Ghicitoare din cartea destinelor online - va dezvălui toate secretele vieții

Faceți clic pentru a previzualiza imaginea

Semne de sarcină după implantarea embrionului De exemplu, secvența \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... este o progresie aritmetică, deoarece fiecare element ulterior diferă de cel anterior cu trei (se poate obține de la precedentul prin adăugarea a trei):.

În această progresie, diferența \(d\) este pozitivă (egală cu \(3\)) și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât cel anterior. Se numesc astfel de progresii crescând Totuși, \(d\) poate fi și un număr negativ.

De exemplu , în progresie aritmetică \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... diferența de progresie \(d\) este egală cu minus șase..

Și în acest caz, fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. Aceste progresii se numesc

în scădere

Notarea progresiei aritmetice Progresul este indicat de o literă latină mică. Se numesc numerele care formează o progresie

membrii

(sau elemente).

Ele sunt notate cu aceeași literă ca o progresie aritmetică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.

De exemplu, progresia aritmetică \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) constă din elementele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, pentru progresia \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rezolvarea problemelor de progresie aritmetică În principiu, informațiile prezentate mai sus sunt deja suficiente pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică (inclusiv cele oferite la OGE).
Exemplu (OGE).

Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\). Soluţie:

Rezolvarea problemelor de progresie aritmetică Primii trei termeni ai unei progresii aritmetice sunt dați: \(62; 49; 36…\) Aflați valoarea primului termen negativ al acestei progresii..
Exemplu (OGE).

	Ni se oferă primele elemente ale secvenței și știm că este o progresie aritmetică. Adică, fiecare element diferă de vecinul său prin același număr. Să aflăm care dintre ele scăzând pe cel precedent din următorul element: \(d=49-62=-13\).
	Acum ne putem restabili progresul la (primul element negativ) de care avem nevoie.
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\). \(-3\)

Rezolvarea problemelor de progresie aritmetică Având în vedere mai multe elemente consecutive ale unei progresii aritmetice: \(…5; x; 10; 12,5...\) Aflați valoarea elementului desemnat de litera \(x\).
Exemplu (OGE).

	Pentru a găsi \(x\), trebuie să știm cât de mult diferă următorul element față de cel anterior, cu alte cuvinte, diferența de progresie. Să o găsim din două elemente învecinate cunoscute: \(d=12,5-10=2,5\).
	Și acum putem găsi cu ușurință ceea ce căutăm: \(x=5+2.5=7.5\).
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\). \(7,5\).

Rezolvarea problemelor de progresie aritmetică Progresia aritmetica este definita de urmatoarele conditii: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Aflați suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Exemplu (OGE).

	Trebuie să găsim suma primilor șase termeni ai progresiei. Dar nu le cunoaștem semnificațiile; ni se dă doar primul element. Prin urmare, mai întâi calculăm valorile unul câte unul, folosind ceea ce ni se oferă: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Și după ce am calculat cele șase elemente de care avem nevoie, găsim suma lor.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	S-a găsit suma necesară.

Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\). \(S_6=9\).

Rezolvarea problemelor de progresie aritmetică În progresie aritmetică \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Găsiți diferența acestei progresii.
Exemplu (OGE).

Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\). \(d=7\).

Formule importante pentru progresia aritmetică

După cum puteți vedea, multe probleme privind progresia aritmetică pot fi rezolvate pur și simplu prin înțelegerea principalului lucru - că o progresie aritmetică este un lanț de numere și fiecare element ulterior din acest lanț se obține prin adăugarea aceluiași număr la cel precedent ( diferența de progresie).

Cu toate acestea, uneori există situații în care decizia „front-on” este foarte incomod. De exemplu, imaginați-vă că în primul exemplu trebuie să găsim nu al cincilea element \(b_5\), ci al trei sute optzeci și șase \(b_(386)\). Ar trebui să adăugăm de patru \(385\) ori? Sau imaginați-vă că în penultimul exemplu trebuie să găsiți suma primelor șaptezeci și trei de elemente. Te vei sătura să numeri...

Prin urmare, în astfel de cazuri ei nu rezolvă lucrurile „direct”, ci folosesc formule speciale derivate pentru progresia aritmetică. Iar cele principale sunt formula pentru al n-lea termen al progresiei și formula pentru suma \(n\) primilor termeni.

Formula celui de-al \(n\)-lea termen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), unde \(a_1\) este primul termen al progresiei;
\(n\) – numărul elementului solicitat;
\(a_n\) – termenul progresiei cu număr \(n\).

Această formulă ne permite să găsim rapid chiar și al trei sutele sau milionul de element, cunoscând doar primul și diferența progresiei.

Exemplu. Progresia aritmetica este specificata de conditiile: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Găsiți \(b_(246)\).
Exemplu (OGE).

Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\). \(b_(246)=1850\).

Formula pentru suma primilor n termeni: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), unde

\(a_n\) – ultimul termen însumat;

Rezolvarea problemelor de progresie aritmetică Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(a_n=3.4n-0.6\). Aflați suma primilor \(25\) termeni ai acestei progresii.
Exemplu (OGE).

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Pentru a calcula suma primilor douăzeci și cinci de termeni, trebuie să cunoaștem valoarea primului și a douăzeci și cinci de termeni. Progresia noastră este dată de formula celui de-al n-lea termen în funcție de numărul acestuia (pentru mai multe detalii, vezi). Să calculăm primul element înlocuind cu unul cu \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Acum să găsim al douăzeci și cincilea termen înlocuind douăzeci și cinci în loc de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Ei bine, acum putem calcula cu ușurință suma necesară.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Răspunsul este gata.

Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\). \(S_(25)=1090\).

Pentru suma \(n\) primilor termeni, puteți obține o altă formulă: trebuie doar să \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) în loc de \(a_n\) înlocuiți formula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Primim:

Formula pentru suma primilor n termeni: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), unde

\(S_n\) – suma necesară a \(n\) primele elemente;
\(a_1\) – primul termen însumat;
\(d\) – diferență de progresie;
\(n\) – numărul de elemente în total.

Exemplu. Aflați suma primilor \(33\)-ex termeni ai progresiei aritmetice: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Exemplu (OGE).

Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\). \(S_(33)=-231\).

Probleme de progresie aritmetică mai complexe

Acum aveți toate informațiile de care aveți nevoie pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică. Să încheiem subiectul luând în considerare probleme în care nu trebuie doar să aplicați formule, ci și să vă gândiți puțin (la matematică acest lucru poate fi util ☺)

Rezolvarea problemelor de progresie aritmetică Aflați suma tuturor termenilor negativi ai progresiei: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Exemplu (OGE).

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Sarcina este foarte asemănătoare cu cea anterioară. Începem să rezolvăm același lucru: mai întâi găsim \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Acum am dori să substituim \(d\) în formula pentru sumă... și aici apare o mică nuanță - nu știm \(n\). Cu alte cuvinte, nu știm câți termeni vor trebui adăugați. Cum să aflu? Să ne gândim. Vom opri adăugarea de elemente când ajungem la primul element pozitiv. Adică, trebuie să aflați numărul acestui element. Cum? Să notăm formula pentru calcularea oricărui element al unei progresii aritmetice: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pentru cazul nostru.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Avem nevoie ca \(a_n\) să devină mai mare decât zero. Să aflăm la ce \(n\) se va întâmpla asta.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Împărțim ambele părți ale inegalității la \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Transferăm minus unu, fără a uita să schimbăm semnele
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Hai sa calculam...
\(n>65.333…\)		...și rezultă că primul element pozitiv va avea numărul \(66\). În consecință, ultimul negativ are \(n=65\). Pentru orice eventualitate, hai să verificăm asta.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Deci trebuie să adăugăm primele \(65\) elemente.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Răspunsul este gata.

Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\). \(S_(65)=-630,5\).

Rezolvarea problemelor de progresie aritmetică Progresia aritmetica este specificata de conditiile: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Găsiți suma de la \(26\)-lea până la elementul \(42\) inclusiv.
Exemplu (OGE).

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	În această problemă trebuie să găsiți și suma elementelor, dar pornind nu de la primul, ci de la \(26\)-lea. Pentru un astfel de caz nu avem o formulă. Cum să decizi? Este ușor - pentru a obține suma de la \(26\)-a la \(42\)-a, trebuie mai întâi să găsiți suma de la \(1\)-a la \(42\)-a, apoi să scădeți din ea suma de la primul la \(25\)-lea (vezi poza).
	Pentru progresia noastră \(a_1=-33\), și diferența \(d=4\) (la urma urmei, sunt cele patru pe care le adăugăm elementului anterior pentru a găsi următorul). Știind acest lucru, găsim suma primelor elemente \(42\)-y.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Acum suma primelor \(25\) elemente.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Și în sfârșit, calculăm răspunsul.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\). \(S=1683\).

Pentru progresia aritmetică, există mai multe formule pe care nu le-am luat în considerare în acest articol din cauza utilității lor practice scăzute. Cu toate acestea, le puteți găsi cu ușurință.

Deci, hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți (în cazul nostru, există). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:

Secvență de numere
De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr din succesiune. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu număr se numește al treilea termen al șirului.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

In cazul nostru:

Să presupunem că avem o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

etc.
Această secvență de numere se numește progresie aritmetică.
Termenul „progresie” a fost introdus de autorul roman Boethius încă din secolul al VI-lea și a fost înțeles într-un sens mai larg ca o succesiune numerică infinită. Denumirea „aritmetică” a fost transferată din teoria proporțiilor continue, care a fost studiată de grecii antici.

Aceasta este o secvență de numere, fiecare membru al căruia este egal cu cel anterior adăugat la același număr. Acest număr se numește diferența unei progresii aritmetice și este desemnat.

Încercați să determinați care secvențe de numere sunt o progresie aritmetică și care nu sunt:

o)
b)
c)
d)

Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:
este progresie aritmetică - b, c.
nu este progresie aritmetică - a, d.

Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al treilea termen. Există două mod de a-l găsi.

1. Metoda

Putem adăuga numărul de progresie la valoarea anterioară până ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu avem multe de rezumat - doar trei valori:

Deci, al treilea termen al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Metoda

Ce se întâmplă dacă ar trebui să găsim valoarea celui de-al treilea termen al progresiei? Însumarea ne-ar lua mai mult de o oră și nu este un fapt că nu am greși atunci când adunăm numere.
Desigur, matematicienii au venit cu un mod în care nu este necesar să adăugați diferența unei progresii aritmetice la valoarea anterioară. Aruncă o privire mai atentă la imaginea desenată... Cu siguranță ai observat deja un anumit tipar și anume:

De exemplu, să vedem în ce constă valoarea celui de-al treilea termen al acestei progresii aritmetice:


Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți singur valoarea unui membru al unei anumite progresii aritmetice în acest fel.

ai calculat? Comparați notele cu răspunsul:

Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am adăugat secvențial termenii progresiei aritmetice la valoarea anterioară.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă- Să o punem în formă generală și să obținem:

Ecuația de progresie aritmetică.

Progresiile aritmetice pot fi crescătoare sau descrescătoare.

În creștere- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:

Descendent- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mică decât cea anterioară.
De exemplu:

Formula derivată este utilizată în calculul termenilor atât în ​​termeni crescanți, cât și în termeni descrescători ai unei progresii aritmetice.
Să verificăm acest lucru în practică.
Ni se oferă o progresie aritmetică constând din următoarele numere: Să verificăm care va fi al-lea număr al acestei progresii aritmetice dacă folosim formula noastră pentru a o calcula:

De atunci:

Astfel, suntem convinși că formula funcționează atât în ​​progresie aritmetică descrescătoare, cât și în creștere.
Încercați să găsiți singuri termenii al treilea și al treilea ai acestei progresii aritmetice.

Să comparăm rezultatele:

Proprietatea progresiei aritmetice

Să complicăm problema - vom deriva proprietatea progresiei aritmetice.
Să presupunem că ni se oferă următoarea condiție:
- progresie aritmetică, găsiți valoarea.
Ușor, spui și începi să numeri după formula pe care o știi deja:

Să, ah, atunci:

Absolut adevărat. Se pare că mai întâi găsim, apoi îl adăugăm la primul număr și obținem ceea ce căutăm. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, atunci nu este nimic complicat, dar dacă ni se dau numere în stare? De acord, există posibilitatea de a face o greșeală în calcule.
Acum gândiți-vă dacă este posibil să rezolvați această problemă într-un singur pas folosind orice formulă? Bineînțeles că da, și asta vom încerca să scoatem acum.

Să notăm termenul necesar al progresiei aritmetice, deoarece formula pentru a-l găsi este cunoscută - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, Atunci:

• termenul anterior al progresiei este:
• următorul termen al progresiei este:

Să rezumam termenii anteriori și următori ai progresiei:

Rezultă că suma termenilor anteriori și următori ai progresiei este valoarea dublă a termenului de progresie situat între ei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui termen de progresie cu valori anterioare și succesive cunoscute, trebuie să le adunați și să împărțiți la.

Așa e, avem același număr. Să asigurăm materialul. Calculați singur valoarea progresiei, nu este deloc dificil.

Bine făcut! Știi aproape totul despre progres! Rămâne să aflăm o singură formulă, care, conform legendei, a fost ușor dedusă pentru el însuși de unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, „regele matematicienilor” - Carl Gauss...

Când Carl Gauss avea 9 ani, un profesor, ocupat să verifice munca elevilor din alte clase, a întrebat următoarea problemă în clasă: „Calculează suma tuturor numere naturale de la la (după alte surse până la) inclusiv.” Imaginați-vă surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (acesta era Karl Gauss) un minut mai târziu a dat răspunsul corect la sarcină, în timp ce majoritatea colegilor temerului, după lungi calcule, au primit rezultatul greșit...

Tânărul Carl Gauss a observat un anumit model pe care și tu îl poți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică constând din --i termeni: Trebuie să găsim suma acestor termeni ai progresiei aritmetice. Desigur, putem să însumăm manual toate valorile, dar ce se întâmplă dacă sarcina necesită găsirea sumei termenilor săi, așa cum căuta Gauss?

Să descriem progresul care ni s-a dat. Aruncați o privire mai atentă la numerele evidențiate și încercați să efectuați diverse operații matematice cu ele.


L-ai incercat? Ce ai observat? Corect! Sumele lor sunt egale

Acum spuneți-mi, câte astfel de perechi sunt în total în progresia care ne este dată? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi termeni ai unei progresii aritmetice este egală, iar perechile similare sunt egale, obținem că suma totală este egală cu:
.
Astfel, formula pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

În unele probleme nu cunoaștem al treilea termen, dar știm diferența de progresie. Încercați să înlocuiți formula celui de-al treilea termen în formula sumei.
Ce ai primit?

Bine făcut! Acum să revenim la problema care i-a fost pusă lui Carl Gauss: calculați singur cu ce este egală suma numerelor care încep de la th și suma numerelor începând de la th.

Cât ai primit?
Gauss a descoperit că suma termenilor este egală, iar suma termenilor. Asta ai decis?

De fapt, formula pentru suma termenilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de omul de știință grec antic Diophantus încă din secolul al III-lea și, de-a lungul acestui timp, oamenii plini de spirit au folosit pe deplin proprietățile unei progresii aritmetice.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul Antic și cel mai mare proiect de construcție din acea vreme - construcția unei piramide... Imaginea arată o parte a acesteia.

Unde este progresul aici, zici? Privește cu atenție și găsește un model în numărul de blocuri de nisip din fiecare rând al peretelui piramidei.


De ce nu o progresie aritmetică? Calculați câte blocuri sunt necesare pentru a construi un perete dacă cărămizi bloc sunt plasate la bază. Sper că nu veți număra în timp ce vă mutați degetul pe monitor, vă amintiți ultima formulă și tot ce am spus despre progresia aritmetică?

ÎN în acest caz, Progresia arată astfel: .
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de termeni ai unei progresii aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (calculați numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Și acum puteți calcula pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care se află în piramida noastră. Am înţeles? Bravo, ai stăpânit suma celor n-ai termeni ai unei progresii aritmetice.
Desigur, nu poți construi o piramidă din blocuri de la bază, dar din? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un zid cu această condiție.
Te-ai descurcat?
Răspunsul corect este blocurile:

Antrenamentul

Sarcini:

1. Masha se pune în formă pentru vară. În fiecare zi crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori va face Masha genuflexiuni într-o săptămână dacă a făcut genuflexiuni la primul antrenament?
2. Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
3. Când stochează jurnalele, loggers-ul le stivuiește în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un buștean mai puțin decât cel anterior. Câți bușteni sunt într-o zidărie, dacă fundația zidăriei sunt bușteni?

Raspunsuri:

1. Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
   (săptămâni = zile).

   Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\).În două săptămâni, Masha ar trebui să facă genuflexiuni o dată pe zi.

2. Primul număr impar, ultimul număr.
   Diferența de progresie aritmetică.
   Numărul de numere impare din este jumătate, totuși, să verificăm acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al treilea termen al unei progresii aritmetice:

   Numerele conțin numere impare.
   Să înlocuim datele disponibile în formula:

   Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\). Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală.

3. Să ne amintim de problema piramidelor. Pentru cazul nostru, a , deoarece fiecare strat superior este redus cu un buștean, atunci în total există o grămadă de straturi, adică.
   Să înlocuim datele în formula:

   Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\). Sunt bușteni în zidărie.

Să rezumam

1. - o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Poate fi în creștere sau în scădere.
2. Găsirea formulei Al treilea termen al unei progresii aritmetice se scrie cu formula - , unde este numărul de numere din progresie.
3. Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde este numărul de numere în progresie.
4. Suma termenilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:
   
   , unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MEDIU

Secvență de numere

Să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți. Dar putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și așa mai departe, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere.

Secvență de numere este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și cu unul unic. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu număr se numește al-lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

Este foarte convenabil dacă al treilea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula

stabilește secvența:

Și formula este următoarea succesiune:

De exemplu, o progresie aritmetică este o succesiune (primul termen aici este egal, iar diferența este). Sau (, diferență).

Formula al n-lea termen

Numim o formulă recurentă în care, pentru a afla al treilea termen, trebuie să-i cunoști pe anterior sau mai multe anterioare:

Pentru a găsi, de exemplu, cel de-al treilea termen al progresiei folosind această formulă, va trebui să-i calculăm pe cei nouă anteriori. De exemplu, lasa-l. Apoi:

Ei bine, este clar acum care este formula?

În fiecare linie adăugăm, înmulțită cu un număr. Care? Foarte simplu: acesta este numărul membrului curent minus:

Mult mai convenabil acum, nu? Verificăm:

Decide pentru tine:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al n-lea termen și găsiți al sutelea termen.

Exemplu (OGE).

Primul termen este egal. Care este diferența? Iată ce:

(De aceea se numește diferență deoarece este egală cu diferența de termeni succesivi ai progresiei).

Deci, formula:

Atunci al sutelea termen este egal cu:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la până la?

Potrivit legendei, marele matematician Carl Gauss, pe când era un băiețel de 9 ani, a calculat această sumă în câteva minute. A observat că suma primului și ultimului număr este egală, suma celui de-al doilea și penultimul este aceeași, suma celui de-al treilea și al 3-lea de la sfârșit este aceeași și așa mai departe. Câte astfel de perechi există în total? Așa este, exact jumătate din numărul tuturor numerelor, adică. Aşa,

Formula generală pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

Exemplu:
Găsiți suma tuturor numere cu două cifre, multipli.

Exemplu (OGE).

Primul astfel de număr este acesta. Fiecare număr următor se obține prin adăugarea la numărul anterior. Astfel, numerele care ne interesează formează o progresie aritmetică cu primul termen și diferența.

Formula celui de-al treilea termen pentru această progresie:

Câți termeni există în progresie dacă toți trebuie să fie din două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen al progresiei va fi egal. Apoi suma:

Raspuns: .

Acum decideți singuri:

1. În fiecare zi, sportivul aleargă mai mulți metri decât în ​​ziua precedentă. Câți kilometri în total va alerga într-o săptămână, dacă în prima zi a alergat km m?
2. Un biciclist parcurge mai mulți kilometri în fiecare zi decât în ​​ziua precedentă. În prima zi a parcurs km. Câte zile trebuie să călătorească pentru a parcurge un kilometru? Câți kilometri va parcurge în ultima zi a călătoriei?
3. Prețul unui frigider într-un magazin scade cu aceeași sumă în fiecare an. Determinați cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, scos la vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Raspunsuri:

1. Cel mai important lucru aici este să recunoașteți progresia aritmetică și să determinați parametrii acesteia. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor termeni ai acestei progresii:
   .
   Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\).
2. Aici este dat: , trebuie găsit.
   Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă de sumă ca în problema anterioară:
   .
   Înlocuiți valorile:

   În mod evident, rădăcina nu se potrivește, așa că răspunsul este.
   Să calculăm calea parcursă în ultima zi folosind formula celui de-al treilea termen:
   (km).
   Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\).

3. Având în vedere: . Găsiți: .
   Mai simplu nu poate fi:
   (freca).
   Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\).

PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Aceasta este o secvență de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.

Progresia aritmetică poate fi crescătoare () și descrescătoare ().

De exemplu:

Formula pentru găsirea celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice

se scrie prin formula, unde este numărul de numere în progresie.

Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice

Vă permite să găsiți cu ușurință un termen al unei progresii dacă termenii învecinați sunt cunoscuți - unde este numărul de numere din progresie.

Suma termenilor unei progresii aritmetice

Există două moduri de a găsi suma:

Unde este numărul de valori.

Unde este numărul de valori.

RĂMĂSUL 2/3 ARTICOLE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENTILOR YOUCLEVER!

Deveniți student YouClever,

Pregătiți-vă pentru examenul de stat unificat sau examenul de stat unificat la matematică la prețul „o ceașcă de cafea pe lună”,

De asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, programul de pregătire „100gia” (cartea de rezolvare), o probă nelimitată Unified State Exam și Unified State Exam, 6000 de probleme cu analiza soluțiilor și alte servicii YouClever și 100gia.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

O progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai mic) decât cel anterior cu aceeași cantitate.

Acest subiect pare adesea complex și de neînțeles. Indici de litere al n-lea termen progresii, diferențe de progresie - toate acestea sunt oarecum confuze, da... Să ne dăm seama ce înseamnă progresia aritmetică și totul se va îmbunătăți imediat.)

Conceptul de progresie aritmetică.

Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Ai vreo îndoială? Degeaba.) Vezi singur.

Voi scrie o serie neterminată de numere:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Poți extinde această serie? Ce numere vor urma, după cele cinci? Toată lumea... uh..., pe scurt, toată lumea își va da seama că vor urma numerele 6, 7, 8, 9 etc.

Să complicăm sarcina. Vă dau o serie neterminată de numere:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Veți putea să prindeți modelul, să extindeți seria și să denumiți şaptelea numărul rândului?

Daca ti-ai dat seama ca acest numar este 20, felicitari! Nu numai că ai simțit puncte cheie ale progresiei aritmetice, dar și le-a folosit cu succes în afaceri! Dacă nu ți-ai dat seama, citește mai departe.

Acum să traducem punctele cheie din senzații în matematică.)

Primul punct cheie.

Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să desenăm grafice și toate astea... Dar aici extindem seria, găsim numărul seriei...

E bine. Doar că progresiile sunt prima cunoaștere cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Serii” și funcționează în mod specific cu serii de numere și expresii. Obișnuiește-te.)

Al doilea punct cheie.

Într-o progresie aritmetică, orice număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr este cu trei mai mult decât precedentul. De fapt, acest moment ne oferă posibilitatea de a înțelege modelul și de a calcula numerele ulterioare.

Al treilea punct cheie.

Acest moment nu este izbitor, da... Dar este foarte, foarte important. Iată-l: fiecare numărul de progresie stă la locul ei. Există primul număr, există al șaptelea, există al patruzeci și cinci, etc. Dacă le amesteci la întâmplare, modelul va dispărea. Progresia aritmetică va dispărea și ea. Ceea ce a mai rămas este doar o serie de numere.

Asta e ideea.

Desigur, noi termeni și denumiri apar într-un subiect nou. Trebuie să le cunoști. Altfel nu vei înțelege sarcina. De exemplu, va trebui să decideți ceva de genul:

Notați primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirant?) Scrisori, niște indexuri... Și sarcina, apropo, nu ar putea fi mai simplă. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și a denumirilor. Acum vom stăpâni această chestiune și ne vom întoarce la sarcină.

Termeni și denumiri.

Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

Această cantitate se numește . Să ne uităm la acest concept mai detaliat.

Diferența de progresie aritmetică.

Diferența de progresie aritmetică este valoarea cu care orice număr de progresie Mai mult precedentul.

Un punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că fiecare număr de progresie este prin adăugarea diferența de progresie aritmetică față de numărul anterior.

Pentru a calcula, să zicem doilea numerele seriei, trebuie primul număr adăuga tocmai această diferență a unei progresii aritmetice. Pentru calcul cincilea- diferenta este necesara adăuga La patrulea, bine, etc.

Diferența de progresie aritmetică Pot fi pozitiv, atunci fiecare număr din serie se va dovedi a fi real mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Aici se obține fiecare număr prin adăugarea număr pozitiv, +5 față de cel precedent.

Diferența poate fi negativ, atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. Această progresie se numește (nu o să crezi!) în scădere.

De exemplu:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aici se obține și fiecare număr prin adăugarea la precedentul, dar deja un număr negativ, -5.

Apropo, atunci când lucrați cu progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Acest lucru vă ajută foarte mult să navigați în decizie, să vă identificați greșelile și să le corectați înainte de a fi prea târziu.

Diferența de progresie aritmetică notată de obicei prin literă d.

Cum să găsești d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr din serie anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)

Să definim, de exemplu, d pentru creșterea progresiei aritmetice:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Luăm orice număr din serie pe care îl dorim, de exemplu, 11. Scădem din el numărul anterior aceste. 8:

Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.

O poți lua orice număr de progresie, deoarece pentru o anumită progresie d-mereu la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu poți lua doar primul număr. Pur și simplu pentru că primul număr nici unul precedent.)

Apropo, știind asta d=3, găsirea celui de-al șaptelea număr al acestei progresii este foarte simplă. Să adăugăm 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Să adăugăm trei la al șaselea număr, obținem al șaptelea număr - douăzeci.

Să definim d pentru progresia aritmetică descrescătoare:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Vă reamintesc că, indiferent de semne, să se determine d nevoie de la orice număr ia-l pe cel precedent. Alegeți orice număr de progres, de exemplu -7. Numărul său anterior este -2. Apoi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Diferența unei progresii aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, orice număr.

Alți termeni și denumiri.

Fiecare număr din serie este numit membru al unei progresii aritmetice.

Fiecare membru al progresiei are propriul număr. Cifrele sunt strict în ordine, fără trucuri. Primul, al doilea, al treilea, al patrulea etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul termen, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotarea numerelor- strict în ordine!

Cum se scrie o progresie în vedere generală? Nicio întrebare! Fiecare număr dintr-o serie este scris ca o literă. Pentru a desemna o progresie aritmetică, se folosește de obicei litera o. Numărul membrului este indicat printr-un index în dreapta jos. Scriem termeni separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

a 1- acesta este primul număr, a 3- al treilea etc. Nimic de lux. Această serie poate fi scrisă pe scurt astfel: (un n).

Se întâmplă progrese finit și infinit.

Final progresia are un număr limitat de membri. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar este un număr finit.

Infinit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)

Puteți scrie progresia finală printr-o serie ca aceasta, toți termenii și un punct la sfârșit:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.

Sau așa, dacă sunt mulți membri:

un 1, un 2, ... un 14, un 15.

În intrarea scurtă va trebui să indicați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:

(a n), n = 20

O progresie infinită poate fi recunoscută prin punctele de suspensie de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.

Acum puteți rezolva sarcinile. Sarcinile sunt simple, doar pentru înțelegerea semnificației unei progresii aritmetice.

Exemple de sarcini privind progresia aritmetică.

Să ne uităm la sarcina dată mai sus în detaliu:

1. Scrieți primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Traducem sarcina într-un limbaj ușor de înțeles. Se dă o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Diferența de progresie este cunoscută: d = -2,5. Trebuie să găsim primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea termen al acestei progresii.

Pentru claritate, voi scrie o serie în funcție de condițiile problemei. Primii șase termeni, în care al doilea termen este cinci:

un 1, 5, un 3, un 4, un 5, un 6,...

a 3 = a 2 + d

Înlocuiți în expresie a 2 = 5Şi d = -2,5. Nu uita de minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Al treilea mandat s-a dovedit a fi mai mic decât al doilea. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel precedent negativ valoare, ceea ce înseamnă că numărul în sine va fi mai mic decât cel anterior. Progresia este în scădere. Bine, să luăm în considerare.) Numărăm al patrulea termen al seriei noastre:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = a 4 + d

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = un 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Deci, au fost calculati termeni de la al treilea la al saselea. Rezultatul este următoarea serie:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Rămâne de găsit primul termen a 1 conform cunoscutei secunde. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) Deci, diferența de progresie aritmetică d nu trebuie adăugată a 2, A la pachet:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Asta este. Răspuns la sarcină:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

În treacăt, aș dori să notez că am rezolvat această sarcină recurent mod. Acest cuvânt teribil înseamnă doar căutarea unui membru al progresiei conform numărului anterior (adiacent). Vom analiza mai jos alte moduri de a lucra cu progresia.

Din această sarcină simplă se poate trage o concluzie importantă.

Amintiți-vă:

Dacă cunoaștem cel puțin un termen și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice termen al acestei progresii.

Vă amintiți? Această concluzie simplă vă permite să rezolvați majoritatea problemelor cursului școlar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul a trei parametri principali: membru al unei progresii aritmetice, diferență a unei progresii, număr al unui membru al progresiei. Toate.

Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar conform progresiei în sine- totul se învârte în jurul a trei parametri.

De exemplu, să ne uităm la câteva sarcini populare pe acest subiect.

2. Scrieți progresia aritmetică finită ca o serie dacă n=5, d = 0,4 și a 1 = 3,6.

Totul este simplu aici. Totul a fost deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt numărați termenii unei progresii aritmetice, să-i numărați și să le scrieți. Este recomandabil să nu pierdeți cuvintele din condițiile sarcinii: „final” și „ n=5„. Pentru a nu număra până nu ești complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Rămâne de scris răspunsul:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

O altă sarcină:

3. Stabiliți dacă numărul 7 va fi membru al progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Cine știe? Cum să determine ceva?

Cum-cum... Notează progresia sub forma unei serii și vezi dacă va fi un șapte acolo sau nu! Numaram:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Acum se vede clar că suntem doar șapte strecurat prin intre 6,5 si 7,7! Șapte nu s-au înscris în seria noastră de numere și, prin urmare, șapte nu vor fi un membru al progresiei date.

Raspuns: nu.

Iată o problemă bazată pe opțiune reală GIA:

4. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15; X; 9; 6; ...

Iată o serie scrisă fără sfârșit și fără început. Fără numere de membri, fără diferențe d. E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegeți semnificația unei progresii aritmetice. Să ne uităm și să vedem ce este posibil a sti din seria asta? Care sunt cei trei parametri principali?

Numerele membrilor? Nu există un singur număr aici.

Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consecvent" in stare. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără lacune. Sunt două în acest rând? vecine numere cunoscute? Da, am! Acestea sunt 9 și 6. Prin urmare, putem calcula diferența progresiei aritmetice! Scădeți din șase anterior număr, adică nouă:

Au mai rămas doar fleacuri. Ce număr va fi cel anterior pentru X? Cincisprezece. Aceasta înseamnă că X poate fi găsit cu ușurință prin simplă adăugare. Adăugați diferența progresiei aritmetice la 15:

Asta este. Răspuns: x=12

Următoarele probleme le rezolvăm singuri. Notă: aceste probleme nu se bazează pe formule. Pur și simplu pentru a înțelege semnificația unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de numere și litere, ne uităm și ne dăm seama.

5. Aflați primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.

6. Se știe că numărul 5,5 este membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui termen.

7. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 4; a 5 = 15,1. Găsiți un 3.

8. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Găsiți termenul progresiei indicat de litera x.

9. Trenul a început să se deplaseze din gară, crescând uniform viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului în cinci minute? Dati raspunsul in km/ora.

10. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.

Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

A mers totul? Uimitor! Puteți stăpâni progresia aritmetică pentru mai mult nivel înalt, în lecțiile următoare.

Nu a mers totul? Nici o problemă. În Secțiunea Specială 555, toate aceste probleme sunt rezolvate bucată cu bucată.) Și, desigur, este descrisă o tehnică practică simplă care evidențiază imediat soluția la astfel de sarcini clar, clar, dintr-o privire!

Apropo, în puzzle-ul trenului există două probleme de care oamenii se poticnesc adesea. Unul este pur în termeni de progresie, iar al doilea este general pentru orice problemă de matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la una la alta. Arată cum trebuie rezolvate aceste probleme.

În această lecție am analizat semnificația elementară a unei progresii aritmetice și principalii ei parametri. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul se va rezolva.

Soluția cu degetul funcționează bine pentru bucăți foarte scurte dintr-un rând, ca în exemplele din această lecție. Dacă seria este mai lungă, calculele devin mai complicate. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare înlocuim "cinci minute" pe „treizeci și cinci de minute” problema se va agrava semnificativ.)

Și există și sarcini simple în esență, dar absurde în ceea ce privește calculele, de exemplu:

Este dată o progresie aritmetică (a n). Găsiți un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Deci ce, vom adăuga 1/6 de multe, de multe ori?! Poți să te sinucizi!?

Puteți.) Dacă nu cunoașteți o formulă simplă prin care puteți rezolva astfel de sarcini într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și acolo se rezolvă această problemă. Într-un minut.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

I. V. Yakovlev | Materiale de matematică | MathUs.ru

Progresie aritmetică

O progresie aritmetică este un tip special de succesiune. Prin urmare, înainte de a defini progresia aritmetică (și apoi geometrică), trebuie să discutăm pe scurt conceptul important de secvență de numere.

Urmare

Imaginează-ți un dispozitiv pe ecranul căruia anumite numere sunt afișate unul după altul. Să spunem 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Acest set de numere este tocmai un exemplu de succesiune.

Definiţie. O secvență de numere este un set de numere în care fiecărui număr i se poate atribui un număr unic (adică asociat cu un singur număr natural)1. Se numește numărul n al n-lea termen secvente.

Deci, în exemplul de mai sus, primul număr este 2, acesta este primul membru al secvenței, care poate fi notat cu a1; numărul cinci are numărul 6 este al cincilea termen al șirului, care poate fi notat cu a5. În general, al n-lea termen al unei secvențe este notat cu un (sau bn, cn etc.).

O situație foarte convenabilă este atunci când al n-lea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula an = 2n 3 specifică succesiunea: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n specifică succesiunea: 1; 1; 1; 1; : : :

Nu orice set de numere este o secvență. Astfel, un segment nu este o succesiune; conține „prea multe” numere pentru a fi renumerotate. Mulțimea R a tuturor numerelor reale nu este, de asemenea, o secvență. Aceste fapte sunt dovedite în cursul analizei matematice.

Progresia aritmetică: definiții de bază

Acum suntem gata să definim o progresie aritmetică.

Definiţie. O progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare termen (începând cu al doilea) este egal cu suma termenului anterior și a unui număr fix (numit diferența progresiei aritmetice).

De exemplu, secvența 2; 5; 8; 11; : : : este o progresie aritmetică cu primul termen 2 și diferența 3. Secvența 7; 2; 3; 8; : : : este o progresie aritmetică cu primul termen 7 și diferența 5. Secvența 3; 3; 3; : : : este o progresie aritmetică cu o diferență egală cu zero.

Definiție echivalentă: șirul an se numește progresie aritmetică dacă diferența an+1 an este o valoare constantă (independentă de n).

O progresie aritmetică se numește crescătoare dacă diferența este pozitivă și descrescătoare dacă diferența este negativă.

1 Dar iată o definiție mai concisă: o succesiune este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale. De exemplu, o succesiune de numere reale este o funcție f: N ! R.

În mod implicit, secvențele sunt considerate infinite, adică care conțin un număr infinit de numere. Dar nimeni nu ne deranjează să luăm în considerare secvențe finite; de fapt, orice set finit de numere poate fi numită o secvență finită. De exemplu, secvența finală este 1; 2; 3; 4; 5 este format din cinci numere.

Formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice

Este ușor de înțeles că o progresie aritmetică este complet determinată de două numere: primul termen și diferența. Prin urmare, se pune întrebarea: cum, cunoscând primul termen și diferența, găsim un termen arbitrar al unei progresii aritmetice?

Nu este dificil să obțineți formula necesară pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Lasă an

progresie aritmetică cu diferență d. Avem:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
În special, scriem:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
și acum devine clar că formula pentru an este:
an = a1 + (n 1)d:

Problema 1. În progresia aritmetică 2; 5; 8; 11; : : : găsiți formula pentru al n-lea termen și calculați al sutelea termen.

Soluţie. Conform formulei (1) avem:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Proprietatea și semnul progresiei aritmetice

Proprietatea progresiei aritmetice. În progresie aritmetică an pentru orice

Cu alte cuvinte, fiecare membru al unei progresii aritmetice (începând de la al doilea) este media aritmetică a membrilor săi vecini.

	Dovada. Avem:
	a n 1 + a n+1		(an d) + (an + d)

care este ceea ce s-a cerut.

Mai general, progresia aritmetică an satisface egalitatea

a n = a n k + a n+k

pentru orice n > 2 și orice k natural< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Se pare că formula (2) servește nu numai ca o condiție necesară, ci și ca o condiție suficientă pentru ca șirul să fie o progresie aritmetică.

Semnul progresiei aritmetice. Dacă egalitatea (2) este valabilă pentru toate n > 2, atunci șirul an este o progresie aritmetică.

Dovada. Să rescriem formula (2) după cum urmează:

a n a n 1 = a n+1 a n:

Din aceasta putem vedea că diferența an+1 an nu depinde de n, și asta înseamnă tocmai că șirul an este o progresie aritmetică.

Proprietatea și semnul unei progresii aritmetice pot fi formulate sub forma unui enunț; Pentru comoditate, vom face acest lucru pentru trei numere (aceasta este situația care apare adesea în probleme).

Caracterizarea unei progresii aritmetice. Trei numere a, b, c formează o progresie aritmetică dacă și numai dacă 2b = a + c.

Problema 2. (MSU, Facultatea de Economie, 2007) Trei numere 8x, 3 x2 și 4 în ordinea indicată formează o progresie aritmetică descrescătoare. Găsiți x și indicați diferența acestei progresii.

Soluţie. Prin proprietatea progresiei aritmetice avem:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Dacă x = 1, atunci obținem o progresie descrescătoare de 8, 2, 4 cu o diferență de 6. Dacă x = 5, atunci obținem o progresie crescătoare de 40, 22, 4; acest caz nu este potrivit.

Răspuns: x = 1, diferența este 6.

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice

Legenda spune că într-o zi profesorul le-a spus copiilor să găsească suma numerelor de la 1 la 100 și s-a așezat în liniște să citească ziarul. Cu toate acestea, în câteva minute, un băiat a spus că a rezolvat problema. Acesta a fost Carl Friedrich Gauss, în vârstă de 9 ani, mai târziu unul dintre cei mai mari matematicieni din istorie.

Ideea micuțului Gauss a fost următoarea. Lasă

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Să scriem această sumă în ordine inversă:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

și adăugați aceste două formule:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Fiecare termen dintre paranteze este egal cu 101 și, prin urmare, există 100 de astfel de termeni

2S = 101 100 = 10100;

Folosim această idee pentru a deriva formula sumei

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

O modificare utilă a formulei (3) se obține dacă înlocuim formula celui de-al n-lea termen an = a1 + (n 1)d în ea:

		2a1 + (n 1)d

Problema 3. Aflați suma tuturor numerelor pozitive din trei cifre divizibile cu 13.

Soluţie. Numere cu trei cifre, multipli de 13, formează o progresie aritmetică cu primul termen 104 și diferența 13; Al n-lea termen al acestei progresii are forma:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Să aflăm câți termeni conține progresia noastră. Pentru a face acest lucru, să rezolvăm inegalitatea:

un 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Deci, există 69 de membri în progresul nostru. Folosind formula (4) găsim cantitatea necesară:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Probleme privind progresia aritmetică existau deja în cele mai vechi timpuri. Au apărut și au cerut o soluție pentru că aveau o nevoie practică.

Deci, într-unul din papirusuri Egiptul antic„, care are un conținut matematic – papirusul Rhind (sec. XIX î.Hr.) – conține următoarea sarcină: împărți zece măsuri de pâine între zece persoane, cu condiția ca diferența dintre fiecare dintre ele să fie de o opteme din măsură”.

Și în lucrările de matematică ale grecilor antici există teoreme elegante legate de progresia aritmetică. Astfel, Hypsicles din Alexandria (secolul al II-lea, care a compilat multe probleme interesante și a adăugat cartea a XIV-a la Elementele lui Euclid), a formulat ideea: „Într-o progresie aritmetică care are un număr par de termeni, suma termenilor din a doua jumătate. este mai mare decât suma termenilor primului de pe pătrat 1/2 numere de membri.”

Secvența este notată cu un. Numerele unei secvențe se numesc membrii ei și sunt de obicei desemnate prin litere cu indici care indică numărul de serie al acestui membru (a1, a2, a3 ... citiți: „a 1st”, „a 2nd”, „a 3rd” și așa mai departe ).

Secvența poate fi infinită sau finită.

Ce este o progresie aritmetică? Prin ea se înțelege pe cel obținut prin adăugarea termenului anterior (n) cu același număr d, care este diferența de progresie.

Dacă d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, atunci această progresie este considerată în creștere.

O progresie aritmetică se numește finită dacă sunt luați în considerare doar primii săi termeni. La foarte cantitati mari membri este deja o progresie nesfârșită.

Orice progresie aritmetică este definită de următoarea formulă:

an =kn+b, în ​​timp ce b și k sunt niște numere.

Afirmația opusă este absolut adevărată: dacă o secvență este dată de o formulă similară, atunci este exact o progresie aritmetică care are proprietățile:

1. Fiecare termen al progresiei este media aritmetică a termenului anterior și a celui următor.
2. Revers: dacă, începând cu al 2-lea, fiecare termen este media aritmetică a termenului anterior și a celui următor, i.e. dacă condiția este îndeplinită, atunci această secvență este o progresie aritmetică. Această egalitate este în același timp un semn al progresiei, de aceea este de obicei numită o proprietate caracteristică a progresiei.
   În același mod, teorema care reflectă această proprietate este adevărată: o secvență este o progresie aritmetică numai dacă această egalitate este adevărată pentru oricare dintre termenii șirului, începând cu al 2-lea.

Proprietatea caracteristică pentru oricare patru numere ale unei progresii aritmetice poate fi exprimată prin formula an + am = ak + al, dacă n + m = k + l (m, n, k sunt numere de progresie).

Într-o progresie aritmetică, orice termen necesar (N-lea) poate fi găsit folosind următoarea formulă:

De exemplu: primul termen (a1) dintr-o progresie aritmetică este dat și egal cu trei, iar diferența (d) este egală cu patru. Trebuie să găsiți al patruzeci și cincilea termen al acestei progresii. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) vă permite să determinați al n-lea termen al unei progresii aritmetice prin oricare dintre cei k-lea termeni ai săi, cu condiția să fie cunoscut.

Suma termenilor unei progresii aritmetice (adică primii n termeni ai unei progresii finite) se calculează după cum urmează:

Sn = (a1+an) n/2.

Dacă primul termen este de asemenea cunoscut, atunci o altă formulă este convenabilă pentru calcul:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Suma unei progresii aritmetice care conține n termeni se calculează după cum urmează:

Alegerea formulelor pentru calcule depinde de condițiile problemelor și de datele inițiale.

Serii naturale ale oricăror numere, cum ar fi 1,2,3,...,n,...- cel mai simplu exemplu progresie aritmetică.

Pe lângă progresia aritmetică, există și o progresie geometrică, care are proprietăți și caracteristici proprii.