Sub ce deformații se aplică legea lui Hooke? Deformari

DEFINIŢIE

Deformari sunt orice modificări ale formei, mărimii și volumului corpului. Deformarea determină rezultatul final al mișcării părților corpului unul față de celălalt.

DEFINIŢIE

Deformatii elastice se numesc deformatii care dispar complet dupa indepartarea fortelor externe.

Deformari plastice se numesc deformaţii care rămân total sau parţial după încetarea forţelor externe.

Capacitatea de a deforma elastice si plastice depinde de natura substantei din care este compus corpul, de conditiile in care se afla; metode de fabricare a acestuia. De exemplu, dacă luați diferite tipuri de fier sau oțel, puteți găsi în ele proprietăți elastice și plastice complet diferite. La temperaturi normale ale camerei, fierul este un material foarte moale, ductil; oțelul călit, dimpotrivă, este un material dur, elastic. Plasticitatea multor materiale este o condiție pentru prelucrarea lor și pentru fabricarea pieselor necesare din acestea. Prin urmare, este considerată una dintre cele mai importante proprietăți tehnice ale unui solid.

Când un corp solid este deformat, particulele (atomi, molecule sau ioni) sunt deplasate din pozițiile lor inițiale de echilibru în poziții noi. În acest caz, interacțiunile de forță dintre particulele individuale ale corpului se modifică. Ca urmare, în corpul deformat apar forțe interne, împiedicând deformarea acestuia.

Există deformații de tracțiune (compresive), de forfecare, de încovoiere și de torsiune.

Forțe elastice

DEFINIŢIE

Forțe elastice– acestea sunt forțele care apar într-un corp în timpul deformării sale elastice și sunt direcționate în direcția opusă deplasării particulelor în timpul deformării.

Forțele elastice sunt de natură electromagnetică. Ele previn deformările și sunt direcționate perpendicular pe suprafața de contact a corpurilor care interacționează, iar dacă corpuri precum arcuri sau fire interacționează, atunci forțele elastice sunt direcționate de-a lungul axei lor.

Forța elastică care acționează asupra corpului de pe suport este adesea numită forță de reacție a suportului.

DEFINIŢIE

Deformare la tracțiune (deformare liniară) este o deformare în care se modifică o singură dimensiune liniară a corpului. Caracteristicile sale cantitative sunt alungirea absolută și relativă.

Alungire absolută:

unde și este lungimea corpului în starea deformată și respectiv neformată.

Elongaţie:

legea lui Hooke

Deformațiile mici și de scurtă durată cu un grad suficient de precizie pot fi considerate elastice. Pentru astfel de deformari, legea lui Hooke este valabila:

unde este proiecția forței pe axa de rigiditate a corpului, în funcție de dimensiunea corpului și de materialul din care este realizat, unitatea de rigiditate în sistemul SI este N/m.

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLUL 1

Exercita	Un arc cu rigiditate N/m în stare fără sarcină are o lungime de 25 cm Care va fi lungimea arcului dacă de el este suspendată o sarcină de 2 kg?
Soluţie	Să facem un desen. O forță elastică acționează și asupra unei sarcini suspendate pe un arc. Prin proiectarea lui egalitate vectorială la axa de coordonate, obținem: Conform legii lui Hooke, forța elastică: deci putem scrie: de unde provine lungimea arcului deformat: Să convertim lungimea arcului neformat, cm, în sistemul SI. Înlocuirea valorilor numerice în formulă mărimi fizice, hai sa calculam:
Răspuns	Lungimea arcului deformat va fi de 29 cm.

EXEMPLUL 2

Exercita	Un corp care cântărește 3 kg este deplasat de-a lungul unei suprafețe orizontale cu ajutorul unui arc cu rigiditate N/m. Cât se va lungi arcul dacă sub acțiunea sa, cu mișcare uniform accelerată, viteza corpului se schimbă de la 0 la 20 m/s în 10 s? Ignora frecarea.
Soluţie	Să facem un desen. Corpul este acționat de forța de reacție a suportului și forța elastică a arcului.

Tipuri de deformații

Deformare numită modificare a formei, mărimii sau volumului corpului. Deformarea poate fi cauzată de forțele externe aplicate corpului. Se numesc deformații care dispar complet după încetarea acțiunii forțelor externe asupra corpului elastic, și deformații care persistă chiar și după ce forțele externe au încetat să acționeze asupra corpului - plastic. Distinge deformare la întindere sau comprimare(unilateral sau cuprinzător), îndoire, torsiuneŞi schimbare.

Forțe elastice

Când un corp solid este deformat, particulele sale (atomi, molecule, ioni) situate la nodurile rețelei cristaline sunt deplasate din pozițiile lor de echilibru. Această deplasare este contracarată de forțele de interacțiune dintre particulele unui corp solid, care mențin aceste particule la o anumită distanță unele de altele. Prin urmare, la orice tip de deformare elastică, în corp apar forțe interne care împiedică deformarea acestuia.

Forțele care apar într-un corp în timpul deformării sale elastice și sunt îndreptate împotriva direcției de deplasare a particulelor corpului cauzate de deformare se numesc forțe elastice. Forțele elastice acționează în orice secțiune a unui corp deformat, precum și în punctul de contact al acestuia cu corpul provocând deformare. În cazul tensiunii sau compresiei unilaterale, forța elastică este direcționată de-a lungul liniei drepte de-a lungul căreia forță externă, provocând deformarea corpului, opusă direcției acestei forțe și perpendicular pe suprafața corpului. Natura forțelor elastice este electrică.

Vom lua în considerare cazul apariției forțelor elastice în timpul întinderii și compresiei unilaterale a unui corp solid.

legea lui Hooke

Relația dintre forța elastică și deformare elastică corpul (la deformații mici) a fost stabilit experimental de contemporanul lui Newton, fizicianul englez Hooke. Expresia matematică a legii lui Hooke pentru deformarea la tensiune (compresie) unilaterală are forma:

unde f este forța elastică; x - alungirea (deformarea) corpului; k este un coeficient de proporționalitate în funcție de dimensiunea și materialul corpului, numit rigiditate. Unitatea SI de rigiditate este newton pe metru (N/m).

legea lui Hooke pentru tensiune unilaterală (compresie) este formulată după cum urmează: Forța elastică care apare în timpul deformării unui corp este proporțională cu alungirea acestui corp.

Să luăm în considerare un experiment care ilustrează legea lui Hooke. Fie ca axa de simetrie a arcului cilindric să coincidă cu dreapta Ax (Fig. 20, a). Un capăt al arcului este fixat în suport în punctul A, iar al doilea este liber și corpul M este atașat de acesta Când arcul nu este deformat, capătul său liber este situat în punctul C. Acest punct va fi luat ca originea coordonatei x, care determină poziția capătului liber al arcului.

Să întindem arcul astfel încât capătul său liber să fie în punctul D, a cărui coordonată este x > 0: În acest punct arcul acționează asupra corpului M cu o forță elastică.

Să comprimăm acum arcul astfel încât capătul său liber să fie în punctul B, a cărui coordonată este x

Din figură se poate observa că proiecția forței elastice a arcului pe axa Ax are întotdeauna semnul semnul opus coordonatele x, deoarece forța elastică este întotdeauna îndreptată spre poziția de echilibru C. În fig. 20, b prezintă un grafic al legii lui Hooke. Valorile alungirii x a arcului sunt reprezentate pe axa absciselor, iar valorile forțelor elastice sunt reprezentate pe axa ordonatelor. Dependența lui fх de x este liniară, deci graficul este o linie dreaptă care trece prin originea coordonatelor.

Să luăm în considerare un alt experiment.

Fie ca un capăt al unui fir de oțel subțire să fie fixat pe un suport și o sarcină suspendată de celălalt capăt, a cărei greutate este o forță de tracțiune externă F care acționează asupra firului perpendicular pe secțiunea sa transversală (Fig. 21).

Acțiunea acestei forțe asupra firului depinde nu numai de modulul de forță F, ci și de suprafață secţiune transversală firul S.

Sub influența unei forțe externe aplicate acestuia, firul este deformat și întins. Dacă întinderea nu este prea mare, această deformare este elastică. Într-un fir deformat elastic, apare o unitate de forță elastică f. Conform celei de-a treia legi a lui Newton, forța elastică este egală ca mărime și opusă ca direcție forței externe care acționează asupra corpului, adică.

f sus = -F (2,10)

Starea unui corp deformat elastic se caracterizează prin valoarea s, numită stres mecanic normal(sau, pe scurt, doar tensiune normală). Tensiunea normală s este egală cu raportul dintre modulul forței elastice și aria secțiunii transversale a corpului:

s = f sus /S (2.11)

Fie lungimea inițială a firului neîntins L 0 . După aplicarea forței F, firul s-a întins și lungimea sa a devenit egală cu L. Mărimea DL = L - L 0 se numește alungirea absolută a firului. Se numește mărimea e = DL/L 0 (2.12). alungirea relativă a corpului. Pentru deformarea la tracțiune e>0, pentru deformarea la compresiune e< 0.

Observațiile arată că pentru deformații mici efortul normal s este proporțional cu alungirea relativă e:

s = E|e|. (2,13)

Formula (2.13) este unul dintre tipurile de scriere a legii lui Hooke pentru tensiune (compresie) unilaterală. În această formulă, alungirea relativă este luată modulo, deoarece poate fi atât pozitivă, cât și negativă. Coeficientul de proporționalitate E din legea lui Hooke se numește modulul longitudinal de elasticitate (modulul Young).

Să stabilim semnificația fizică a modulului lui Young. După cum se poate vedea din formula (2.12), e = 1 și L = 2L 0 pentru DL ​​= L 0 . Din formula (2.13) rezultă că în acest caz s = E. În consecință, modulul lui Young este numeric egal cu efortul normal care ar trebui să apară în corp dacă lungimea sa este dublată. (dacă legea lui Hooke ar fi adevărată pentru o deformare atât de mare). Din formula (2.13) este de asemenea clar că în SI modulul Young este exprimat în pascali (1 Pa = 1 N/m2).

Ministerul Educației al Republicii Autonome Crimeea

Tauride Universitatea Nationala ei. Vernadsky

Studiul legii fizice

LEGEA LUI HOOKE

Completat de: student anul I

Facultatea de Fizică gr. F-111

Potapov Evgeniy

Simferopol-2010

Plan:

Legătura dintre ce fenomene sau mărimi este exprimată prin lege.

Declarație de lege

Exprimarea matematică a legii.

Cum a fost descoperită legea: pe baza datelor experimentale sau teoretic?

Fapte experimentate pe baza cărora a fost formulată legea.

Experimente care confirmă valabilitatea legii formulate pe baza teoriei.

Exemple de utilizare a legii și luarea în considerare a efectului legii în practică.

Literatură.

Relația dintre fenomene sau mărimi este exprimată prin lege:

Legea lui Hooke raportează fenomene precum stresul și deformarea unui solid, modulul elastic și alungirea. Modulul forței elastice care apare în timpul deformării unui corp este proporțional cu alungirea acestuia. Alungirea este o caracteristică a deformabilității unui material, evaluată prin creșterea lungimii unei probe din acest material atunci când este întins. Forța elastică este o forță care apare în timpul deformării unui corp și contracarează această deformare. Tensiunea este o măsură a forțelor interne care apar într-un corp deformabil sub influența influențelor externe. Deformarea este o modificare a poziției relative a particulelor unui corp asociată cu mișcarea lor una față de alta. Aceste concepte sunt legate de așa-numitul coeficient de rigiditate. Depinde de proprietățile elastice ale materialului și de dimensiunea corpului.

Declaratie de lege:

Legea lui Hooke este o ecuație a teoriei elasticității care leagă stresul și deformarea unui mediu elastic.

Formularea legii este că forța elastică este direct proporțională cu deformația.

Exprimarea matematică a legii:

Pentru o tijă de tracțiune subțire, legea lui Hooke are forma:

Aici F forța de tensionare a tijei, Δ l- alungirea (comprimarea) a acestuia, și k numit coeficient de elasticitate(sau rigiditate). Minusul din ecuație indică faptul că forța de tensiune este întotdeauna îndreptată în direcția opusă deformației.

Dacă se introduce alungirea relativă

și efort normal în secțiune transversală

atunci legea lui Hooke va fi scrisă așa

În această formă este valabil pentru orice volum mic de materie.

În cazul general, tensiunea și deformarea sunt tensori de rangul doi în spațiul tridimensional (au câte 9 componente). Tensorul constantelor elastice care le leagă este un tensor de rangul al patrulea C ijklși conține 81 de coeficienți. Datorită simetriei tensorului C ijkl, precum și tensorii de tensiune și deformare, doar 21 de constante sunt independente. Legea lui Hooke arată astfel:

unde σ ij- tensor de tensiune, - tensor de deformare. Pentru un material izotrop, tensorul C ijkl conține doar doi coeficienți independenți.

Cum a fost descoperită legea: pe baza datelor experimentale sau teoretic:

Legea a fost descoperită în 1660 de omul de știință englez Robert Hooke (Hook) pe baza observațiilor și experimentelor. Descoperirea, după cum a afirmat Hooke în lucrarea sa „De potenția restitutiva”, publicată în 1678, a fost făcută de el cu 18 ani mai devreme, iar în 1676 a fost plasată într-o altă dintre cărțile sale sub masca anagramei „ceiiinosssttuv”, adică „Ut tensio sic vis” . Conform explicației autorului, legea proporționalității de mai sus se aplică nu numai metalelor, ci și lemnului, pietrelor, cornului, oaselor, sticlei, mătăsii, părului etc.

Fapte experimentate pe baza cărora a fost formulată legea:

Istoria tace despre asta...

Experimente care confirmă validitatea legii formulate pe baza teoriei:

Legea este formulată pe baza datelor experimentale. Într-adevăr, la întinderea unui corp (sârmă) cu un anumit coeficient de rigiditate k la o distanță Δ eu atunci produsul lor va fi egal ca mărime cu forța care întinde corpul (sârma). Această relație va fi valabilă, însă, nu pentru toate deformările, ci pentru cele mici. Cu deformări mari, legea lui Hooke încetează să se aplice și corpul se prăbușește.

Exemple de utilizare a legii și luarea în considerare a efectului legii în practică:

După cum rezultă din legea lui Hooke, alungirea unui arc poate fi folosită pentru a judeca forța care acționează asupra acestuia. Acest fapt este folosit pentru a măsura forțele folosind un dinamometru - un arc cu o scară liniară gradată la sensuri diferite rezistenţă

Literatură.

1. Resurse de internet: - site-ul Wikipedia (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83% D0%BA%D0%B0).

2. manual de fizică Peryshkin A.V. clasa a IX-a

3. manual de fizică V.A. Kasyanov clasa a X-a

4. prelegeri de mecanică Ryabushkin D.S.

Coeficientul de elasticitate

Coeficientul de elasticitate(numit uneori coeficientul lui Hooke, coeficientul de rigiditate sau rigiditatea arcului) - un coeficient care raportează în legea lui Hooke alungirea unui corp elastic și forța elastică rezultată din această alungire. Este folosit în mecanica solidelor în secțiunea de elasticitate. Notat prin scrisoare k, Uneori D sau c. Are dimensiunea N/m sau kg/s2 (în SI), dyne/cm sau g/s2 (în GHS).

Coeficientul de elasticitate este numeric egal cu forța care trebuie aplicată arcului pentru ca lungimea acestuia să se modifice pe unitate de distanță.

Definiție și proprietăți

Coeficientul de elasticitate, prin definiție, este egal cu forța elastică împărțită la modificarea lungimii arcului: k = F e / Δ l. (\displaystyle k=F_(\mathrm (e) )/\Delta l.) Coeficientul de elasticitate depinde atât de proprietățile materialului, cât și de dimensiunile corpului elastic. Astfel, pentru o tijă elastică, putem distinge dependența de dimensiunile tijei (aria secțiunii transversale S (\displaystyle S) și lungimea L (\displaystyle L)), scriind coeficientul de elasticitate ca k = E ⋅ S / L. (\displaystyle k=E\cdot S/L.) Mărimea E (\displaystyle E) se numește modulul lui Young și, spre deosebire de coeficientul de elasticitate, depinde doar de proprietățile materialului tijei.

Rigiditatea corpurilor deformabile atunci când sunt conectate

Conexiunea paralelă a arcurilor. Conectarea în serie a arcurilor.

La conectarea mai multor corpuri elastic deformabile (denumite în continuare arcuri pentru concizie), rigiditatea generală a sistemului se va modifica. La o legătură paralelă, rigiditatea crește, la o legătură în serie scade.

Conexiune în paralel

Cu o legătură paralelă de n (\displaystyle n) arcuri cu rigidități egale cu k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , (\displaystyle k_(1),k_(2),k_(3),...,k_(n),) rigiditatea sistemului este egală cu suma rigidităților, adică k = k 1 + k 2 + k 3 + . . . +kn. (\displaystyle k=k_(1)+k_(2)+k_(3)+...+k_(n).)

Dovada

Într-o legătură paralelă există n (\displaystyle n) arcuri cu rigidități k 1 , k 2 , . . . ,kn. (\displaystyle k_(1),k_(2),...,k_(n).) Din legea a III-a a lui Newton, F = F 1 + F 2 + . . . +Fn. (\displaystyle F=F_(1)+F_(2)+...+F_(n).) (Li se aplică o forță F (\displaystyle F). În același timp, se aplică o forță F 1 a arc 1, (\displaystyle F_(1),) a arc 2 forță F 2 , (\displaystyle F_(2),) ... , a resort n (\displaystyle n) forță F n (\displaystyle F_(n) )))

Acum din legea lui Hooke (F = − k x (\displaystyle F=-kx), unde x este alungirea) derivăm: F = k x ; F 1 = k 1 x ; F 2 = k 2 x ; . . . ; F n = k n x . (\displaystyle F=kx;F_(1)=k_(1)x;F_(2)=k_(2)x;...;F_(n)=k_(n)x.) Înlocuiți aceste expresii în egalitatea (1): k x = k 1 x + k 2 x + . . . + k n x ; (\displaystyle kx=k_(1)x+k_(2)x+...+k_(n)x;) reducând cu x, (\displaystyle x,) obținem: k = k 1 + k 2 + . . . + k n , (\displaystyle k=k_(1)+k_(2)+...+k_(n),) care este ceea ce trebuia demonstrat.

Conexiune serială

Cu o legătură în serie de n (\displaystyle n) arcuri cu rigidități egale cu k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , (\displaystyle k_(1),k_(2),k_(3),...,k_(n),) rigiditatea totală este determinată din ecuația: 1 / k = (1 / k 1 + 1 / k 2 + 1 / k 3 + . (\displaystyle 1/k=(1/k_(1)+1/k_(2)+1/k_(3)+...+1/k_(n)).)

Dovada

Într-o legătură în serie există n (\displaystyle n) arcuri cu rigidități k 1 , k 2 , . . . ,kn. (\displaystyle k_(1),k_(2),...,k_(n).) Din legea lui Hooke (F = − k l (\displaystyle F=-kl) , unde l este alungirea) rezultă că F = k ⋅ l . (\displaystyle F=k\cdot l.) Suma alungirilor fiecărui arc este egală cu alungirea totală a întregii conexiuni l 1 + l 2 + . . . + l n = l . (\displaystyle l_(1)+l_(2)+...+l_(n)=l.)

Fiecare arc este supus aceleiași forțe F. (\displaystyle F.) Conform legii lui Hooke, F = l 1 ⋅ k 1 = l 2 ⋅ k 2 = . . . = l n ⋅ k n . (\displaystyle F=l_(1)\cdot k_(1)=l_(2)\cdot k_(2)=...=l_(n)\cdot k_(n).) Din expresiile anterioare deducem: l = F / k, l 1 = F / k 1, l 2 = F / k 2, . . . , l n = F / k n . (\displaystyle l=F/k,\quad l_(1)=F/k_(1),\quad l_(2)=F/k_(2),\quad ...,\quad l_(n)= F/k_(n).) Înlocuind aceste expresii în (2) și împărțind la F, (\displaystyle F,) obținem 1 / k = 1 / k 1 + 1 / k 2 + . . . + 1 / k n , (\displaystyle 1/k=1/k_(1)+1/k_(2)+...+1/k_(n),) care este ceea ce trebuia demonstrat.

Rigiditatea unor corpuri deformabile

Tijă cu secțiune transversală constantă

O tijă omogenă de secțiune transversală constantă, deformată elastic de-a lungul axei, are un coeficient de rigiditate

K = E S L 0 , (\displaystyle k=(\frac (E\,S)(L_(0))),) E- modulul Young, care depinde doar de materialul din care este confectionata tija; S- aria secțiunii transversale; L 0 - lungimea tijei.

Arc elicoidal cilindric

Arc de compresie cilindric răsucit.

Un arc de compresie sau de tracțiune cilindric răsucit, înfășurat dintr-un fir cilindric și deformat elastic de-a lungul axei, are un coeficient de rigiditate

K = G ⋅ re Re 4 8 ⋅ re F 3 ⋅ n , (\displaystyle k=(\frac (G\cdot d_(\mathrm (D)) )^(4))(8\cdot d_(\mathrm (F) ) )^(3)\cdot n)),) d- diametrul firului; d F - diametrul înfășurării (măsurat de pe axa firului); n- numărul de ture; G- modul de forfecare (pentru oțel obișnuit G≈ 80 GPa, pentru oțel pentru arc G≈ 78,5 GPa, pentru cupru ~ 45 GPa).

Surse și note

1. Deformare elastică (rusă). Arhivat la 30 iunie 2012.
2. Dieter Meschede, Christian Gerthsen. Fizic. - Springer, 2004. - P. 181 ..
3. Bruno Assmann. Technische Mechanik: Kinematik und Kinetik. - Oldenbourg, 2004. - P. 11 ..
4. Dinamica, forta elastica (rusa). Arhivat la 30 iunie 2012.
5. Proprietățile mecanice ale corpurilor (rusă). Arhivat la 30 iunie 2012.

10. Legea lui Hooke în tensiune-compresie. Modulul de elasticitate (modulul Young).

Sub tensiune sau compresie axială până la limita proporționalității σ pr Legea lui Hooke este valabilă, adică. legea privind relaţia direct proporţională dintre tensiunile normale  şi deformaţii relative longitudinale :

(3.10)

sau

(3.11)

Aici E - coeficientul de proporționalitate din legea lui Hooke are dimensiunea tensiunii și se numește modulul de elasticitate de primul fel, care caracterizează proprietățile elastice ale materialului, sau Modulul Young.

Deformarea longitudinală relativă este raportul dintre deformarea longitudinală absolută a secțiunii

tija la lungimea acestei secțiuni înainte de deformare:

(3.12)

Deformația transversală relativă va fi egală cu: " = = b/b, unde b = b 1 – b.

Raportul dintre deformația transversală relativă " și deformația longitudinală relativă , luată modulo, este o valoare constantă pentru fiecare material și se numește raportul lui Poisson:

Determinarea deformării absolute a unei secțiuni de lemn

În formula (3.11) în schimb Şi Să înlocuim expresiile (3.1) și (3.12):

De aici obținem o formulă pentru determinarea alungirii (sau scurtării) absolute a unei secțiuni a unei tije cu lungime:

(3.13)

În formula (3.13) produsul EA se numește rigiditatea grinzii în tensiune sau compresie, care se măsoară în kN sau MN.

Această formulă determină deformația absolută dacă forța longitudinală este constantă în zonă. În cazul în care forța longitudinală este variabilă în zonă, aceasta este determinată de formula:

(3.14)

unde N(x) este o funcție a forței longitudinale de-a lungul lungimii secțiunii.

11. Coeficientul de deformare transversală (raportul lui Poisson

12.Determinarea deplasărilor în timpul tensiunii și compresiunii. Legea lui Hooke pentru o secțiune de lemn. Determinarea deplasărilor secțiunilor grinzilor

Să determinăm mișcarea orizontală a punctului O axa grinzii (Fig. 3.5) – u a: este egală cu deformarea absolută a unei părți a grinzii Od, închis între încastrare și secțiunea trasă prin punct, adică.

La rândul său, prelungirea secțiunii Od constă din extensii ale secțiunilor individuale de marfă 1, 2 și 3:

Forțe longitudinale în zonele luate în considerare:

Prin urmare,

Apoi

În mod similar, puteți determina mișcarea oricărei secțiuni a unei grinzi și puteți formula următoarea regulă:

mutarea oricărei secțiuni ja unei tije sub tensiune-compresiune se determină ca suma deformaţiilor absolute nzonele de marfă închise între secțiunile luate în considerare și cele fixe (fixe), i.e.

(3.16)

Condiția de rigiditate a grinzii se va scrie în următoarea formă:

, (3.17)

Unde

– cea mai mare valoare deplasarea secțiunii, luată modulo din diagrama deplasării u – valoarea admisibilă a deplasării secțiunii pentru o structură dată sau elementul acesteia, stabilită în standarde;

13. Determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor. Încercarea de tracțiune. Test de compresie.

Pentru cuantificare proprietățile de bază ale materialelor, cum ar fi

De regulă, diagrama tensiunii este determinată experimental în coordonatele  și  (Fig. 2.9) Punctele caracteristice sunt marcate pe diagramă. Să le definim.

Se numește tensiunea cea mai mare la care un material urmează legea lui Hooke limita de proporționalitate  P. În limitele legii lui Hooke, tangenta unghiului de înclinare a dreptei  = f() la axa  este determinată de valoare E.

Proprietățile elastice ale materialului se mențin până la solicitarea  U, numit limita elastica. Sub limita elastică  U este înțeles ca efortul cel mai mare până la care materialul nu primește deformații reziduale, adică. după descărcarea completă, ultimul punct al diagramei coincide cu punctul de pornire 0.

Valoarea  T numit puterea de curgere material. Limita de curgere este înțeleasă ca efortul la care deformarea crește fără o creștere vizibilă a sarcinii. Dacă este necesar să se facă distincția între limita de curgere în tracțiune și compresiune  Tîn mod corespunzător înlocuit cu  TRși  TS. La tensiuni ridicate  Tîn corpul structurii se dezvoltă deformaţii plastice  P, care nu dispar atunci când sarcina este îndepărtată.

Raportul dintre forța maximă pe care o poate suporta o probă și aria sa transversală inițială se numește rezistență la tracțiune sau rezistență la tracțiune și este notat cu  VR(cu compresie  Soare).

La efectuarea calculelor practice se simplifică diagrama reală (Fig. 2.9), iar în acest scop se folosesc diverse diagrame de aproximare. Pentru a rezolva probleme ținând cont elastic plastic proprietățile materialelor structurale este cel mai des utilizat Diagrama Prandtl. Conform acestei diagrame, tensiunea se modifică de la zero la limita de curgere conform legii lui Hooke  = E, iar apoi pe măsură ce  crește,  =  T(Fig. 2.10).

Capacitatea materialelor de a obține deformații reziduale se numește plasticitate. În fig. 2.9 a prezentat o diagramă caracteristică pentru materialele plastice.

Orez. 2.10 Fig. 2.11

Opusul proprietății plasticității este proprietatea fragilitate, adică capacitatea unui material de a se prăbuși fără formarea de deformații reziduale vizibile. Un material cu această proprietate se numește fragil. Materialele fragile includ fonta, oțel cu conținut ridicat de carbon, sticlă, cărămidă, beton și pietre naturale. O diagramă de deformare caracteristică a materialelor casante este prezentată în Fig. 2.11.

1. Cum se numește deformarea corpului? Cum este formulată legea lui Hooke?

Vakhit Shavaliev

Deformațiile sunt orice modificări ale formei, dimensiunii și volumului corpului. Deformarea determină rezultatul final al mișcării părților corpului unul față de celălalt.
Deformațiile elastice sunt deformații care dispar complet după îndepărtarea forțelor externe.
Deformațiile plastice sunt deformații care rămân total sau parțial după încetarea acțiunii forțelor externe.
Forțele elastice sunt forțe care apar într-un corp în timpul deformării sale elastice și sunt direcționate în direcția opusă deplasării particulelor în timpul deformării.
legea lui Hooke
Deformațiile mici și de scurtă durată cu un grad suficient de precizie pot fi considerate elastice. Pentru astfel de deformari, legea lui Hooke este valabila:
Forța elastică care apare în timpul deformării unui corp este direct proporțională cu alungirea absolută a corpului și este îndreptată în direcția opusă deplasării particulelor corpului:
\
unde F_x este proiecția forței pe axa x, k este rigiditatea corpului, în funcție de dimensiunea corpului și de materialul din care este realizat, unitatea de rigiditate în sistemul SI N/m.
http://ru.solverbook.com/spravochnik/mexanika/dinamika/deformacii-sily-uprugosti/

Varya Guseva

Deformarea este o modificare a formei sau volumului unui corp. Tipuri de deformare - întindere sau compresie (exemple: întinderea sau strângerea unei benzi elastice, acordeon), îndoire (o scândură îndoită sub o persoană, o foaie de hârtie îndoită), torsiune (lucrarea cu o șurubelniță, stoarcerea rufelor cu mâna), forfecare (atunci când o mașină frânează, anvelopele sunt deformate din cauza forței de frecare) .
Legea lui Hooke: Forța elastică care apare într-un corp în timpul deformării sale este direct proporțională cu mărimea acestei deformări
sau
Forța elastică care apare într-un corp în timpul deformării acestuia este direct proporțională cu mărimea acestei deformări.
Formula legii lui Hooke: Fpr=kx

legea lui Hooke. Poate fi exprimat prin formula F= -khх sau F= khх?

⚓ Vidre ☸

Legea lui Hooke este o ecuație a teoriei elasticității care leagă stresul și deformarea unui mediu elastic. Descoperit în 1660 de omul de știință englez Robert Hooke. Deoarece legea lui Hooke este scrisă pentru tensiuni și deformari mici, are forma de proporționalitate simplă.

Pentru o tijă de tracțiune subțire, legea lui Hooke are forma:
Aici F este forța de întindere a tijei, Δl este alungirea (compresia) a acesteia și k se numește coeficient de elasticitate (sau rigiditate). Minusul din ecuație indică faptul că forța de tensiune este întotdeauna îndreptată în direcția opusă deformației.

Coeficientul de elasticitate depinde atât de proprietățile materialului, cât și de dimensiunile tijei. Putem distinge dependența de dimensiunile tijei (aria secțiunii transversale S și lungimea L) în mod explicit scriind coeficientul de elasticitate ca
Mărimea E se numește modul lui Young și depinde doar de proprietățile corpului.

Dacă se introduce alungirea relativă
și efort normal în secțiune transversală
atunci legea lui Hooke va fi scrisă ca
În această formă este valabil pentru orice volum mic de materie.
[edita]
Legea lui Hooke generalizată

În cazul general, tensiunea și deformarea sunt tensori de rangul doi în spațiul tridimensional (au câte 9 componente). Tensorul constantelor elastice care le leagă este un tensor de rangul al patrulea Cijkl și conține 81 de coeficienți. Datorită simetriei tensorului Cijkl, precum și a tensoarelor de tensiune și deformare, doar 21 de constante sunt independente. Legea lui Hooke arată astfel:
Pentru un material izotrop, tensorul Cijkl conține doar doi coeficienți independenți.

Trebuie avut în vedere că legea lui Hooke este îndeplinită doar pentru deformații mici. Când limita de proporționalitate este depășită, relația dintre efort și deformare devine neliniară. Pentru multe medii, legea lui Hooke nu este aplicabilă nici măcar la deformații mici.
[edita]

pe scurt, o poți face așa sau ăla, în funcție de ceea ce vrei să indicați în final: pur și simplu modulul forței Hooke sau și direcția acestei forțe. Strict vorbind, desigur, -kx, deoarece forța Hooke este îndreptată împotriva creșterii pozitive a coordonatei capătului arcului.

Coeficientul E din această formulă se numește Modulul Young. Modulul Young depinde doar de proprietățile materialului și nu depinde de dimensiunea și forma corpului. Pentru diferite materiale, modulul Young variază foarte mult. Pentru oțel, de exemplu, E ≈ 2·10 11 N/m 2 , iar pentru cauciuc E ≈ 2·10 6 N/m 2 , adică cu cinci ordine de mărime mai puțin.

Legea lui Hooke poate fi generalizată în cazul deformațiilor mai complexe. De exemplu, când deformare la încovoiere forța elastică este proporțională cu deformarea tijei, ale cărei capete se află pe două suporturi (Fig. 1.12.2).

Figura 1.12.2.

Deformarea îndoirii. Forța elastică care acționează asupra corpului din partea suportului (sau suspensiei) se numește forța de reacție a solului . Când corpurile vin în contact, forța de reacție a suportului este direcționată perpendicular suprafete de contact. De aceea se numește adesea putere presiune normală . Dacă un corp se află pe o masă staționară orizontală, forța de reacție a suportului este îndreptată vertical în sus și echilibrează forța gravitației: Forța cu care corpul acționează asupra mesei se numește.

greutatea corporală În tehnologie, în formă de spirală izvoare (Fig. 1.12.3). Când arcurile sunt întinse sau comprimate, apar forțe elastice, care respectă și legea lui Hooke. Se numeste coeficientul k rigiditatea arcului . În limitele aplicabilității legii lui Hooke, arcurile sunt capabile să își modifice mult lungimea. Prin urmare, ele sunt adesea folosite pentru a măsura forțele. Se numește un arc a cărui tensiune se măsoară în unități de forță dinamometru

. Trebuie avut în vedere faptul că atunci când un arc este întins sau comprimat, în bobinele sale apar deformații complexe de torsiune și încovoiere.

Figura 1.12.3.

Deformarea extensiei arcului.

Spre deosebire de arcuri și unele materiale elastice (de exemplu, cauciucul), deformarea prin tracțiune sau compresiune a tijelor elastice (sau a firelor) respectă legea liniară a lui Hooke în limite foarte înguste. Pentru metale, deformația relativă ε = x / l nu trebuie să depășească 1%. La deformari mari se produc fenomene ireversibile (fluiditate) si distrugerea materialului.

Deformare§ 10. Forța elastică. legea lui Hooke
Tipuri de deformații elastic, și deformații care persistă chiar și după ce forțele externe au încetat să acționeze asupra corpului - plastic.
numită modificare a formei, mărimii sau volumului corpului. Deformarea poate fi cauzată de forțele externe aplicate corpului. deformare la întindere sau comprimare(unilateral sau cuprinzător), îndoire, torsiuneŞi schimbare.

Forțe elastice

Când un corp solid este deformat, particulele sale (atomi, molecule, ioni) situate la nodurile rețelei cristaline sunt deplasate din pozițiile lor de echilibru. Această deplasare este contracarată de forțele de interacțiune dintre particulele unui corp solid, care mențin aceste particule la o anumită distanță unele de altele. Prin urmare, la orice tip de deformare elastică, în corp apar forțe interne care împiedică deformarea acestuia.

Se numesc deformații care dispar complet după încetarea acțiunii forțelor externe asupra corpului

Vom lua în considerare cazul apariției forțelor elastice în timpul întinderii și compresiei unilaterale a unui corp solid.

legea lui Hooke

Legătura dintre forța elastică și deformarea elastică a unui corp (la deformații mici) a fost stabilită experimental de contemporanul lui Newton, fizicianul englez Hooke. Expresia matematică a legii lui Hooke pentru deformarea la tensiune (compresiune) unilaterală are forma

unde f este forța elastică; x - alungirea (deformarea) corpului; k este un coeficient de proporționalitate în funcție de dimensiunea și materialul corpului, numit rigiditate. Unitatea SI de rigiditate este newton pe metru (N/m).

legea lui Hooke pentru tensiune unilaterală (compresie) este formulată după cum urmează: Forța elastică care apare în timpul deformării unui corp este proporțională cu alungirea acestui corp.

Să luăm în considerare un experiment care ilustrează legea lui Hooke. Fie ca axa de simetrie a arcului cilindric să coincidă cu dreapta Ax (Fig. 20, a). Un capăt al arcului este fixat în suport în punctul A, iar al doilea este liber și corpul M este atașat de acesta Când arcul nu este deformat, capătul său liber este situat în punctul C. Acest punct va fi luat ca originea coordonatei x, care determină poziția capătului liber al arcului.

Să întindem arcul astfel încât capătul său liber să fie în punctul D, a cărui coordonată este x>0: În acest punct arcul acționează asupra corpului M cu o forță elastică.

Să comprimăm acum arcul astfel încât capătul său liber să fie în punctul B, a cărui coordonată este x<0. В этой точке пружина действует на тело М упругой силой

Din figură se poate observa că proiecția forței elastice a arcului pe axa Ax are întotdeauna un semn opus semnului coordonatei x, deoarece forța elastică este întotdeauna îndreptată spre poziția de echilibru C. În Fig. 20, b prezintă un grafic al legii lui Hooke. Valorile alungirii x a arcului sunt reprezentate pe axa absciselor, iar valorile forțelor elastice sunt reprezentate pe axa ordonatelor. Dependența lui fх de x este liniară, deci graficul este o linie dreaptă care trece prin originea coordonatelor.

Să luăm în considerare un alt experiment.
Fie ca un capăt al unui fir de oțel subțire să fie fixat pe un suport și o sarcină suspendată de celălalt capăt, a cărei greutate este o forță de tracțiune externă F care acționează asupra firului perpendicular pe secțiunea sa transversală (Fig. 21).

Acțiunea acestei forțe asupra firului depinde nu numai de modulul de forță F, ci și de aria secțiunii transversale a firului S.

Sub influența unei forțe externe aplicate acestuia, firul este deformat și întins. Dacă întinderea nu este prea mare, această deformare este elastică. Într-un fir deformat elastic, apare o unitate de forță elastică f.
Conform celei de-a treia legi a lui Newton, forța elastică este egală ca mărime și opusă ca direcție forței externe care acționează asupra corpului, adică.

f sus = -F (2,10)

Starea unui corp deformat elastic se caracterizează prin valoarea s, numită stres mecanic normal(sau, pe scurt, doar tensiune normală). Tensiunea normală s este egală cu raportul dintre modulul forței elastice și aria secțiunii transversale a corpului:

s=f sus /S (2.11)

Fie lungimea inițială a firului neîntins L 0 . După aplicarea forței F, firul s-a întins și lungimea sa a devenit egală cu L. Valoarea DL=L-L 0 se numește alungirea absolută a firului. Dimensiune

numit alungirea relativă a corpului. Pentru deformarea la tracțiune e>0, pentru deformarea la compresiune e<0.

Observațiile arată că pentru deformații mici efortul normal s este proporțional cu alungirea relativă e:

Formula (2.13) este unul dintre tipurile de scriere a legii lui Hooke pentru tensiune (compresie) unilaterală. În această formulă, alungirea relativă este luată modulo, deoarece poate fi atât pozitivă, cât și negativă. Coeficientul de proporționalitate E din legea lui Hooke se numește modulul longitudinal de elasticitate (modulul Young).

Să stabilim semnificația fizică a modulului lui Young. După cum se poate observa din formula (2.12), e=1 și L=2L 0 cu DL=L 0 . Din formula (2.13) rezultă că în acest caz s=E. În consecință, modulul lui Young este numeric egal cu solicitarea normală care ar trebui să apară în corp dacă lungimea sa este dublată. (dacă legea lui Hooke ar fi adevărată pentru o deformare atât de mare). Din formula (2.13) este de asemenea clar că în SI modulul Young este exprimat în pascali (1 Pa = 1 N/m2).

Diagrama tensiunii

Folosind formula (2.13), din valorile experimentale ale alungirii relative e, se pot calcula valorile corespunzătoare ale tensiunii normale s care apar în corpul deformat și se pot construi un grafic al dependenței lui s de e. Acest grafic este numit diagrama de întindere. Un grafic similar pentru o probă de metal este prezentat în Fig. 22. În secțiunea 0-1, graficul arată ca o linie dreaptă care trece prin origine. Aceasta înseamnă că până la o anumită valoare a tensiunii, deformația este elastică și legea lui Hooke este îndeplinită, adică tensiunea normală este proporțională cu alungirea relativă. Se numește valoarea maximă a tensiunii normale s p, la care legea lui Hooke este încă îndeplinită limita de proporționalitate.

Odată cu o creștere suplimentară a sarcinii, dependența tensiunii de alungirea relativă devine neliniară (secțiunea 1-2), deși proprietățile elastice ale corpului sunt încă păstrate. Se numește valoarea maximă s a tensiunii normale, la care deformarea reziduală încă nu are loc limita elastica. (Limita elastică depășește limita de proporționalitate cu doar sutimi de procent.) Creșterea sarcinii peste limita elastică (secțiunea 2-3) duce la faptul că deformația devine reziduală.

Apoi proba începe să se alungească la stres aproape constant (secțiunea 3-4 a graficului). Acest fenomen se numește fluiditate materială. Se numește efortul normal s t la care deformația reziduală atinge o valoare dată puterea de curgere.

La solicitări care depășesc limita de curgere, proprietățile elastice ale corpului sunt restaurate într-o anumită măsură și acesta începe din nou să reziste la deformare (secțiunea 4-5 a graficului). Se numește valoarea maximă a tensiunii normale spr, deasupra căreia proba se rupe rezistență la tracțiune.

Energia unui corp deformat elastic

Înlocuind valorile lui s și e din formulele (2.11) și (2.12) în formula (2.13), obținem

f sus /S=E|DL|/L 0 .

de unde rezultă că forța elastică fуn, care apare în timpul deformării corpului, este determinată de formula

f sus =ES|DL|/L 0 . (2,14)

Să determinăm lucrul A def efectuat în timpul deformării corpului și energia potențială W a corpului deformat elastic. Conform legii conservării energiei,

W=A def. (2,15)

După cum se poate observa din formula (2.14), modulul forței elastice se poate modifica. Crește proporțional cu deformarea corpului. Prin urmare, pentru a calcula munca de deformare, este necesar să se ia valoarea medie a forței elastice , egal cu jumătate din valoarea sa maximă:

= ES|DL|/2L 0 . (2,16)

Apoi determinat prin formula A def = |DL| munca de deformare

A def = ES|DL| 2 /2L 0 .

Înlocuind această expresie în formula (2.15), găsim valoarea energiei potențiale a unui corp deformat elastic:

W=ES|DL| 2 /2L 0 . (2,17)

Pentru un arc deformat elastic ES/L 0 =k este rigiditatea arcului; x este prelungirea arcului. Prin urmare, formula (2.17) poate fi scrisă sub forma

W=kx2/2. (2,18)

Formula (2.18) determină energia potențială a unui arc deformat elastic.

Întrebări pentru autocontrol:

 Ce este deformarea?

 Ce deformare se numește elastică? plastic?

 Numiți tipurile de deformații.

 Ce este forța elastică? Cum este regizat? Care este natura acestei forțe?

 Cum este formulată și scrisă legea lui Hooke pentru tensiune (compresie) unilaterală?

 Ce este rigiditatea? Care este unitatea SI de duritate?

 Desenați o diagramă și explicați un experiment care ilustrează legea lui Hooke. Desenați un grafic al acestei legi.

 După realizarea unui desen explicativ, descrieți procesul de întindere a unui fir metalic sub sarcină.

 Ce este stresul mecanic normal? Ce formulă exprimă sensul acestui concept?

 Ce se numește alungire absolută? alungirea relativa? Ce formule exprimă sensul acestor concepte?

 Care este forma legii lui Hooke într-o înregistrare care conține solicitări mecanice normale?

 Ce se numește modulul lui Young? Care este semnificația sa fizică? Care este unitatea SI a modulului lui Young?

 Desenați și explicați diagrama efort-deformație a unei epruvete de metal.

 Ce se numește limita de proporționalitate? elasticitate? cifra de afaceri? rezistenţă?

 Obţine formule care determină munca de deformare şi energia potenţială a unui corp deformat elastic.

legea lui Hooke denumite de obicei relații liniare între componentele de deformare și componentele tensiunii.

Să luăm un paralelipiped dreptunghiular elementar cu fețe paralele cu axele de coordonate, încărcat cu efort normal σ x, distribuite uniform pe două fețe opuse (Fig. 1). În același timp σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

Până la limita proporționalității, alungirea relativă este dată de formula

Unde E— modulul de elasticitate la tracțiune. Pentru oțel E = 2*10 5 MPa, prin urmare, deformațiile sunt foarte mici și se măsoară ca procent sau 1 * 10 5 (la instrumentele de extensometru care măsoară deformațiile).

Extinderea unui element în direcția axei Xînsoţită de îngustarea acestuia pe direcţia transversală, determinată de componentele de deformare

Unde μ - o constantă numită raportul de compresie laterală sau raportul lui Poisson. Pentru oțel μ de obicei luate egale cu 0,25-0,3.

Dacă elementul în cauză este încărcat simultan cu solicitări normale σ x, σy, σ z, distribuit uniform de-a lungul fețelor sale, apoi se adaugă deformații

Suprapunerea componentelor de deformare cauzate de fiecare dintre cele trei tensiuni se obtin relatiile

Aceste relații sunt confirmate de numeroase experimente. Aplicat metoda de suprapunere sau suprapuneri a afla deformarile si tensiunile totale cauzate de mai multe forte este legitim atata timp cat deformarile si tensiunile sunt mici si dependente liniar de fortele aplicate. În astfel de cazuri, neglijăm micile modificări ale dimensiunilor corpului deformat și mișcările mici ale punctelor de aplicare a forțelor externe și ne bazăm calculele pe dimensiunile inițiale și pe forma inițială a corpului.

De remarcat faptul că micimea deplasărilor nu înseamnă neapărat că relațiile dintre forțe și deformații sunt liniare. Deci, de exemplu, într-o forță comprimată Q tija încărcată suplimentar cu forță tăietoare R, chiar și cu abateri mici δ apare un punct suplimentar M = Qδ, ceea ce face problema neliniară. În astfel de cazuri, deviațiile totale nu sunt funcții liniare ale forțelor și nu pot fi obținute prin suprapunere simplă.

S-a stabilit experimental că dacă tensiunile de forfecare acționează de-a lungul tuturor fețelor elementului, atunci distorsiunea unghiului corespunzător depinde numai de componentele corespunzătoare ale efortului de forfecare.

Constant G numit modul de elasticitate de forfecare sau modul de forfecare.

Cazul general de deformare a unui element datorita actiunii a trei componente normale si a trei componente tangentiale de tensiuni asupra acestuia poate fi obtinut prin suprapunere: trei deformari de forfecare, determinate de relatiile (5.2b), sunt suprapuse pe trei deformatii liniare determinate de expresii ( 5.2a). Ecuațiile (5.2a) și (5.2b) determină relația dintre componentele deformațiilor și tensiunilor și se numesc legea lui Hooke generalizată. Să arătăm acum că modulul de forfecare G exprimat în termeni de modul de elasticitate la întindere Eși raportul lui Poisson μ . Pentru a face acest lucru, luați în considerare cazul special când σ x = σ , σy = -σ Şi σ z = 0.

Să decupăm elementul abcd plane paralele cu axa zși înclinată la un unghi de 45° față de axe XŞi la(Fig. 3). După cum rezultă din condițiile de echilibru ale elementului 0 bс, stres normal σ v pe toate fețele elementului abcd sunt zero și tensiunile tăietoare sunt egale

Această stare de tensiune se numește forfecare pură. Din ecuațiile (5.2a) rezultă că

adică extensia elementului orizontal este 0 c egal cu scurtarea elementului vertical 0 b: εy = -ε x.

Unghiul dintre fețe abŞi bc modificări și valoarea deformarii de forfecare corespunzătoare γ poate fi găsită din triunghiul 0 bс:

Rezultă că