Găsiți cea mai mare înălțime a triunghiului. Înălțimea triunghiului

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Aproape niciodată nu este posibil să determinați toți parametrii unui triunghi fără construcții suplimentare. Aceste construcții sunt caracteristici grafice unice ale unui triunghi, care ajută la determinarea dimensiunii laturilor și unghiurilor.

Definiţie

Una dintre aceste caracteristici este înălțimea triunghiului. Altitudinea este o perpendiculară trasată de la vârful unui triunghi spre latura sa opusă. Un vârf este unul dintre cele trei puncte care, împreună cu cele trei laturi, formează un triunghi.

Definiția înălțimii unui triunghi poate suna astfel: înălțimea este perpendiculara trasată de la vârful triunghiului la linia care conține partea opusă.

Această definiție sună mai complicată, dar reflectă mai exact situația. Faptul este că într-un triunghi obtuz nu este posibil să se deseneze înălțimea în interiorul triunghiului. După cum se poate observa în figura 1, înălțimea în acest caz este exterioară. În plus, nu este o situație standard să construiești înălțimea într-un triunghi dreptunghic. În acest caz, două din cele trei altitudini ale triunghiului vor trece prin catete, iar a treia de la vârf la ipotenuză.

Orez. 1. Înălțimea unui triunghi obtuz.

De obicei, înălțimea unui triunghi este desemnată prin litera h. Înălțimea este indicată și în alte figuri.

Cum să afli înălțimea unui triunghi?

Există trei moduri standard de a găsi înălțimea unui triunghi:

Prin teorema lui Pitagora

Această metodă este utilizată pentru triunghiuri echilaterale și isoscele. Să analizăm soluția pentru un triunghi isoscel și apoi să spunem de ce aceeași soluție este valabilă pentru un triunghi echilateral.

Dat: triunghi isoscel ABC cu baza AC. AB=5, AC=8. Aflați înălțimea triunghiului.

Orez. 2. Desen pentru problema.

Pentru un triunghi isoscel, este important să știți care latură este baza. Aceasta determină laturile care trebuie să fie egale, precum și înălțimea la care acționează anumite proprietăți.

Proprietăți ale altitudinii unui triunghi isoscel desenat la bază:

• Înălțimea coincide cu mediana și bisectoarea
• Împarte baza în două părți egale.

Notăm înălțimea ca ВD. Vom găsi DC ca jumătate din bază, deoarece înălțimea punctului D împarte baza la jumătate. DC=4

Înălțimea este o perpendiculară, ceea ce înseamnă că BDC este un triunghi dreptunghic, iar înălțimea BH este o catenă a acestui triunghi.

Să găsim înălțimea folosind teorema lui Pitagora: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

Orice triunghi echilateral este isoscel, doar baza lui este egală cu laturile sale. Adică, puteți utiliza aceeași procedură.

Prin aria unui triunghi

Această metodă poate fi folosită pentru orice triunghi. Pentru a-l folosi, trebuie să cunoașteți aria triunghiului și latura în care este trasă înălțimea.

Înălțimile dintr-un triunghi nu sunt egale, așa că pentru latura corespunzătoare se va putea calcula înălțimea corespunzătoare.

Formula ariei triunghiulare: $$S=(1\over2)*bh$$, unde b este latura triunghiului, a h este înălțimea trasă în această parte. Să exprimăm înălțimea din formula:

$$h=2*(S\peste b)$$

Dacă aria este 15, latura este 5, atunci înălțimea este $$h=2*(15\over5)=6$$

Prin funcţia trigonometrică

A treia metodă este potrivită dacă se cunosc latura și unghiul de la bază. Pentru a face acest lucru va trebui să utilizați funcția trigonometrică.

Orez. 3. Desen pentru problema.

Unghiul ВСН=300, iar latura BC=8. Mai avem același triunghi dreptunghic BCH. Să folosim sine. Sinusul este raportul dintre latura opusă ipotenuzei, ceea ce înseamnă: BH/BC=cos BCH.

Unghiul este cunoscut, la fel ca și latura. Să exprimăm înălțimea triunghiului:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

Valoarea cosinusului este în general luată din tabelele Bradis, dar valorile funcțiilor trigonometrice pentru 30,45 și 60 de grade sunt numere tabelare.

Ce am învățat?

Am aflat care este înălțimea unui triunghi, ce înălțimi există și cum sunt desemnate. Ne-am dat seama de probleme tipice și am notat trei formule pentru înălțimea unui triunghi.

Test pe tema

Evaluarea articolului

Evaluare medie: 4.6. Evaluări totale primite: 152.

La rezolvarea diferitelor tipuri de probleme, atât de natură pur matematică, cât și aplicată (în special în construcții), este adesea necesară determinarea valorii înălțimii unei anumite figuri geometrice. Cum se calculează această valoare (înălțime) într-un triunghi?

Dacă combinăm 3 puncte în perechi care nu sunt situate pe o singură linie, atunci figura rezultată va fi un triunghi. Înălțimea este partea unei linii drepte de la orice vârf al unei figuri care, atunci când se intersectează cu latura opusă, formează un unghi de 90°.

Aflați înălțimea unui triunghi scalen

Să determinăm valoarea înălțimii unui triunghi în cazul în care figura are unghiuri și laturi arbitrare.

Formula lui Heron

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, unde

p – jumătate din perimetrul figurii, h(a) – un segment pe latura a, desenat în unghi drept față de acesta,

p=(a+b+c)/2 – calculul semiperimetrului.

Dacă există o zonă a figurii, puteți utiliza relația h(a)=2S/a pentru a determina înălțimea acesteia.

Funcții trigonometrice

Pentru a determina lungimea unui segment care formează un unghi drept atunci când se intersectează cu latura a, puteți folosi următoarele relații: dacă sunt cunoscute latura b și unghiul γ sau latura c și unghiul β, atunci h(a)=b*sinγ sau h(a)=c *sinβ.
Unde:
γ – unghiul dintre latura b și a,
β este unghiul dintre latura c și a.

Relația cu raza

Dacă triunghiul original este înscris într-un cerc, puteți utiliza raza unui astfel de cerc pentru a determina înălțimea. Centrul său este situat în punctul în care se intersectează toate cele 3 înălțimi (de la fiecare vârf) - ortocentrul, iar distanța de la acesta până la vârf (oricare) este raza.

Atunci h(a)=bc/2R, unde:
b, c – alte 2 laturi ale triunghiului,
R este raza cercului care circumscrie triunghiul.

Găsiți înălțimea într-un triunghi dreptunghic

În acest tip de figură geometrică, 2 laturi, atunci când se intersectează, formează un unghi drept - 90°. Prin urmare, dacă doriți să determinați valoarea înălțimii în ea, atunci trebuie să calculați fie dimensiunea unuia dintre catete, fie dimensiunea segmentului care formează 90° cu ipotenuza. La desemnarea:
a, b – picioare,
c – ipotenuza,
h(c) – perpendicular pe ipotenuză.
Puteți face calculele necesare folosind următoarele relații:

• Teorema lui Pitagora:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, deoarece S=ab/2, apoi h(c)=ab/c.

• Funcții trigonometrice:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Aflați înălțimea unui triunghi isoscel

Această figură geometrică se distinge prin prezența a două laturi de dimensiuni egale și a treia - baza. Pentru a determina înălțimea trasă pe a treia latură distinctă, teorema lui Pitagora vine în ajutor. Cu notații
a - partea,
c – baza,
h(c) este un segment la c la un unghi de 90°, atunci h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Altitudinea unui triunghi este perpendiculara coborâtă de la orice vârf al triunghiului spre latura opusă sau până la continuarea acesteia (latura pe care coboară perpendiculara, în în acest caz, numită baza triunghiului).

Într-un triunghi obtuz, două altitudini cad pe prelungirea laturilor și se află în afara triunghiului. Al treilea este în interiorul triunghiului.

Într-un triunghi ascuțit, toate cele trei altitudini se află în interiorul triunghiului.

Într-un triunghi dreptunghic, picioarele servesc drept altitudini.

Cum să găsiți înălțimea de la bază și zonă

Să ne amintim formula pentru calcularea ariei unui triunghi. Aria unui triunghi se calculează folosind formula: A = 1/2 bh.

• A este aria triunghiului
• b este latura triunghiului pe care este coborâtă înălțimea.
• h - înălțimea triunghiului

Privește triunghiul și gândește-te ce cantități știi deja. Dacă vi se oferă o zonă, etichetați-o cu „A” sau „S”. Ar trebui să vi se dea și semnificația părții, etichetați-o cu „b”. Dacă nu ți se dă zona și lateralul nu este dat, folosește o altă metodă.

Rețineți că baza unui triunghi poate fi orice latură la care este coborâtă înălțimea (indiferent de modul în care este poziționat triunghiul). Pentru a înțelege mai bine acest lucru, imaginați-vă că puteți roti acest triunghi. Rotiți-l astfel încât partea pe care o cunoașteți să fie orientată în jos.

De exemplu, aria unui triunghi este 20, iar una dintre laturile sale este 4. În acest caz, „‘A = 20″‘, ‘‘b = 4′”.

Înlocuiți valorile date în formula pentru a calcula suprafața (A = 1/2bh) și găsiți înălțimea. Mai întâi, înmulțiți latura (b) cu 1/2 și apoi împărțiți aria (A) la valoarea rezultată. Astfel vei afla inaltimea triunghiului.

În exemplul nostru: 20 = 1/2(4)h

20 = 2h
10 = h

Amintiți-vă proprietățile unui triunghi echilateral. Într-un triunghi echilateral, toate laturile și toate unghiurile sunt egale (fiecare unghi are 60˚). Dacă desenați înălțimea într-un astfel de triunghi, veți obține două triunghiuri dreptunghiulare egale.
De exemplu, luați în considerare un triunghi echilateral cu latura 8.

Amintiți-vă de teorema lui Pitagora. Teorema lui Pitagora afirmă că în orice triunghi dreptunghic cu catetele „a” și „b” ipotenuza „c” este egală cu: a2+b2=c2. Această teoremă poate fi folosită pentru a afla înălțimea unui triunghi echilateral!

Împărțiți triunghiul echilateral în două triunghiuri dreptunghiulare (pentru a face acest lucru, desenați înălțimea). Apoi etichetați laturile unuia dintre triunghiuri dreptunghiulare. Latura laterală a unui triunghi echilateral este ipotenuza „c” a unui triunghi dreptunghic. Piciorul „a” este egal cu 1/2 din latura triunghiului echilateral, iar piciorul „b” este înălțimea dorită a triunghiului echilateral.

Deci, în exemplul nostru de triunghi echilateral cu o latură cunoscută de 8: c = 8 și a = 4.

Introduceți aceste valori în teorema lui Pitagora și calculați b2. În primul rând, pătrați „c” și „a” (înmulțiți fiecare valoare de la sine). Apoi scade a2 din c2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Luați rădăcina pătrată a lui b2 pentru a afla înălțimea triunghiului. Pentru a face acest lucru, utilizați un calculator. Valoarea rezultată va fi înălțimea triunghiului tău echilateral!

b = √48 = 6,93

Cum să găsiți înălțimea folosind unghiuri și laturi

Gândiți-vă ce semnificații cunoașteți. Puteți găsi înălțimea unui triunghi dacă cunoașteți valorile laturilor și unghiurilor. De exemplu, dacă unghiul dintre bază și latură este cunoscut. Sau dacă sunt cunoscute valorile tuturor celor trei părți. Deci, să notăm laturile triunghiului: „a”, „b”, „c”, unghiurile triunghiului: „A”, „B”, „C”, iar zona - litera „S”.

Dacă cunoști toate cele trei laturi, vei avea nevoie de aria triunghiului și de formula lui Heron.

Dacă cunoști cele două laturi și unghiul dintre ele, poți folosi următoarea formulă pentru a găsi aria: S=1/2ab(sinC).

Dacă vi se dau valorile tuturor celor trei părți, utilizați formula lui Heron. Folosind această formulă, va trebui să efectuați mai mulți pași. Mai întâi trebuie să găsiți variabila „s” (notăm jumătate din perimetrul triunghiului cu această literă). Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile cunoscute în această formulă: s = (a+b+c)/2.

Pentru un triunghi cu laturile a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. Rezultatul este: s=12/2, unde s=6.

Apoi, ca un al doilea pas, găsim zona (a doua parte a formulei lui Heron). Aria = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). În loc de cuvântul „zonă”, introduceți formula echivalentă pentru a găsi zona: 1/2bh (sau 1/2ah, sau 1/2ch).

Acum găsiți o expresie echivalentă pentru înălțime (h). Pentru triunghiul nostru va fi valabilă următoarea ecuație: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Unde 3/2h=√(6(2(3(1))). Se dovedește că 3/2h = √(36). Folosind un calculator, calculați rădăcina pătrată. În exemplul nostru: 3/2h = 6. Se dovedește că înălțimea (h) este egală cu 4, latura b este baza.

Dacă, în funcție de condițiile problemei, se cunosc două laturi și un unghi, puteți utiliza o formulă diferită. Înlocuiți aria din formulă cu expresia echivalentă: 1/2bh. Astfel, veți obține următoarea formulă: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Poate fi simplificată la următoarea formă: h = a(sin C) pentru a elimina o variabilă necunoscută.

Acum rămâne de rezolvat ecuația rezultată. De exemplu, fie „a” = 3, „C” = 40 de grade. Atunci ecuația va arăta astfel: „h” = 3 (sin 40). Folosind un calculator și un tabel de sinusuri, calculați valoarea lui „h”. În exemplul nostru, h = 1,928.

Calcularea înălțimii unui triunghi depinde de figura în sine (isoscel, echilateral, scalen, dreptunghiular). În geometria practică, formulele complexe, de regulă, nu se găsesc. Suficient pentru a sti principiu general calcule astfel încât să poată fi aplicat universal tuturor triunghiurilor. Astăzi vă vom prezenta principiile de bază ale calculului înălțimii unei figuri, formule de calcul bazate pe proprietățile înălțimii triunghiurilor.

Ce este înălțimea?

Înălțimea are mai multe proprietăți distinctive

1. Punctul în care toate înălțimile se conectează se numește ortocentru. Dacă triunghiul este ascuțit, atunci ortocentrul este în interiorul figurii, dacă unul dintre unghiuri este obtuz, atunci ortocentrul, de regulă, este în exterior.
2. Într-un triunghi în care un unghi este de 90°, ortocentrul și vârful coincid.
3. În funcție de tipul de triunghi, există mai multe formule pentru a afla înălțimea triunghiului.

Calcul tradițional

1. Dacă p este jumătate din perimetru, atunci a, b, c sunt desemnarea laturilor figurii necesare, h este înălțimea, atunci prima și cea mai simplă formulă va arăta astfel: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
2. În manualele școlare poți găsi adesea probleme în care se cunoaște valoarea uneia dintre laturile unui triunghi și dimensiunea unghiului dintre această latură și bază. Atunci formula de calcul al înălțimii va arăta astfel: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. Când aria triunghiului este dată - S, precum și lungimea bazei - a, atunci calculele vor fi cât mai simple posibil. Înălțimea se află folosind formula: h = 2S/a.
4. Când este dată raza cercului descris în jurul figurii, mai întâi calculăm lungimile celor două laturi ale sale, apoi continuăm să calculăm înălțimea dată a triunghiului. Pentru a face acest lucru, folosim formula: h = b ∙ c/2R, unde b și c sunt cele două laturi ale triunghiului care nu sunt baza, iar R este raza.

Toate laturile acestei figuri sunt echivalente, lungimile lor sunt egale, prin urmare unghiurile de la bază vor fi, de asemenea, egale. De aici rezultă că înălțimile pe care le desenăm pe baze vor fi și ele egale, sunt și mediane și bisectoare în același timp. Vorbitor într-un limbaj simplu, altitudinea dintr-un triunghi isoscel împarte baza în două. Triunghiul cu unghi drept, care se obține după trasarea înălțimii, va fi considerat folosind teorema lui Pitagora. Să notăm latura ca a și baza ca b, apoi înălțimea h = ½ √4 a2 − b2.

Cum se află înălțimea unui triunghi echilateral?

Formula pentru un triunghi echilateral (o cifră în care toate laturile sunt egale ca mărime) poate fi găsită pe baza calculelor anterioare. Trebuie doar să măsurați lungimea uneia dintre laturile triunghiului și să o desemnați ca a. Atunci înălțimea este derivată prin formula: h = √3/2 a.

Cum se află înălțimea unui triunghi dreptunghic?

După cum știți, unghiul într-un triunghi dreptunghic este de 90°. Înălțimea coborâtă cu o parte este și a doua latură. Altitudinile unui triunghi cu unghi drept vor sta pe ele. Pentru a obține date despre înălțime, trebuie să transformați ușor formula pitagoreică existentă, desemnând picioarele - a și b și, de asemenea, măsurând lungimea ipotenuzei - c.

Să aflăm lungimea piciorului (latura pe care va fi perpendiculară înălțimea): a = √ (c2 − b2). Lungimea celui de-al doilea segment se găsește folosind exact aceeași formulă: b =√ (c2 − b2). După care puteți începe să calculați înălțimea unui triunghi cu unghi drept, după ce ați calculat mai întâi aria figurii - s. Valoarea înălțimii este h = 2s/a.

Calcule cu triunghi scalen

Când un triunghi scalen are unghiuri ascuțite, înălțimea coborâtă până la bază este vizibilă. Dacă triunghiul are un unghi obtuz, atunci înălțimea poate fi în afara figurii și trebuie să o continuați mental pentru a obține punctul de legătură al înălțimii și baza triunghiului. Cel mai mult într-un mod simplu a măsura înălțimea înseamnă a o calcula printr-una dintre laturi și mărimea unghiurilor. Formula este următoarea: h = b sin y + c sin ß.