Zona integrală online. Calculați aria unei figuri delimitate de linii

O)

Soluţie.

Primul și cel mai important punct al deciziei este desenul.

Să facem desenul:

Ecuaţie y=0 setează axa „x”;

- x=-2Şi x=1- drept, paralel cu axa Oh;

- y=x 2 +2 - o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, cu vârful în punctul (0;2).

Comentariu. Pentru a construi o parabolă, este suficient să găsiți punctele de intersecție a acesteia cu axele de coordonate, adică. punând x=0 găsiți intersecția cu axa Ohși hotărând în consecință ecuație pătratică, găsiți intersecția cu axa Oh .

Vârful unei parabole poate fi găsit folosind formulele:

De asemenea, puteți construi linii punct cu punct.

Pe intervalul [-2;1] graficul funcției y=x 2 +2 situat deasupra axei Bou, De aceea:

Răspuns: S=9 unități mp

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. ÎN în acest caz,„prin ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Ce trebuie să faceți dacă un trapez curbat este situat sub axă Oh?

b) Calculați aria figurii delimitată de drepte y=-e x , x=1și axele de coordonate.

Soluţie.

Să facem un desen.

Dacă un trapez curbat este complet situat sub axă Oh , atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:

Răspuns: S=(e-1) unități mp" 1,72 unități mp

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără niciuna sens geometric, atunci poate fi negativ.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în ​​semiplanul superior, cât și în cel inferior.

c) Aflați aria unei figuri plate delimitate de linii y=2x-x 2, y=-x.

Soluţie.

Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică.

Rezolvam ecuatia:

Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării a=0, limita superioară a integrării b=3 .

Construim dreptele date: 1. Parabola - vârf în punctul (1;1); intersecția axelor Oh - punctele (0;0) și (0;2). 2. Linie dreaptă - bisectoarea celui de-al 2-lea și al 4-lea unghi de coordonate. Și acum Atenție! Dacă pe segmentul [ a;b] oarecare funcție continuă f(x) mai mare sau egal cu unele funcție continuă g(x), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită folosind formula: . Și nu contează unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar ceea ce contează este care grafic este MAI ÎNALT (față de un alt grafic) și care este JOS. În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Puteți construi linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale).

Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.

Pe segment, conform formulei corespunzătoare:

Răspuns: S=4,5 unități mp

Înapoi Înainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Cuvinte cheie: integral, trapez curbiliniu, aria figurilor delimitate de crini

Dotare: panou de marcat, calculator, proiector multimedia

Tipul lecției: lecție-prelecție

Obiectivele lecției:

• educațional: să formeze o cultură a muncii mentale, să creeze o situație de succes pentru fiecare elev, să creeze o motivație pozitivă pentru învățare; dezvolta capacitatea de a vorbi și de a asculta pe ceilalți.
• dezvoltarea: formarea gândirii independente a elevului în aplicarea cunoștințelor în diverse situații, capacitatea de a analiza și de a trage concluzii, dezvoltarea logicii, dezvoltarea capacității de a pune corect întrebări și de a găsi răspunsuri la acestea. Îmbunătățirea formării abilităților de calcul, dezvoltarea gândirii elevilor în cursul îndeplinirii sarcinilor propuse, dezvoltarea unei culturi algoritmice.
• educațional: pentru a forma concepte despre un trapez curbiliniu, despre o integrală, pentru a stăpâni abilitățile de calcul a ariilor figuri plate

Metoda de predare: explicativă și ilustrativă.

Progresul lecției

În clasele anterioare am învățat să calculăm ariile figurilor ale căror limite sunt linii poligonale. În matematică, există metode care vă permit să calculați ariile figurilor delimitate de curbe. Astfel de cifre sunt numite trapeze curbilinii, iar aria lor este calculată folosind antiderivate.

trapez curbiliniu ( slide 1)

Un trapez curbat este o figură delimitată de graficul unei funcții, ( sh.m.), Drept x = aŞi x = bși axa x

Diferite tipuri de trapeze curbate ( slide 2)

Luăm în considerare diverse tipuri trapeze curbilinii și observați: una dintre drepte este degenerată până la un punct, rolul funcției de limitare îl joacă dreapta

Aria unui trapez curbat (diapozitivul 3)

Fixați capătul din stânga al intervalului O, si cel potrivit X ne vom schimba, adică deplasăm peretele drept al trapezului curbiliniu și obținem o figură în schimbare. Aria unui trapez curbiliniu variabil delimitat de graficul funcției este o antiderivată F pentru functie f

Iar pe segmentul [ o; b] aria unui trapez curbiliniu format din funcție f, este egal cu incrementul antiderivatei acestei funcții:

Sarcina 1:

Găsiți aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul funcției: f(x) = x 2 si drept y = 0, x = 1, x = 2.

Soluție: ( conform algoritmului slide 3)

Să desenăm un grafic al funcției și al liniilor

Să găsim unul dintre funcții antiderivate f(x) = x 2 :

Autotest pe diapozitiv

Integral

Se consideră un trapez curbiliniu definit de funcție f pe segmentul [ o; b]. Să împărțim acest segment în mai multe părți. Aria întregului trapez va fi împărțită în suma ariilor trapezelor mai mici curbate. ( slide 5). Fiecare astfel de trapez poate fi considerat aproximativ dreptunghi. Suma ariilor acestor dreptunghiuri oferă o idee aproximativă a întregii zone a trapezului curbat. Cu cât împărțim segmentul mai mic [ o; b], cu atât calculăm mai precis aria.

Să scriem aceste argumente sub formă de formule.

Împărțiți segmentul [ o; b] în n părți prin puncte x 0 =a, x1,...,xn = b. Lungime k- th notează prin xk = xk – xk-1. Să facem o sumă

Geometric, această sumă reprezintă aria figurii umbrite în figură ( sh.m.)

Sumele formei sunt numite sume integrale pentru funcție f. (sh.m.)

Sumele integrale dau o valoare aproximativă a ariei. Valoarea exactă se obţine prin trecerea la limită. Să ne imaginăm că rafinăm partiția segmentului [ o; b] astfel încât lungimile tuturor segmentelor mici tind spre zero. Apoi, zona figurii compuse se va apropia de zona trapezului curbat. Putem spune că aria unui trapez curbat este egală cu limita sumelor integrale, Sc.t. (sh.m.) sau integral, adică

Definiţie:

Integrala unei funcții f(x) din o la b numită limita sumelor integrale

= (sh.m.)

formula Newton-Leibniz.

Ne amintim că limita sumelor integrale este egală cu aria unui trapez curbiliniu, ceea ce înseamnă că putem scrie:

Sc.t. = (sh.m.)

Pe de altă parte, aria unui trapez curbat este calculată folosind formula

S k.t. (sh.m.)

Comparând aceste formule, obținem:

= (sh.m.)

Această egalitate se numește formula Newton-Leibniz.

Pentru ușurință de calcul, formula este scrisă astfel:

= = (sh.m.)

Sarcini: (sh.m.)

1. Calculați integrala folosind formula Newton-Leibniz: ( verificați diapozitivul 5)

2. Compune integrale conform desenului ( verificați diapozitivul 6)

3. Aflați aria figurii mărginită de liniile: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slide 7)

Găsirea ariilor figurilor plane ( slide 8)

Cum să găsiți aria figurilor care nu sunt trapeze curbate?

Să fie date două funcții, ale căror grafice le vedeți pe diapozitiv . (sh.m.) Găsiți aria figurii umbrite . (sh.m.). Figura în cauză este un trapez curbat? Cum puteți găsi zona sa folosind proprietatea de aditivitate a zonei? Luați în considerare două trapeze curbate și scădeți aria celuilalt din aria unuia dintre ele ( sh.m.)

Să creăm un algoritm pentru găsirea zonei folosind animația pe un diapozitiv:

Funcții grafice

Proiectați punctele de intersecție ale graficelor pe axa x

Umbriți figura obținută atunci când graficele se intersectează

Găsiți trapeze curbilinie a căror intersecție sau unire este figura dată.

Calculați aria fiecăruia dintre ele

Găsiți diferența sau suma suprafețelor

Sarcină orală: Cum să obțineți zona unei figuri umbrite (spuneți folosind animație, slide 8 și 9)

Temă: Lucrează prin note, nr. 353 (a), nr. 364 (a).

Referințe

Algebra și începuturile analizei: un manual pentru clasele 9-11 ale școlii de seară (în schimburi) / ed. G.D. Glaser. - M: Iluminismul, 1983.

Bashmakov M.I. Algebra și începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 de liceu / Bashmakov M.I. - M: Iluminismul, 1991.

Bashmakov M.I. Matematică: manual pentru instituțiile de început. si miercuri prof. educație / M.I. Bashmakov. - M: Academia, 2010.

Kolmogorov A.N. Algebră și începuturi de analiză: manual pentru clasele 10-11. instituţii de învăţământ / A.N. Kolmogorov. - M: Educație, 2010.

Ostrovsky S.L. Cum se face o prezentare pentru o lecție?/ S.L. Ostrovsky. – M.: 1 septembrie 2010.

Exemplul 1.

Calculați aria figurii delimitată de liniile: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 și x = 2

Să construim o figură (vezi figura) Construim o dreaptă x + 2y – 4 = 0 folosind două puncte A(4;0) și B(0;2). Exprimând y prin x, obținem y = -0,5x + 2. Folosind formula (1), unde f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, găsim

S = = [-0,25=11,25 sq. unitati Exemplul 2.

Calculați aria figurii delimitată de liniile: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 și y = 0.

Soluţie. Să construim figura.

Să construim o dreaptă x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Să construim o dreaptă x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Să găsim punctul de intersecție al dreptelor rezolvând sistemul de ecuații:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Pentru a calcula aria necesară, împărțim triunghiul AMC în două triunghiuri AMN și NMC, deoarece atunci când x se schimbă de la A la N, aria este limitată de o linie dreaptă, iar când x se schimbă de la N la C - de o linie dreaptă

Pentru triunghiul AMN avem: ; y = 0,5x + 2, adică f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Pentru triunghiul NMC avem: y = - x + 5, adică f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calculând aria fiecărui triunghi și adunând rezultatele, găsim:

Calculând aria fiecărui triunghi și adunând rezultatele, găsim:

mp unitati

9 + 4, 5 = 13,5 mp. unitati Verificați: = 0,5AC = 0,5 sq. unitati Exemplul 3.

Calculați aria figurii delimitată de liniile: y = x 2, y = 0, x = 2, x = 3.

În acest caz, este necesar să se calculeze aria unui trapez curbiliniu delimitată de parabola y = x 2, linii drepte x = 2 și x = 3 și axa Ox (a se vedea figura (1). găsim aria trapezului curbiliniu

= = 6 mp. unitati Exemplul 4.

Calculați aria figurii delimitată de liniile: y = - x 2 + 4 și y = 0

Să găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa Ox. Presupunând y = 0, găsim x = Deoarece această cifră este simetrică față de axa Oy, calculăm aria figurii situate în dreapta axei Oy și dublăm rezultatul obținut: = +4x]sq. unitati 2 = 2 mp. unitati

Exemplul 5. Calculați aria figurii delimitată de liniile: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aici trebuie să calculați aria unui trapez curbiliniu delimitat de ramura superioară a parabolei y 2 = x, axa Ox și liniile drepte x = 1 și x = 4 (vezi figura)

Conform formulei (1), unde f(x) = a = 1 și b = 4, avem = (= unități pătrate.

Exemplul 6.

Calculați aria figurii mărginite de drepte: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Suprafața necesară este limitată de semi-undă a sinusoidei și de axa Ox (vezi figura).

Avem - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. unitati Exemplul 7.

Calculați aria figurii delimitată de liniile: y = - 6x, y = 0 și x = 4.

Figura este situată sub axa Ox (vezi figura).

= =

Prin urmare, găsim aria sa folosind formula (3) Exemplul 8.

Calculați aria figurii delimitată de liniile: y = și x = 2. Construiți curba y = din puncte (vezi figura). Astfel, găsim aria figurii folosind formula (4) .

Exemplul 9

x 2 + y 2 = r 2.

Aici trebuie să calculați aria limitată de cercul x 2 + y 2 = r 2, adică aria unui cerc cu raza r cu un centru la origine. Să găsim a patra parte a acestei zone luând limitele integrării de la 0

înainte; avem: 1 = = [

Prin urmare 1 = Exemplul 10.

Calculați aria figurii delimitată de liniile: y = x 2 și y = 2x

Această cifră este limitată de parabola y = x 2 și de dreapta y = 2x (vezi figura Pentru a determina punctele de intersecție ale dreptelor date, rezolvăm sistemul de ecuații: x 2 – 2x = 0 x = 0). x = 2

Folosind formula (5) pentru a găsi aria, obținem

= și nu își schimbă semnul pe el (Fig. 1). Aria unui trapez curbat poate fi notată cu S(G).

Integrala definită ʃ a b f(x)dx pentru funcția f(x), care este continuă și nenegativă pe intervalul [a; b] și este aria trapezului curbat corespunzător.

Adică, pentru a găsi aria unei figuri G mărginită de liniile y = f(x), y = 0, x = a și x = b, este necesar să se calculeze integrala definită ʃ a b f(x)dx .

Astfel, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Dacă funcția y = f(x) nu este pozitivă pe [a; b], atunci aria unui trapez curbiliniu poate fi găsită folosind formula S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Exemplul 1.

Soluţie.

Calculați aria figurii delimitată de liniile y = x 3; y = 1; x = 2.

Aria necesară este egală cu diferența dintre ariile trapezului curbat DACE și pătratul DABE.

Folosind formula S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), găsim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, rezolvăm un sistem de două ecuații:

(y = x 3,
(y = 1.

Astfel, avem x 1 = 1 – limita inferioară și x = 2 – limita superioară.

Deci, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (unități pătrate).

Raspuns: 11/4 mp. unitati

Exemplul 2.

Calculați aria figurii delimitată de liniile y = √x; y = 2; x = 9.

Soluţie.

Liniile date formează figura ABC, care este limitată mai sus de graficul funcției

y = √x, iar mai jos este un grafic al funcției y = 2. Figura rezultată este prezentată prin hașurare în Fig. 3.

Aria necesară este S = ʃ a b (√x – 2). Să aflăm limitele integrării: b = 9, pentru a găsi a, rezolvăm un sistem de două ecuații:

(y = √x,
(y = 2.

Astfel, avem că x = 4 = a - aceasta este limita inferioară.

Deci, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (unități pătrate).

Răspuns: S = 2 2/3 mp. unitati

Exemplul 3.

Calculați aria figurii delimitată de liniile y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.

Soluţie.

Să reprezentăm grafic funcția y = x 3 – 4x pentru x ≥ 0. Pentru a face acest lucru, găsiți derivata y’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 la x = ±2/√3 ≈ 1,1 – puncte critice.

Dacă trasăm punctele critice pe dreapta numerică și aranjam semnele derivatei, aflăm că funcția scade de la zero la 2/√3 și crește de la 2/√3 la plus infinit. Atunci x = 2/√3 este punctul minim, valoarea minimă a funcției y min = -16/(3√3) ≈ -3.

Să determinăm punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate:

dacă x = 0, atunci y = 0, ceea ce înseamnă că A(0; 0) este punctul de intersecție cu axa Oy;

dacă y = 0, atunci x 3 – 4x = 0 sau x(x 2 – 4) = 0, sau x(x – 2)(x + 2) = 0, de unde x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (nu este potrivit, deoarece x ≥ 0).

Punctele A(0; 0) și B(2; 0) sunt punctele de intersecție ale graficului cu axa Ox.

Liniile date formează figura OAB, care este prezentată prin hașurare în Fig. 4.

Deoarece funcția y = x 3 – 4x ia o valoare negativă pe (0; 2), atunci

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Avem: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, de unde S = 4 sq. unitati

Răspuns: S = 4 mp. unitati

Exemplul 4.

Aflați aria figurii delimitată de parabola y = 2x 2 – 2x + 1, dreptele x = 0, y = 0 și tangenta la această parabolă în punctul cu abscisa x 0 = 2.

Soluţie.

Mai întâi, să creăm o ecuație pentru tangenta la parabola y = 2x 2 – 2x + 1 în punctul cu abscisa x₀ = 2.

Deoarece derivata y’ = 4x – 2, atunci pentru x 0 = 2 obținem k = y’(2) = 6.

Să aflăm ordonata punctului tangent: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Prin urmare, ecuația tangentei are forma: y – 5 = 6(x ​​– 2) sau y = 6x – 7.

Să construim o figură delimitată de linii:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabolă. Puncte de intersecție cu axele de coordonate: A(0; 1) – cu axa Oy; cu axa Ox - nu există puncte de intersecție, deoarece ecuația 2x 2 – 2x + 1 = 0 nu are soluții (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, adică vârful punctului parabolă B are coordonatele B(1/2; 1/2).

Deci, figura a cărei zonă trebuie determinată este prezentată prin hașurare în Fig. 5.

Avem: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Să găsim coordonatele punctului D din condiția:

6x – 7 = 0, adică x = 7/6, ceea ce înseamnă DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Găsim aria triunghiului DBC folosind formula S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. Astfel,

S ADBC ​​​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 mp. unitati

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (unități pătrate).

În cele din urmă obținem: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​​​= 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (unități pătrate).

Răspuns: S = 1 1/4 mp. unitati

Ne-am uitat la exemple de găsire a ariilor figurilor delimitate de linii date. Pentru solutie de succes Pentru astfel de sarcini, trebuie să fiți capabil să construiți linii și grafice ale funcțiilor pe un plan, să găsiți punctele de intersecție ale liniilor, să aplicați o formulă pentru a găsi zona, ceea ce implică prezența abilităților în calcularea anumitor integrale.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

În iulie 2020, NASA lansează o expediție pe Marte. Nava spațială va livra pe Marte un suport electronic cu numele tuturor participanților la expediție înregistrați.

Dacă această postare ți-a rezolvat problema sau pur și simplu ți-a plăcut, distribuie linkul către ea prietenilor tăi de pe rețelele sociale.

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune monitorizează și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta este. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.

Un alt Revelion... vreme geroasă și fulgi de zăpadă pe geamul ferestrei... Toate acestea m-au determinat să scriu din nou despre... fractali și despre ce știe Wolfram Alpha despre asta. Există un articol interesant pe acest subiect, care conține exemple de structuri fractale bidimensionale. Aici ne vom uita la mai multe exemple complexe fractali tridimensionali.

Un fractal poate fi reprezentat vizual (descris) ca o figură geometrică sau un corp (însemnând că ambele sunt o mulțime, în acest caz, un set de puncte), ale căror detalii au aceeași formă ca figura originală în sine. Adică, aceasta este o structură auto-similară, examinând detaliile căreia atunci când este mărită, vom vedea aceeași formă ca și fără mărire. În timp ce în cazul unei figuri geometrice obișnuite (nu un fractal), la mărire vom vedea detalii care au o formă mai simplă decât figura originală în sine. De exemplu, la o mărire suficient de mare, o parte a unei elipse arată ca un segment de linie dreaptă. Acest lucru nu se întâmplă cu fractalii: cu orice creștere a acestora, vom vedea din nou aceeași formă complexă, care se va repeta iar și iar cu fiecare creștere.

Benoit Mandelbrot, fondatorul științei fractalilor, a scris în articolul său Fractals and Art in the Name of Science: „Fractalii sunt forme geometrice care sunt la fel de complexe în detaliile lor ca și în forma lor generală, adică dacă fac parte din fractal va fi mărită la dimensiunea întregului, va apărea ca un întreg, fie exact, fie poate cu o ușoară deformare.”