Derivată a unei funcții specificată implicit. Derivată a unei funcții definite parametric

Sau pe scurt - derivata unei funcții implicite. Ce este o funcție implicită? Deoarece lecțiile mele sunt practice, încerc să evit definițiile și teoremele, dar ar fi potrivit să fac acest lucru aici. Oricum, ce este o funcție?

O singură funcție variabilă este o regulă care prevede că pentru fiecare valoare a variabilei independente există una și o singură valoare a funcției.

Variabila este numită variabilă independentă sau argument.
Variabila este numită variabilă dependentă sau funcţie.

În linii mari, litera „Y” în în acest caz,- și există o funcție.

Până acum ne-am uitat la funcțiile definite în explicit formă. Ce înseamnă? Să realizăm un debriefing folosind exemple specifice.

Luați în considerare funcția

Vedem că în stânga avem un singur „Y” (funcție), iar în dreapta - doar "X". Adică funcția explicit exprimată prin variabila independentă.

Să ne uităm la o altă funcție:

Aici sunt amestecate variabilele. În plus imposibil prin orice mijloace exprimă „Y” doar prin „X”. Care sunt aceste metode? Transferarea termenilor dintr-o parte în parte cu schimbarea semnului, mutarea lor din paranteze, aruncarea factorilor conform regulii proporției etc. Rescrieți egalitatea și încercați să exprimați „y” în mod explicit: . Puteți răsuci și întoarce ecuația ore întregi, dar nu veți reuși.

Permiteți-mi să vă prezint: - exemplu funcţie implicită.

În cursul analizei matematice s-a dovedit că funcţia implicită există(totuși, nu întotdeauna), are un grafic (la fel ca o funcție „normală”). Funcția implicită este exact aceeași există derivată întâi, derivată a doua etc. După cum se spune, toate drepturile minorităților sexuale sunt respectate.

Și în această lecție vom învăța cum să găsim derivata unei funcții specificate implicit. Nu este atât de greu! Toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare rămân în vigoare. Diferența constă într-un moment deosebit, pe care îl vom analiza chiar acum.

Da, și vă voi spune veștile bune - sarcinile discutate mai jos sunt efectuate conform unui algoritm destul de strict și clar, fără o piatră în fața a trei piste.

Exemplul 1

1) În prima etapă, atașăm lovituri la ambele părți:

2) Folosim regulile de liniaritate ale derivatei (primele două reguli ale lecției Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții):

3) Diferențierea directă.
Cum să diferențiezi este complet clar. Ce să faci acolo unde există „jocuri” sub lovituri?

Doar până la rușine derivata unei funcții este egală cu derivata acesteia: .

Cum să diferențiezi

Aici avem functie complexa. De ce? Se pare că sub sinus există o singură literă „Y”. Dar adevărul este că există o singură literă „y” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(vezi definiția de la începutul lecției). Astfel, sinusul este o funcție externă și este o funcție internă. Folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe:

Diferențiem produsul după regula obișnuită:

Vă rugăm să rețineți că - este, de asemenea, o funcție complexă, orice „joc cu clopoței și fluiere” este o funcție complexă:

Soluția în sine ar trebui să arate cam așa:

Dacă există paranteze, extindeți-le:

4) În partea stângă colectăm termenii care conțin un „Y” cu un prim. Mutați totul în partea dreaptă:

5) În partea stângă scoatem derivata din paranteze:

6) Și conform regulii proporției, aruncăm aceste paranteze în numitorul părții drepte:

S-a găsit derivatul. Gata.

Este interesant de observat că orice funcție poate fi rescrisă implicit. De exemplu, funcția poate fi rescrisă astfel: . Și diferențiază-l folosind algoritmul tocmai discutat. De fapt, expresiile „funcție implicită” și „funcție implicită” diferă într-o singură nuanță semantică. Expresia „funcție specificată în formă implicită” este mai generală și mai corectă - această funcție este specificată în formă implicită, dar aici puteți exprima „jocul” și reprezenta funcția în mod explicit. Expresia „funcție implicită” se referă la funcția implicită „clasică” atunci când „y” nu poate fi exprimat.

A doua soluție

Atenţie! Vă puteți familiariza cu a doua metodă numai dacă știți să găsiți cu încredere derivate parțiale. Începători și începători în studiul analizei matematice, vă rugăm să nu citiți și săriți peste acest punct, altfel capul vă va fi o mizerie completă.

Să găsim derivata funcției implicite folosind a doua metodă.

Mutăm toți termenii în partea stângă:

Și luați în considerare o funcție a două variabile:

Apoi derivata noastră poate fi găsită folosind formula

Să găsim derivatele parțiale:

Astfel:

A doua soluție vă permite să efectuați o verificare. Dar nu este recomandabil ca ei să scrie versiunea finală a temei, deoarece derivatele parțiale sunt stăpânite mai târziu, iar un student care studiază subiectul „Derivată a unei funcții a unei variabile” nu ar trebui să cunoască încă derivate parțiale.

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Adăugați linii la ambele părți:

Folosim reguli de liniaritate:

Găsirea derivatelor:

Deschiderea tuturor parantezelor:

Mutăm toți termenii cu în partea stângă, restul - în partea dreaptă:

În partea stângă îl scoatem din paranteze:

Raspuns final:

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit ca fracțiile să apară după diferențiere. În astfel de cazuri, trebuie să scapi de fracții. Să ne uităm la încă două exemple: fiecare termen al fiecărei părți

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Singurul lucru este că înainte de a scăpa de fracțiune, va trebui mai întâi să scăpați de structura cu trei etaje a fracției în sine. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Fără îndoială, în mintea noastră imaginea unei funcții este asociată cu egalitatea și linia corespunzătoare - graficul funcției. De exemplu, - o dependență funcțională, al cărei grafic este o parabolă pătratică cu un vârf la origine și ramuri îndreptate în sus; este o funcție sinusoidală cunoscută pentru undele sale.

În aceste exemple, partea stângă a egalității este y, iar partea dreaptă este o expresie în funcție de argumentul x. Cu alte cuvinte, avem o ecuație rezolvată pentru y. Reprezentarea unei dependențe funcționale sub forma unei astfel de expresii se numește prin specificarea explicită a funcției(sau funcţionează în mod explicit). Și acest tip de atribuire a funcției este cel mai familiar pentru noi. În majoritatea exemplelor și problemelor, ni se prezintă funcții explicite. Am vorbit deja în detaliu despre diferențierea funcțiilor unei variabile, specificată explicit.

Cu toate acestea, o funcție implică o corespondență între un set de valori ale lui x și un set de valori ale lui y, iar această corespondență NU este stabilită neapărat prin nicio formulă sau expresie analitică. Adică, există mai multe moduri de a specifica o funcție în afară de cea obișnuită.

În acest articol ne vom uita la funcţii implicite şi metode de găsire a derivatelor lor. Exemplele de funcții care sunt specificate implicit includ sau .

După cum ați observat, funcția implicită este definită de relație. Dar nu toate astfel de relații dintre x și y definesc o funcție. De exemplu, nicio pereche de numere reale x și y nu satisface egalitatea, prin urmare, această relație nu definește o funcție implicită.

Se poate determina implicit legea corespondenței dintre mărimile x și y, iar fiecare valoare a argumentului x poate corespunde fie uneia (în acest caz avem o funcție cu o singură valoare) fie mai multor valori ale funcției (în acest caz funcţia se numeşte multivalorică). De exemplu, valoarea x = 1 corespunde a două valori reale y = 2 și y = -2 ale funcției specificate implicit.

Nu este întotdeauna posibil să aducem o funcție implicită într-o formă explicită, altfel nu ar fi nevoie să diferențiem funcțiile implicite în sine. De exemplu, - nu este convertit într-o formă explicită, dar - este convertit.

Acum la obiect.

Pentru a găsi derivata unei funcții implicite date, este necesar să diferențiem ambele părți ale egalității față de argumentul x, considerând y o funcție a lui x și apoi să exprimăm.

Diferențierea expresiilor care conțin x și y(x) se realizează folosind reguli de diferențiere și regula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe. Să ne uităm imediat la câteva exemple în detaliu, astfel încât să nu mai apară întrebări.

Exemplu.

Diferențierea expresiilor în x, considerând y o funcție a lui x.

Soluţie.

Deoarece y este o funcție a lui x, atunci este o funcție complexă. Poate fi reprezentat convențional ca f(g(x)), unde f este funcția cubului și g(x) = y. Apoi, conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem: .

La diferențierea celei de-a doua expresii, scoatem constanta din semnul derivat și procedăm ca în cazul precedent (aici f este funcția sinus, g(x) = y):

Pentru a treia expresie, aplicăm formula pentru derivata produsului:

Aplicând în mod consecvent regulile, diferențiem ultima expresie:

Acum puteți trece la găsirea derivatei unei funcții specificate implicit, pentru aceasta aveți toate cunoștințele.

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții implicite.

Soluţie.

Derivata unei funcții implicit specificate este întotdeauna reprezentată ca o expresie care conține x și y: . Pentru a ajunge la acest rezultat, diferențiam ambele părți ale egalității:

Să rezolvăm ecuația rezultată în raport cu derivata:

Răspuns:

.

COMENTARIU.

Pentru a consolida materialul, să rezolvăm un alt exemplu.

Vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor specificate implicit, adică specificate prin anumite ecuații care leagă variabile xŞi y. Exemple de funcții specificate implicit:

,

Derivatele de funcții specificate implicit, sau derivatele de funcții implicite, se găsesc destul de simplu. Acum să ne uităm la regula și exemplul corespunzătoare și apoi să aflăm de ce este necesar acest lucru în general.

Pentru a găsi derivata unei funcții specificată implicit, trebuie să diferențiați ambele părți ale ecuației în raport cu x. Acei termeni în care este prezent doar X se vor transforma în derivata obișnuită a funcției din X. Și termenii cu jocul trebuie diferențiați folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe, deoarece jocul este o funcție a lui X. Pentru a spune simplu, derivata rezultată a termenului cu x ar trebui să rezulte: derivata funcției din y înmulțită cu derivata din y. De exemplu, derivata unui termen va fi scrisă ca , derivata unui termen va fi scrisă ca . În continuare, din toate acestea, trebuie să exprimați această „lovitură de joc” și se va obține derivata dorită a funcției specificate implicit. Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplul 1.

Soluţie. Diferențiem ambele părți ale ecuației în raport cu x, presupunând că i este o funcție a lui x:

De aici obținem derivata care este necesară în sarcină:

Acum ceva despre proprietatea ambiguă a funcțiilor specificate implicit și de ce sunt necesare reguli speciale pentru diferențierea lor. În unele cazuri, vă puteți asigura că înlocuirea expresiei sale în termeni de x într-o ecuație dată (vezi exemplele de mai sus) în loc de y duce la faptul că această ecuație se transformă într-o identitate. Aşa. Ecuația de mai sus definește implicit următoarele funcții:

După înlocuirea expresiei jocului la pătrat prin x în ecuația originală, obținem identitatea:

.

Expresiile pe care le-am substituit au fost obținute prin rezolvarea ecuației pentru joc.

Dacă ar fi să diferențiem funcția explicită corespunzătoare

atunci vom obține răspunsul ca în exemplul 1 - de la o funcție specificată implicit:

Dar nu orice funcție specificată implicit poate fi reprezentată în formă y = f(x) . Deci, de exemplu, funcțiile specificate implicit

nu sunt exprimate prin functii elementare, adică aceste ecuații nu pot fi rezolvate în raport cu jucătorul. Prin urmare, există o regulă de diferențiere a unei funcții specificată implicit, pe care am studiat-o deja și o vom aplica în continuare consecvent în alte exemple.

Exemplul 2. Găsiți derivata unei funcții dată implicit:

.

Exprimăm primul și - la ieșire - derivata funcției specificate implicit:

Exemplul 3. Găsiți derivata unei funcții dată implicit:

.

Soluţie. Diferențiem ambele părți ale ecuației în raport cu x:

.

Exemplul 4. Găsiți derivata unei funcții dată implicit:

.

Soluţie. Diferențiem ambele părți ale ecuației în raport cu x:

.

Exprimăm și obținem derivata:

.

Exemplul 5. Găsiți derivata unei funcții dată implicit:

Soluţie. Mutăm termenii din partea dreaptă a ecuației în partea stângă și lăsăm zero în dreapta. Diferențiem ambele părți ale ecuației în raport cu x.

Formula pentru derivata unei funcții specificată implicit. Dovada și exemple de aplicare a acestei formule. Exemple de calculare a derivatelor de ordinul I, II și III.

Conţinut

Derivată de ordinul întâi

Fie specificată implicit funcția folosind ecuația
(1) .
Și lasă această ecuație, pentru o anumită valoare, să aibă o soluție unică.
.
Fie funcția o funcție diferențiabilă în punctul , și
(2) .

Apoi, la această valoare, există o derivată, care este determinată de formula:

Dovada
.
Pentru a o demonstra, considerați funcția ca o funcție complexă a variabilei:
(3) :
.
Să aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe și să găsim derivata față de o variabilă din partea stângă și dreaptă a ecuației
(4) ;
.

Deoarece derivata unei constante este zero și , atunci

Formula este dovedită.

Derivate de ordin superior
(4) .
Să rescriem ecuația (4) folosind diferite notații:
;
.
În același timp, și sunt funcții complexe ale variabilei:
(1) .

Dependența este determinată de ecuația (1):
Găsim derivata față de o variabilă din partea stângă și dreaptă a ecuației (4).
;
.
Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem:

.
Conform formulei derivatului produsului:


.

Folosind formula sumei derivate:
(5) .
Deoarece derivata părții drepte a ecuației (4) este egală cu zero, atunci

Înlocuind aici derivata, obținem valoarea derivatei de ordinul doi în formă implicită.
.
Diferențiând ecuația (5) într-un mod similar, obținem o ecuație care conține o derivată de ordinul trei:

Înlocuind aici valorile găsite ale derivatelor de ordinul întâi și al doilea, găsim valoarea derivatei de ordinul trei.

Continuând diferențierea, se poate găsi o derivată de orice ordin.

Exemple

Exemplul 1
Găsiți derivata de ordinul întâi a funcției dată implicit de ecuația: .

(P1)

Rezolvare prin formula 2
(2) .

Găsim derivata folosind formula (2):
.
Să mutăm toate variabilele în partea stângă, astfel încât ecuația să ia forma .

De aici.
;
;
;
.

Găsim derivata față de variabilă, considerând constanta variabilă.
;
;
;
.

Folosind formula (2) găsim:
.

Putem simplifica rezultatul dacă observăm că conform ecuației inițiale (A.1), .
.
Să înlocuim:
.

Înmulțiți numărătorul și numitorul cu:

Soluție a doua cale

Să rezolvăm acest exemplu în al doilea mod. Pentru a face acest lucru, vom găsi derivata față de variabila laturilor stângi și drepte ale ecuației inițiale (A1).
.
Aplicam:
;
.
Aplicam formula fractiei derivate:
.
Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe:
Găsiți derivata de ordinul întâi a funcției dată implicit de ecuația: ;
;
.
Să diferențiem ecuația originală (A1).
;
.

Înmulțim cu și grupăm termenii.
.
Să înlocuim (din ecuația (A1)):
.

Înmulțiți cu:

Exemplul 2
Găsiți derivata de ordinul doi a funcției dată implicit folosind ecuația: .

(A2.1)
;
.
Diferențiam ecuația inițială față de variabilă, considerând că este o funcție de:
.

Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe.
;
.
Să diferențiem ecuația inițială (A2.1):
.
Din ecuația inițială (A2.1) rezultă că .
;
Să înlocuim: .
Deschideți parantezele și grupați membrii:
(A2.2) .

Găsim derivata de ordinul întâi:
;
;
;
.
(A2.3)
.
Să înlocuim (din ecuația (A1)):

;
.
Pentru a găsi derivata de ordinul doi, diferențiem ecuația (A2.2).

Să substituim expresia derivatei de ordinul întâi (A2.3):

De aici găsim derivata de ordinul doi.
Exemplul 3 .

Găsiți derivata de ordinul trei a funcției dată implicit folosind ecuația:
;
;
;
;
;
;
(A3.1) ;

Diferențiam ecuația inițială față de variabilă, presupunând că este o funcție a .
;
;
;
;
;
(A3.2) .

Să diferențiem ecuația (A3.2) în raport cu variabila .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Să diferențiem ecuația (A3.3).
;
;
.