Definiţie. Diferența F (b) – F (a) se numește integrală a funcției f (x) pe intervalul [ a ; b ] și se notează astfel: = F (b) – F (a) – Formula Newton-Leibniz.

Sensul geometric al integralei.

Aria unui trapez curbiliniu delimitată de un grafic pozitiv continuu pe intervalul [a; b ] funcțiile f (x), axa Ox și liniile x=a și x= b:

Calcularea suprafețelor folosind o integrală.

1.Aria unei figuri limitate de un grafic negativ continuu pe intervalul [a; b ] funcțiile f (x), axa Ox și liniile x=a și x= b:

2. Aria figurii limitată de graficele funcțiilor continue f (x) și liniile x=a, x= b:

3. Aria figurii limitată de graficele funcțiilor continue f (x) și:

4. Aria figurii limitată de graficele funcțiilor continue f (x) și axa Ox:

Probleme și teste pe tema "Integral. Calculul suprafețelor folosind integrala"

• Integral

  Lecții: 4 Teme: 13 Teste: 1

• Calcularea suprafețelor folosind integrale - Antiderivată și integrală gradul 11

  Lecții: 1 Teme: 10 Teste: 1

• Antiderivat - Antiderivată și integrală gradul 11

  Lecții: 1 Teme: 11 Teste: 1

• Planimetrie: calculul lungimilor și ariilor

  Sarcini: 7

• Calcule și conversii - Pregatirea pentru examenul unificat de stat la matematica examenul unificat de stat la matematica

  Sarcini: 10

Înainte de a începe să calculați aria unei figuri delimitate de linii date, încercați să descrieți această figură într-un sistem de coordonate. Acest lucru va face rezolvarea problemei mult mai ușoară.

Studierea materialelor teoretice pe această temă vă oferă posibilitatea de a stăpâni conceptele de antiderivată și integrală, de a înțelege legătura dintre ele, de a stăpâni cea mai simplă tehnică de calcul integral și de a învăța să aplicați integrala la calcularea ariilor figurilor limitate de grafice ale funcțiilor .

Exemple.

1. Calculați integrala

Soluţie:

Răspuns: 0.

2. Găsiți aria figurii, limitat de linii

o) f(x) = 2 X – X 2 și axa x

Soluţie: Graficul funcției f(x) = 2x - x 2 este o parabolă. Vârf: (1; 1).

Răspuns:(unități pătrate).

Instrucţiuni

La construirea graficelor a două funcții date, în zona intersecției acestora se formează o figură închisă, delimitată de aceste curbe și două drepte x=a și x=b, unde a și b sunt capetele intervalului luat în considerare . Această cifră este reprezentată vizual printr-un accident vascular cerebral. Aria sa poate fi calculată prin integrarea diferenței funcțiilor.

Funcția situată mai sus pe grafic este o valoare mai mare, prin urmare, expresia ei va apărea mai întâi în formula: S = ∫f1 – ∫f2, unde f1 > f2 pe intervalul [a, b]. Cu toate acestea, ținând cont de faptul că valoarea cantitativă a oricărui obiect geometric este o cantitate pozitivă, putem calcula aria figurii folosind grafice ale funcțiilor modulo:
S = |∫f1 – ∫f2|.

Această opțiune este cu atât mai convenabilă dacă nu există nicio oportunitate sau timp pentru a construi un program. La calcul, ei folosesc regula Newton-Leibniz, care implică înlocuirea valorilor limită ale intervalului în rezultatul final. Atunci aria figurii este egală cu diferența dintre două valori ale antiderivatei găsite în stadiul de integrare, de la F(b) mai mare și F(a) mai mic.

Uneori, o figură închisă pe un interval dat este formată prin intersecție completă, i.e. capetele intervalului sunt puncte aparținând ambelor curbe. De exemplu: găsiți punctele de intersecție ale dreptelor y = x/2 + 5 și y = 3 x – x²/4 + 3 și calculați aria.

Soluţie.
Pentru a găsi punctele de intersecție, creați o ecuație:
x/2 + 5 = 3 x – x²/4 + 3 → x² – 10 x + 8 = 0
D = 100 - 64 = 36 → x1,2 = (10 ± 6)/2.

Deci, ați găsit capetele intervalului de integrare:
S = |∫ (3 x – x²/4 + 3 – x/2 - 5)dх| = |(5 x²/4 – x³/12 - 2 x)| ≈ 59.

Luați în considerare un alt exemplu: y1 = √(4 x + 5); y2 = x și este dată ecuația dreptei x = 3.
În această problemă, este dat doar un capăt al intervalului x=3. Aceasta înseamnă că a doua valoare trebuie găsită din grafic. Construiți liniile specificate de funcțiile y1 și y2. Evident, x=3 este o limită superioară, deci trebuie definită o limită inferioară. Pentru a face acest lucru, egalați expresiile:
√(4 x + 5) = x²
4 x + 5 = x² → x² – 4 x – 5 = 0

Găsiți rădăcinile ecuației:
D = 16 + 20 = 36 → x1 = 5; x2 = -1.
Priviți graficul, valoarea inferioară a intervalului este -1. Deoarece y1 este situat deasupra y2, atunci:
S = ∫(√(4 x + 5) - x)dx pe intervalul [-1; 3].
S = (1/3 √((4 x + 5)³) – x²/2) = 19.

Surse:

• găsiți aria unei figuri mărginite de graficul funcției

Sfat 2: Cum se calculează aria unei figuri delimitate de linii

Instrucţiuni

Calculați punctele de intersecție ale acestor drepte. Pentru a face acest lucru, aveți nevoie de funcțiile lor, unde y va fi exprimat prin x1 și x2. Creați un sistem de ecuații și rezolvați-l. X1 și x2 pe care le-ați găsit sunt abscisele punctelor de care aveți nevoie. Înlocuiți-le în cele originale pentru fiecare x și găsiți valorile ordonatelor. Acum aveți punctele în care liniile se intersectează.

Desenați linii care se intersectează în funcție de funcțiile lor. Dacă figura se dovedește a fi deschisă, atunci în cele mai multe cazuri este limitată și de axa abscisă sau ordonată sau de ambele axe de coordonate simultan (în funcție de figura rezultată).

Umbriți figura rezultată. Aceasta este o tehnică standard de proiectare acest gen sarcini. Hașura se face din colțul din stânga sus până în colțul din dreapta jos cu linii situate la distanțe egale. Acest lucru pare extrem de dificil la prima vedere, dar dacă vă gândiți bine, acestea sunt întotdeauna aceleași și, amintindu-le, puteți scăpa ulterior de problemele asociate cu calcularea zonei.

Calculați aria unei figuri în funcție de ea. Dacă forma este simplă (cum ar fi un pătrat, un triunghi, un romb etc.), atunci utilizați formulele de bază din cursul de geometrie. Fiți atenți când calculați, deoarece calculele incorecte nu vor da rezultatul dorit și toată munca poate fi în zadar.

Efectuați calcule complexe folosind o formulă dacă cifra nu este una standard. Pentru a compune formula, calculați integrala din diferența dintre formulele funcției. Pentru a găsi integrala, puteți folosi formula Newton-Leibniz sau teorema fundamentală a analizei. Este după cum urmează: dacă funcția f este continuă pe intervalul de la a la b și ɸ este derivata ei pe acest interval, atunci este valabilă următoarea egalitate: integrala de la a la b a lui f(x)dx = F(b) - F(a).

Sensul geometric al unei integrale definite este aria unui trapez curbiliniu. Pentru a găsi aria unei figuri delimitate de linii, se folosește una dintre proprietățile integralei, care este aditivitatea ariilor integrate pe același segment de funcții.

Instrucţiuni

Apoi aria figurii poate fi exprimată printr-o formulă care integrează diferența de funcții pe interval. Integrala se calculează conform legii Newton-Leibniz, conform căreia rezultatul este egal cu diferența funcției antiderivative față de valorile la limită ale intervalului.

Exemplul 1.
Aflați aria figurii mărginită de drepte y = -1/3 x – ½, x = 1, x = 4 și o parabolă y = -x² + 6 x – 5.

Soluţie.
Trasează grafice ale tuturor liniilor. Puteți vedea că linia parabolei este deasupra dreptei y = -1/3 x – ½. Prin urmare, sub semnul integral în în acest caz, trebuie să existe o diferență între ecuația parabolei și linia dreaptă dată. Intervalul de integrare, în consecință, este între punctele x = 1 și x = 4:
S = ∫(-x² + 6 x – 5 – (-1/3 x – 1/2))dx = (-x² +19/3 x – 9/2)dx pe segment .

Găsiți antiderivată pentru integrandul rezultat:
F(-x² + 19/3x – 9/2) = -1/3x³ + 19/6x² – 9/2x.

Înlocuiți valorile capetelor segmentului:
S = (-1/3·4³ + 19/6·4² – 9/2·4) – (-1/3·1³ + 19/6·1² – 9/2·1) = 13.

Exemplul 2.
Calculați aria figurii delimitată de liniile y = √(x + 2), y = x și linia x = 7.

Soluţie.
Această problemă este mai dificilă decât cea anterioară, deoarece nu există o a doua linie dreaptă paralelă cu axa x. Aceasta înseamnă că a doua valoare limită a integralei este nedefinită. Prin urmare, trebuie găsit din grafic. Desenați liniile date.

Veți vedea că linia dreaptă y = x se desfășoară în diagonală față de axele de coordonate. Iar graficul funcției rădăcină este jumătatea pozitivă a parabolei. Evident, liniile de pe grafic se intersectează, deci punctul de intersecție va fi limita inferioară de integrare.

Găsiți punctul de intersecție rezolvând ecuația:
x = √(x + 2) → x² = x + 2 → x² – x – 2 = 0.

Identificați rădăcinile ecuație pătratică folosind un discriminant:
D = 9 → x1 = 2; x2 = -1.

Evident, valoarea -1 nu este potrivită, deoarece abscisa curenților de traversare este o valoare pozitivă. Prin urmare, a doua limită de integrare este x = 2. Funcția y = x de pe grafic este deasupra funcției y = √(x + 2), deci va fi prima în integrală.
Integrați expresia rezultată pe interval și găsiți aria figurii:
S = ∫(x - √(x + 2))dx = (x²/2 – 2/3·(x + 2)^(3/2)).

Înlocuiți valorile intervalului:
S = (7²/2 – 2/3 9^(3/2)) – (2²/2 – 2/3 4^(3/2)) = 59/6.

Surse:

• găsiți zona delimitată de linii

Sfat 4: Cum se calculează aria unei figuri delimitate de o parabolă

De asemenea, se știe din cursul școlii că pentru a găsi zonele figurilor pe planul de coordonate, trebuie să cunoașteți un astfel de concept ca o integrală. Pentru a-l folosi pentru a determina ariile trapezelor curbilinie - așa se numesc aceste cifre - este suficient să cunoașteți anumiți algoritmi.

În secțiunea anterioară despre parsare sens geometric integrală definită, am primit o serie de formule pentru calcularea ariei unui trapez curbiliniu:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nenegativă y = f (x) pe intervalul [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nepozitivă y = f (x) pe intervalul [ a ; b ] .

Aceste formule sunt aplicabile pentru rezolvarea unor probleme relativ simple. În realitate, de multe ori va trebui să lucrăm cu figuri mai complexe. În acest sens, vom dedica această secțiune unei analize a algoritmilor pentru calcularea ariei figurilor care sunt limitate de funcții în formă explicită, de exemplu. cum ar fi y = f(x) sau x = g(y).

Teorema

Fie definite şi continue funcţiile y = f 1 (x) şi y = f 2 (x) pe intervalul [ a ; b ] și f 1 (x) ≤ f 2 (x) pentru orice valoare x din [ a ; b ] . Apoi formula pentru calcularea ariei figurii G, mărginită de liniile x = a, x = b, y = f 1 (x) și y = f 2 (x) va arăta ca S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

O formulă similară va fi aplicabilă pentru aria unei figuri mărginite de liniile y = c, y = d, x = g 1 (y) și x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Dovada

Să ne uităm la trei cazuri pentru care formula va fi valabilă.

În primul caz, ținând cont de proprietatea de aditivitate a ariei, suma ariilor figurii originale G și a trapezului curbiliniu G1 este egală cu aria figurii G2. Aceasta înseamnă că

Prin urmare, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Putem efectua ultima tranziție folosind a treia proprietate a integralei definite.

În al doilea caz, egalitatea este adevărată: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Ilustrația grafică va arăta astfel:

Dacă ambele funcții sunt nepozitive, obținem: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrația grafică va arăta astfel:

Să trecem la considerarea cazului general când y = f 1 (x) și y = f 2 (x) intersectează axa O x.

Punctele de intersecție notăm ca x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Aceste puncte despart segmentul [a; b ] în n părţi x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, unde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Prin urmare,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Putem face ultima tranziție folosind a cincea proprietate a integralei definite.

Să ilustrăm cazul general pe grafic.

Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x poate fi considerată dovedită.

Acum să trecem la analizarea exemplelor de calcul al ariei figurilor care sunt limitate de liniile y = f (x) și x = g (y).

Vom începe analiza oricăruia dintre exemple prin construirea unui grafic. Imaginea ne va permite să reprezentăm forme complexe ca uniuni de forme mai simple. Dacă construirea de grafice și figuri pe ele vă provoacă dificultăți, puteți studia secțiunea privind funcțiile elementare de bază, transformarea geometrică a graficelor de funcții și, de asemenea, construirea de grafice în timp ce studiați o funcție.

Exemplul 1

Este necesar să se determine aria figurii, care este limitată de parabola y = - x 2 + 6 x - 5 și linii drepte y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Soluţie

Să desenăm liniile pe grafic în sistemul de coordonate carteziene.

Pe segmentul [ 1 ; 4 ] graficul parabolei y = - x 2 + 6 x - 5 este situat deasupra dreptei y = - 1 3 x - 1 2. În acest sens, pentru a obține răspunsul folosim formula obținută mai devreme, precum și metoda de calcul a integralei definite folosind formula Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Răspuns: S(G) = 13

Să ne uităm la un exemplu mai complex.

Exemplul 2

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x + 2, y = x, x = 7.

Soluţie

În acest caz, avem o singură linie dreaptă situată paralelă cu axa x. Acesta este x = 7. Aceasta ne cere să găsim noi înșine a doua limită a integrării.

Să construim un grafic și să trasăm pe el liniile date în enunțul problemei.

Având graficul în fața ochilor, putem determina cu ușurință că limita inferioară de integrare va fi abscisa punctului de intersecție a graficului dreptei y = x și semi-parabola y = x + 2. Pentru a găsi abscisa folosim egalitățile:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Rezultă că abscisa punctului de intersecție este x = 2.

Vă atragem atenția asupra faptului că în exemplu generalîn desen, liniile y = x + 2, y = x se intersectează în punctul (2; 2), astfel încât astfel de calcule detaliate pot părea inutile. Am oferit aici o soluție atât de detaliată doar pentru că în cazuri mai complexe soluția poate să nu fie atât de evidentă. Aceasta înseamnă că este mai bine să calculați întotdeauna coordonatele intersecției liniilor analitic.

Pe intervalul [ 2 ; 7] graficul funcției y = x este situat deasupra graficului funcției y = x + 2. Să aplicăm formula pentru a calcula suprafața:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Răspuns: S (G) = 59 6

Exemplul 3

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de graficele funcțiilor y = 1 x și y = - x 2 + 4 x - 2.

Soluţie

Să trasăm liniile pe grafic.

Să definim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale liniilor prin echivalarea expresiilor 1 x și - x 2 + 4 x - 2. Cu condiția ca x să nu fie zero, egalitatea 1 x = - x 2 + 4 x - 2 devine echivalentă cu ecuația de gradul trei - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 cu coeficienți întregi. Pentru a vă reîmprospăta memoria algoritmului pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, ne putem referi la secțiunea „Rezolvarea ecuațiilor cubice”.

Rădăcina acestei ecuații este x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Împărțind expresia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 la binomul x - 1, obținem: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Putem găsi rădăcinile rămase din ecuația x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Am găsit intervalul x ∈ 1; 3 + 13 2, în care figura G este cuprinsă deasupra liniei albastre și sub linia roșie. Acest lucru ne ajută să determinăm aria figurii:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Răspuns: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Exemplul 4

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de curbele y = x 3, y = - log 2 x + 1 și de axa absciselor.

Soluţie

Să trasăm toate liniile pe grafic. Putem obține graficul funcției y = - log 2 x + 1 din graficul y = log 2 x dacă îl poziționăm simetric față de axa x și îl mutăm cu o unitate în sus. Ecuația axei x este y = 0.

Să marchem punctele de intersecție ale dreptelor.

După cum se poate observa din figură, graficele funcțiilor y = x 3 și y = 0 se intersectează în punctul (0; 0). Acest lucru se întâmplă deoarece x = 0 este singura rădăcină reală a ecuației x 3 = 0.

x = 2 este singura rădăcină a ecuației - log 2 x + 1 = 0, deci graficele funcțiilor y = - log 2 x + 1 și y = 0 se intersectează în punctul (2; 0).

x = 1 este singura rădăcină a ecuației x 3 = - log 2 x + 1 . În acest sens, graficele funcțiilor y = x 3 și y = - log 2 x + 1 se intersectează în punctul (1; 1). Ultima afirmație poate să nu fie evidentă, dar ecuația x 3 = - log 2 x + 1 nu poate avea mai mult de o rădăcină, deoarece funcția y = x 3 este strict crescătoare, iar funcția y = - log 2 x + 1 este strict în scădere.

Soluția ulterioară implică mai multe opțiuni.

Opțiunea #1

Ne putem imagina figura G ca suma a două trapeze curbilinii situate deasupra axei x, primul fiind situat sub linia mediană a segmentului x ∈ 0; 1, iar al doilea este sub linia roșie pe segmentul x ∈ 1; 2. Aceasta înseamnă că aria va fi egală cu S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opțiunea nr. 2

Figura G poate fi reprezentată ca diferența a două figuri, dintre care prima este situată deasupra axei x și sub linia albastră pe segmentul x ∈ 0; 2, iar al doilea între liniile roșii și albastre de pe segmentul x ∈ 1; 2. Acest lucru ne permite să găsim zona după cum urmează:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

În acest caz, pentru a găsi aria va trebui să utilizați o formulă de forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fapt, liniile care delimitează figura pot fi reprezentate ca funcții ale argumentului y.

Să rezolvăm ecuațiile y = x 3 și - log 2 x + 1 în raport cu x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Obținem zona necesară:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Răspuns: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Exemplul 5

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Soluţie

Vom trasa o linie pe grafic cu o linie roșie, dat de functie y = x. Desenăm linia y = - 1 2 x + 4 în albastru, iar linia y = 2 3 x - 3 în negru.

Să marchem punctele de intersecție.

Să găsim punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor y = x și y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Verificați: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nu Este soluția ecuației x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 este soluția ecuației ⇒ (4; 2) punctul de intersecție i y = x și y = - 1 2 x + 4

Să găsim punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y = x și y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verificați: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 este soluția ecuației ⇒ (9 ; 3) punctul a s y = x și y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Nu există o soluție a ecuației

Să găsim punctul de intersecție al dreptelor y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punctul de intersecție y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3

Metoda nr. 1

Să ne imaginăm aria figurii dorite ca suma suprafețelor figurilor individuale.

Atunci aria figurii este:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda nr. 2

Aria figurii originale poate fi reprezentată ca suma a altor două figuri.

Apoi rezolvăm ecuația dreptei relativ la x și numai după aceea aplicăm formula de calcul a ariei figurii.

y = x ⇒ x = y 2 linie roșie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linie neagră y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Deci zona este:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

După cum puteți vedea, valorile sunt aceleași.

Răspuns: S (G) = 11 3

Rezultate

Pentru a găsi aria unei figuri care este limitată de linii date, trebuie să construim linii pe un plan, să găsim punctele lor de intersecție și să aplicăm formula pentru a găsi aria. ÎN această secțiune Ne-am uitat la cele mai comune variante de probleme.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Începem să luăm în considerare procesul real de calcul al integralei duble și să ne familiarizăm cu semnificația ei geometrică.

Dubla integrală numeric egal cu aria figură plată (regiune de integrare). Acest cea mai simplă formă integrală dublă, când funcția a două variabile este egală cu una: .

Să luăm în considerare mai întâi problema în vedere generală. Acum vei fi destul de surprins cât de simplu este totul cu adevărat! Să calculăm aria unei figuri plate delimitate de linii. Pentru certitudine, presupunem că pe segmentul . Aria acestei figuri este numeric egală cu:

Să reprezentăm zona din desen:

Să alegem primul mod de a traversa zona:

Astfel:

Și imediat o tehnică tehnică importantă: integralele iterate pot fi calculate separat. Mai întâi integrala interioară, apoi integrala exterioară. Recomand cu caldura aceasta metoda incepatorilor in materie.

1) Să calculăm integrala internă, iar integrarea se efectuează peste variabila „y”:

Integrala nedefinită aici este cea mai simplă, iar apoi se folosește formula banală Newton-Leibniz, cu singura diferență că limitele integrării nu sunt numerele, ci funcțiile. Mai întâi au pus-o în „Y” ( funcția antiderivată) limita superioară, apoi limita inferioară

2) Rezultatul obţinut la primul paragraf trebuie înlocuit în integrala externă:

O reprezentare mai compactă a întregii soluții arată astfel:

Formula rezultată - exact asta formula de lucru pentru a calcula aria unei figuri plane folosind integrala definită „obișnuită”! Urmărește lecția Calcularea ariei folosind o integrală definită, acolo este ea la fiecare pas!

adica problema calculării ariei folosind integrală dublă nu mult diferit din problema găsirii zonei folosind o integrală definită! De fapt, este același lucru!

Prin urmare, nu ar trebui să apară dificultăți! Nu mă voi uita la foarte multe exemple, deoarece, de fapt, ați întâlnit în mod repetat această sarcină.

Exemplul 9

Soluţie: Să reprezentăm zona din desen:

Să alegem următoarea ordine de parcurgere a zonei:

Aici și mai departe nu mă voi opri asupra modului de parcurgere a zonei, deoarece în primul paragraf au fost date explicații foarte detaliate.

Astfel:

După cum am menționat deja, este mai bine pentru începători să calculeze integrale iterate separat și voi rămâne la aceeași metodă:

1) În primul rând, folosind formula Newton-Leibniz, ne ocupăm de integrala internă:

2) Rezultatul obținut în prima etapă este înlocuit în integrala externă:

Punctul 2 este de fapt găsirea aria unei figuri plane folosind o integrală definită.

Răspuns:

Aceasta este o sarcină atât de stupidă și naivă.

Un exemplu interesant pentru decizie independentă:

Exemplul 10

Folosind o integrală dublă, calculați aria unei figuri plane delimitată de liniile , ,

Un exemplu aproximativ de soluție finală la sfârșitul lecției.

În Exemplele 9-10, este mult mai profitabil să folosești prima metodă de parcurgere a zonei, cititorii curioși, de altfel, pot schimba ordinea de parcurgere și pot calcula zonele folosind a doua metodă; Dacă nu greșești, atunci, în mod natural, vei obține aceleași valori de suprafață.

Dar, în unele cazuri, a doua metodă de traversare a zonei este mai eficientă, iar la sfârșitul cursului tânărului tocilar, să ne uităm la câteva exemple pe acest subiect:

Exemplul 11

Folosind o integrală dublă, calculați aria unei figuri plane delimitată de linii,

Soluţie: Așteptăm cu nerăbdare două parabole cu o ciudată care se află pe o parte. Nu este nevoie să zâmbești lucruri similare destul de des în integrale multiple.

Care este cel mai simplu mod de a face un desen?

Să ne imaginăm parabola ca două funcții:
– ramura superioară și – ramura inferioară.

În mod similar, imaginați-vă o parabolă sub formă de sus și de jos ramuri.

Apoi, graficul punctual al regulilor graficelor, rezultând o cifră atât de bizară:

Calculăm aria figurii folosind integrala dublă conform formulei:

Ce se întâmplă dacă alegem prima metodă de parcurgere a zonei? În primul rând, această zonă va trebui împărțită în două părți. Și în al doilea rând, vom observa această imagine tristă: . Integralele, desigur, nu sunt de un nivel supercomplicat, dar... există o veche zicală matematică: cei care sunt aproape de rădăcinile lor nu au nevoie de un test.

Prin urmare, din neînțelegerea dată în condiție, exprimăm funcțiile inverse:

Funcții inverse în în acest exemplu au avantajul că precizează întreaga parabola deodată fără frunze, ghinde, ramuri și rădăcini.

Conform celei de-a doua metode, traversarea zonei va fi după cum urmează:

Astfel:

După cum se spune, simți diferența.

1) Ne ocupăm de integrala internă:

Înlocuim rezultatul în integrala exterioară:

Integrarea peste variabila „y” nu ar trebui să fie confuză dacă ar exista o litera „zy”, ar fi grozav să o integrezi; Deși cine a citit al doilea paragraf al lecției Cum se calculează volumul unui corp de revoluție, nu mai experimentează nici cea mai mică stânjeneală cu integrarea după metoda „Y”.

Atenție și la primul pas: integrandul este par, iar intervalul de integrare este simetric față de zero. Prin urmare, segmentul poate fi înjumătățit, iar rezultatul poate fi dublat. Această tehnică este comentată în detaliu în lecție. Metode eficiente calculul unei integrale definite.

Ce să adaugi... Toate!

Răspuns:

Pentru a vă testa tehnica de integrare, puteți încerca să calculați . Răspunsul ar trebui să fie exact același.

Exemplul 12

Folosind o integrală dublă, calculați aria unei figuri plane delimitată de linii

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Este interesant de observat că, dacă încercați să utilizați prima metodă de parcurgere a zonei, figura nu va mai trebui împărțită în două, ci în trei părți! Și, în consecință, obținem trei perechi de integrale repetate. Se întâmplă și asta.

Clasa de master s-a încheiat și este timpul să trecem la nivelul de mare maestru - Cum se calculează integrala dublă? Exemple de soluții. Voi încerca să nu fiu atât de maniac în al doilea articol =)

iti doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2:Soluţie: Să descriem zona pe desen:

Să alegem următoarea ordine de parcurgere a zonei:

Astfel:
Să trecem la funcțiile inverse:


Astfel:
Răspuns:

Exemplul 4:Soluţie: Să trecem la funcțiile directe:


Să facem desenul:

Să schimbăm ordinea de parcurgere a zonei:

Răspuns:

De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atâtea cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, cu atât mai mult problemă de actualitate vor fi cunoștințele și abilitățile tale în desen. În acest sens, este util să vă reîmprospătați memoria graficelor principale functii elementare, și, cel puțin, să fie capabil să construiască o linie dreaptă și o hiperbolă.

Un trapez curbat este o figură plată delimitată de o axă, linii drepte și graficul unei funcții continuă pe un segment care nu își schimbă semnul în acest interval. Să fie localizată această cifră nu mai jos axa x:

Apoi aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o integrală definită. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună.

Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.

adica o anumită integrală (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită. Integrandul definește o curbă pe planul situat deasupra axei (cei care doresc pot face un desen), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de atribuire. Primul și cel mai important punct al deciziei este construcția desenului. Mai mult, desenul trebuie construit CORECT.

Când construiți un desen, vă recomand următoarea ordine: la început este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai Apoi- parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Este mai profitabil să construiești grafice ale funcțiilor punct cu punct.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să desenăm desenul (rețineți că ecuația definește axa):

Pe segment se află graficul funcției deasupra axei, De aceea:

Răspuns:

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „prin ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluţie: Hai să facem un desen:

Dacă este localizat un trapez curbat sub ax(sau cel putin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:

În acest caz:

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în ​​semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 4

Aflați aria unei figuri plane delimitată de liniile , .

Soluţie: Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:

Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării este , limita superioară a integrării este .

Dacă este posibil, este mai bine să nu utilizați această metodă..

Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.

Să revenim la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să facem desenul:

Și acum formula de lucru: Dacă există o funcție continuă pe segment mai mare sau egal cu unele funcție continuă, atunci aria figurii limitată de graficele acestor funcții și liniile , , poate fi găsită folosind formula:

Aici nu mai trebuie să vă gândiți la locul în care se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează care grafic este MAI MARE(față de alt grafic), și care este JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Soluția finalizată ar putea arăta astfel:

Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Exemplul 4

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Soluţie: Mai întâi, să facem un desen:

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch” în care trebuie să găsiți zona unei figuri care este umbrită în verde!

Acest exemplu este util și prin faptul că calculează aria unei figuri folosind două integrale definite.

într-adevăr:

1) Pe segmentul de deasupra axei se află un grafic al unei drepte;

2) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic al unei hiperbole.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare: