Logaritmul natural al lui e este. Logaritm natural, funcția ln x

Înainte de a introduce conceptul de logaritm natural, să luăm în considerare conceptul de număr constant $e$.

Numărul $e$

Definiția 1

Numărul $e$ este o constantă matematică care este un număr transcendental și este egală cu $e\aproximativ 2,718281828459045\ldots$.

Definiția 2

Transcendent este un număr care nu este rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi.

Nota 1

Ultima formulă descrie a doua limită minunată.

Numărul e se mai numește numerele lui Euler, iar uneori Numerele Napier.

Nota 2

Pentru a reține primele cifre ale numărului $е$ este adesea folosită următoarea expresie: „2$, 7$, de două ori Lev Tolstoi”. Desigur, pentru a-l putea folosi, este necesar să ne amintim că Lev Tolstoi s-a născut în $1828$. Aceste numere sunt repetate de două ori în valoarea numărului $e$ după partea întreagă $2$ și. partea zecimală $7$.

Am început să luăm în considerare conceptul de număr $e$ atunci când studiem logaritmul natural tocmai pentru că acesta se află la baza logaritmului $\log_(e)⁡a$, care se numește de obicei naturalși scrieți-l sub forma $\ln ⁡a$.

Logaritmul natural

Adesea, în calcule, se folosesc logaritmi, a căror bază este numărul $е$.

Definiția 4

Se numește un logaritm cu baza $e$ natural.

Aceste. logaritmul natural poate fi notat cu $\log_(e)⁡a$, dar în matematică se folosește notația $\ln ⁡a$.

Proprietățile logaritmului natural

Deoarece logaritmul oricărei baze a unității este egal cu $0$, apoi logaritmul natural al unității este egal cu $0$:

Logaritmul natural al numărului $е$ este egal cu unu:

Logaritmul natural al produsului a două numere este egal cu suma logaritmilor naturali ale acestor numere:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

Logaritmul natural al coeficientului a două numere este egal cu diferența logaritmilor naturali ale acestor numere:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

Logaritmul natural al unei puteri a unui număr poate fi reprezentat ca produsul dintre exponent și logaritmul natural al numărului sublogaritmic:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

Exemplul 1

Simplificați expresia $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$.

Soluţie.

Să aplicăm proprietatea logaritmului produsului primului logaritm al numărătorului și numitorului, iar proprietatea logaritmului puterii celui de-al doilea logaritm al numărătorului și numitorului:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

Să deschidem parantezele și să prezentăm termeni similari și să aplicăm, de asemenea, proprietatea $\ln ⁡e=1$:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

Răspuns: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

Exemplul 2

Aflați valoarea expresiei $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$.

Soluţie.

Să aplicăm formula pentru suma logaritmilor:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

Răspuns: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

Exemplul 3

Calculați valoarea expresiei logaritmice $2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$.

Soluţie.

Să aplicăm proprietatea logaritmului unei puteri:

$2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= 13 USD.

Răspuns: $2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=13$.

Exemplul 4

Simplificați expresia logaritmică $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

Aplicăm primului logaritm proprietatea logaritmului coeficientului:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

Să deschidem parantezele și să prezentăm termeni similari:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Răspuns: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.

ia adesea un număr e = 2,718281828 . Se numesc logaritmi bazați pe această bază natural. Când se efectuează calcule cu logaritmi naturali, este obișnuit să se opereze cu semnul ln, nu jurnal; în timp ce numărul 2,718281828 , care definesc baza, nu sunt indicate.

Cu alte cuvinte, formularea va arăta astfel: logaritmul natural numere X- acesta este un exponent la care trebuie ridicat un număr e a obține x.

Aşa, ln(7.389...)= 2, deoarece e 2 =7,389... . Logaritmul natural al numărului în sine e= 1 deoarece e 1 =e, iar logaritmul natural al unității este zero, deoarece e 0 = 1.

Numărul în sine e definește limita unei secvențe mărginite monotone

calculat că e = 2,7182818284... .

Destul de des, pentru a fixa un număr în memorie, cifrele numărului necesar sunt asociate cu o dată restantă. Viteza de memorare a primelor nouă cifre ale unui număr e după punctul zecimal va crește dacă observați că 1828 este anul nașterii lui Lev Tolstoi!

Astăzi există tabele destul de complete de logaritmi naturali.

Graficul logaritmului natural(funcții y =ln x) este o consecință a graficului exponent fiind o imagine în oglindă a dreptei y = x si are forma:

Logaritmul natural poate fi găsit pentru fiecare număr real pozitiv o ca aria de sub curbă y = 1/x din 1 la o.

Natura elementară a acestei formulări, care este în concordanță cu multe alte formule în care este implicat logaritmul natural, a fost motivul formării numelui „natural”.

Daca analizezi logaritmul natural, ca functie reala a unei variabile reale, atunci actioneaza functie inversa la o funcție exponențială, care se reduce la identitățile:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

Prin analogie cu toți logaritmii, logaritmul natural transformă înmulțirea în adunare, împărțirea în scădere:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritmul poate fi găsit pentru fiecare bază pozitivă care nu este egală cu unu, nu doar pentru e, dar logaritmii pentru alte baze diferă de logaritmul natural doar printr-un factor constant și sunt de obicei definiți în termeni de logaritmul natural.

După ce a analizat graficul logaritmului natural, constatăm că există pentru valori pozitive variabilă x. Ea crește monoton în domeniul său de definire.

La x → 0 limita logaritmului natural este minus infinitul ( -∞ ).La x → +∞ limita logaritmului natural este plus infinitul ( + ∞ ). În mare x Logaritmul crește destul de lent. Orice funcție de putere xa cu exponent pozitiv o crește mai repede decât logaritmul. Logaritmul natural este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme.

Utilizare logaritmi naturali foarte rațional când trece la matematică superioară. Astfel, folosirea logaritmului este convenabilă pentru a găsi răspunsul la ecuațiile în care necunoscutele apar ca exponenți. Utilizarea logaritmilor naturali în calcule face posibilă simplificarea mult număr mare formule matematice. Logaritmi la bază e sunt prezente la rezolvarea unui număr semnificativ probleme fiziceși intră în mod natural în descrierea matematică a proceselor chimice, biologice și a altor procese individuale. Astfel, logaritmii sunt utilizați pentru a calcula constanta de dezintegrare pentru un timp de înjumătățire cunoscut sau pentru a calcula timpul de dezintegrare în rezolvarea problemelor de radioactivitate. Ele joacă un rol principal în multe secțiuni de matematică și științe practice la care se recurge în domeniul finanțelor pentru a le rezolva număr mare sarcini, inclusiv calcularea dobânzii compuse.

Logaritmul natural

Graficul funcției logaritmului natural. Funcția se apropie încet de infinitul pozitiv pe măsură ce crește xși se apropie rapid de infinitul negativ când x tinde spre 0 („lent” și „rapid” în comparație cu oricare functie de putere din x).

Logaritmul natural este logaritmul la bază , Unde e- o constantă irațională egală cu aproximativ 2,718281 828. Logaritmul natural este de obicei scris ca ln( x), jurnal e (x) sau uneori doar log( x), dacă baza e subînțeles.

Logaritmul natural al unui număr x(scris ca ln(x)) este exponentul la care trebuie ridicat numărul e a obține x. De exemplu, ln(7.389...) este egal cu 2 deoarece e 2 =7,389... . Logaritmul natural al numărului în sine e (ln(e)) este egal cu 1 deoarece e 1 = e, iar logaritmul natural este 1 ( ln(1)) este egal cu 0 deoarece e 0 = 1.

Logaritmul natural poate fi definit pentru orice număr real pozitiv o ca aria de sub curbă y = 1/x de la 1 la o. Simplitatea acestei definiții, care este în concordanță cu multe alte formule care folosesc logaritmul natural, a condus la denumirea de „natural”. Această definiție poate fi extinsă la numerele complexe, așa cum va fi discutat mai jos.

Dacă considerăm logaritmul natural ca o funcție reală a unei variabile reale, atunci este funcția inversă a funcției exponențiale, care conduce la identitățile:

Ca toți logaritmii, logaritmul natural mapează înmulțirea cu adunarea:

Astfel, funcția logaritmică este un izomorfism al grupului de numere reale pozitive în raport cu înmulțirea cu grupul de numere reale în raport cu adunarea, care poate fi reprezentat ca o funcție:

Logaritmul poate fi definit pentru orice bază pozitivă, alta decât 1, nu doar e, dar logaritmii pentru alte baze diferă de logaritmul natural doar printr-un factor constant și sunt de obicei definiți în termeni de logaritmul natural. Logaritmii sunt utili pentru rezolvarea ecuațiilor care implică necunoscute ca exponenți. De exemplu, logaritmii sunt utilizați pentru a găsi constanta de dezintegrare pentru un timp de înjumătățire cunoscut sau pentru a găsi timpul de dezintegrare în rezolvarea problemelor de radioactivitate. Ele joacă un rol important în multe domenii ale matematicii și științelor aplicate și sunt utilizate în finanțe pentru a rezolva multe probleme, inclusiv găsirea interesului compus.

Poveste

Prima mențiune despre logaritmul natural a fost făcută de Nicholas Mercator în lucrarea sa Logaritmotehnie, publicat în 1668, deși profesorul de matematică John Spidell a întocmit un tabel de logaritmi naturali încă din 1619. Anterior a fost numit logaritm hiperbolic deoarece corespunde zonei de sub hiperbolă. Uneori este numit logaritmul Napier, deși sensul inițial al acestui termen era oarecum diferit.

Convenții de desemnare

Logaritmul natural este de obicei notat cu „ln( x)", logaritm la baza 10 - prin "lg( x)", iar alte motive sunt de obicei indicate explicit cu simbolul "jurnal".

În multe lucrări despre matematică discretă, cibernetică și informatică, autorii folosesc notația „log( x)" pentru logaritmi la baza 2, dar această convenție nu este general acceptată și necesită clarificare fie în lista de notații utilizate, fie (în absența unei astfel de liste) printr-o notă de subsol sau un comentariu la prima utilizare.

Parantezele din jurul argumentului logaritmilor (dacă acest lucru nu duce la o citire eronată a formulei) sunt de obicei omise, iar la ridicarea unui logaritm la o putere, exponentul este atribuit direct semnului logaritmului: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

sistem anglo-american

Matematicienii, statisticienii și unii ingineri folosesc de obicei pentru a desemna logaritmul natural sau „log( x)" sau "ln( x)", și pentru a desemna logaritmul de bază 10 - "log 10 ( x)».

Unii ingineri, biologi și alți specialiști scriu întotdeauna „ln( x)" (sau ocazional "log e ( x)") când înseamnă logaritmul natural și notația "log( x)" înseamnă log 10 ( x).

jurnal e este un logaritm „natural” deoarece apare automat și apare foarte des la matematică. De exemplu, luați în considerare problema derivatei unei funcții logaritmice:

Dacă baza b egală e, atunci derivata este pur și simplu 1/ x, și când x= 1 această derivată este egală cu 1. Un alt motiv pentru care baza e Cel mai firesc lucru despre logaritm este că poate fi definit destul de simplu în termeni de integrală simplă sau serie Taylor, ceea ce nu se poate spune despre alți logaritmi.

Alte justificări pentru naturalețe nu sunt legate de notație. De exemplu, există mai multe serii simple cu logaritmi naturali. Pietro Mengoli și Nicholas Mercator i-au numit logaritmul naturalis câteva decenii până când Newton și Leibniz au dezvoltat calculul diferențial și integral.

Definiţie

Formal ln( o) poate fi definită ca aria de sub curba graficului 1/ x de la 1 la o, adică ca o integrală:

Este cu adevărat un logaritm deoarece satisface proprietatea fundamentală a logaritmului:

Acest lucru poate fi demonstrat presupunând după cum urmează:

Valoare numerică

Pentru a calcula valoarea numerică a logaritmului natural al unui număr, puteți utiliza extinderea seriei Taylor sub forma:

Pentru a obține o rată de convergență mai bună, puteți utiliza următoarea identitate:

cu condiția ca y = (x−1)/(x+1) și x > 0.

Pentru ln( x), Unde x> 1, cu atât valoarea este mai apropiată x la 1, cu atât rata de convergență este mai rapidă. Identitățile asociate cu logaritmul pot fi utilizate pentru a atinge obiectivul:

Aceste metode au fost folosite chiar înainte de apariția calculatoarelor, pentru care au folosit tabele numericeși s-au efectuat manipulări similare celor descrise mai sus.

Precizie ridicată

Pentru a calcula logaritmul natural cu un număr mare numere de precizie, seria Taylor nu este eficientă deoarece convergența sa este lentă. O alternativă este să folosiți metoda lui Newton pentru a inversa într-o funcție exponențială a cărei serie converge mai repede.

O alternativă pentru o precizie foarte mare de calcul este formula:

Unde M denotă media aritmetico-geometrică de 1 și 4/s, și

m ales astfel încât p se obțin semne de precizie. (În majoritatea cazurilor, o valoare de 8 pentru m este suficientă.) De fapt, dacă se folosește această metodă, inversul lui Newton al logaritmului natural poate fi aplicat pentru a calcula eficient funcția exponențială. (Constantele ln 2 și pi pot fi precalculate cu precizia dorită folosind oricare dintre seriile cunoscute rapid convergente.)

Complexitatea computațională

Complexitatea de calcul a logaritmilor naturali (folosind media aritmetică-geometrică) este O( M(n)ln n). Aici n este numărul de cifre de precizie pentru care trebuie evaluat logaritmul natural și M(n) este complexitatea de calcul a înmulțirii doi n- numere de cifre.

Fracții continuate

Deși nu există fracții continue simple care să reprezinte un logaritm, pot fi utilizate mai multe fracții continuate generalizate, inclusiv:

Logaritmi complexe

Funcția exponențială poate fi extinsă la o funcție care dă un număr complex al formei e x pentru orice număr complex arbitrar x, în acest caz o serie infinită cu complex x. Această funcție exponențială poate fi inversată pentru a forma un logaritm complex, care va avea majoritatea proprietăților logaritmilor obișnuiți. Există, totuși, două dificultăți: nu există x, pentru care e x= 0 și se dovedește că e 2πi = 1 = e 0 . Deoarece proprietatea multiplicativității este valabilă pentru o funcție exponențială complexă, atunci e z = e z+2nπi pentru toate complexele zși întreg n.

Logaritmul nu poate fi definit pe întregul plan complex și, chiar și așa, este multivaloric - orice logaritm complex poate fi înlocuit cu un logaritm „echivalent” prin adăugarea oricărui multiplu întreg de 2. πi. Logaritmul complex poate fi o singură valoare doar pe o secțiune a planului complex. De exemplu, ln i = 1/2 πi sau 5/2 πi sau −3/2 πi, etc., şi deşi i 4 = 1,4 log i poate fi definit ca 2 πi, sau 10 πi sau -6 πi, și așa mai departe.

Vezi de asemenea

• John Napier - inventatorul logaritmilor

Note

1. Matematică pentru chimie fizică. - al 3-lea. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Extract de la pagina 9
2. J J O"Connor și EF Robertson Numărul e. Arhiva MacTutor History of Mathematics (septembrie 2001). Arhivat din original pe 12 februarie 2012.
3. Cajori Florian O istorie a matematicii, ed. a 5-a. - Librăria AMS, 1991. - P. 152. -

Logaritm al unui număr dat se numește exponentul la care trebuie ridicat un alt număr, numit bază logaritm pentru a obține acest număr. De exemplu, logaritmul de bază 10 al lui 100 este 2. Cu alte cuvinte, 10 trebuie să fie pătrat pentru a obține 100 (10 2 = 100). Dacă n- un număr dat, b– bază și l– logaritm, atunci b l = n. Număr n numit și antilogaritm de bază b numere l. De exemplu, antilogaritmul de la 2 la baza 10 este egal cu 100. Acesta poate fi scris sub forma jurnalului de relații b n = lși antilog b l = n.

Proprietățile de bază ale logaritmilor:

Orice număr pozitiv, altul decât unul, poate servi drept bază pentru logaritmi, dar, din păcate, se dovedește că dacă bŞi n sunt numere raționale, atunci în cazuri rare există un astfel de număr rațional l, Ce b l = n. Cu toate acestea, este posibil să se definească un număr irațional l, de exemplu, astfel încât 10 l= 2; acesta este un număr irațional l poate fi aproximat cu orice precizie cerută prin numere raționale. Se pare că în exemplul dat l este aproximativ egală cu 0,3010, iar această aproximare a logaritmului de bază 10 de 2 poate fi găsită în tabelele cu patru cifre ale logaritmilor zecimal. Logaritmii de bază 10 (sau logaritmii de bază 10) sunt atât de frecvent folosiți în calcule încât sunt numiți comun logaritmi și scris ca log2 = 0,3010 sau log2 = 0,3010, omițând indicarea explicită a bazei logaritmului. Logaritmi la bază e, un număr transcendental aproximativ egal cu 2,71828, se numesc natural logaritmi. Ele se găsesc în principal în lucrările de analiză matematică și aplicațiile acesteia la diferite științe. Logaritmii naturali se scriu, de asemenea, fără a indica în mod explicit baza, dar folosind notația specială ln: de exemplu, ln2 = 0,6931, deoarece e 0,6931 = 2.

Folosind tabele de logaritmi obișnuiți.

Logaritmul obișnuit al unui număr este un exponent la care trebuie crescut 10 pentru a obține numărul dat. Deoarece 10 0 = 1, 10 1 = 10 și 10 2 = 100, obținem imediat acel log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 etc. pentru mărirea puterilor întregi 10. La fel, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 și deci log0,1 = –1, log0,01 = –2 etc. pentru toate puterile întregi negative 10. Logaritmii obișnuiți ai numerelor rămase sunt încadrați între logaritmii celor mai apropiate puteri întregi de 10; log2 trebuie să fie între 0 și 1, log20 trebuie să fie între 1 și 2, iar log0.2 trebuie să fie între -1 și 0. Astfel, logaritmul este format din două părți, un întreg și zecimal, cuprins între 0 și 1. Partea întreagă se numește caracteristică logaritm și este determinată de numărul însuși, se numește partea fracțională mantisași pot fi găsite din tabele. De asemenea, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritmul lui 2 este 0,3010, deci log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. În mod similar, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. După scădere, obținem log0.2 = – 0.6990. Cu toate acestea, este mai convenabil să reprezentați log0,2 ca 0,3010 – 1 sau ca 9,3010 – 10; poate fi formulat şi regula generala: toate numerele obţinute dintr-un număr dat prin înmulţire cu o putere de 10 au aceeaşi mantise, egală cu mantisa numărului dat. Majoritatea tabelelor arată mantisele numerelor din intervalul de la 1 la 10, deoarece mantisele tuturor celorlalte numere pot fi obținute din cele date în tabel.

Majoritatea tabelelor oferă logaritmi cu patru sau cinci zecimale, deși există tabele cu șapte cifre și tabele cu și mai multe zecimale. Cel mai simplu mod de a învăța cum să folosești astfel de tabele este cu exemple. Pentru a găsi log3.59, în primul rând, observăm că numărul 3.59 este cuprins între 10 0 și 10 1, deci caracteristica lui este 0. Găsim numărul 35 (în stânga) în tabel și ne deplasăm de-a lungul rândului la coloana care are numărul 9 în partea de sus ; intersecția acestei coloane cu rândul 35 este 5551, deci log3,59 = 0,5551. Pentru a găsi mantisa unui număr cu patru cifre semnificative, este necesar să se recurgă la interpolare. În unele tabele, interpolarea este facilitată de proporțiile date în ultimele nouă coloane din partea dreaptă a fiecărei pagini a tabelelor. Să găsim acum log736.4; numărul 736,4 se află între 10 2 și 10 3, de aceea caracteristica logaritmului său este 2. În tabel găsim un rând în stânga căruia se află 73 și coloana 6. La intersecția acestui rând cu această coloană se află numărul 8669. Printre părțile liniare găsim coloana 4 . La intersecția rândului 73 cu coloana 4 se află numărul 2. Adunând 2 la 8669, obținem mantisa - este egală cu 8671. Astfel, log736,4. = 2,8671.

Logaritmi naturali.

Tabelele și proprietățile logaritmilor naturali sunt similare cu tabelele și proprietățile logaritmilor obișnuiți. Principala diferență dintre ambele este că partea întreagă a logaritmului natural nu este semnificativă în determinarea poziției punctului zecimal și, prin urmare, diferența dintre mantise și caracteristică nu joacă un rol special. Logaritmi naturali ai numerelor 5,432; 54,32 și, respectiv, 543,2 sunt egale cu 1,6923; 3,9949 și 6,2975. Relația dintre acești logaritmi va deveni evidentă dacă luăm în considerare diferențele dintre ei: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; ultimul număr nu este altceva decât logaritmul natural al numărului 10 (scris astfel: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; ultimul număr este 2ln10. Dar 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Astfel, prin logaritmul natural al unui număr dat o puteți găsi logaritmi naturali de numere, egal cu produsele numere o pentru orice grad n numerele 10 dacă la ln o se adună ln10 înmulțit cu n, adică ln( oґ10n) = jurnal o + n ln10 = ln o + 2,3026n. De exemplu, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Prin urmare, tabelele de logaritmi naturali, ca și tabelele de logaritmi obișnuiți, conțin de obicei doar logaritmi de numere de la 1 la 10. În sistemul de logaritmi naturali, se poate vorbi despre antilogaritmi, dar mai des vorbesc despre o funcție exponențială sau un exponent. Dacă x= jurnal y, Asta y = e x, Și y numit exponent al x(pentru comoditate tipografică, ei scriu adesea y= exp x). Exponentul joacă rolul antilogaritmului numărului x.

Folosind tabele de logaritmi zecimali și naturali, puteți crea tabele de logaritmi în orice bază, alta decât 10 și e. Dacă log b a = x, Asta b x = o, și, prin urmare, log c b x=log c a sau x jurnal c b=log c a, sau x=log c a/log c b=log b a. Prin urmare, folosind această formulă de inversare din tabelul de logaritm de bază c puteți construi tabele de logaritmi în orice altă bază b. Multiplicator 1/log c b numit modul de tranziție de la bază c până la bază b. Nimic nu împiedică, de exemplu, folosirea formulei de inversare sau trecerea de la un sistem de logaritmi la altul, găsirea de logaritmi naturali din tabelul logaritmilor obișnuiți sau efectuarea tranziției inverse. De exemplu, log105.432 = log e 5.432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Numărul 0,4343, cu care trebuie înmulțit logaritmul natural al unui număr dat pentru a obține un logaritm obișnuit, este modulul trecerii la sistemul de logaritmi obișnuiți.

Mese speciale.

Logaritmii au fost inventați inițial astfel încât, folosind proprietățile lor, jurnalul ab=log o+ jurnal bși log o/b=log o– jurnal b, transformă produsele în sume și coeficientii în diferențe. Cu alte cuvinte, dacă log oși log b sunt cunoscute, atunci folosind adunarea și scăderea putem găsi cu ușurință logaritmul produsului și coeficientul. În astronomie, totuși, adesea se dau valori de log oși log b trebuie să găsesc jurnalul ( o + b) sau log( o – b). Desigur, s-ar putea găsi mai întâi din tabele de logaritmi oŞi b, apoi efectuați adunarea sau scăderea indicată și, referindu-vă din nou la tabele, găsiți logaritmii necesari, dar o astfel de procedură ar necesita referirea la tabele de trei ori. Z. Leonelli în 1802 a publicat tabele ale așa-numitelor. logaritmi gaussieni– logaritmi de adunare a sumelor și diferențelor – care au făcut posibil să se limiteze la un singur acces la tabele.

În 1624, I. Kepler a propus tabele de logaritmi proporționali, adică. logaritmi de numere o/x, Unde o– o valoare constantă pozitivă. Aceste tabele sunt folosite în principal de astronomi și navigatori.

Logaritmi proporționali la o= 1 sunt numite cologaritmiși sunt folosite în calcule atunci când se are de-a face cu produse și coeficienti. Coloritmul unui număr n egal cu logaritmul numărului reciproc; aceste. colg n= log1/ n= – jurnal n. Dacă log2 = 0,3010, atunci colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Avantajul utilizării cologaritmilor este că atunci când se calculează valoarea logaritmului unor expresii precum pq/r suma triplă a zecimalelor pozitive log p+ jurnal q+colog r este mai ușor de găsit decât jurnalul de sumă și diferență mixtă p+ jurnal q– jurnal r.

Poveste.

Principiul care stă la baza oricărui sistem de logaritmi este cunoscut de foarte mult timp și poate fi urmărit până la matematica antică babiloniană (circa 2000 î.Hr.). În acele zile, pentru a calcula dobânda compusă se folosea interpolarea între valorile din tabel ale puterilor întregi pozitive ale numerelor întregi. Mult mai târziu, Arhimede (287–212 î.Hr.) a folosit puterile lui 108 pentru a găsi o limită superioară a numărului de boabe de nisip necesare pentru a umple complet Universul cunoscut atunci. Arhimede a atras atenția asupra proprietății exponenților care stă la baza eficienței logaritmilor: produsul puterilor corespunde sumei exponenților. La sfârșitul Evului Mediu și începutul erei moderne, matematicienii au început să se orienteze din ce în ce mai mult către relația dintre progresiile geometrice și aritmetice. M. Stiefel în eseul său Aritmetica intregi(1544) a dat un tabel al puterilor pozitive și negative ale numărului 2:

Stiefel a observat că suma celor două numere din primul rând (rândul exponentului) este egală cu exponentul a doi corespunzător produsului dintre cele două numere corespunzătoare din rândul de jos (rândul exponentului). În legătură cu acest tabel, Stiefel a formulat patru reguli echivalente cu cele patru reguli moderne pentru operații pe exponenți sau cele patru reguli pentru operații pe logaritmi: suma de pe linia de sus corespunde produsului de pe linia de jos; scăderea pe linia de sus corespunde împărțirii pe linia de jos; înmulțirea pe linia de sus corespunde cu exponențiarea pe linia de jos; diviziunea pe linia de sus corespunde cu înrădăcinarea pe linia de jos.

Aparent, reguli similare cu regulile lui Stiefel l-au determinat pe J. Naper să introducă în mod oficial primul sistem de logaritmi în lucrarea sa. Descrierea uimitoarei tabele de logaritmi, publicată în 1614. Însă gândurile lui Napier erau ocupate de problema conversiei produselor în sume de când, cu mai bine de zece ani înainte de publicarea lucrării sale, Napier a primit vești din Danemarca că la Observatorul Tycho Brahe asistenții săi aveau o metodă care făcea este posibilă transformarea produselor în sume. Metoda discutată în mesajul primit de Napier sa bazat pe utilizarea unor formule trigonometrice precum

prin urmare tabelele lui Naper constau în principal din logaritmi de funcții trigonometrice. Deși conceptul de bază nu a fost inclus în mod explicit în definiția propusă de Napier, rolul echivalent cu baza sistemului de logaritmi din sistemul său a fost jucat de numărul (1 – 10 –7)ґ10 7, aproximativ egal cu 1/ e.

Independent de Naper și aproape simultan cu el, un sistem de logaritmi, destul de asemănător ca tip, a fost inventat și publicat de J. Bürgi la Praga, publicat în 1620. Tabele de progresie aritmetică și geometrică. Acestea erau tabele de antilogaritmi la baza (1 + 10 –4) ґ10 4, o aproximare destul de bună a numărului e.

În sistemul Naper, logaritmul numărului 10 7 a fost considerat zero și, pe măsură ce numerele au scăzut, logaritmii au crescut. Când G. Briggs (1561–1631) a vizitat Napier, ambii au fost de acord că ar fi mai convenabil să se folosească numărul 10 ca bază și să considere logaritmul lui unu ca fiind zero. Apoi, pe măsură ce numerele creșteau, logaritmii lor ar crește. Deci am primit sistem modern logaritmi zecimali, un tabel pe care Briggs l-a publicat în lucrarea sa Aritmetică logaritmică(1620). Logaritmi la bază e, deși nu tocmai cele introduse de Naper, sunt adesea numite ale lui Naper. Termenii „caracteristic” și „mantișă” au fost propuși de Briggs.

Primii logaritmi, din motive istorice, au folosit aproximări ale numerelor 1/ eŞi e. Ceva mai târziu, ideea logaritmilor naturali a început să fie asociată cu studiul zonelor sub o hiperbolă. xy= 1 (Fig. 1). În secolul al XVII-lea s-a arătat că aria delimitată de această curbă, axa x si ordonate x= 1 și x = o(în Fig. 1 această zonă este acoperită cu puncte mai groase și rare) crește în progresie aritmetică, Când o creste in progresie geometrică. Tocmai această dependență apare în regulile operațiilor cu exponenți și logaritmi. Acest lucru a dat naștere la numirea logaritmilor naperieni „logaritmi hiperbolici”.

Funcția logaritmică.

A existat o perioadă în care logaritmii erau considerați doar un mijloc de calcul, dar în secolul al XVIII-lea, în principal datorită lucrării lui Euler, s-a format conceptul de funcție logaritmică. Graficul unei astfel de funcții y= jurnal x, ale căror ordonate cresc în progresie aritmetică, în timp ce abscisele cresc în progresie geometrică, este prezentată în Fig. 2, O. Graficul unei funcții inverse sau exponențiale y = e x, ale căror ordonate cresc în progresie geometrică, iar abscisele - în progresie aritmetică, este prezentată, respectiv, în Fig. 2, b. (Curbe y=log xŞi y = 10x asemănătoare ca formă cu curbele y= jurnal xŞi y = e x.) Au fost propuse și definiții alternative ale funcției logaritmice, de ex.

kpi; și, în mod similar, logaritmii naturali ai numărului -1 sunt numere complexe tipuri (2 k + 1)pi, Unde k– un număr întreg. Afirmații similare sunt adevărate pentru logaritmii generali sau alte sisteme de logaritmi. În plus, definiția logaritmilor poate fi generalizată folosind identitățile lui Euler pentru a include logaritmi complexe de numere complexe.

O definiție alternativă a unei funcții logaritmice este oferită de analiza funcțională. Dacă f(x) – funcție continuă număr real x, având următoarele trei proprietăți: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), Asta f(x) este definit ca logaritmul numărului x bazat pe b. Această definiție are o serie de avantaje față de definiția dată la începutul acestui articol.

Aplicații.

Logaritmii au fost inițial folosiți numai pentru a simplifica calculele, iar această aplicație este încă una dintre cele mai importante. Calculul produselor, coeficientilor, puterilor și rădăcinilor este facilitat nu numai de disponibilitatea largă a tabelelor publicate de logaritmi, ci și de utilizarea așa-numitelor. regulă de calcul - un instrument de calcul al cărui principiu de funcționare se bazează pe proprietățile logaritmilor. Rigla este echipată cu scale logaritmice, adică. distanța de la numărul 1 la orice număr x ales să fie egal cu log x; Prin deplasarea unei scale în raport cu alta, este posibilă reprezentarea grafică a sumelor sau diferențelor de logaritmi, ceea ce face posibilă citirea direct de pe scară a produselor sau coeficientilor numerelor corespunzătoare. De asemenea, puteți profita de avantajele reprezentării numerelor în formă logaritmică. hârtie logaritmică pentru trasarea graficelor (hârtie cu scale logaritmice imprimate pe ambele axe de coordonate). Dacă o funcţie satisface o lege a puterii de forma y = kxn, atunci graficul său logaritmic arată ca o linie dreaptă, deoarece jurnal y=log k + n jurnal x– ecuația liniară în raport cu log yși log x. Dimpotrivă, dacă graficul logaritmic al unei dependențe funcționale arată ca o linie dreaptă, atunci această dependență este o lege de putere. Hârtia semi-log (unde axa y are o scară logaritmică și axa x are o scară uniformă) este utilă atunci când trebuie să identificați funcții exponențiale. Ecuații de formă y = kb rx apar ori de câte ori o cantitate, cum ar fi o populație, o cantitate de material radioactiv sau un sold bancar, scade sau crește într-o rată proporțională cu cantitatea disponibilă. în acest moment numărul de locuitori, substanță radioactivă sau bani. Dacă o astfel de dependență este reprezentată pe hârtie semilogaritmică, graficul va arăta ca o linie dreaptă.

Funcția logaritmică apare în legătură cu o mare varietate de forme naturale. Florile din inflorescențele de floarea soarelui sunt aranjate în spirale logaritmice, cochiliile de moluște sunt răsucite Nautilus, coarne de oaie de munte și ciocuri de papagal. Toate aceste forme naturale pot servi ca exemple de curbă cunoscută sub numele de spirală logaritmică deoarece, într-un sistem de coordonate polare, ecuația sa este r = ae bq, sau ln r= jurnal o + bq. O astfel de curbă este descrisă de un punct în mișcare, distanța de la polul căruia crește în progresie geometrică, iar unghiul descris de vectorul său rază crește în progresie aritmetică. Ubicuitatea unei astfel de curbe, și deci a funcției logaritmice, este bine ilustrată de faptul că apare în zone atât de îndepărtate și complet diferite precum conturul unei came excentrice și traiectoria unor insecte care zboară spre lumină.

Logaritmul unui număr b la baza a este exponentul la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul b.

Dacă, atunci.

Logaritm - extrem mărime matematică importantă, întrucât calculul logaritmic permite nu numai rezolvarea ecuațiilor exponențiale, ci și operarea cu exponenți, diferențierea funcțiilor exponențiale și logaritmice, integrându-le și conducându-le la o formă mai acceptabilă de calculat.

Toate proprietățile logaritmilor sunt direct legate de proprietăți funcții exponențiale. De exemplu, faptul că înseamnă că:

Trebuie remarcat faptul că, atunci când se rezolvă probleme specifice, proprietățile logaritmilor se pot dovedi a fi mai importante și mai utile decât regulile de lucru cu puteri.

Să prezentăm câteva identități:

Iată expresiile algebrice de bază:

;

.

Atenţie! poate exista doar pentru x>0, x≠1, y>0.

Să încercăm să înțelegem întrebarea ce sunt logaritmii naturali. Interes deosebit pentru matematică reprezintă două tipuri- primul are ca bază numărul „10” și se numește „logaritm zecimal”. Al doilea se numește natural. Baza logaritmului natural este numărul „e”. Despre asta vom vorbi în detaliu în acest articol.

Denumiri:

• lg x - zecimală;
• ln x - natural.

Folosind identitatea, putem observa că ln e = 1, precum și faptul că lg 10=1.

Graficul logaritmului natural

Să construim un grafic al logaritmului natural folosind standardul în mod clasic prin puncte. Dacă doriți, puteți verifica dacă construim corect funcția examinând funcția. Cu toate acestea, are sens să înveți cum să-l construiești „manual” pentru a ști cum să calculezi corect logaritmul.

Funcția: y = ln x. Să scriem un tabel de puncte prin care va trece graficul:

Să explicăm de ce am ales aceste valori particulare ale argumentului x. Totul tine de identitate: . Pentru logaritmul natural, această identitate va arăta astfel:

Pentru comoditate, putem lua cinci puncte de referință:

;

;

.

;

.

Astfel, calcularea logaritmilor naturali este o sarcină destul de simplă în plus, simplifică calculele operațiilor cu puteri, transformându-le în; înmulțire obișnuită.

Prin trasarea unui grafic punct cu punct, obținem un grafic aproximativ:

Domeniul de definire a logaritmului natural (adică toate valori valide argumentul X) - toate numerele sunt mai mari decât zero.

Atenţie! Domeniul de definire al logaritmului natural include doar numere pozitive! Sfera definiției nu include x=0. Acest lucru este imposibil pe baza condițiilor de existență a logaritmului.

Gama de valori (adică toate valorile valide ale funcției y = ln x) sunt toate numerele din interval.

Limită naturală a jurnalului

Studiind graficul, apare întrebarea - cum se comportă funcția la y<0.

În mod evident, graficul funcției tinde să traverseze axa y, dar nu va putea face acest lucru, deoarece logaritmul natural al lui x<0 не существует.

Limita naturalului jurnal poate fi scris astfel:

Formula pentru înlocuirea bazei unui logaritm

A face față unui logaritm natural este mult mai ușor decât a face față unui logaritm care are o bază arbitrară. De aceea vom încerca să învățăm cum să reducem orice logaritm la unul natural sau să-l exprimăm la o bază arbitrară prin logaritmi naturali.

Să începem cu identitatea logaritmică:

Atunci orice număr sau variabilă y poate fi reprezentată ca:

unde x este orice număr (pozitiv conform proprietăților logaritmului).

Această expresie poate fi luată logaritmic pe ambele părți. Să facem asta folosind o bază arbitrară z:

Să folosim proprietatea (doar în loc de „c” avem expresia):

De aici obținem formula universală:

.

În special, dacă z=e, atunci:

.

Am putut reprezenta un logaritm la o bază arbitrară prin raportul a doi logaritmi naturali.

Rezolvăm probleme

Pentru a înțelege mai bine logaritmii naturali, să ne uităm la exemple de mai multe probleme.

Problema 1. Este necesar să se rezolve ecuația ln x = 3.

Soluţie: Folosind definiția logaritmului: dacă , atunci , obținem:

Problema 2. Rezolvați ecuația (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Soluție: Folosind definiția logaritmului: dacă , atunci , obținem:

.

Să folosim din nou definiția unui logaritm:

.

Astfel:

.

Puteți calcula aproximativ răspunsul sau îl puteți lăsa în acest formular.

Sarcina 3. Rezolvați ecuația.

Soluţie: Să facem o înlocuire: t = ln x. Atunci ecuația va lua următoarea formă:

.

Avem o ecuație pătratică. Să-i găsim discriminantul:

În statistică și teoria probabilității se găsesc foarte des mărimile logaritmice. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece numărul e reflectă adesea rata de creștere a cantităților exponențiale.

În informatică, programare și teoria calculatoarelor, logaritmii se găsesc destul de des, de exemplu, pentru a stoca N biți în memorie.

În teoriile fractalilor și dimensiunilor, logaritmii sunt utilizați în mod constant, deoarece dimensiunile fractalilor sunt determinate numai cu ajutorul lor.

În mecanică și fizică Nu există nicio secțiune în care logaritmii nu au fost utilizați. Distribuția barometrică, toate principiile termodinamicii statistice, ecuația Tsiolkovsky etc. sunt procese care pot fi descrise matematic numai folosind logaritmi.

În chimie, logaritmii sunt utilizați în ecuațiile Nernst și descrierile proceselor redox.

În mod uimitor, chiar și în muzică, pentru a afla numărul de părți ale unei octave, se folosesc logaritmi.

Logaritmul natural Funcția y=ln x proprietățile sale

Dovada proprietății principale a logaritmului natural