Un cerc circumscris în jurul unui triunghi. Prezentarea geometriei „cerc înscris și circumscris” apoi sumele laturilor opuse

În ce imagine este un cerc înscris într-un triunghi?

Dacă un cerc este înscris într-un triunghi,

atunci triunghiul este circumscris unui cerc.

Teorema. Puteți înscrie un cerc într-un triunghi și doar unul. Centrul său este punctul de intersecție al bisectoarelor triunghiului.

Dată de: ABC

Demonstrați: există Env.(O; r),

înscris într-un triunghi

Dovada:

Să desenăm bisectoarele triunghiului: AA 1, BB 1, CC 1.

După proprietate (punctul remarcabil al triunghiului)

bisectoarele se intersectează la un moment dat - Oh,

iar acest punct este echidistant de toate laturile triunghiului, adică:

OK = OE = SAU, unde OK AB, OE BC, SAU AC, ceea ce înseamnă

O este centrul cercului, iar AB, BC, AC sunt tangente la acesta.

Aceasta înseamnă că cercul este înscris în ABC.

Având în vedere: Mediul (O; r) este înscris în ABC,

p = ½ (AB + BC + AC) – semiperimetru.

Dovedi: S ABC = p r

Dovada:

conectează centrul cercului cu vârfurile

triunghi și desenați razele

cercuri la punctele de contact.

Aceste raze sunt

altitudinile triunghiurilor AOB, BOC, COA.

S ABC = S AOB +S BOC + S AOC = ½ AB r + ½ BC r + ½ AC r =

= ½ (AB + BC + AC) r = ½ p r.

Sarcină: într-un triunghi echilateral cu latura de 4 cm

este înscris cerc. Găsiți-i raza.

Derivarea formulei pentru raza unui cerc înscris într-un triunghi

S = p r = ½ P r = ½ (a + b + c) r

2S = (a + b + c) r

Formula necesară pentru raza unui cerc este

înscris într-un triunghi dreptunghic

- catete, c - ipotenuză

Definiţie: Un cerc se numește înscris într-un patrulater dacă toate laturile patrulaterului îl ating.

În ce figură este un cerc înscris într-un patrulater?

Teorema: dacă un cerc este înscris într-un patrulater,

apoi sumele laturilor opuse

patrulaterele sunt egale (în orice descris

suma patrulatera a contrariilor

laturile sunt egale).

AB + SK = BC + AK.

Teorema inversă: dacă sumele laturilor opuse

patrulaterele convexe sunt egale,

atunci poti incadra un cerc in el.

Problemă: un cerc este înscris într-un romb al cărui unghi ascuțit este 60 0,

a cărui rază este de 2 cm Aflați perimetrul rombului.

Rezolva probleme

Având în vedere: Env.(O; r) este înscris în ABCC,

R ABCC = 10

Găsiți: BC + AK

Dat: ABCM este descris despre Environ.(O; r)

BC = 6, AM = 15,

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrări din diapozitive:

Cerc circular

Definiție: se spune că un cerc este circumscris unui triunghi dacă toate vârfurile triunghiului se află pe acest cerc. În ce figură este descris un cerc în jurul unui triunghi: 1) 2) 3) 4) 5) Dacă un cerc este descris în jurul unui triunghi, atunci triunghiul este înscris în cerc.

Teorema. În jurul unui triunghi poți descrie un cerc și doar unul. Centrul său este punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare pe laturile triunghiului. A B C Dat: ABC Demonstrați: există un mediu (O; r) descris lângă ABC. Demonstrație: Să desenăm bisectoare p, k, n la laturile AB, BC, AC După proprietatea bisectoarelor la laturile unui triunghi (un punct remarcabil al unui triunghi): se intersectează într-un punct - O. , pentru care OA = OB = OC. Adică, toate vârfurile triunghiului sunt echidistante de punctul O, ceea ce înseamnă că se află pe un cerc cu centrul O. Aceasta înseamnă că cercul este circumscris triunghiului ABC. O n p k

Proprietate importantă: Dacă un cerc este circumscris aproximativ triunghi dreptunghic, atunci centrul său este mijlocul ipotenuzei. O R R C A B R = ½ AB Problemă: găsiți raza unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic ale cărui catete au 3 cm și 4 cm Centrul unui cerc circumscris unui triunghi obtuz se află în afara triunghiului.

a b c R R = Formule pentru raza unui cerc circumscris în jurul unui triunghi Sarcină: găsiți raza unui cerc circumscris în jurul unui triunghi echilateral a cărui latură este de 4 cm Rezolvare: R = R = , Răspuns: cm (cm).

Problemă: un triunghi isoscel este înscris într-un cerc cu raza de 10 cm. Înălțimea trasă la baza sa este de 16 cm Găsiți latura laterală și aria triunghiului. A B C O N Soluție: Deoarece cercul este circumscris triunghiului isoscel ABC, centrul cercului se află la înălțimea BH. AO = VO = CO = 10 cm, OH = VN – VO = = 16 – 10 = 6 (cm) AON – dreptunghiular, AO 2 = AN 2 + AN 2, AN 2 = 10 2 – 6 2 = 64, AN = 8 cm ABN - dreptunghiular, AB 2 = AN 2 + VN 2 = 8 2 + 16 2 = 64 + 256 = 320, AB = (cm) AC = 2AN = 2 8 = 16 (cm), S ABC = ½ AC · ВН = ½ · 16 · 16 = 128 (cm 2) Răspuns: AB = cm S = 128 cm 2, Aflați: AB, S ABC Dat: ABC-r/b, VN AC, VN = 16 cm Surround (O ; 10 cm) este descris lângă ABC

Definiție: se spune că un cerc este circumscris unui patrulater dacă toate vârfurile patrulaterului se află pe cerc. Teorema. Dacă un cerc este circumscris în jurul unui patrulater, atunci suma unghiurilor sale opuse este egală cu 180 0. Dovada: Deoarece cercul este circumscris la ABC D, atunci sunt înscriși A, B, C, D, ceea ce înseamnă A + C = ½ BCD + ½ BAD = ½ (BCD + BAD) = ½ 360 0 = 180 0 B+ D = ½ ADC + ½ ABC = ½ (ADC+ ABC) = ½ 360 0 = 180 0 A + C = B + D = 180 0 Dat: Mediul (O; R) este descris în jurul ABC D Demonstrați: Deci A + C = B + D = 180 0 O altă formulare a teoremei: într-un patrulater înscris într-un cerc, suma unghiurilor opuse este 180 0. A B C D O

Teorema inversă: dacă suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este 180 0, atunci se poate descrie un cerc în jurul lui. Dat: ABC D, A + C = 180 0 A B C D O Demonstrați: Înconjurul (O; R) este descris în jurul ABC D Dovada: Nr. 729 (manual) Care patrulater nu poate fi descris în jurul unui cerc?

Corolarul 1: în jurul oricărui dreptunghi puteți descrie un cerc, centrul acestuia este punctul de intersecție al diagonalelor. Corolarul 2: aproximativ trapez isoscel poate descrie un cerc. A B C K

Rezolvați probleme 80 0 120 0 ? ? A B C M K N O R E 70 0 Aflați unghiurile patrulaterului RKEN: 80 0

„Algebră și geometrie” - O femeie îi învață pe copii geometrie. Proclus era deja, se pare, ultimul reprezentant al geometriei grecești. Dincolo de puterea a 4-a a unor astfel de formule pt solutie generala nu exista ecuatii. Arabii au devenit mediatori între știința elenă și noua știință europeană. S-a pus întrebarea despre geometrizarea fizicii.

„Termeni de geometrie” - Bisectoarea unui triunghi. Puncte de abscisă. Diagonală. Dicţionar de geometrie. Cerc. Rază. Perimetrul unui triunghi. Unghiuri verticale. Termeni. Colţ. Coarda unui cerc. Puteți adăuga propriile condiții. Teorema. Selectați prima literă. Geometrie. Dicționar electronic. rupt. Busolă. Colțuri adiacente. Mediana unui triunghi.

„Geometrie clasa a VIII-a” - Deci, trecând prin teoreme, puteți ajunge la axiome. Conceptul de teoremă. Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. a2+b2=c2. Conceptul de axiome. Fiecare afirmație matematică obținută prin demonstrație logică este o teoremă. Fiecare clădire are o fundație. Fiecare afirmație se bazează pe ceea ce a fost deja dovedit.

„Geometrie vizuală” - Pătrat. Plicul nr. 3. Vă rog să ajutați, băieți, altfel Matroskin mă va ucide complet. Toate laturile pătratului sunt egale. Pătratele sunt peste tot în jurul nostru. Câte pătrate sunt în imagine? Sarcini de atenție. Plicul nr. 2. Toate colțurile pătratului sunt drepte. Dragă Sharik! Geometrie vizuală, clasa a V-a. Proprietăți excelente Lungimi laterale diferite Culori diferite.

„Informații geometrice inițiale” - Euclid. Lectură. Ce spun cifrele despre noi. Figura evidențiază o parte a unei linii drepte delimitată de două puncte. Puteți desena orice număr de linii drepte diferite printr-un punct. Matematică. Nu există cale regală în geometrie. Înregistra. Sarcini suplimentare. Planimetrie. Desemnare. Paginile Elementelor lui Euclid. Platon (477-347 î.Hr.) - filosof grec antic, elev al lui Socrate.

„Tabele de geometrie” - Tabele. Înmulțirea unui vector cu un număr Simetria axială și centrală. Tangenta la un cerc Unghiuri centrale și înscrise Cerc înscris și circumscris Conceptul de vector Adunarea și scăderea vectorilor. Cuprins: Poligoane Paralelogram și trapez Dreptunghi, romb, pătrat Aria unui poligon Aria unui triunghi, paralelogram și trapez Teorema lui Pitagora Triunghiuri similare Semne de asemănare ale triunghiurilor Relații între laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic Poziția relativă a unui linie dreaptă și un cerc.

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8