Matrici. Acțiuni asupra matricelor

Acest manual vă va ajuta să învățați cum să efectuați operatii cu matrici: adunarea (scăderea) matricelor, transpunerea unei matrice, înmulțirea matricelor, aflarea matricei inverse. Tot materialul este prezentat într-o formă simplă și accesibilă, sunt date exemple relevante, astfel încât chiar și o persoană nepregătită poate învăța cum să efectueze acțiuni cu matrice.

Pentru automonitorizare și autotestare, puteți descărca gratuit un calculator matrice >>>. Voi încerca să minimizez calculele teoretice în unele locuri sunt posibile explicații „pe degete” și utilizarea unor termeni neștiințifici. Iubitori de teorie solidă, vă rugăm să nu vă implicați în critici, sarcina noastră este.

invata sa efectuezi operatii cu matrici Pentru pregătirea SUPER FAST pe tema (cine este „pe foc”) există un curs intensiv pdf

Matrice, determinant și test! O matrice este un tabel dreptunghiular al unora elemente O matrice este un tabel dreptunghiular al unora. Ca vom lua în considerare numerele, adică matrice numerice. ELEMENT

este un termen. Este indicat să vă amintiți termenul, va apărea des, nu întâmplător am folosit font bold pentru a-l evidenția. Desemnare:

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine Exemplu:

Luați în considerare o matrice de două câte trei: O matrice este un tabel dreptunghiular al unora:

Această matrice este formată din șase

Toate numerele (elementele) din interiorul matricei există singure, adică nu se pune problema vreunei scăderi:

Este doar un tabel (set) de numere! nu rearanja numere, dacă nu se specifică altfel în explicații. Fiecare număr are propria sa locație și nu poate fi amestecat!

Matricea în cauză are două rânduri:

si trei coloane:

STANDARD: atunci când vorbim despre dimensiunile matricei la început indicați numărul de rânduri și abia apoi numărul de coloane. Tocmai am defalcat matricea de două câte trei.

Dacă numărul de rânduri și coloane ale unei matrice este același, atunci matricea este numită pătrat, De exemplu: – o matrice de trei câte trei.

Dacă o matrice are o coloană sau un rând, atunci se mai numesc și astfel de matrici vectori.

De fapt, conceptul de matrice îl cunoaștem încă de la școală să considerăm, de exemplu, un punct cu coordonatele „x” și „y”: . În esență, coordonatele unui punct sunt scrise într-o matrice una câte două. Apropo, iată un exemplu de ce contează ordinea numerelor: și sunt două puncte complet diferite pe plan.

Acum să trecem la studii operatii cu matrici:

1) Primul act. Eliminarea unui minus din matrice (introducerea unui minus în matrice).

Să revenim la matricea noastră . După cum probabil ați observat, există prea multe numere negative în această matrice. Acest lucru este foarte incomod din punctul de vedere al efectuării diferitelor acțiuni cu matricea, este incomod să scrieți atât de multe minusuri și pur și simplu arată urât în ​​design.

Să mutăm minusul în afara matricei prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:

La zero, după cum înțelegeți, semnul nu se schimbă, de asemenea, zero este zero;

Exemplu invers: . Arată urât.

Să introducem un minus în matrice prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:

Ei bine, s-a dovedit mult mai frumos. Și, cel mai important, va fi MAI UȘOR să efectuați orice acțiuni cu matricea. Pentru că există o astfel de matematică semn popular: cu cât mai multe minusuri, cu atât mai multe confuzii și erori.

2) Actul doi. Înmulțirea unei matrice cu un număr.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Este simplu, pentru a înmulți o matrice cu un număr, ai nevoie fiecare element de matrice înmulțit cu un număr dat. ÎN în acest caz,- pentru trei.

Un alt exemplu util:

– înmulțirea unei matrice cu o fracție

Mai întâi să ne uităm la ce să facem NU ESTE NEVOIE:

NU ESTE NEVOIE să introduceți o fracție în matrice, în primul rând, doar complică acțiunile ulterioare cu matricea și, în al doilea rând, îngreunează ca profesorul să verifice soluția (mai ales dacă; – răspunsul final al sarcinii).

Și, în plus, NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei la minus șapte:

Din articol Matematică pentru manechin sau de unde să încep, ne amintim asta zecimale la matematica superioară încearcă să le evite în toate modurile posibile.

Singurul lucru este preferabil Ce trebuie să faceți în acest exemplu este să adăugați un minus la matrice:

Dar dacă numai TOATE elementele matricei au fost împărțite la 7 fără urmă, atunci ar fi posibil (și necesar!) să se împartă.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

În acest caz, puteți TREBUIEînmulțiți toate elementele matricei cu , deoarece toate numerele matricei sunt divizibile cu 2 fără urmă.

Notă: în teoria matematicii de învățământ superior nu există conceptul de „diviziune”. În loc să spuneți „acest împărțit cu asta”, puteți spune întotdeauna „acest înmulțit cu o fracție”. Adică împărțirea este un caz special de înmulțire.

3) Actul trei. Transpunerea matricei.

Pentru a transpune o matrice, trebuie să scrieți rândurile acesteia în coloanele matricei transpuse.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Transpune matricea

Există un singur rând aici și, conform regulii, trebuie scris într-o coloană:

– matrice transpusă.

O matrice transpusă este de obicei indicată printr-un superscript sau un prim în dreapta sus.

Exemplu pas cu pas:

Transpune matricea

Mai întâi rescriem primul rând în prima coloană:

Apoi rescriem a doua linie în a doua coloană:

Și, în sfârșit, rescriem al treilea rând în a treia coloană:

Gata. În linii mari, transpunerea înseamnă întoarcerea matricei pe o parte.

4) Actul patru. Suma (diferența) matricelor.

Suma matricelor este o operație simplă.
NU TOATE MATRICILE POT FI POLIATE. Pentru a efectua adunarea (scăderea) matricelor, este necesar ca acestea să aibă ACEEAȘI DIMENSIUNE.

De exemplu, dacă se dă o matrice două câte două, atunci aceasta poate fi adăugată numai cu o matrice două câte două și nu alta!

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Adăugați matrici Şi

Pentru a adăuga matrice, trebuie să adăugați elementele corespunzătoare ale acestora:

Pentru diferența de matrice regula este similară, este necesar să se găsească diferența elementelor corespunzătoare.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Găsiți diferența de matrice ,

Cum să decizi acest exemplu mai usor ca sa nu te incurci? Este recomandabil să scăpați de minusurile inutile pentru a face acest lucru, adăugați un minus la matrice:

Notă: în teoria matematicii de învățământ superior nu există conceptul de „scădere”. În loc să spuneți „scădeți acest lucru din asta”, puteți spune întotdeauna „adăugați un număr negativ la acesta”. Adică, scăderea este un caz special de adunare.

5) Actul cinci. Înmulțirea matricei.

Ce matrice pot fi multiplicate?

Pentru ca o matrice să fie înmulțită cu o matrice, este necesar astfel încât numărul de coloane de matrice să fie egal cu numărul de rânduri de matrice.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine
Este posibil să înmulțim o matrice cu o matrice?

Aceasta înseamnă că datele matricei pot fi multiplicate.

Dar dacă matricele sunt rearanjate, atunci, în acest caz, înmulțirea nu mai este posibilă!

Prin urmare, înmulțirea nu este posibilă:

Nu este atât de rar să întâlniți sarcini cu un truc, atunci când elevului i se cere să înmulțească matrici, a căror înmulțire este evident imposibilă.

Trebuie remarcat faptul că în unele cazuri este posibil să se înmulțească matrice în orice mod.
De exemplu, pentru matrice, și înmulțirea și înmulțirea sunt posibile

Matricele în matematică sunt unul dintre cele mai importante obiecte de importanță practică. Adesea, o excursie în teoria matricelor începe cu cuvintele: „O matrice este o masă dreptunghiulară...”. Vom începe această excursie dintr-o direcție puțin diferită.

Agendele telefonice de orice dimensiune și cu orice cantitate de date despre abonați nu sunt altceva decât matrice. Astfel de matrici arată aproximativ astfel:

Este clar că toți folosim astfel de matrici aproape în fiecare zi. Aceste matrici vin cu un număr diferit de rânduri (la fel de diferit ca un director al unei companii de telefonie, care poate avea mii, sute de mii sau chiar milioane de linii, și un blocnotes nou pe care tocmai l-ați început, care are mai puțin de zece linii) și coloane ( directorul oficiali o organizație în care pot exista coloane precum poziția și numărul biroului și aceeași agendă de adrese, unde s-ar putea să nu existe date cu excepția numelui și, prin urmare, există doar două coloane în ea - nume și număr de telefon).

Pot fi adăugate și multiplicate tot felul de matrice, precum și alte operații pot fi efectuate asupra lor, dar nu este nevoie să adăugați și să înmulțiți directoare telefonice, nu există niciun beneficiu de pe urma asta și, în plus, vă puteți folosi mintea.

Dar multe matrice pot și trebuie adăugate și multiplicate și astfel rezolvă diverse probleme stringente. Mai jos sunt exemple de astfel de matrici.

Matrice în care coloanele reprezintă producția de unități dintr-un anumit tip de produs, iar rândurile sunt anii în care se înregistrează producția acestui produs:

Puteți adăuga matrice de acest tip, care iau în considerare producția de produse similare de către diferite întreprinderi, pentru a obține date rezumative pentru industrie.

Sau matrice constând, de exemplu, dintr-o coloană, în care rândurile reprezintă costul mediu al unui anumit tip de produs:

Matrici de doi ultima specie poate fi înmulțit, iar rezultatul este o matrice de rând care conține costul tuturor tipurilor de produse pe an.

Matrici, definiții de bază

Un tabel dreptunghiular format din numere aranjate în m linii şi n coloane se numește mn-matrice (sau doar matrice ) și este scris astfel:

(1)

În matricea (1) numerele se numesc ei elemente (ca și în determinant, primul indice înseamnă numărul rândului, al doilea – coloana la intersecția căreia se află elementul; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matricea se numește dreptunghiular , Dacă .

Dacă m = n, atunci matricea este numită pătrat , iar numărul n este al acestuia în ordine .

Determinant al unei matrice pătrate A este un determinant ale cărui elemente sunt elementele unei matrice O. Este indicat prin simbolul | O|.

Matricea pătrată se numește nu deosebite (sau nedegenerate , nesingular ), dacă determinantul său nu este zero și special (sau degenera , singular ) dacă determinantul său este zero.

Matricele sunt numite egal dacă au acelasi numar rândurile și coloanele și toate elementele corespunzătoare se potrivesc.

Matricea se numește nul , dacă toate elementele sale sunt egale cu zero. Vom nota matricea zero prin simbol 0 sau .

De exemplu,

Matrice-rând (sau litere mici ) se numește 1 n-matrice, și matrice-coloană (sau coloană ) – m 1-matrice.

Matrice O", care se obține din matrice O se numește schimbarea rândurilor și coloanelor din acesta transpus relativ la matrice O. Astfel, pentru matricea (1) matricea transpusă este

Operație de tranziție a matricei O" transpus cu privire la matrice O, se numește transpunere matriceală O. Pentru mn-matricea transpusă este nm-matrice.

Matricea transpusă în raport cu matricea este O, adică

(O")" = O .

Exemplul 1. Găsiți matricea O" , transpus cu privire la matrice

și aflați dacă determinanții matricei originale și transpuse sunt egali.

Diagonala principală O matrice pătrată este o linie imaginară care leagă elementele sale, pentru care ambii indici sunt aceiași. Aceste elemente sunt numite diagonală .

Se numește o matrice pătrată în care toate elementele din diagonala principală sunt egale cu zero diagonală . Nu toate elementele diagonale ale unei matrice diagonale sunt neapărat diferite de zero. Printre ele pot fi egale cu zero.

O matrice pătrată în care elementele de pe diagonala principală sunt egale cu același număr, diferit de zero și toate celelalte sunt egale cu zero, se numește matrice scalară .

Matricea identitară se numește matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu unul. De exemplu, matricea de identitate de ordinul trei este matricea

Exemplul 2. Matrici date:

Soluţie. Să calculăm determinanții acestor matrici. Folosind regula triunghiului, găsim

Determinant de matrice B să calculăm folosind formula

Înțelegem cu ușurință asta

Prin urmare, matricele Oși sunt non-singular (nedegenerat, non-singular), iar matricea B– special (degenerat, singular).

Determinantul matricei identitare de orice ordin este evident egal cu unu.

Rezolvați singur problema matricei și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 3. Matrici date

,

,

Determinați care dintre ele sunt nesingulare (nedegenerate, nesingulare).

Aplicarea matricelor în modelarea matematică și economică

Datele structurate despre un anumit obiect sunt înregistrate simplu și convenabil sub formă de matrice. Modelele matriceale sunt create nu numai pentru a stoca aceste date structurate, ci și pentru a rezolva diverse probleme cu aceste date folosind algebra liniară.

Astfel, un model matriceal binecunoscut al economiei este modelul input-output, introdus de economistul american de origine rusă Vasily Leontiev. Acest model se bazează pe ipoteza că întregul sector de producție al economiei este împărțit în n industrii curate. Fiecare industrie produce un singur tip de produs, iar industriile diferite produc produse diferite. Datorită acestei diviziuni a muncii între industrii, există conexiuni inter-industriale, al căror sens este că o parte din producția fiecărei industrii este transferată altor industrii ca resursă de producție.

Volumul produsului i-a industrie (măsurată printr-o anumită unitate de măsură), care a fost produsă în perioada de raportare, notat cu și numit eliberare completă i-a industrie. Problemele pot fi plasate convenabil n-rând component al matricei.

Numărul de unități i-industrie care trebuie cheltuită j-industria pentru producerea unei unităţi a producţiei sale este desemnată şi numită coeficient de cost direct.

Algebră liniară

Matrici

Matrice dimensiunea m x n este un tabel dreptunghiular de numere care conține m rânduri și n coloane. Numerele care alcătuiesc o matrice se numesc elemente de matrice.

Matricele sunt de obicei notate cu litere mari latine, iar elementele cu aceleași, dar litere mici cu indexare dublă.

De exemplu, luați în considerare o matrice A 2 x 3:

Această matrice are două rânduri (m = 2) și trei coloane (n ​​= 3), adică este format din șase elemente a ij, unde i este numărul rândului, j este numărul coloanei. În acest caz, ia valori de la 1 la 2 și de la unu la trei (scris). Și anume, a 11 = 3; a 12 = 0; a 13 = -1; a21 = 0; a22 = 1,5; a 23 = 5.

Se numesc matrice A și B de aceeași dimensiune (m x n). egal, dacă acestea coincid element cu element, i.e. a ij = b ij pentru , i.e. pentru orice i și j (puteți scrie „i, j”).

Matrice-rând este o matrice formată dintr-un rând și matrice-coloană este o matrice formată dintr-o coloană.

De exemplu, este o matrice de rânduri și .

Matrice pătrată Ordinul n este o matrice, numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane și egal cu n.

De exemplu, o matrice pătrată de ordinul doi.

Diagonală elementele matricei sunt elemente al căror număr de rând este egal cu numărul coloanei (a ij, i = j). Aceste elemente se formează diagonala principală matrici. În exemplul anterior, diagonala principală este formată din elementele a 11 = 3 și a 22 = 5.

Matricea diagonală este o matrice pătrată în care toate elementele nediagonale sunt zero. De exemplu, - matrice diagonală de ordinul trei. Dacă toate elementele diagonale sunt egale cu unul, atunci matricea se numește singur(notat de obicei cu litera E). De exemplu, este o matrice de identitate de ordinul trei.

Matricea se numește nul, dacă toate elementele sale sunt egale cu zero.

Matricea pătrată se numește triunghiular, dacă toate elementele sale de sub (sau deasupra) diagonalei principale sunt egale cu zero. De exemplu, - matrice triunghiulară de ordinul trei.

Operații pe matrice

Următoarele operații pot fi efectuate pe matrice:

1. Înmulțirea unei matrice cu un număr. Produsul matricei A și numărului l este matricea B = lA, ale cărei elemente b ij = la ij pentru orice i și j.

De exemplu, dacă , atunci .

2. Adăugarea matricei. Suma a două matrice A și B de aceeași dimensiune m x n este matricea C = A + B, ale cărei elemente sunt cu ij = a ij + b ij pentru „i, j.

De exemplu, dacă Că

.

Rețineți că prin operațiunile anterioare se poate determina scăderea matricei aceeasi dimensiune: diferenta A-B= A + (-1)*B.

3. Înmulțirea matricei. Produsul matricei A de dimensiunea m x n cu matricea B de dimensiunea n x p este o matrice C, fiecare element al căruia cu ij este egal cu suma produselor elementelor din rândul i al matricei A cu elementele corespunzătoare ale a j-a coloană a matricei B, adică .

De exemplu, dacă

, atunci dimensiunea matricei produsului va fi 2 x 3 și va arăta astfel:

În acest caz, se spune că matricea A este consecventă cu matricea B.

Pe baza operației de înmulțire pentru matrice pătrată, operația este definită exponentiare. Puterea întreagă pozitivă A m (m > 1) a unei matrice pătrate A este produsul dintre m matrice egal cu A, adică.

Subliniem că adunarea (scăderea) și înmulțirea matricelor nu sunt definite pentru oricare două matrice, ci doar pentru cele care îndeplinesc anumite cerințe pentru dimensiunea lor. Pentru a găsi suma sau diferența matricelor, dimensiunea lor trebuie să fie aceeași. Pentru a găsi produsul matricelor, numărul de coloane ale primei dintre ele trebuie să coincidă cu numărul de rânduri ale celei de-a doua (astfel de matrici se numesc convenit).

Să luăm în considerare câteva proprietăți ale operațiilor luate în considerare, similare proprietăților operațiilor asupra numerelor.

1) Legea comutativă (comutativă) a adunării:

A + B = B + A

2) Legea asociativă (combinativă) a adunării:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Legea distributivă (distributivă) a înmulțirii în raport cu adunarea:

l(A + B) = lA + lB

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) Legea asociativă (combinativă) a înmulțirii:

l(AB) = (lA)B = A(lB)

A(BC) = (AB)C

Subliniem că legea comutativă a înmulțirii pentru matrici NU este satisfăcută în cazul general, i.e. AB¹BA. Mai mult, existența AB nu implică neapărat existența BA (matricele pot să nu fie consistente, iar atunci produsul lor nu este definit deloc, ca în exemplul de mai sus de înmulțire a matricei). Dar chiar dacă ambele lucrări există, de obicei sunt diferite.

Într-un caz particular, produsul oricărei matrice pătrate A și o matrice de identitate de același ordin are o lege comutativă, iar acest produs este egal cu A (înmulțirea cu matricea de identitate aici este similară cu înmulțirea cu unu la înmulțirea numerelor):

AE = EA = A

De fapt,

Să subliniem încă o diferență între înmulțirea matriceală și înmulțirea numerelor. Un produs de numere poate fi egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ele este egal cu zero. Acest lucru nu se poate spune despre matrici, adică. produsul matricelor nenule poate fi egal cu o matrice zero. De exemplu,

Să continuăm analiza operațiilor pe matrice.

4. Matrix Transpose reprezintă operația de trecere de la o matrice A de dimensiunea m x n la o matrice A T de dimensiunea n x m, în care rândurile și coloanele sunt schimbate:

%.

Proprietățile operației de transpunere:

1) Din definiție rezultă că dacă matricea este transpusă de două ori, revenim la matricea originală: (A T) T = A.

2) Factorul constant poate fi scos din semnul de transpunere: (lA) T = lA T .

3) Transpunerea este distributivă în raport cu înmulțirea și adăugarea matricei: (AB) T = B T A T și (A + B) T = B T + A T .

Determinanți matrici

Pentru fiecare matrice pătrată A se introduce un număr |A|, care se numește determinant. Uneori este desemnat și prin litera D.

Acest concept este important pentru rezolvarea unui număr de probleme practice. Să o definim prin metoda de calcul.

Pentru o matrice de ordinul întâi A determinantul său este singurul său element |A| = D 1 = a 11 .

Pentru o matrice de ordinul doi A, determinantul ei este numărul care este calculat folosind formula |A| = D 2 = a 11 * a 22 – a 21 * a 12

Pentru o matrice de ordinul trei A, determinantul ei este numărul care este calculat folosind formula

Reprezintă o sumă algebrică formată din 6 termeni, fiecare dintre care conține exact câte un element din fiecare rând și fiecare coloană a matricei. Pentru a reține formula determinantului, se obișnuiește să se folosească așa-numita regulă a triunghiului sau regula Sarrus (Figura 6.1).

În figura 6.1, diagrama din stânga arată cum să selectați elementele pentru termenii cu semnul plus - acestea sunt situate pe diagonala principală și la vârfurile triunghiurilor isoscele, ale căror baze sunt paralele cu aceasta. Diagrama din stânga este folosită pentru termenii cu semnul minus; pe ea, în locul diagonalei principale, se ia așa-numita diagonală laterală.

Determinanții ordinelor superioare sunt calculați recurent, adică. un determinant de ordinul al patrulea printr-un determinant de ordinul al treilea, un determinant de ordinul al cincilea printr-un determinant de ordinul al patrulea etc. Pentru a descrie această metodă, este necesar să se introducă conceptele de complement minor și algebric al unui element de matrice (observăm imediat că metoda în sine, care va fi discutată mai jos, este potrivită și pentru determinanții de ordinul trei și doi).

Minor M ij al elementului a ij al unei matrice de ordinul n se numește determinantul unei matrice de ordinul (n-1) obținut din matricea A prin ștergerea rândului i și a coloanei j.

Fiecare matrice de ordinul al n-lea are n 2 minore de ordinul (n-1).

Complement algebric Un ij al unui element și ij al unei matrice de ordinul al n-lea se numește minor, luat cu semnul (-1) (i+ j):

A ij = (-1) (i+ j) *M ij

Din definiție rezultă că A ij = M ij dacă suma numerelor rândurilor și coloanelor este pară, iar A ij = -M ij dacă este impară.

De exemplu, dacă , Asta ; etc.

Metoda de calcul determinant este după cum urmează: determinantul unei matrice pătrate este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) prin complementele lor algebrice:

(extindere în elemente ale i-a corzi; );

(descompunerea pe elemente ale coloanei j-a; ).

De exemplu,

Rețineți că în cazul general determinantul unei matrici triunghiulare egal cu produsul elemente ale diagonalei principale.

Să formulăm proprietățile de bază ale determinanților.

1. Dacă orice rând sau coloană a matricei constă numai din zerouri, atunci determinantul este egal cu 0 (reduce din metoda de calcul).

2. Dacă toate elementele oricărui rând (coloană) a unei matrice sunt înmulțite cu același număr, atunci determinantul acestuia va fi și înmulțit cu acest număr (reduce și din metoda de calcul - factorul comun nu afectează calculul algebricului adunări, iar toți ceilalți termeni sunt înmulțiți exact acest număr).

Notă: semnul determinantului poate fi considerat ca fiind factorul comun al unui rând sau al unei coloane (spre deosebire de o matrice, al cărei semn poate fi considerat ca fiind factorul comun al tuturor elementelor sale). De exemplu, dar .

3. La transpunerea unei matrice, determinantul acesteia nu se modifică: |A T | = |A| (nu vom efectua dovada).

4. Când două rânduri (coloane) ale unei matrice sunt interschimbate, determinantul acesteia își schimbă semnul în cel opus.

Pentru a demonstra această proprietate, presupunem mai întâi că două rânduri adiacente ale matricei sunt rearanjate: i-lea și (i+1)-lea. Pentru a calcula determinantul matricei originale, efectuăm o expansiune în i-a linie, iar pentru determinantul unei noi matrice (cu rânduri rearanjate) - prin (i+1)-lea (care este același în ea, adică coincide element cu element). Apoi, la calcularea celui de-al doilea determinant, fiecare adunare algebrică va avea semnul opus, deoarece (-1) nu va fi ridicat la putere (i + j), ci la putere (i + 1+ j), iar în caz contrar formulele nu vor diferi. Astfel, semnul determinantului se va schimba în opus.

Acum să presupunem că nu sunt adiacente, ci două rânduri arbitrare sunt rearanjate, de exemplu, i-lea și (i+t)-th. O astfel de permutare poate fi reprezentată ca o secvențială i-lea decalaj liniile sunt t linii în jos, iar linia (i+t)a este (t-1) linii în sus. În acest caz, semnul determinantului se va schimba (t + t – 1) = 2t – 1 număr de ori, i.e. un număr impar de ori. Prin urmare, în cele din urmă se va inversa.

Raționament similar poate fi modificat pentru coloane.

5. Dacă o matrice conține două rânduri (coloane) identice, atunci determinantul ei este 0.

De fapt, dacă sunt rearanjate rânduri (coloane) identice, atunci se va obține aceeași matrice cu aceiași determinanți. Pe de altă parte, conform proprietății anterioare, trebuie să-și schimbe semnul, i.e. D = -D Û D = 0.

6. Dacă elementele a două rânduri (coloane) ale matricei sunt proporționale, atunci determinantul este egal cu 0.

Această proprietate se bazează pe proprietatea anterioară și pe bracketing factorul comun (după parantezele coeficientului de proporționalitate, vor exista rânduri sau coloane identice în matrice, iar ca rezultat acest coeficient va fi înmulțit cu zero).

7. Suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) unei matrice prin complementele algebrice ale elementelor altui rând (coloană) din aceeași matrice este întotdeauna egală cu 0: pentru i ¹ j.

Pentru a demonstra această proprietate, este suficient să înlocuim rândul j din matricea A cu al-lea. Matricea rezultată va avea două rânduri identice, deci determinantul său este 0. Pe de altă parte, poate fi calculată prin descompunerea elementelor celui de-al j-lea rând: .

8. Determinantul matricei nu se modifică dacă elementelor unui rând sau coloanei matricei se adaugă elemente dintr-un alt rând (coloană) înmulțite cu același număr.

Într-adevăr, să adăugăm elementele din rândul i j-lea elemente linii înmulțite cu l. Apoi elementele noului i-lea rând vor lua forma
(a ik + la jk , "k). Să calculăm determinantul noii matrice prin descompunerea elementelor rândului i (rețineți că adunările algebrice ale elementelor sale nu se vor modifica):

Am constatat că acest determinant nu diferă de determinantul matricei originale.

9. Determinantul produsului matricelor este egal cu produsul determinanților lor: |AB| = |A| * |B| (nu vom efectua dovada).

Proprietățile determinanților discutate mai sus sunt folosite pentru a simplifica calculul lor. De obicei, ei încearcă să transforme matricea într-o astfel de formă încât orice coloană sau rând să conțină cât mai multe zerouri. După aceasta, determinantul poate fi găsit cu ușurință prin extinderea peste acest rând sau coloană.

Matrice inversă

Se numește matricea A -1 versoîn raport cu o matrice pătrată A, dacă la înmulțirea acestei matrice cu matricea A atât în ​​dreapta cât și în stânga, se obține matricea de identitate: A -1 * A = A * A -1 = E.

Din definiție rezultă că matricea inversă este o matrice pătrată de același ordin ca și matricea A.

Se poate observa că conceptul de matrice inversă este similar cu conceptul de număr invers (acesta este un număr care, înmulțit cu un număr dat, dă unul: a*a -1 = a*(1/ a) = 1).

Toate numerele cu excepția zero au reciproce.

Pentru a rezolva întrebarea dacă o matrice pătrată are o inversă, este necesar să găsim determinantul acesteia. Dacă determinantul unei matrice este zero, atunci se numește o astfel de matrice degenera, sau special.

O condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrice inverse: matricea inversă există și este unică dacă și numai dacă matricea originală este nesingulară.

Să dovedim necesitatea. Fie matricea A să aibă o matrice inversă A -1, adică. A -1 * A = E. Atunci |A -1 * A| = |A -1 | * |A| = |E| = 1. Prin urmare,
|A| nr. 0.

Să demonstrăm suficiența. Pentru a dovedi, trebuie pur și simplu să descriem o metodă de calcul a matricei inverse, pe care o putem aplica întotdeauna unei matrice nesingulare.

Deci să fie |A| ¹ 0. Transpunem matricea A. Pentru fiecare element A T găsim un complement algebric și compunem din ele o matrice, care se numește anexat(mutuală, aliată): .

Să găsim produsul dintre matricea adjunctă și cel original. Primim . Astfel, matricea B este diagonală. Pe diagonala sa principală există determinanți ai matricei originale, iar toate celelalte elemente sunt zerouri:

În mod similar, se poate demonstra că.

Dacă împărțiți toate elementele matricei la |A|, veți obține matricea de identitate E.

Astfel , adică .

Să demonstrăm unicitatea matricei inverse. Să presupunem că există o altă matrice inversă pentru A, diferită de A -1. Să o notăm X. Atunci A * X = E. Să înmulțim ambele părți ale egalității cu A -1 din stânga.

A -1 * A * X = A -1 * E

Unicitatea a fost dovedită.

Deci, algoritmul de calcul al matricei inverse constă din următorii pași:

1. Aflați determinantul matricei |A| . Dacă |A| = 0, atunci matricea A este singulară, iar matricea inversă nu poate fi găsită. Dacă |A| ¹ 0, apoi treceți la pasul următor.

2. Construiți matricea transpusă A T.

3. Aflați complementele algebrice ale elementelor matricei transpuse și construiți matricea adiacentă.

4. Calculați matricea inversă împărțind matricea adiacentă la |A|.

5. Puteți verifica corectitudinea calculului matricei inverse în conformitate cu definiția: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Aflați determinantul acestei matrice folosind regula triunghiurilor:

Să sărim peste verificare.

Următoarele proprietăți ale inversării matricei pot fi dovedite:

1) |A -1 | = 1/|A|

2) (A -1) -1 = A

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T = (A T) -1

Rangul matricei

Ordinea k-a minoră matricele A de dimensiunea m x n sunt numite determinantul unei matrice pătrate de ordinul k, care se obține din matricea A prin ștergerea oricăror rânduri și coloane.

Din definiție rezultă că ordinea minorului nu o depășește pe cea mai mică dintre dimensiunile sale, adică. k £ min (m; n). De exemplu, dintr-o matrice A de 5x3 puteți obține submatrici pătrate de ordinul întâi, al doilea și al treilea (în consecință, calculați minorele acestor ordine).

Rang matricele sunt de ordinul cel mai înalt dintre minorele diferite de zero ale acestei matrice (notate cu rangul A sau r(A)).

Din definiţie rezultă că

1) rangul matricei nu depășește dimensiunile sale mai mici, adică.
r(A) £ min (m; n);

2) r(A) = 0 dacă și numai dacă matricea este zero (toate elementele matricei sunt egale cu zero), adică. r(A) = 0 Û A = 0;

3) pentru o matrice pătrată de ordinul al n-lea r(A) = n dacă și numai dacă această matrice A este nesingulară, adică. r(A) = n Û |A| nr. 0.

De fapt, pentru a face acest lucru, este suficient să calculați doar un astfel de minor (cel obținut prin tăierea celei de-a treia coloane (pentru că restul va avea o a treia coloană zero și, prin urmare, sunt egale cu zero).

Conform regulii triunghiului = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Deoarece toți minorii de ordinul trei sunt zero, r(A) £ 2. Deoarece există un minor de ordinul doi diferit de zero, de exemplu,

Evident, metodele pe care le-am folosit (luând în considerare toți minorii posibili) nu sunt potrivite pentru determinarea rangului în cazuri mai complexe din cauza complexității ridicate a acestora. De obicei, pentru a găsi rangul unei matrice, se folosesc unele transformări, care sunt numite elementar:

1). Eliminarea rândurilor (coloanelor) nule.

2). Înmulțirea tuturor elementelor unui rând sau coloanei unei matrice cu un alt număr decât zero.

3). Modificarea ordinii rândurilor (coloanelor) unei matrice.

4). Adăugarea fiecărui element dintr-un rând (coloană) a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană), înmulțit cu orice număr.

5). Transpunerea.

Dacă matricea A se obține din matricea B prin transformări elementare, atunci aceste matrici se numesc echivalentși notează A ~ B.

Teorema. Transformările matriceale elementare nu își schimbă rangul.

Demonstrarea teoremei rezultă din proprietățile determinantului matricei. De fapt, în timpul acestor transformări determinanții matricilor pătrate sunt fie păstrați, fie înmulțiți cu un număr care nu este egal cu zero. Ca urmare, cel mai înalt ordin al minorilor diferit de zero din matricea originală rămâne același, adică. rangul ei nu se schimbă.

Folosind transformări elementare, matricea este adusă la așa-numita formă în trepte (transformată în matricea pasilor), adică ele asigură că în matricea echivalentă există doar zero elemente sub diagonala principală și elemente diferite de zero pe diagonala principală:

Rangul unei matrice pas este egal cu r, deoarece prin ștergerea coloanelor din ea, pornind de la (r + 1)-a și mai departe, se poate obține o matrice triunghiulară de ordinul r, al cărei determinant va fi non- zero, deoarece va fi produsul elementelor diferite de zero (prin urmare, există un minor de ordinul r care nu este egal cu zero):

Exemplu. Aflați rangul unei matrice

1). Dacă un 11 = 0 (ca și în cazul nostru), atunci prin rearanjarea rândurilor sau coloanelor ne vom asigura că un 11 ¹ 0. Aici schimbăm primul și al doilea rând al matricei:

2). Acum un 11 ¹ 0. Folosind transformări elementare, ne vom asigura că toate celelalte elemente din prima coloană sunt egale cu zero. În a doua linie a 21 = 0. În a treia linie a 31 = -4. Astfel încât în ​​loc de (-4) să fie 0, adăugați la a treia linie prima linie înmulțită cu 2 (adică cu (-a 31 / a 11) = -(-4)/2 =
= 2). În mod similar, la a patra linie adăugăm prima linie (înmulțită cu unu, adică cu (-a 41 /a 11) = -(-2)/2 = 1).

3). În matricea rezultată a 22 ¹ 0 (dacă a 22 = 0, atunci rândurile ar putea fi rearanjate din nou). Să ne asigurăm că există și zerouri sub diagonală în a doua coloană. Pentru a face acest lucru, adăugați a doua linie la a treia și a patra linie, înmulțită cu -3 ((-a 32 /a 22) = (-a 42 /a 22) = -(-3)/(-1) = - 3):

4). În matricea rezultată, ultimele două rânduri sunt zero și pot fi aruncate:

Se obține o matrice de etape formată din două rânduri. Prin urmare, r(A) = 2.

Acesta este un concept care generalizează toate operațiile posibile efectuate cu matrice. Matricea matematică - tabelul elementelor. Despre o masă unde m linii şi n coloane, se spune că această matrice are dimensiunea m pe n.

Vedere generală a matricei:

Pentru soluții matriceale Este necesar să înțelegeți ce este o matrice și să cunoașteți principalii ei parametri. Elementele principale ale matricei:

• Diagonala principală, constând din elemente un 11, un 22…..a mn.
• Diagonala laterală formată din elemente a 1n , a 2n-1 .....a m1.

Principalele tipuri de matrice:

• Pătratul este o matrice în care numărul de rânduri = numărul de coloane ( m=n).
• Zero - unde toate elementele matricei = 0.
• Matrice transpusă - matrice ÎN, care a fost obținut din matricea originală O prin înlocuirea rândurilor cu coloane.
• Unitate - toate elementele diagonalei principale = 1, toate celelalte = 0.
• O matrice inversă este o matrice care, atunci când este înmulțită cu matricea originală, are ca rezultat o matrice de identitate.

Matricea poate fi simetrică în raport cu diagonalele principale și secundare. Adică dacă a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, atunci matricea este simetrică față de diagonala principală. Doar matricele pătrate pot fi simetrice.

Metode de rezolvare a matricilor.

Aproape totul metode de rezolvare a matricei consta in gasirea determinantului acestuia n-a ordine și majoritatea sunt destul de greoaie. Pentru a găsi determinantul ordinului 2 și 3 există alte metode, mai raționale.

Găsirea determinanților de ordinul 2.

Pentru a calcula determinantul unei matrice O Ordinul 2, este necesar să se scadă produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale:

Metode de găsire a determinanților de ordinul 3.

Mai jos sunt regulile pentru găsirea determinantului de ordinul 3.

Regula simplificată a triunghiului ca una dintre metode de rezolvare a matricei, poate fi descris astfel:

Cu alte cuvinte, produsul elementelor din primul determinant care sunt legate prin linii drepte este luat cu semnul „+”; De asemenea, pentru al 2-lea determinant, produsele corespunzătoare sunt luate cu semnul „-”, adică conform următoarei scheme:

La rezolvarea matricilor folosind regula lui Sarrus, în dreapta determinantului, se adună primele 2 coloane și produsele elementelor corespunzătoare de pe diagonala principală și pe diagonalele care sunt paralele cu acesta se iau cu semnul „+”; și produsele elementelor corespunzătoare ale diagonalei secundare și diagonalele care sunt paralele cu aceasta, cu semnul „-”:

Descompunerea determinantului într-un rând sau coloană la rezolvarea matricilor.

Determinantul este egal cu suma produselor elementelor rândului determinantului și a complementelor lor algebrice. De obicei este selectat rândul/coloana care conține zerouri. Rândul sau coloana de-a lungul căreia se efectuează descompunerea va fi indicată printr-o săgeată.

Reducerea determinantului la formă triunghiulară la rezolvarea matricilor.

La rezolvarea matricilor metoda de reducere a determinantului la o formă triunghiulară, funcționează astfel: folosind cele mai simple transformări pe rânduri sau coloane, determinantul devine triunghiular și apoi valoarea sa, în conformitate cu proprietățile determinantului, va fi egală cu produsul a elementelor care se află pe diagonala principală.

Teorema lui Laplace pentru rezolvarea matricilor.

Când rezolvați matrice folosind teorema lui Laplace, trebuie să cunoașteți teorema în sine. Teorema lui Laplace: Fie Δ - acesta este un factor determinant n-a ordine. Selectăm oricare k rânduri (sau coloane), furnizate k≤ n - 1. În acest caz, suma produselor tuturor minorilor k-a ordine conținută în selectat k rândurile (coloanele), prin complementele lor algebrice vor fi egale cu determinantul.

Rezolvarea matricei inverse.

Secvența de acțiuni pentru soluții cu matrice inversă:

1. Determinați dacă o matrice dată este pătrată. Dacă răspunsul este negativ, devine clar că nu poate exista o matrice inversă pentru acesta.
2. Calculăm complemente algebrice.
3. Compunem o matrice de unire (mutuală, adjunctă). C.
4. Compunem matricea inversă din adunări algebrice: toate elementele matricei adiacente Cîmpărțiți la determinantul matricei inițiale. Matricea finală va fi cea dorită matrice inversă raportat la cel dat.
5. Verificăm munca efectuată: înmulțiți matricea inițială și matricea rezultată, rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Rezolvarea sistemelor matriceale.

Pentru solutii ale sistemelor matriceale Cel mai des este folosită metoda Gaussiană.

Metoda Gauss este o metodă standard de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) și constă în faptul că variabilele sunt eliminate succesiv, adică, cu ajutorul modificărilor elementare, sistemul de ecuații este adus la un sistem triunghiular echivalent și din el, secvenţial, pornind de la acesta din urmă (după număr), găsiţi fiecare element al sistemului.

metoda Gauss este cel mai versatil și cel mai bun instrument pentru găsirea de soluții matrice. Dacă un sistem are un număr infinit de soluții sau sistemul este incompatibil, atunci nu poate fi rezolvat folosind regula lui Cramer și metoda matricei.

Metoda Gauss presupune, de asemenea, mișcări directe (reducerea matricei extinse la o formă în trepte, adică obținerea de zerouri sub diagonala principală) și inversă (obținerea de zerouri deasupra diagonalei principale a matricei extinse). Mișcarea înainte este metoda Gauss, mișcarea inversă este metoda Gauss-Jordan. Metoda Gauss-Iordan diferă de metoda Gauss doar în succesiunea eliminării variabilelor.

Esența matricei

Definiția 1

O matrice este un tabel dreptunghiular care conține numere și are un număr de rânduri ($m$) și coloane ($n$). Rândurile matricei sunt elementele care se află pe aceeași linie, mergând de la stânga la dreapta, iar coloanele sunt elementele care se află pe aceeași linie, mergând de sus în jos.

Numerele m și n determină ordinea (dimensiunea) matricei.

Un analog al unei matrice este un tabel bidimensional obișnuit.

Operații de bază pe matrice

Următoarele acțiuni de bază pot fi efectuate pe matrice:

• Adăugarea matricei;
• Înmulțirea unei matrice cu un număr;
• Înmulțirea matricelor între ele (aplicabil dacă matricele sunt consistente între ele - adică matricea $A$ trebuie să aibă același număr de coloane ca numărul de rânduri din matricea $B$);
• Transpunerea matricei; *Multiplicarea unei matrice cu un vector coloană sau rând;
• Calculul determinantului unei matrice.

De obicei, o matrice de ordinul $m\times n$ este scrisă după cum urmează:

$\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_( 22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(m1) ) & (a_(m2) ) & (...) & (a_(mn) ) \end(array)\right)$ sau $\left(a_(ij) \right)$, unde $i=1... m,j=1..n$.

Mai rar, liniile verticale duble sunt folosite pentru a scrie o matrice în loc de paranteze, de exemplu, $\left\| a_(ij) \dreapta\| $, unde $i=1...m,j=1..n$.

Nota 1

Numerele $a_(ij)$ din intrarea matricei sunt numite elemente de matrice, $i$ fiind numărul rândului și $j$ fiind numărul coloanei.

Literele majuscule ale alfabetului latin sunt adesea folosite pentru a desemna o matrice: $A, B, C$ etc.

Exemplul 1

Matrice dată $A=\left(\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (6) & (-2) \end(array)\right)$

Determinați dimensiunea matricei și scrieți elementele matricei cu numerele lor.

Soluţie:

Ordinea matricei $A$ este $2\x ori 2$.

Elementele matricei A: $a_(11) =1,a_(12) =3,a_(21) =6,a_(22) =-2$.

Există mai multe tipuri de matrice:

• Pătrat și dreptunghiular;
• Vector rând și vector coloană;
• Scalar;
• Diagonală;
• Unu și zero;
• Triunghiular.

Matrice pătrată de ordin $n$ este o matrice de dimensiune $n\x n$, i.e. numărul de rânduri și coloane este același, adică numărul de elemente din rânduri și coloane este egal.

Matrice dreptunghiulară se numeste matrice de dimensiune $m\times n$, i.e. numărul de rânduri și coloane nu este același.

Vector rând este o matrice care constă dintr-un singur rând de elemente, adică dimensiunea matricei $1\n$.

Vector coloană este o matrice care constă dintr-o singură coloană, adică dimensiunea matricei $m\times 1$.

Scalar se numește matrice care conține un singur element, adică. dimensiunea matricei $1\time 1$.

Exemplul 2

Matrici date:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (1) & (19) \\ (-3) & (2) & (1) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(array)\right), B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (-4) & (3) \\ (0) & (5) & (-4) \end(matrice)\right),$ $C=\left(\begin(array)(c) (1) \\ (-4) \\ (5) \end (matrice)\right), D=\ stânga(\begin(array)(cccc) (-2) & (-3) & (0) & (9) \end(array)\right), F=\left(1\right).$

Soluţie:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (1) & (19) \\ (-3) & (2) & (1) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(array)\right)$ - matrice pătrată;

$B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (-4) & (3) \\ (0) & (5) & (-4) \end(array)\right)$ - matrice dreptunghiulară;

$C=\left(\begin(array)(c) (1) \\ (-4) \\ (5) \end(array)\right)$ - vector coloană; $D=\left(\begin(array)(cccc) (-2) & (-3) & (0) & (9) \end(array)\right)$ - vector rând;

$F=\left(1\right)$ este un scalar.

Matrice pătrată are o diagonală principală și secundară și:

• Elementele diagonalei principale sunt situate pe o linie care este îndreptată din colțul din stânga sus al matricei (element $a_(11) $) către colțul din dreapta jos al matricei (element $a_(nn) $);
• Elementele diagonalei secundare sunt situate pe o linie care este îndreptată din colțul din dreapta sus al matricei (element $a_(1n) $) către colțul din stânga jos al matricei (element $a_(n1) $).

Matricea diagonală este o matrice pătrată în care toate elementele situate în afara diagonalei principale sunt egale cu zero.

Matricea identitară este o matrice diagonală în care toate elementele situate pe diagonala principală sunt egale cu unul; o astfel de matrice poate fi utilizată pentru transpunere. Notație matriceală de identitate: $E$.

Matrice nulă este o matrice în care toate elementele sunt egale cu zero.

Matrice triunghiulară este o matrice pătrată ale cărei elemente sub sau deasupra diagonalei principale sunt egale cu zero.

Nota 2

Există matrici triunghiulare superioare și matrici triunghiulare inferioare. În primul caz, elementele zero sunt situate sub diagonala principală, în al doilea caz - deasupra diagonalei principale.

Exemplul 3

Matrici date:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (0) & (2) & (0) \\ (0) & (0) & (3) ) \end(array)\right), B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (-2) & (2) & (0) \\ (1) și (4) și (3) \end(array)\right), C=\left(\begin(array)(ccc) (3) și (5) și (2) \\ (0) și (2) și (-1) \\ (0) și (0) și (3) \end(array)\right), E=\left(\begin(array)(ccc) (1) și (0) & (0) \\ (0) & (1) & (0) \\ (0) & (0) & (1) \end(array)\right), D=\left(\begin(array)( ccc) (0) și (0) și (0) \\ (0) și (0) și (0) \\ (0) și (0) și (0) \end(array)\right).$

Determinați tipul fiecărei matrice.

Soluţie:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (0) & (2) & (0) \\ (0) & (0) & (3) ) \end(array)\right)$ - matrice diagonală;

$B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (-2) & (2) & (0) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(array)\right)$ - matrice triunghiulară inferioară;

$C=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (5) & (2) \\ (0) & (2) & (-1) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(array)\right)$ - matrice triunghiulară superioară;

$E=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (0) \\ (0) & (1) & (0) \\ (0) & (0) & (1 ) \end(array)\right)$ - matrice de identitate;

$D=\left(\begin(array)(ccc) (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) ) \end(array)\right)$ este o matrice zero.