Pentru a estima aria unui poligon pe hârtie în carouri, este suficient să numărăm câte celule acoperă acest poligon (luăm aria unei celule ca una). Mai precis, dacă S- aria poligonului, - numărul de celule care se află în întregime în interiorul poligonului și - numărul de celule care au cel puțin un punct comun cu interiorul poligonului.

Mai jos vom lua în considerare doar astfel de poligoane, ale căror vârfuri se află în nodurile hârtiei în carouri - în acelea în care liniile grilei se intersectează. Se pare că pentru astfel de poligoane se poate specifica următoarea formulă:

unde este zona, r- numărul de noduri care se află strict în interiorul poligonului.

Această formulă se numește „formula Pick” - după matematicianul care a descoperit-o în 1899.

Triunghiuri simple

Aria oricărui triunghi desenat pe hârtie în carouri poate fi calculată cu ușurință prezentându-l ca sumă sau diferență de suprafețe triunghiuri dreptunghiulareși dreptunghiuri, ale căror laturi urmează liniile grilei care trec prin vârfurile triunghiului desenat. După ce ați făcut acest lucru, de exemplu, pentru triunghiurile prezentate în Figura 1.34, vă puteți asigura că aria este întotdeauna egală cu numărul „primit” - un număr al formei, unde este un număr întreg.

Să numim un triunghi simplu dacă nu există noduri de plasă în interiorul sau pe laturile sale, cu excepția vârfurilor sale. Toate triunghiurile simple din fig. 1.34 au suprafata. Vom vedea că acest lucru nu este întâmplător.

Sarcină. Trei lăcuste (trei puncte) la momentul inițial de timp stau la cele trei vârfuri ale unei celule și apoi încep să „joace săritură”: fiecare poate sări peste una dintre celelalte două, după care ajunge la un punct relativ simetric. la propriu (Fig. 1.35, clar, că după orice număr de astfel de sărituri lăcustele vor cădea în nodurile hârtiei în carouri). În ce triple de puncte pot ajunge lăcustele după câteva sărituri?

Să numim un triunghi accesibil dacă trei lăcuste pot apărea simultan la vârfurile sale, care erau inițial la trei vârfuri ale unei celule; vom numi un salt o transformare a unui triunghi, care constă în faptul că unul dintre vârfuri merge într-un punct care este simetric față de oricare dintre celelalte două vârfuri (aceste două vârfuri rămân pe loc).

Teorema 1. Următoarele trei proprietăți ale triunghiurilor cu vârfuri la nodurile de hârtie în carouri sunt echivalente între ele:

1) triunghiul are arie,

2) triunghiul este simplu,

3) triunghiul este accesibil.

Să facem cunoștință cu următoarele proprietăți ale unui triunghi simplu, care duc la valabilitatea acestei teoreme.

1. Zona triunghiului nu se schimbă la sărituri.

2. Orice triunghi accesibil are arie.

3. Dacă completați un triunghi simplu ABC la paralelogram ABCD, atunci nu vor exista noduri (fără numărarea vârfurilor) nici în interiorul, nici pe laturile acestui paralelogram.

4. Dintr-un triunghi simplu la sarituri se obtine un triunghi simplu.

5. Dintr-un triunghi simplu, unul dintre unghiuri este obtuz sau drept (iar acest din urmă caz ​​este posibil numai pentru un triunghi ale cărui trei vârfuri aparțin unei singure celule; un astfel de triunghi simplu cu laturile 1, 1 va fi numit minim.)

6. Din orice triunghi simplu non-minimal se poate obtine dintr-o saritura un triunghi a carui latura cea mai lunga este mai mica decat cea mai lunga latura a celui original.

7. Orice triunghi simplu poate fi transformat într-unul minim printr-un număr finit de sărituri.

8. Orice triunghi simplu este accesibil.

9. Orice triunghi simplu are aria.

10. Orice triunghi poate fi tăiat în unele simple.

11. Aria oricărui triunghi este egală și de fiecare dată când este tăiat în numere prime, numărul lor este egal m.

12. Orice triunghi de arie este simplu.

13. Pentru oricare două noduri OŞi ÎN zăbrele, pe un segment între care nu există alte noduri, există un nod CU astfel încât un triunghi ABC- simplu.

14. Nod CUîn proprietatea anterioară puteți alege întotdeauna astfel încât unghiul DIA va fi obtuz sau drept.

15. Să fie tăiat planul în carouri în paralelograme egale, astfel încât toate nodurile să fie vârfuri ale paralelogramelor. Apoi fiecare dintre triunghiurile în care unul dintre aceste paralelograme este tăiat de diagonala sa este simplu.

16. (Reversul 15). Triunghi ABC- simplu dacă și numai dacă toate triunghiurile posibile obținute din ABC translații paralele care transferă nodul Oîn diferite noduri de zăbrele, nu se suprapun între ele.

17. Dacă rețeaua - nodurile de hârtie în carouri - este împărțită în patru subrețele cu celule (Fig. 1.36), atunci vârfurile unui triunghi simplu vor cădea neapărat în trei subrețele diferite (toate trei au denumiri diferite).

Următoarele două proprietăți oferă răspunsul la problema celor trei lăcuste.

18. Trei lăcuste pot lovi simultan acele și numai acele triple de puncte care servesc ca vârfuri ale unui triunghi simplu și au același semn cu vârfurile corespunzătoare ale triunghiului inițial.

19. Două lăcuste pot lovi simultan acele și numai acele perechi de noduri ale semnelor corespunzătoare, pe segmentul între care nu există alte noduri.

Triangularea poligonului

Vom lua în considerare un anumit tip de poligoane pe hârtie în carouri, care corespund valorilor din formula Pick. Dar din acest caz particular puteți trece direct la cel mai general, folosind teorema privind tăierea unui poligon arbitrar în triunghiuri (hârtia în carouri nu mai este necesară).

Să fie date în plan un poligon și o mulțime finită LA punctele aflate în interiorul poligonului și pe marginea acestuia (și toate vârfurile poligonului aparțin mulțimii LA).

Triangulație cu vârfuri LA se numește împărțire a unui poligon dat în triunghiuri cu vârfuri în mulțime LA astfel încât fiecare punct de la LA servește ca vârf al fiecăruia dintre acele triunghiuri de triunghiulare cărora le aparține acest punct (adică punctele din LA să nu cadă în interiorul sau pe laturile triunghiurilor, fig. 1.37).

Teorema 2. a) Oricare n-un triunghi poate fi tăiat în diagonală în triunghiuri, iar numărul de triunghiuri va fi egal n- 2 (această partiție este o triangulație cu vârfuri la vârfuri n-gon).

b) Să fie marcată limita poligonului r puncte (inclusiv toate vârfurile), în interior - mai mult i puncte. Apoi există o triangulație cu vârfuri în punctele marcate, iar numărul de triunghiuri ale unei astfel de triunghiuri va fi egal.

Desigur, a) este un caz special al lui b), când.

Valabilitatea acestei teoreme rezultă din următoarele afirmații.

1) De la vârful celui mai mare unghi n-gon(), puteți desena întotdeauna o diagonală care se află în întregime în interiorul poligonului.

2) Dacă n-patratul se taie in diagonala r-pătrat și q-gon, atunci.

3) Suma unghiurilor n-gon este egal.

4) Oricare n-un triunghi poate fi tăiat în diagonală în triunghiuri.

5) Pentru orice triunghi, în interiorul și pe marginea căruia sunt marcate mai multe puncte (inclusiv toate cele trei vârfuri ale sale), există o triangulație cu vârfuri la punctele marcate.

6) Același lucru este valabil pentru oricine n-gon.

7) Numărul de triunghiuri de triunghiulare este egal cu, unde iŞi r- numărul de puncte marcate, respectiv, în interiorul și pe marginea poligonului. Să numim partiția n-gon în mai multe poligoane este corectă dacă fiecare vârf al unuia dintre poligoanele partiției servește ca vârf al tuturor celorlalte poligoane ale partiției căreia îi aparține. 8) Dacă din vârfuri k-gonuri în care sunt împărțite în mod corect n-gon, i vârfurile se află în interior și r- la granita n-gon, apoi cantitatea k-goniile sunt egale

9) Dacă punctele planului și segmentele cu capete în aceste puncte formează un poligon, împărțit corect în poligoane, atunci (Fig. 1.38)

Din teoremele 1 și 2 urmează formula vârfului:

1.5 Teorema lui Pitagora privind suma ariilor pătratelor construite pe laturile unui triunghi dreptunghic

Teorema. Suma ariilor pătratelor construite pe laturile unui triunghi dreptunghic este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuza acestui triunghi. Lasă ABC(Fig. 1.39) este un triunghi dreptunghic și BDEA, AFGEŞi BCKH- pătrate construite pe catetele sale și ipotenuză; trebuie să demonstrați că suma ariilor primelor două pătrate este egală cu aria celui de-al treilea pătrat.

Să ducem la îndeplinire Soare. Apoi pătrat BCKH va fi împărțit în două dreptunghiuri. Să demonstrăm că dreptunghiul BLMH egal cu un pătrat BDEA, și dreptunghiul LCKM egal cu un pătrat AFGC.

Să desenăm linii auxiliare DCŞi UN. Luați în considerare triunghiuri DCBŞi ABH. Triunghi DCB având o bază BD, comun cu pătratul BDEA, și înălțimea CN, egală cu înălțimea AB acest pătrat este egal cu jumătate din pătrat. Triunghi AVN având o bază VN, comun cu dreptunghi BLMH, și înălțimea AR, egală cu înălțimea B.L. a acestui dreptunghi, egală ca mărime cu jumătatea lui. Comparând aceste două triunghiuri unul cu altul, constatăm că au BD = VAŞi BC = VN(ca laturile unui pătrat);

În plus, DCB = AVN, deoarece fiecare dintre aceste unghiuri constă dintr-o parte comună - ABC si unghi drept. Deci triunghiuri AVNŞi BCD sunt egali. Rezultă că dreptunghiul BLMN egal cu un pătrat BDEA. În același mod se demonstrează că dreptunghiul LGKM egal cu un pătrat AFGC. Rezultă că pătratul VSKN egală cu suma pătratelor BDEAŞi AFGC.

Un poligon fără auto-intersecții se numește rețea dacă toate vârfurile sale sunt situate în puncte cu coordonate întregi (în sistemul de coordonate carteziene).

Teorema lui Pick

Formula

Să ni se dea un poligon reticulat cu o zonă diferită de zero.

Să notăm aria sa cu ; numărul de puncte cu coordonate întregi care se află strict în interiorul poligonului; numărul de puncte cu coordonate întregi situate pe laturile poligonului - prin .

Apoi relația a numit Formula lui Pick:

În special, dacă valorile lui I și B sunt cunoscute pentru un anumit poligon, atunci aria acestuia poate fi calculată ca , chiar și fără a cunoaște coordonatele vârfurilor sale.

Această relație a fost descoperită și dovedită de matematicianul austriac Georg Alexander Pick în 1899.

Dovada

Demonstrarea se realizează în mai multe etape: de la cele mai simple figuri la poligoane arbitrare:

Generalizare la dimensiuni superioare

Din păcate, această formulă Peake simplă și frumoasă nu se generalizează bine la dimensiuni mai mari.

Acest lucru a fost demonstrat clar de Reeve, care a propus în 1957 să ia în considerare tetraedrul (numit în prezent tetraedrul Reeve) cu următoarele vârfuri:

unde - oricare număr natural. Atunci acest tetraedru, pentru oricare, nu conține un singur punct cu coordonate întregi în interior, iar pe granița lui există doar patru puncte , , , și nici altele. Astfel, volumul și suprafața acestui tetraedru pot fi diferite, în timp ce numărul de puncte din interior și de pe graniță este neschimbat; prin urmare, formula lui Pick nu permite generalizări nici măcar la cazul tridimensional.

Cu toate acestea, există încă o generalizare similară la spațiile de dimensiuni mai mari - aceasta polinoame Ehrhart(Polinom Ehrhart), dar sunt foarte complexe și depind nu numai de numărul de puncte din interiorul și de marginea figurii.

Înapoi Înainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Lideri:

• Mogutova Tatiana Mihailovna
• Deryushkina Oksana Valerievna

Motto-ul proiectului:

„Dacă vrei să înveți să înoți, atunci intră cu îndrăzneală în apă.
iar dacă vrei să înveți cum să rezolvi problemele, atunci rezolvă-le.”
D. Poya.

Alegerea temei proiectului nu este întâmplătoare. Metodele de găsire a zonei unui poligon desenat pe „celule” este un subiect foarte interesant.

Cunoaștem diferite modalități de a finaliza astfel de sarcini: metoda adunării, metoda scăderii etc.

Ne-a interesat foarte mult această temă, am studiat multă literatură și, spre marea noastră bucurie, am găsit o altă metodă, o metodă necunoscută în programa școlară, dar o metodă minunată! Calculul ariei folosind o formulă derivată de savantul și matematicianul austriac Georg Pieck.

Ne-am hotărât să studiem formula Peak, cu ajutorul căreia este foarte ușor să îndeplinim sarcini de găsire a zonei!

Scopul studiului

1. Studiul formulei Pick.

2. Extinderea cunoștințelor despre varietatea problemelor pe hârtie în carouri, despre tehnici și metode de rezolvare a acestor probleme.

Sarcini:

1. Selectați material pentru cercetare, alegeți informațiile principale, interesante, ușor de înțeles

2. Analizați și sistematizați informațiile primite

3. Creați o prezentare electronică a lucrării pentru a prezenta materialul colectat colegilor de clasă

4. Trageți concluzii pe baza rezultatelor lucrării.

5. Selectați cele mai interesante exemple ilustrative.

Metode de cercetare:

1. Simulare

2. Construcție

3. Analiza și clasificarea informațiilor

4. Comparație, generalizare

5. Studiul resurselor literare și internetului

Georg Pieck este un om de știință și matematician austriac. Pick a intrat la universitatea din Viena în 1875. A publicat prima sa lucrare la vârsta de 17 ani. Gama intereselor sale matematice era extrem de largă. 67 dintre lucrările sale sunt dedicate multor ramuri ale matematicii, cum ar fi: algebră liniară, calcul integral, geometrie, analiză funcțională, teoria potențialului.

Teorema cunoscută pe scară largă a apărut într-o colecție de lucrări ale lui Peake în 1899.

Teorema a atras destul de multă atenție și a început să atragă admirația pentru simplitatea și eleganța sa.

Formula lui Pick, o formulă pentru calcularea ariei unui poligon descris pe hârtie în carouri, este utilă în rezolvarea sarcinilor USE și OGE. De aceea ne-a interesat foarte mult.

Formula lui Pick este un rezultat clasic al geometriei combinatorii și al geometriei numerelor.

Conform teoremei lui Pick, aria poligonului este egală cu:

G: 2 + V – 1

Г – numărul de noduri de rețea de la limita poligonului

B este numărul de noduri de rețea din interiorul poligonului.

În primul rând, am stabilit o sarcină: să studiem ce sunt nodurile de rețea și cum să le calculăm corect numărul. S-a dovedit a fi foarte simplu. Să dăm câteva exemple.

Să fie dat un triunghi arbitrar. Nodurile de pe margine sunt afișate în portocaliu, nodurile din interior sunt afișate cu albastru. Găsirea nodurilor și numărarea numărului lor este foarte ușor.

ÎN în acest caz, G = 15, V = 35

Exemplul nr. 2 Există 18 noduri la graniță, adică G = 18, noduri în interiorul 20, V = 20.

Și încă un exemplu. Dat un poligon arbitrar. Numărăm nodurile de pe graniță. Sunt 14 dintre ele. Există 43 de noduri în interiorul poligonului G = 14, V = 43.

Am terminat prima sarcină!

A doua etapă a lucrării noastre: calcularea ariilor poligoanelor.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul nr. 1.

G = 14, B = 43, S = + 43 – 1 = 49

Exemplul nr. 2.

G = 11, B = 5, S = + 5 – 1 = 9,5

Exemplul nr. 3.

G = 15, B = 22, S = + 22 – 1 = 28,5

Exemplul nr. 4.

G = 8, B = 16, S = + 16 – 1 = 19

Exemplul nr. 5

G = 10, B = 30, S = + 30 – 1 = 34

Am petrecut doar 1-2 minute analizând cinci exemple. Calcularea suprafeței folosind formula lui Peak nu este doar rapidă, ci și foarte ușoară!

Dar ne-am confruntat cu o întrebare foarte serioasă:

Se poate avea încredere în teorema lui Pick?

Se obțin aceleași rezultate la calcularea suprafețelor folosind metode diferite?

Să găsim zonele poligoanelor folosind formula lui Peak și în mod obișnuit, folosind formule de geometrie și metode de completare sau despărțire în părți. Iată rezultatele pe care le-am obținut:

Exemplul nr. 1.

Să calculăm aria poligonului folosind formula lui Peak:

Să numărăm numărul de noduri de pe graniță și din interior. G = 3, V = 6.

Să calculăm aria: S = 6 + - 1 = 6,5

Să construim poligonul într-un dreptunghi. Aria dreptunghiului este: 3 * 5 = 15, S? = = 3, S? = = 3, S = = 2,5

S = 15-3-3-2,5 = 6,5

Rezultatul este același.

Exemplul nr. 2.

G = 4, B = 9, S = 9 + - 1 = 10

Să-l construim într-un dreptunghi.

Aria dreptunghiului este: 5 * 4 = 20, S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = = 3,

S==2, S==1,5, S==2,5

Aria dreptunghiului este

S = 20 – 2 – 3 – 2 – 1,5 – 2,5 = 10

Din nou am obținut aceleași rezultate.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplul nr. 3

Să calculăm aria folosind formula lui Peak.

G = 5, B = 6, S = 6 + - 1 = 7,5

Să calculăm aria folosind metoda de completare.

Aria dreptunghiului este 5 4 = 20

S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = = 1, S 3 = 2 * 1 = 2, S 4 = = 1, S 5 = = 1, S 6 = = 2,5

S = 20 – 2 -1– 2 – 1 – 1 – 2,5 – 3 = 7,5

Rezultatul este același.

În prezentare ne-am uitat la trei exemple, dar în realitate ne-am uitat la o mulțime de exemple diferite. Rezultatul a fost întotdeauna același: calcularea zonei folosind formula Pick și alte metode dă același rezultat.

Concluzie: Formula lui Pick poate fi de încredere! Oferă rezultate precise.

Suntem fericiți!

Și încă o întrebare a apărut în fața noastră: care metodă de calcul este cea mai rațională, cea mai convenabilă de utilizat?

Pentru a răspunde la această întrebare, este suficient să folosiți toate lucrările anterioare. Dar să ne uităm la încă trei exemple care vor răspunde în sfârșit la întrebarea noastră.

Exemplul nr. 2

Exemplul nr. 3

Folosind formula lui Peak, este ușor să calculați aria unui poligon chiar și cu cea mai bizară formă. Să ne uităm la un exemplu:

Concluzia este clară: cel mai rațional mod de a calcula aria unui poligon reprezentat pe hârtie în carouri: formula Pick!

Vă invităm pe fiecare dintre voi să calculeze aria poligonului folosind formula Peak:

Calculați numărul de noduri de pe graniță. Sunt afișate cu galben.

Calculați numărul de noduri din interior, roșu.

Înlocuiți-o în formulă și precizați rezultatul. Ai calculat aria într-un minut.

Deci, formula lui Peak are o serie de avantaje față de alte metode de calcul a ariilor poligoanelor pe hârtie în carouri:

Pentru a calcula aria unui poligon, trebuie să cunoașteți o singură formulă:

S = G:2 + V - 1.

Formula Pick este foarte ușor de reținut.

Formula Pika este foarte convenabilă și ușor de utilizat.

Poligonul a cărui zonă trebuie calculată poate avea orice formă, chiar și cea mai bizare.

Folosind formula Peak, este ușor să finalizați sarcinile examenului de stat unificat și examenului de stat unificat.

Să dăm câteva exemple de calcul al suprafeței din opțiunile Unified State Examination 2015.

Am decis să învățăm elevii din clasele 9-11 ale școlii noastre să folosească formula Peak. Am ținut festivalul „Formula Pika”.

Toți elevii s-au familiarizat cu prezentarea cu mare interes și au învățat să folosească formula Pick.

În 30 de minute munca practica elevii finalizat număr mare sarcini. Fiecare elev a primit nota „Formula Pica”.

I-am ajutat să se pregătească pentru examenul de stat unificat și examenul de stat unificat!

După o lună de muncă, am realizat un sondaj asupra elevilor din clasele 9-11.

Au fost puse următoarele întrebări:

Întrebarea #1:

Este formula lui Pick o modalitate rațională de a calcula aria unui poligon?

„Da” - 100% dintre studenți.

Întrebarea #2:

Folosești formula Pick?

„Da” – 100% dintre studenți

Munca noastră nu a fost în zadar! Suntem fericiți!

Am postat o prezentare a proiectului nostru pe Internet. Multe vizualizări și descărcări ale lucrării noastre.

Am conceput albumul „Peak Formula”. Elevii de la școala noastră l-au folosit în mod constant, mai ales la început.

Rezultatele proiectului:

În procesul de lucru la proiect, am studiat literatura de referință și de știință populară pe tema de cercetare.

• Am studiat teorema lui Pick și am învățat să găsim zonele figurilor descrise pe hârtie în carouri simplu și rațional.
• Ne-am extins cunoștințele despre rezolvarea problemelor pe hârtie în carouri, ne-am stabilit singuri clasificarea problemelor studiate și ne-am convins de diversitatea acestora.
• Am organizat festivalul „Formula Peak” pentru elevii de la 9 la 11 ani, i-am învățat să găsească zona folosind această formulă. Am luat o mulțime de exemple interesante.
• Am creat o prezentare electronică pentru a ne ajuta colegii.
• Am conceput albumul „Formula of Peak”, care este folosit constant de elevii școlii.

Vă invită să finalizați două sarcini pentru a vă convinge de raționalitatea muncii noastre.

Vă mulțumim pentru atenție!

Formula lui Pick

Sazhina Valeria Andreevna, Elev în clasa a IX-a a MAOU „Școala Gimnazială Nr. 11” din Ust-Ilimsk, regiunea Irkutsk

supraveghetor: Gubar Oksana Mihailovna, profesor de matematică cu cea mai înaltă categorie de calificare, MAOU „Școala secundară nr. 11”, Ust-Ilimsk, regiunea Irkutsk

2016

Introducere

În timp ce studiam subiectul de geometrie „Areele poligoanelor”, am decis să aflu: există o modalitate de a găsi zone care să fie diferite de cele pe care le-am studiat la clasă?

Această metodă este formula Pick. L.V Gorina în „Materiale pentru autoeducarea elevilor” a descris această formulă astfel: „Familiarizarea cu formula Peak este deosebit de importantă cu o zi înainte. promovarea examenului de stat unificatși GIA. Folosind această formulă, puteți rezolva cu ușurință o clasă mare de probleme oferite la examene - acestea sunt probleme de găsire a zonei unui poligon reprezentat pe hârtie în carouri. Mica formulă a lui Pick va înlocui întregul set de formule necesare pentru a rezolva astfel de probleme. Formula Peak va funcționa „unul pentru toți...”!”

În materialele pentru examenul de stat unificat am întâlnit probleme cu conținut practic privind găsirea suprafeței terenurilor. Am decis să verific dacă este aplicabil această formulă pentru a găsi zona teritoriului școlar, microdistrictele orașului, regiune. Și este rațional să-l folosești pentru a rezolva probleme?

Obiectul de studiu: formula lui Pick.

Obiectul cercetării: aplicarea rațională a formulei Pick în rezolvarea problemelor.

Scopul lucrării: pentru a fundamenta raționalitatea utilizării formulei Pick la rezolvarea problemelor de găsire a zonei figurilor reprezentate pe hârtie în carouri.

Metode de cercetare: modelare, comparare, generalizare, analogii, studiul resurselor literare și internetului, analiza și clasificarea informațiilor.

Selectează literatura necesară, analizează și sistematizează informațiile primite;

Luați în considerare diverse metode și tehnici de rezolvare a problemelor pe hârtie în carouri;

Verificați experimental raționalitatea utilizării formulei Pick;

Luați în considerare aplicarea acestei formule.

Ipoteza: dacă aplicați formula lui Pick pentru a găsi aria unui poligon, atunci puteți găsi aria teritoriului, iar rezolvarea problemelor pe hârtie în carouri va fi mai rațională.

Partea principală

Partea teoretică

Hârtia în carouri (mai precis, nodurile sale), pe care preferăm adesea să desenăm și să desenăm, este unul dintre cele mai importante exemple de rețea cu puncte pe un plan. Deja această rețea simplă a servit ca punct de plecare pentru K. Gauss pentru a compara aria unui cerc cu numărul de puncte cu coordonate întregi situate în interiorul acestuia. Faptul că unele afirmații geometrice simple despre figurile de pe plan au consecințe profunde în cercetarea aritmetică a fost observat în mod explicit de G. Minkowski în 1896, când a folosit pentru prima dată metode geometrice pentru a lua în considerare problemele teoretice ale numerelor.

Să desenăm un poligon pe hârtie în carouri (Anexa 1, Figura 1). Să încercăm acum să-i calculăm aria. Cum să faci asta? Probabil cea mai ușoară modalitate este de a o împărți în triunghiuri dreptunghiulare și un trapez, ale căror zone sunt ușor de calculat și de adunat rezultatele.

Metoda folosită este simplă, dar foarte greoaie și, în plus, nu este potrivită pentru toate poligoanele. Deci următorul poligon nu poate fi împărțit în triunghiuri dreptunghiulare, așa cum am făcut acest lucru în cazul precedent (Anexa 2, Figura 2). Putem, de exemplu, să încercăm să-l suplimentăm celui „bun” de care avem nevoie, adică celui a cărui arie o putem calcula în modul descris, apoi scădem ariile părților adăugate din numărul rezultat.

Cu toate acestea, se dovedește că există o formulă foarte simplă care vă permite să calculați ariile unor astfel de poligoane cu vârfuri la nodurile unei grile pătrate.

Această formulă a fost descoperită de matematicianul austriac Peak Georg Alexandrov (1859 - 1943) în 1899. În plus față de această formulă, Georg Pick a descoperit teoremele Pick, Pick-Julia, Pick-Nevalina și a demonstrat inegalitatea Schwartz-Pick.

Această formulă a rămas neobservată ceva timp după ce Pick a publicat-o, dar în 1949, matematicianul polonez Hugo Steinhaus a inclus teorema în faimosul său „Caleidoscop matematic”. De atunci, teorema lui Pick a devenit cunoscută pe scară largă. În Germania, formula lui Pick este inclusă în manualele școlare.

Este un rezultat clasic al geometriei combinatorii și al geometriei numerelor.

Dovada formulei lui Pick

Fie ABCD un dreptunghi cu vârfuri la nodurile și laturile care rulează de-a lungul liniilor grilei (Anexa 3, Figura 3).

Să notăm cu B numărul de noduri aflate în interiorul dreptunghiului și cu G numărul de noduri de pe marginea acestuia. Să deplasăm grila o jumătate de celulă la dreapta și o jumătate de celulă

jos. Apoi, teritoriul dreptunghiului poate fi „distribuit” între noduri, după cum urmează: fiecare dintre nodurile B „controlează” o întreagă celulă a grilei deplasate, iar fiecare dintre nodurile G controlează 4 noduri non-colț de graniță – jumătate de celulă , iar fiecare dintre punctele de colț controlează un sfert de celulă. Prin urmare, aria dreptunghiului S este egală cu

S = B + + 4 · = B + - 1 .

Deci, pentru dreptunghiuri cu vârfuri la nodurile și laturile de-a lungul liniilor grilei, am stabilit formula S = B + - 1 . Aceasta este formula Peak.

Se pare că această formulă este adevărată nu numai pentru dreptunghiuri, ci și pentru poligoane arbitrare cu vârfuri la nodurile grilei.

Partea practică

Găsirea ariei figurilor folosind metoda geometrică și folosind formula Pick

Am decis să mă asigur că formula lui Pick este corectă pentru toate exemplele luate în considerare.

Se dovedește că, dacă un poligon poate fi tăiat în triunghiuri cu vârfuri la nodurile grilei, atunci formula lui Pick este adevărată pentru el.

M-am uitat la unele probleme pe hârtie în carouri cu pătrate de 1 cm1 cm și am realizat analiză comparativă privind rezolvarea problemelor (Tabelul nr. 1).

Tabelul nr. 1 Rezolvarea problemelor în diverse moduri.

Desen

Conform formulei de geometrie

Conform formulei lui Pick

Sarcina nr. 1

S=S pr -(2S 1 +2S 2 )

S pr =4*5=20 cm 2

S 1 =(2*1)/2=1 cm 2

S 2 =(2*4)/2=4 cm 2

S=20-(2*1+2*4)=10 cm 2

Răspuns :10 cm ².

B = 8, D = 6

S= 8 + 6/2 – 1 = 10 (cm²)

Răspuns: 10 cm².

Sarcina nr. 2

a=2, h=4

S=a*h=2*4=8 cm 2

Răspuns : 8 cm ².

B = 6, D = 6

S= 6 + 6/2 – 1 = 8 (cm²)

Răspuns: 8 cm².

Sarcina nr. 3

S=S kv -(S 1 +2S 2 )

S kv =4 2 =16 cm 2

S 1 =(3*3)/2=4,5cm 2

S 2 =(1*4)/2=2cm 2

S=16-(4,5+2*2)=7,5 cm2

B = 6, D = 5

S= 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (cm²)

Răspuns: 7,5 cm².

Sarcina nr. 4

S=S pr -(S 1 +S 2+ S 3 )

S pr =4 * 3=12 cm 2

S 1 =(3*1)/2=1,5 cm 2

S 2 =(1*2)/2=1 cm 2

S 3 =(1+3)*1/2=2 cm 2

S=12-(1,5+1+2)=7,5 cm 2

B = 5, D = 7

S= 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (cm²)

Răspuns: 7,5 cm².

Sarcina nr. 5.

S=S pr -(S 1 +S 2+ S 3 )

S pr =6 * 5=30 cm 2

S 1 =(2*5)/2=5 cm 2

S 2 =(1*6)/2=3 cm 2

S 3 =(4*4)/2=8 cm 2

S=30-(5+3+8)=14 cm 2

Răspuns: 14 cm²

B = 12, D = 6

S= 12 + 6/2 – 1 = 14 (cm²)

Răspuns: 14 cm²

Sarcină №6.

S tr =(4+9)/2*3=19,5 cm 2

Răspuns: 19,5 cm 2

H = 12, D = 17

S= 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (cm²)

Răspuns: 19,5 cm 2

Sarcină №7. Găsiți suprafața pădurii (în m²) prezentată pe un plan cu o grilă pătrată de 1 × 1 (cm) pe o scară de 1 cm - 200 m

S= S 1 +S 2+ S 3

S 1 =(800*200)/2=80000 m 2

S 2 =(200*600)/2=60000 m 2

S 3 =(800+600)/2*400=

280000 m 2

S= 80000+60000+240000=

420000m2

Răspuns: 420.000 m²

B = 8, D = 7. S= 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S= 40.000 10,5 = 420.000 (m²)

Răspuns: 420.000 m²

Problema nr. 8 . Găsiți aria câmpului (în m²) afișată pe un plan cu o grilă pătrată de 1 × 1 (cm) la scară

1 cm – 200 m.

S= S kv -2( S tr + S scară)

S sq =800 * 800 = 640000 m 2

S tr =(200*600)/2=60000m 2

S scara =(200+800)/2*200=

100000m2

S=640000-2(60000+10000)=

320000 m2

Răspuns: 320.000 m²

Soluţie. Să găsim Saria unui patrulater desenat pe hârtie în carouri folosind formula lui Pick:S= B + - 1

B = 7, D = 4. S= 7 + 4/2 – 1 = 8 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S= 40.000 8 = 320.000 (m²)

Răspuns: 320.000 m²

Problema nr. 9 . Găsiți zonaS sector, având în vedere laturile celulelor pătrate egale cu 1. În răspunsul dvs., indicați .

Un sector este un sfert dintr-un cerc și, prin urmare, aria lui este un sfert din aria cercului. Aria unui cerc este πR 2 , Unde R – raza cercului. În cazul nostruR =√5 si deci zonaS sectorul este 5π/4. UndeS/π=1,25.

Răspuns. 1.25.

Г= 5, В= 2, S= V + G/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3,5, ≈ 1,11

Răspuns. 1.11.

Sarcina nr. 10. Găsiți zona S inele, considerând laturile celulelor pătrate egale cu 1. În răspunsul dvs., indicați .

Aria inelului este egală cu diferența dintre zonele cercului exterior și cel interior. RazăR cercul exterior este egal

2, raza r cercul interior este 2. Prin urmare, aria inelului este 4şi prin urmare. Răspuns: 4.

Г= 8, В= 8, S= V + G/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11, ≈ 3,5

Răspuns: 3.5

Concluzii: Sarcinile luate în considerare sunt similare sarcinii din opțiunile de control și măsurare Materiale pentru examenul de stat unificat la matematică (probleme nr. 5,6),.

Din soluțiile luate în considerare la probleme, am văzut că unele dintre ele, de exemplu problemele nr. 2.6, sunt mai ușor de rezolvat folosind formule geometrice, deoarece înălțimea și baza pot fi determinate din desen. Dar cele mai multe probleme necesită împărțirea figurii în altele mai simple (sarcina nr. 7) sau construirea ei într-un dreptunghi (sarcinile nr. 1,4,5), pătrat (sarcina nr. 3,8).

Din rezolvarea problemelor nr. 9 și nr. 10, am văzut că aplicarea formulei Pick la figuri care nu sunt poligoane dă un rezultat aproximativ.

Pentru a verifica raționalitatea utilizării formulei Peak, am realizat un studiu asupra timpului petrecut (Anexa 4, tabelul nr. 2).

Concluzie: din tabel și diagramă (Anexa 4, diagrama 1) reiese clar că la rezolvarea problemelor folosind formula Peak se petrece mult mai puțin timp.

Găsirea suprafeței formelor spațiale

Să verificăm aplicabilitatea acestei formule la forme spațiale (Anexa 5, Figura 4).

Aflați suprafața totală paralelipiped dreptunghiular, considerând laturile celulelor pătrate egale cu 1.

Acesta este un defect al formulei.

Aplicarea formulei lui Peak pentru a găsi zona unui teritoriu

Rezolvând probleme cu conținut practic (probleme nr. 7,8; ​​​​tabelul nr. 1), am decis să folosesc această metodă pentru a găsi zona de pe teritoriul școlii noastre, microdistrictele orașului Ust-Ilimsk, Irkutsk regiune.

După ce m-am familiarizat cu „Proiectul limitelor terenului MAOUSOSH nr. 11 din Ust-Ilimsk” (Anexa 6), am găsit zona teritoriului școlii noastre și am comparat-o cu zona conform limitele de proiect ale terenului (Anexa 9, tabelul 3).

După ce am examinat harta părții malului drept al Ust-Ilimsk (Anexa 7), am calculat zonele microdistrictelor și le-am comparat cu datele din „Planul general al Ust-Ilimsk, Regiunea Irkutsk”. Rezultatele au fost prezentate în tabel (Anexa 9, Tabelul 4).

După ce am examinat harta regiunii Irkutsk (Anexa 7), am găsit zona teritoriului și am comparat-o cu datele de pe Wikipedia. Rezultatele au fost prezentate în tabel (Anexa 9, Tabelul 5).

După ce am analizat rezultatele, am ajuns la concluzia: folosind formula Peak, aceste zone pot fi găsite mult mai ușor, dar rezultatele sunt aproximative.

Dintre studiile efectuate, cele mai multe valoarea exacta Am obținut-o găsind zona teritoriului școlar (Anexa 10, Diagrama 2). O discrepanță mai mare a rezultatelor a fost obținută la găsirea zonei regiunii Irkutsk (Anexa 10, Diagrama 3). Acest lucru este legat de asta. Că nu toate limitele zonei sunt laturi ale poligoanelor, iar vârfurile nu sunt puncte de nod.

Concluzie

În urma muncii mele, mi-am extins cunoștințele despre rezolvarea problemelor pe hârtie în carouri și mi-am determinat clasificarea problemelor studiate.

În timpul lucrării, au fost rezolvate probleme pentru a găsi zona poligoanelor descrise pe hârtie în carouri în două moduri: geometric și folosind formula Pick.

O analiză a soluțiilor și un experiment pentru a determina timpul petrecut au arătat că utilizarea formulei face posibilă rezolvarea problemelor de găsire a ariei unui poligon mai rațional. Acest lucru vă permite să economisiți timp la examenul de stat unificat la matematică.

Găsirea ariei diferitelor figuri descrise pe hârtie în carouri ne-a permis să concluzionam că utilizarea formulei Pick pentru a calcula aria unui sector circular și a unui inel este inadecvată, deoarece oferă un rezultat aproximativ și că formula Pick nu este folosit pentru a rezolva probleme în spațiu.

Lucrarea a găsit și zonele diferitelor teritorii folosind formula Peak. Putem concluziona: utilizarea formulei pentru a găsi aria diferitelor teritorii este posibilă, dar rezultatele sunt aproximative.

Ipoteza pe care am propus-o a fost confirmată.

Am ajuns la concluzia că tema care m-a interesat era destul de multifațetă, problemele de pe hârtie în carouri erau variate, iar metodele și tehnicile de rezolvare a acestora erau și ele variate. Prin urmare, am decis să continui să lucrez în această direcție.

Literatură

Volkov S.D.. Proiectul limitelor terenurilor, 2008, p. 16.

Gorina L.V., Matematică. Totul pentru profesor, M:Nauka, 2013. Nr. 3, p. 28.

Prokopyeva V.P., Petrov A.G., Planul general al orașului Ust-Ilimsk, regiunea Irkutsk, Gosstroy al Rusiei, 2004. p. 65.

Riess E. A., Zharkovskaya N. M., Geometria hârtiei în carouri. Formula lui Peak. - Moscova, 2009, nr. 17, p. 24-25.

Smirnova I. M. ,. Smirnov V. A. Geometrie pe hârtie în carouri. – Moscova, Chistye Prudy, 2009, p. 120.

Smirnova I. M., Smirnov V. A., Probleme geometrice cu conținut practic. – Moscova, Chistye Prudy, 2010, p. 150

Probleme ale bancului deschis de sarcini în matematică FIPI, 2015.

Harta orașului Ust-Ilimsk.

Harta regiunii Irkutsk.

Wikipedia.

Calculul ariei unei figuri.

Metoda de alegere

Lucrarea unui elev de clasa 5B la școala secundară MBOU nr. 23 din Irkutsk

Balsukova Alexandra

Șef: Khodyreva T.G.

2014

Calculul ariei unei figuri. Metoda de alegere

Obiect de studiu : probleme pe hârtie în carouri

Subiect de cercetare : probleme pentru calcularea ariei unui poligon pe hârtie în carouri, metode și tehnici de rezolvare a acestora.

Metode de cercetare : comparație, generalizare, analogii, studiul literaturii și resurselor internetului, analiza informațiilor.

Scopul studiului:

alegeți informațiile principale, interesante și ușor de înțeles

Analizează și sistematizează informațiile primite

Găsiți diferite metode și tehnici de rezolvare a problemelor pe hârtie în carouri

verificați formulele pentru calcularea ariilor figurilor geometrice folosind formula Pick

Creați o prezentare electronică a lucrării pentru a prezenta materialul colectat

Geometria este cel mai puternic mijloc de a ne ascuți facultățile mentale și de a ne permite să gândim și să raționăm corect.

(G. Galileo)

Relevanța subiectului

Pasiunea pentru matematică începe adesea cu gândirea la o problemă. Deci, atunci când studiem subiectul „Zona poligoanelor”, se pune întrebarea dacă există probleme care sunt diferite de problemele discutate în manual. Astfel de probleme includ probleme pe hârtie în carouri. Care este particularitatea unor astfel de probleme, există metode și tehnici speciale pentru rezolvarea problemelor pe hârtie în carouri. În timpul unei lecții de matematică, profesorul ne-a prezentat o metodă interesantă de calculare a poligoanelor. Am început să studiez literatura și resursele de pe Internet pe această temă. S-ar părea că ceva fascinant poate fi găsit pe un plan în carouri, adică pe o bucată de hârtie nesfârșită, aliniată în pătrate identice. Se pare că sarcinile asociate hârtiei în carouri sunt destul de diverse. Am învățat cum să calculez aria poligoanelor desenate pe o bucată de hârtie în carouri. Pentru multe sarcini, nu există hârtie în carouri regula generala soluții, metode și tehnici specifice. Aceasta este proprietatea lor care determină valoarea lor pentru dezvoltarea nu a unei abilități sau abilități academice specifice, ci în general capacitatea de a gândi, reflecta, analiza, căuta analogii, adică aceste sarcini dezvoltă abilitățile de gândire în sensul lor cel mai larg.

Și am învățat, de asemenea, că astfel de sarcini sunt luate în considerare în materialele de testare și măsurare ale Academiei de Științe de Stat și ale examenului de stat unificat. Prin urmare, consider că studiul acestui material este util pentru aplicarea lui nu numai în viitor proces educațional, dar și pentru rezolvarea problemelor nestandardizate ale olimpiadelor.

2.Conceptul de zonă

Pătrat- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice bidimensionale, care arată dimensiunea acestei figuri. Din punct de vedere istoric, a fost numit calculul suprafeței . O figură care are zonă se numește pătrat .

Aria unei figuri plate în termeni de geometrie

1. Pătrat-masura unei figuri plane in raport cu o figura standard, care este un patrat cu latura egala cu o unitate de lungime.

2. Pătrat- o caracteristică numerică atribuită figurilor plate dintr-o anumită clasă (de exemplu, poligoane). Aria unui pătrat cu o latură egală cu o unitate de lungime, considerată egală cu o unitate de suprafață

3. Pătrat- o mărime pozitivă, a cărei valoare numerică are următoarele proprietăți:

 Cifrele egale au suprafețe egale;

 Dacă o figură este împărțită în părți care sunt figuri simple (adică cele care pot fi împărțite într-un număr finit de triunghiuri plane), atunci aria acestei figuri este egală cu suma ariilor părților sale;

 Aria unui pătrat cu latura egală cu o unitate de măsură este egală cu unu.

Astfel, putem concluziona că aria nu este o cantitate specifică, ci oferă doar o caracteristică condiționată a oricărei cifre plate. Pentru a găsi aria unei figuri arbitrare, trebuie să determinați câte pătrate cu o latură egală cu o unitate de lungime conține. De exemplu, luați un dreptunghi în care un centimetru pătrat se potrivește exact de 6 ori. Aceasta înseamnă că aria dreptunghiului este de 6 cm 2.

Alegerea ariei unui pătrat cu o latură egală cu unitatea de măsură ca unitate minimă de măsură a tuturor zonelor nu este întâmplătoare. Acesta este rezultatul unui acord între oameni, care a apărut în cursul selecției „naturale” de secole. În plus, au existat și alte propuneri pentru o unitate de măsură. Deci, de exemplu, s-a propus să se ia aria unui triunghi echilateral ca o astfel de unitate (adică, orice figură plată ar putea fi reprezentată ca „suma” a unui anumit număr de triunghiuri echilaterale), ceea ce ar duce la o modificarea reprezentării numerice a zonelor.

Astfel, formulele pentru calcularea suprafețelor au apărut în matematică și nu au fost realizate imediat de om - aceasta mulți oameni de știință care trăiesc în epoci diferite și diferite țări. (Formulele incorecte nu și-au găsit loc în știință și au dispărut în uitare). Adevăratele formule au fost completate, corectate și fundamentate de-a lungul a mii de ani până au ajuns la noi în forma lor modernă.

Același lucru măsurarea suprafeței constă în compararea aria unei figuri date cu aria figurii luate ca unitate de măsură. Ca rezultat al comparației, se obține un anumit număr - valoarea numerică a ariei unei figuri date. Acest număr arată de câte ori aria unei figuri date este mai mare (sau mai mică) decât aria figurii luată ca unitate de suprafață.

T Astfel, putem concluziona că aria este o mărime artificială, introdusă istoric de om pentru a măsura o proprietate a unei figuri plate. Necesitatea introducerii unei astfel de valori a fost determinată de nevoia tot mai mare de a ști cât de mare este un anumit teritoriu, cât de mult cereale este nevoie pentru a semăna un câmp sau pentru a calcula suprafața podelei pentru decorarea plăcilor ornamentale.

Formula lui Pick

Pentru a estima aria unui poligon pe hârtie în carouri, este suficient să numărăm câte celule acoperă acest poligon (luăm aria unei celule ca una). Mai precis, dacăS este aria poligonului, B este numărul de celule care se află în întregime în interiorul poligonului și G este numărul de celule care au un interior. Vom lua în considerare doar astfel de poligoane, ale căror vârfuri se află în nodurile hârtiei în carouri - acelea în care liniile grilei poligoanelor intersectează cel puțin un punct comun.

Aria oricărui triunghi desenat pe hârtie în carouri poate fi calculată cu ușurință reprezentând-o ca suma sau diferența ariilor triunghiurilor dreptunghiulare și dreptunghiurilor ale căror laturi urmează liniile grilei care trec prin vârfurile triunghiului desenat.

Pentru a calcula aria unui astfel de poligon, puteți utiliza următoarea teoremă:

Teorema . Lasă - numărul de puncte întregi din interiorul poligonului, - numărul de puncte întregi de pe granița sa, - zona sa. Atunci este corectFormula lui Pick:

Exemplu. Pentru poligonul din figurăL = 7 (puncte roșii), 9 (puncte verzi) deciS = 7+ 9/2 -1 = 10,5 unități pătrate.

Teorema lui Pick- rezultat clasic Şi .

Aria unui triunghi cu vârfuri la noduri și care nu conține noduri nici în interior, nici pe laturi (cu excepția vârfurilor) este 1/2. Acest fapt.

3. Istorie

Formula lui Pick a fost descoperită de matematicianul austriac Georg Alexander (1859-1942) în . La vârsta de 16 ani, Georg a absolvit școala și a intrat în. La 20 de ani, a primit dreptul de a preda fizica si matematica. În 1884 Peake a plecat la La . Acolo a întâlnit un alt elev al lui Klein,. Mai târziu, în 1885, s-a întors la, unde și-a petrecut restul carierei științifice.

Georg Pieck era prieten cu Einstein. Peake și Einstein nu numai că aveau interese științifice comune, dar aveau și o pasiune pentru muzică. Pick, care a cântat într-un cvartet format din profesori universitari, l-a prezentat pe Einstein în societățile științifice și muzicale din Praga.

Gama de interese matematice a lui Peake era extrem de largă. În special, au peste 50 de ani lucrări științifice. Teorema lui Pick pentru calcularea ariei unui poligon, descoperită de el în 1899, a devenit cunoscută pe scară largă. În Germania, această teoremă este inclusă în manualele școlare.

4.Aplicații ale formulei Pick

Formula lui Pick este folosită nu numai pentru a calcula ariile poligoanelor, ci și pentru a rezolva multe probleme la nivelul Olimpiadei.

Câteva exemple de utilizare a formulei Pick atunci când rezolvați probleme:

1) Regele șahului s-a plimbat în jurul unei table de 8 × 8 celule, vizitând fiecare

câmpul casei exact o dată și cu ultima mutare revenind la original

domeniu. O linie întreruptă care leagă secvenţial centrele câmpurilor care

a trecut de rege, nu are auto-intersecții. Ce zonă poate

limitează această linie întreruptă? (Latura celulei este 1.)

Din formula lui Peak rezultă imediat că aria limitată de lo-

mana, egală cu 64/2 − 1 = 31; aici nodurile rețelei sunt centrele 64

câmpuri și, după condiție, toate se află la limita poligonului. Aşa

Astfel, deși există destul de multe astfel de „traiectorii” ale regelui, toate sunt

poligoane legate de arii egale.

Sarcini din materialele de testare și măsurare ale Agenției de examinare de stat și ale examenului de stat unificat

Sarcina B3

Găsiți zona figurii reprezentată pe hârtie în carouri cu dimensiunea celulei de 1 cm 1 cm (vezi figura). Dați răspunsul în centimetri pătrați.

4.Concluzie

În timpul procesului de cercetare, am studiat literatura de referință și populară. Am aflat că problema găsirii ariei unui poligon cu vârfuri la nodurile grilei l-a determinat pe matematicianul austriac Pieck să demonstreze remarcabila formulă Pieck în 1899.

În urma muncii mele, mi-am extins cunoștințele despre rezolvarea problemelor pe hârtie în carouri, mi-am determinat clasificarea problemelor studiate și m-am convins de diversitatea acestora.

Am învățat să calculez ariile poligoanelor desenate pe o foaie de hârtie în carouri Sarcinile luate în considerare au diferite niveluri de dificultate - de la cele simple la cele olimpiade. Toată lumea poate găsi printre ele sarcini de un nivel fezabil de complexitate, pornind de la care se va putea trece la rezolvarea celor mai dificile.

Am ajuns la concluzia că tema care m-a interesat era destul de multifațetă, problemele de pe hârtie în carouri erau variate, iar metodele și tehnicile de rezolvare a acestora erau și ele variate. Prin urmare, am decis să continuăm să lucrăm în această direcție.

5. Literatura utilizată:

1. Vasil’ev N. B. În jurul formulei Pick // Quantum. - 1974. - Nr. 12

2. K o k e P r a s o l o v V. V. Probleme în planimetrie. - M.: MTsNMO, 2006.t e r G.S.M. Introducere în geometrie. - M.: Știință, 1966

3.Roslova L.O., Sharygin I.F. Măsurătorile. – M.: Editura. " Lumea deschisă", 2005.

Resurse de internet:

:

Feedback pentru muncă

„Calculul suprafețelor figuri plate. Metoda de alegere"

Luarea în considerare a acestui subiect va crește activitatea cognitivă a elevului, care ulterior va începe să vadă armonia desenului în lecțiile de geometrie și va înceta să mai perceapă geometria (și matematica în general) ca o știință plictisitoare.

Revizuit de un profesor de matematică

Hodireva Tatiana Georgievna