tip de distanță. Este pur și simplu o distanță geometrică în spațiul multidimensional și se calculează după cum urmează:

d(x,y) = ( i (x i - y i) 2 ) 1/2

Rețineți că distanța euclidiană (și pătratul său) este calculată din datele originale, nu din datele standardizate. Aceasta este o modalitate obișnuită de a-l calcula, care are anumite avantaje (de exemplu, distanța dintre două obiecte nu se modifică atunci când un obiect nou este introdus în analiză, care se poate dovedi a fi un lucru aberant). Cu toate acestea, distanțele pot fi foarte influențate de diferențele dintre axele de la care se calculează distanțele. De exemplu, dacă una dintre axe este măsurată în centimetri și apoi o convertiți în milimetri (înmulțind valorile cu 10), atunci distanța euclidiană finală (sau pătratul distanței euclidiene) calculată din coordonate se va schimba foarte mult și, ca rezultat, rezultatele analizei cluster pot diferi foarte mult de cele anterioare.

Distanța euclidiană pătrată. Distanța euclidiană standard este pătrată pentru a da o greutate mai mare obiectelor aflate mai departe. Această distanță se calculează după cum urmează (aceasta este valabilă și pentru nota despre influența unităților de măsură din paragraful anterior):

d(x,y) = i (x i - y i) 2

Distanța de blocuri (distanța Manhattan). Această distanță este pur și simplu media diferențelor între coordonate. În cele mai multe cazuri, această măsurătoare a distanței produce aceleași rezultate ca distanța euclidiană obișnuită. Totuși, observăm că pentru această măsură influența diferențelor mari individuale (outliers) este redusă (deoarece nu sunt pătrate). Distanța Manhattan este calculată folosind formula:

d(x,y) = i |x i - y i |

distanta Cebyshev. Această distanță poate fi utilă atunci când se dorește să definească două obiecte ca „diferite” dacă diferă în orice coordonată (în orice dimensiune). Distanța Chebyshev se calculează folosind formula:

d(x,y) = max |x i - y i |

(max înseamnă maxim - cea mai mare dintre toate valorile modulelor diferențe)

Distanța de putere. Uneori se dorește să crească sau să scadă progresiv o greutate legată de o dimensiune pentru care obiectele corespunzătoare sunt foarte diferite. Acest lucru poate fi realizat folosind distanta de putere. Distanța de putere este calculată folosind formula:

d(x,y) = ( i |x i - y i | p) 1/r

Unde rŞi p- parametri definiți de utilizator. Câteva exemple de calcule pot arăta cum „funcționează” această măsură. Parametru p este responsabil pentru cântărirea treptată a diferențelor de-a lungul coordonatelor individuale, parametrul r responsabil de cântărirea progresivă a unor distante mari între obiecte. Dacă ambii parametri sunt rŞi p, sunt egale cu doi, atunci această distanță coincide cu distanța euclidiană.

1. Spațiul punctelor izolate.

Set arbitrar și

2. Mulțimea numerelor reale cu distanță formează un spațiu metric.

3. Mulțimea grupurilor ordonate de numere reale c se numește spațiu euclidian aritmetic dimensional.

Dovada.

Pentru a demonstra că un spațiu este metric, este necesar să se verifice satisfacabilitatea axiomelor.

Să , , .

, , …, , adică .

A3. Să verificăm dacă axioma triunghiului este valabilă. Să scriem axioma sub forma:

Presupunând , , obținem și .

Pentru a demonstra această inegalitate, se folosește inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky.

într-adevăr,

În consecință, axioma triunghiului este satisfăcută, iar mulțimea luată în considerare cu o metrică dată este un spațiu metric.

Q.E.D.

4. Mulțimea grupurilor ordonate de numere reale cu . Acest spațiu metric este notat cu .

5. Mulțimea grupurilor ordonate de numere reale cu . Acest spațiu metric este notat cu .

Exemplele 3, 4 și 5 arată că același stoc de puncte poate fi măsurat în moduri diferite.

6. Mulțimea tuturor funcțiilor reale continue definite pe un segment cu distanța . Acest spațiu metric este notat ca mulțime de puncte din spațiul însuși: . În special, ei scriu în loc de .

7. Prin denotă spațiul metric, ale cărui puncte sunt toate secvențele posibile de numere reale care îndeplinesc condiția, iar metrica este definită prin formulă.

Dovada.

Din moment ce, are sens pentru toată lumea. Aceste. seria converge dacă și .

Să arătăm ce satisface axiomele.

Axiomele 1, 2 sunt evidente. Axioma triunghiului va lua forma:

Toate seriile sunt convergente.

Inegalitatea este adevărată pentru oricine (vezi exemplul 3). Când obținem inegalitatea pentru .

Q.E.D.

8. Se consideră mulțimea tuturor funcțiilor care sunt continue pe intervalul și . Un astfel de spațiu metric este notat și numit spațiu al funcțiilor continue cu o metrică pătratică.

9. Se consideră mulțimea tuturor șirurilor mărginite de numere reale. Să definim. Acest spațiu metric este notat cu .

10. Mulțimea grupurilor ordonate de numere reale cu distanța , unde este orice număr fix, este un spațiu metric, notat cu .

Metrica considerată în acest exemplu se transformă în metrica euclidiană pentru (vezi exemplul 3) și în metrica exemplului 4 pentru . Se poate demonstra că metrica (vezi exemplul 5) este un caz limitativ.

11. Luați în considerare toate secvențele posibile de numere reale care îndeplinesc condiția , unde este un număr fix, iar distanța este determinată de formula . Avem un spațiu metric.

12. Fie mulțimea tuturor secvențelor infinite – numere complexe. Să definim. Avem un spațiu metric.

Definiţie: Fie un spațiu metric și orice submulțime de . Apoi, cu aceeași funcție, care este acum definită pentru, este numit un spațiu metric subspațiu spaţiu.

Concepte de bază

Să notăm spațiul metric cu .

Definiţie: Se numește o secvență aparținând unui spațiu metric fundamental, dacă fiecare corespunde unui număr astfel încât inegalitatea .

Definiţie: Se numește o secvență aparținând unui spațiu metric convergent, dacă există astfel încât fiecare să corespundă unui număr astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru toți. Apoi se numește limită secvente.

Teorema: Dacă o secvență are o limită, atunci este unică.

Dovada.

Într-adevăr, dacă și , atunci . Din moment ce și , atunci , i.e. .

Teorema a fost demonstrată.

Definiţie: Spațiu metric complet este spațiul metric în care converge fiecare succesiune fundamentală.

Teorema: Metrica ca functie a doua argumente este o functie continua, i.e. dacă și , atunci .

Dovada:

Fie , , , .

Prin inegalitatea triunghiului:

Din (1) obținem:

Din (2) obținem:

Pentru ca,

Să notăm.

ÎN spațiu metric se pot lua în considerare diverse mulţimi, vecinătăţi de puncte, puncte limită şi alte concepte ale analizei clasice.

Definiţie: Sub împrejurimi puncte înseamnă o mulțime care conține o bilă deschisă de rază cu centrul în punct, adică

Definiţie: Punctul se numește punct limită pentru o mulțime dacă orice vecinătate a unui punct conține cel puțin un punct din , diferit de .

Definiţie: Punctul se numește punct intern stabilit dacă este inclus împreună cu o parte din vecinătatea sa.

Definiţie: Setul este numit deschide, dacă este format doar din puncte interne. Setul este numit închisîn sine dacă conține toate punctele sale limită.

Spațiul metric este închis.

Subspațiile nu pot fi subseturi închise.

Dacă adăugăm toate punctele sale limită, obținem închidere.

Definiţie: Se numește o mulțime situată într-un spațiu metric închis, dacă coincide cu închiderea sa: .

Un set închis este cel mai mic set închis care conține .

Definiţie: Lasă . Setul este numit strânsîn , dacă . Setul este numit dens peste tot, Dacă . Setul este numit nicăieri dens în, dacă oricare ar fi mingea, există o altă minge liberă din punctele setului.

Definiţie: Un spațiu se numește separabil dacă conține o mulțime numărabilă densă peste tot.

În analiza matematică, un rol important îl joacă proprietatea de completitudine a dreptei numerice, adică faptul că fiecare succesiune fundamentală de numere reale converge la o anumită limită (criteriul de convergență Cauchy).

Linia numerică servește ca exemplu de spațiu metric complet.

Spațiile punctelor izolate, , , , , , sunt spații metrice complete.

Spaţiu nu complet.

Analiza folosește pe scară largă așa-numitul lema pe segmente imbricate :

Fie un sistem de segmente imbricate. Apoi pentru segmentul pe care îl avem .

Aceasta înseamnă că toate segmentele din set au un punct comun.

În teoria spațiilor metrice, un rol similar îl joacă teorema asupra bilelor încorporate.

Teorema: Pentru ca un spațiu metric să fie complet, este necesar și suficient ca în el fiecare succesiune de bile încorporate una în cealaltă, ale căror raze , să aibă o intersecție nevide.

Dovada:

Necesitate:

Fie un spațiu metric complet și fie o succesiune de bile închise încorporate una în alta.

Fie raza și a centrul mingii.

Succesiunea de centre este fundamentală, deoarece la , și la . Din moment ce - complet, atunci . Să o punem atunci. Într-adevăr, mingea conține toate punctele secvenței, cu posibila excepție a punctelor . Astfel, punctul este punctul de atingere (punctul limită) pentru fiecare minge. Dar din moment ce este un set închis, atunci .

Adecvarea:

Să fie o secvență fundamentală. Să demonstrăm că are o limită. Din cauza fundamentalității, putem alege un punct din succesiune astfel încât pentru toți . Să luăm punctul ca centru al unei mingi închise cu rază. Să notăm această minge. , încorporate unul în celălalt, iar mingea - o bilă închisă de rază conține un anumit punct prin completare