Caracteristicile cifrelor Cifra 1 - roșu. Punctul realității, baza, nucleul întregii suprastructuri digitale, care determină genul acestui sau al acelui flux de energie. Scopul numărului 1 este de a determina semnificația, importanța și greutatea realității apărute. Deci, în lumea afacerilor

„Dovezi magice” sau „Dovezi magice” „Ești o persoană rea!” Sau: „El este un om rău” Sau: „El este om bun! " Sau: „Ești o persoană bună!” Alege! Ce preferi? Nu este amuzant să urmărești „dansurile ritualuri Zulu pe

5.2. Pătrate magice în Chaturanga. Chaturanga ca ghicitor 5.2.1 Despre magia numerelor. Ce sunt pătratele magice Puteți spune multe despre magia numerelor. De exemplu, la începutul acestui studiu, am menționat deja numărul 4. Se pot spune multe despre acest lucru

5.2.2. Pătrate magice în Chaturanga 5.2.2.1 Magia unui pătrat nemagic Este curios că cel mai simplu (nemagic) pătrat 5 × 5, unde numerele merg doar unul câte unul - de la 1 la 25, poate avea și proprietăți neobișnuite. Deci, în acest pătrat simplu, suma „Crucii elefantului”

PIAȚELE MAGICE

Un pătrat magic sau magic este un tabel pătrat umplut cu numere în așa fel încât suma numerelor din fiecare rând, fiecare coloană și pe ambele diagonale să fie aceeași.

Suma numerelor din fiecare rând, coloană și pe diagonale se numește constantă magică, M.

Cea mai mică constantă magică a unui pătrat magic 3x3 este 15, un pătrat 4x4 este 34, un pătrat 5x5 este 65,

Dacă într-un pătrat sumele de numere doar pe rânduri și coloane sunt egale, atunci se numește semi-magică.

Construiește un pătrat magic 3 x 3 cu cel mai mic

constantă magică

Găsiți cea mai mică constantă magică a pătratului magic 3x3

Într-o singură direcție

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M = 15.

Numărul scris în mijlocul 15 : 3 = 5

Am stabilit că la mijloc, numărul 5 era scris.

unde n este numărul de linii

Dacă puteți construi un singur pătrat magic, atunci nu este dificil să construiți un număr dintre ele. De aceea, amintiți-vă tehnicile de construcție

pătrat magic 3x3 cu constantă 15.

Într-o singură direcție construi. Plasați mai întâi numerele pare în colțuri

2,4,8,6 și la mijloc 5. Restul procesului este aritmetică simplă

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

În 2 sensuri soluții

Folosind pătratul magic găsit cu o constantă de 15, puteți seta o varietate de sarcini diverse:

Exemplu. Construiți noi pătrate magice diferite de 3 x 3

Soluţie.

Adăugând fiecare număr în pătratul magic sau înmulțindu-l cu același număr, obținem un nou pătrat magic.

Exemplul 1. Construiți un pătrat magic 3 x 3 cu numărul mijlociu 13.

Soluţie.

Să construim o magie familiară

pătrat cu constantă 15.

Găsiți numărul care se află

în mijlocul pătratului necesar

13 – 5 = 8.

Pentru fiecare număr magic

adăugați pătratele cu 8.

Exemplul 2. Umpleți celulele magiei

pătrate, cunoscând constanta magică.

Soluţie. Găsiți numărul

scris la mijloc 42: 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

sarcini pentru soluție independentă

Exemple.1. Umpleți celule de pătrate magice cu magie

constanta M = 15.

1) 2) 3)

2. Găsiți constanta magică a pătratelor magice.

1) 2) 3)

3. Completați celulele pătratelor magice, cunoscând constanta magică

1) 2) 3)

M = 24 M = 30 M = 27

4 . Construiți un pătrat magic 3x3 știind că este constantă magică

este egal cu 21.

Soluţie. Să ne amintim cum este construit un pătrat magic 3x3 în funcție de cel mai mic

constantă 15. Numerele pare sunt scrise în câmpurile extreme

2, 4, 6, 8, iar în mijloc există un număr 5 (15 : 3).

Conform condiției, este necesar să construim un pătrat folosind constanta magică

21. În centrul pătratului necesar ar trebui să fie numărul 7 (21 : 3).

Să aflăm cu cât este mai mare fiecare termen al pătratului necesar

fiecare termen cu cea mai mică constantă magică 7 - 5 = 2.

Construim pătratul magic necesar:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. Construiți pătrate magice de 3x3 cunoscând constantele lor magice

M = 42 M = 36 M = 33

M = 45 M = 40 M = 35

Construiește un pătrat magic 4 x 4 cu cel mai mic

constantă magică

Găsiți cea mai mică constantă magică a unui pătrat magic 4x4

și numărul din mijlocul acestui pătrat.

Într-o singură direcție

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = 17 x 8 = 136

136: 4= 34.

unde n este numărul de rânduri n = 4.

Suma numerelor pe orice linie orizontală,

verticală și diagonală este de 34.

Această sumă se găsește și în toate

pătrate de colț 2 × 2, în centru

pătrat (10 + 11 + 6 + 7) pătrat de

celule de colț (16 + 13 + 4 + 1).

Pentru a construi orice pătrate magice 4x4, trebuie să: construiești unul

cu constanta 34.

Exemplu. Construiți noi pătrate magice diferite de 4 x 4.

Soluţie.

Adăugarea fiecărui număr găsit

pătrat magic 4 x 4 sau

multiplicându-l cu același număr,

obținem un nou pătrat magic.

Exemplu. Construiește magie

pătrat 4 x 4, care are o magie

constanta este 46.

Soluţie. A construit o magie familiară

pătrat cu constantă 34.

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

Pentru fiecare număr din pătratul magic

se adaugă câte 3.

Înainte de a continua cu soluția de exemple mai complexe pe pătratele magice 4 x 4, verificați din nou proprietățile pe care le posedă dacă M = 34.

Exemple.1. Umpleți celulele pătratului magic cu magie

constanta M = 38.

n = 38- (10 + 7 + 13) = 8 d = 38- (17 + 4 + 11) = 6 b = 38- (17 + 4 + 14) = 3

e = 38- (12 + 7 + 8) = 11 p = 38- (17 + 6 + 10) = 5 c = 38- (3 + 12 + 8) = 15

b = 38- (11 + 7 + 16) = 4 d = 38- (5 + 7 + 12) = 14 k = 38- (6 + 11 + 12) = 9

proprietate 1,3,1 proprietăți 2,1,1 t = 38- (14 + 9 + 13) = 2

proprietăți 1,1,1,1

Răspuns.

Sarcini de auto-ajutor

Umpleți celulele pătratului magic cu dacă magia este cunoscută

constant

K = 46 K = 58 K = 62

Faceți cunoștință cu pătratele magice 5x5 și 6x6

M = = = 65. M = = = 111.

Mulți au auzit cel puțin din calea pătratului magic (VK). Cu toate acestea, nu toată lumea știe ce este, cum să o rezolve și cum funcționează. Doriți să obțineți răspunsuri la aceste întrebări? Citiți acest articol!

Pătratul magic este un tabel pătrat special cu câte un număr întreg în fiecare celulă. Suma numerelor dintr-un astfel de tabel de-a lungul oricărui rând, coloană și diagonală va fi egală cu o coloană specifică. Să presupunem că avem un pătrat:

Pentru a fi convins de proprietățile sale „magice”, trebuie să găsiți sumele a 3 numere de-a lungul verticalei, orizontalei și diagonalei:

Puteți observa că, indiferent de modul în care adăugăm, numărul „15” va apărea în continuare. Aceasta înseamnă că acest pătrat este magic. Cu siguranță mulți dintre voi aveți un gând în cap: „Care este secretul? Cum funcționează pătratul magic? " Voi încerca să răspund la această întrebare.

Mulți cred că proprietățile VK se datorează unui fel de magie, miracole, forțe mistice. Dar trebuie să dezamăgesc imediat astfel de oameni. Nu există magie în acest fenomen. Totul se bazează pe o ecuație specială.

Constanta magica

De regulă, înainte de a crea un VC, este necesar să se calculeze așa-numita „constantă magică” (MK). Constanta magică este numărul pe care îl vom obține atunci când însumăm numerele pătratului. Puteți calcula MK folosind o ecuație destul de simplă:
MK = (n * (n 2 + 1)): 2

Conform termenilor ecuației, n este un număr care indică numărul de rânduri sau coloane dintr-un tabel pătrat. Pentru claritate, folosind această ecuație, calculăm MK pentru o masă pătrată de 3x3 (ați putea vedea acest pătrat mai sus).

• MK = (3 * (3 2 + 1)): 2
• MK = (3 * (9 + 1)): 2
• MK = (3 * 10): 2
• MK = 30: 2
• MK = 15

Este demn de remarcat faptul că există pătrate magice incomplete (semi-magice). Acesta este numele VC, care a pierdut unele dintre proprietățile „magice”. De exemplu, dacă sumele numerelor de pe diagonală nu sunt egale cu o constantă, atunci un astfel de pătrat va fi numit semi-magic.

După calcularea constantei folosind o ecuație, puteți începe să construiți un pătrat. Pentru a crea un CV, trebuie să vă ghidați după o succesiune clară de acțiuni.

Dacă numărul a ieșit dincolo de partea dreaptă a tabelului pătrat, scrieți acest număr în cea mai îndepărtată celulă a rândului corespunzător.

• A doua excepție

Dacă numărul a depășit linia superioară a tabelului pătrat, scrieți acest număr în celula inferioară a coloanei corespunzătoare.

• A treia excepție

Dacă numărul cade pe celula ocupată, scrieți-l sub numărul înregistrat anterior.

Privind imaginea, puteți vedea că, conform principiului „o linie în sus, o coloană la dreapta”, ar trebui să punem numărul „4” în centrul coloanei de sus. Dar nu putem face acest lucru, deoarece celula este deja ocupată de numărul „1”. Prin urmare, noi, folosind „a treia excepție”, punem „4” sub numărul înregistrat anterior („3”).

Linia de fund.

Am examinat elementele de bază și crearea unui VC și am dezasamblat procesul de construcție folosind exemplul celui mai simplu pătrat 3x3. Puteți crea pătrate mai complexe și mai mari. Principalul lucru de reținut este că toate VC-urile sunt create în conformitate cu principii similare.

Există multe CV-uri în lume. De-a lungul mileniilor, înțelepții, filosofii și matematicienii antici au creat noi varietăți de pătrate (Yang Hui, Khajuraho, Albrecht Durer, Henry Dudeny și Allan Johnson Jr. etc.). În mod remarcabil, toate sunt concepute folosind aceeași ecuație descrisă în acest articol.

Soiurile VC includ pătrate magice incomplete.

Primul VK (numit pătratul Lo Shu) a fost văzut în 2200 î.Hr. NS. în China antică. Pătratul a fost desenat pe coaja broaștei țestoase. Înțelepții antici considerau VK un model de spațiu și sperau că cu ajutorul pătratului magic ar fi posibil să se rezolve probleme la scară universală. Dar, din câte știm, de fapt, nu există nici un miracol în acest sens, totul se face folosind o ecuație specială.

Cu toate acestea, în ciuda acestui fapt, Luo Shu este folosit în numerologie până în prezent. Numerele care indică data nașterii unei persoane se află în celulele unui tabel pătrat. Numerele sunt apoi decodate în funcție de locație și semnificație.

Lo Shu este utilizat în mod activ în practica Feng Shui. Cu ajutorul său, zonele cele mai favorabile sunt determinate în funcție de o anumită perioadă de timp.

VK este folosit și ca puzzle. Cu siguranță ați întâlnit adesea un astfel de puzzle în timp ce citiți un ziar, dar pur și simplu nu v-ați concentrat asupra acestuia. Piața magică amintește oarecum de popularul joc japonez - Sudoku. VK este unul dintre cele mai vechi și mai vechi puzzle-uri din lume. Uneori, disputele apar între oamenii de știință cu privire la ceea ce a apărut mai devreme - Sudoku sau VK. Rezolvarea pătratelor magice, ca și alte puzzle-uri, este utilă pentru stimularea activității creierului. Folosind ecuația de mai sus, vă puteți crea propriul puzzle.

Videoclip despre cum funcționează pătratul magic

PIAȚELE MAGICE

China este considerată locul de naștere al pătratelor magice. În China, există o predare Feng Shui, conform căreia culoarea, forma și locația fizică a fiecărui element din spațiu afectează fluxul Qi, încetinindu-l, redirecționându-l sau accelerându-l, ceea ce afectează direct nivelul de energie al locuitori. Pentru cunoașterea secretelor lumii, zeii i-au trimis împăratului Yu (Yu) cel mai vechi simbol, piața Lo Shu (Lo - râul).

PIAȚA MAGICĂ A LO SHU

Legenda spune că acum aproximativ patru mii de ani, o țestoasă mare Shu a ieșit din apele furtunoase ale râului Lo. Oamenii care se sacrifică râului au văzut broasca țestoasă și au recunoscut-o imediat ca o zeitate. Considerațiile vechilor înțelepți i s-au părut atât de rezonabile împăratului Yu încât a ordonat să imortalizeze imaginea unei broaște țestoase pe hârtie și să o fixeze cu sigiliul său imperial. În caz contrar, cum am ști despre acest eveniment?

Această broască țestoasă a fost de fapt specială, deoarece avea un model ciudat de puncte pe coajă. Punctele au fost desenate într-un mod ordonat, ceea ce i-a determinat pe filosofii antici să creadă că pătratul cu numerele de pe coaja broaștei țestoase servea drept model de spațiu - o hartă a lumii întocmită de miticul fondator al civilizației chineze Huang Di. Într-adevăr, suma numerelor pe coloane, rânduri și ambele diagonale ale pătratului este aceeași M = 15 și este egală cu numărul de zile din fiecare dintre cele 24 de cicluri chinezești anul solar.

Numerele pare și impare alternează: în plus, 4 numere pare (scrise de jos în sus în ordine descrescătoare) sunt în cele patru colțuri, iar 5 numere impare (scrise de jos în sus în ordine crescătoare) formează o cruce în centrul pătratului . Cele cinci elemente ale crucii reprezintă pământul, focul, metalul, apa și pădurea. Suma oricăror două numere separate de centru este egală cu numărul Ho Ti, adică zece.

Numere pare (simboluri ale Pământului) Lo Shu au fost înscrise pe corpul broaștei țestoase sub formă de puncte negre, sau simboluri Yin, iar numerele impare (simboluri ale Raiului) erau sub formă de puncte albe, sau simboluri Yang. Pământul 1 (sau apa) este dedesubt, focul 9 (sau cerul) este deasupra. Este posibil ca imaginea modernă a numărului 5, plasată în centrul compoziției, să se datoreze simbolului chinez al dualității Yang și Yin.

PIAȚA MAGICĂ DIN KHAJURAHO

Camera de est

Magia lui Joseph Rudyard Kipling, care a creat imaginile lui Mowgli, Bagheera, Baloo, Sher Khan și, desigur, Tabaka, a început în ajunul secolului al XX-lea. Cu o jumătate de secol mai devreme, în februarie 1838, un tânăr ofițer bengali britanic trupe de inginerie T.S. Bert, interesat de conversația servitorilor care-i purtau palanchinul, s-a abătut de pe traseu și a dat peste templele antice din jungla Indiei.

Pe treptele templului Vishvanatha, ofițerul a găsit o inscripție care mărturisește vechimea structurilor. La scurt timp, energicul general-maior A. Cunningham a elaborat planuri detaliate pentru Khajuraho. Au început săpăturile, care au culminat cu descoperirea senzațională a 22 de temple. Au fost ridicate templele Maharaja din dinastia Chandela. După prăbușirea regatului lor, jungla a consumat clădirile timp de o mie de ani. Găsit printre imaginile zeilor și zeițelor goale, un pătrat de ordinul patru a fost uimitor.

Nu numai că acest pătrat avea același rând, coloană și sume diagonale și era egal cu 34. Au coincis și de-a lungul diagonalelor rupte formate atunci când pătratul a fost pliat într-un tor și în ambele direcții. Pentru o astfel de vrăjitorie de numere, astfel de pătrate sunt numite „diavolesc” (sau „pandiagonal” sau „nasik”).

Fără îndoială, acest lucru a mărturisit abilitățile matematice neobișnuite ale creatorilor lor, superioare coloniștilor. Ceea ce simțeau inevitabil oamenii cu căști de plută albă.

PIAȚA MAGICĂ A DURERULUI

Celebrul artist german de la începutul secolului al XVI-lea Albrecht Durer a compilat primul pătrat magic 4x4 din arta europeană. Suma numerelor din orice rând, coloană, diagonală și, de asemenea, în mod surprinzător, în fiecare trimestru (chiar și în pătratul central) și chiar suma numerelor unghiulare este 34. Cele două numere de mijloc din rândul de jos indică data a picturii (1514). Corecțiile au fost făcute în pătratele din mijlocul primei coloane - numerele sunt deformate.

În imaginea cu șoarece ocult cu aripi Saturn, pătratul magic este compus din mintea înaripată a lui Jupiter, care se opun reciproc. Pătratul este simetric, deoarece suma oricăror două numere incluse în el, situate simetric în jurul centrului său, este 17. Dacă adăugați cele patru numere obținute prin mutarea unui cavaler de șah, acesta va fi 34. Într-adevăr, acest pătrat reflectă melancolia care l-a cuprins pe artist prin ordinea sa impecabilă.

Somn de dimineață.

Scriitorul și lingvistul bizantin Moshopoulos i-a introdus pe europeni în numeroase pătrate uimitoare. Opera sa a fost un eseu special pe această temă și a conținut exemple de pătrate magice ale autorului.

SISTEMATIZAREA PĂCĂTĂRILOR MAGICE

V mijlocul XVI v. în Europa au apărut lucrări în care pătratele magice au apărut ca obiecte de cercetare matematică. Au urmat multe alte lucrări, în special astfel de cunoscuți matematicieni, fondatori stiinta moderna precum Stiefel, Basche, Pascal, Fermat, Bessie, Euler, Gauss.

Magic, sau pătratul magic este un tabel pătrat umplut cu n 2 numere în așa fel încât suma numerelor din fiecare rând, fiecare coloană și pe ambele diagonale să fie aceeași. Definiția este condiționată, deoarece vechii au atribuit și sens, de exemplu, culorii.

Normal numit pătrat magic umplut cu numere întregi de la 1 la n 2. Pătratele magice normale există pentru toate ordinele, cu excepția n = 2, deși cazul n = 1 este banal - pătratul este format dintr-un număr.

Se numește suma numerelor din fiecare rând, coloană și diagonală constantă magică M. Constanta magică a pătratului magic normal depinde doar de n și este determinată de formulă

M = n (n 2 + 1) / 2

Primele valori ale constantelor magice sunt prezentate în tabel

Dacă într-un pătrat sumele de numere numai pe rânduri și coloane sunt egale, atunci se numește semi-magic... Se numește pătratul magic asociativ sau simetric dacă suma oricăror două numere situate simetric în jurul centrului pătratului este egală cu n 2 + 1.

Există un singur pătrat normal de ordinul trei. Multe națiuni l-au cunoscut. Aranjamentul numerelor în pătratul Lo Shu este similar cu desemnările simbolice ale spiritelor din Cabala și cu semnele astrologiei indiene.

Cunoscut și sub numele de pătratul lui Saturn. Unele societăți secrete din Evul Mediu au văzut în ea „Cabala celor Nouă Camere”. Fără îndoială, nuanța magiei interzise a însemnat mult pentru păstrarea imaginilor sale.

Era important în numerologia medievală, adesea folosită ca amuletă sau ghicitoare. Fiecare celulă corespunde unei litere mistice sau unui alt simbol. Citite împreună de-a lungul unei linii specifice, aceste semne transmiteau mesaje oculte. Numerele care alcătuiesc data nașterii au fost plasate în celulele pătratului și apoi descifrate în funcție de semnificația și locația numerelor.

Dintre pandiagonal, așa cum se mai numește, se disting pătrate magice diabolice, simetrice - ideale. Un pătrat diavolesc rămâne diavolesc dacă îl rotiți, îl reflectați, rearanjați rândul de sus în jos și invers, tăiați coloana spre dreapta sau spre stânga și atribuiți-o pe partea opusă. În total, se disting cinci transformări, schema celei din urmă este prezentată în figură

Există 48 de pătrate diabolice 4 × 4 cu precizie pentru rotații și reflexii. Dacă luăm în considerare și simetria în ceea ce privește traducerile paralele torice, atunci există doar trei pătrate diabolice esențial diferite 4 × 4:

Claude F. Bragdon, un renumit arhitect american, a descoperit că, prin conectarea celulelor una după alta, cu doar un număr par sau numai impar de pătrate magice ale liniei întrerupte, în majoritatea cazurilor obținem un model elegant. Modelul pe care l-a inventat pentru grătarul de ventilație din tavanul Camerei de Comerț din Rochester, New York, unde locuia, a fost construit din linia magică ruptă a talismanului Lo-Shu. Bragdon a folosit „liniile magice” ca modele pentru țesături, coperte de cărți, decorațiuni arhitecturale și căști decorative.

Dacă așezăm un mozaic din pătrate diabolice identice (fiecare pătrat trebuie să se alăture vecinilor săi), atunci obținem ceva asemănător unui parchet, în care numerele din orice grup de celule 4x4 vor forma un pătrat diavolesc. Numerele din patru celule, care se succed una după alta, indiferent de modul în care acestea sunt situate - vertical, orizontal sau diagonal - se adaugă întotdeauna la constanta pătratului. Matematicienii moderni numesc aceste pătrate „perfecte”.

PIAȚA LATINĂ

Pătratul latin este un fel de pătrate matematice neregulate umplute cu n simboluri diferite, astfel încât toate n simbolurile să apară în fiecare rând și în fiecare coloană (fiecare o dată).

Pătrate latine există pentru orice n. Orice pătrat latin este tabelul de înmulțire (tabelul Cayley) al unui cvasigrup. Numele „pătrat latin” provine de la Leonard Euler, care a folosit litere latine în loc de cifre în tabel.

Cele două pătrate latine sunt numite ortogonal, dacă toate perechile ordonate de simboluri (a, b) sunt diferite, unde a este un simbol într-o celulă a primului pătrat latin și b este un simbol în aceeași celulă a celui de-al doilea pătrat latin.

Pătrate latine ortogonale există pentru orice ordine, cu excepția 2 și 6. Pentru n fiind gradul număr prim există un set de n - 1 pătrate latine ortogonale perechi. Dacă în fiecare diagonală a unui pătrat latin toate elementele sunt diferite, se numește un astfel de pătrat latin diagonală... Perechile de pătrate latine diagonale ortogonale există pentru toate ordinele, cu excepția 2, 3 și 6. Pătratul latin este adesea întâlnit în problemele de planificare, deoarece numerele nu se repetă în rânduri și coloane.

Se numește un pătrat de perechi de elemente a două pătrate latine ortogonale Pătrat greco-latin... Aceste pătrate sunt adesea folosite pentru a construi pătrate magice și în probleme avansate de planificare.

În ceea ce privește pătratele greco-latine, Euler a demonstrat că nu există pătrate de ordinul doi, dar au fost găsite pătrate de 3, 4 și 5 ordine. Nu a găsit niciun pătrat de ordinul 6. El a emis ipoteza că nu există pătrate de ordine pare care să nu fie divizibile cu 4 (adică 6, 10, 14 etc.). În 1901, forța brută Gaston Terry a confirmat ipoteza pentru ordinul 6. Dar în 1959, ipoteza a fost infirmată de E.T.

POLIMINO ARTURA CLARK

Polyomino - din punct de vedere al complexității sale, desigur, aparține categoriei celor mai dificile pătrate matematice. Iată cum scrie scriitorul de science fiction A. Clark despre el - mai jos este un extras din cartea „Imperiul Pământului”. Evident, Clark, locuind pe insula sa, a trăit în Ceylon - și filosofia sa de separare de societate este interesantă în sine, a fost lăsat lăsat de distracțiile pe care le învață bunica băiatului și ni le-a transmis. Să preferăm această descriere vie decât sistematizările existente, care transmit, poate, esența, dar nu spiritul jocului.

„Ești un băiat suficient de mare, Duncan, pentru a înțelege acest joc ... dar este mult mai mult decât un joc. Contrar spuselor bunicii sale, Duncan nu a fost impresionat de joc. Ce poți face cu cinci pătrate albe din plastic?

- În primul rând, - a continuat bunica, - trebuie să verificați câte modele diferite puteți pune împreună din pătrate.

- Și în același timp ar trebui să se întindă pe masă? Întrebă Duncan.

- Da, ar trebui să fie în contact. Nu puteți suprapune un pătrat cu altul.

Duncan începu să aranjeze pătratele.

„Ei bine, le pot pune pe toate în linie dreaptă,” a început el. „Așa ... Și apoi pot schimba două bucăți și să iau litera L ... Și dacă iau cealaltă margine, primesc scrisoarea U ...

Băiatul a făcut repede o jumătate de duzină de combinații și apoi a descoperit brusc că le repetă pe cele existente.

„Poate că sunt prost, dar atât.

Duncan a ratat cea mai simplă dintre figuri - crucea, pentru a crea pe care a fost suficient să întindă patru pătrate pe laturile celei de-a cincea, centrale.

„Cei mai mulți oameni încep cu crucea", a zâmbit bunica. „Cred că te grăbeai să te declari prost. Mai bine gândiți-vă: ar putea exista și alte figuri?

Duncan a găsit încă trei forme, mișcând pătratele concentrate, apoi a încetat să mai caute.

„Acum este sigur totul”, a spus el cu încredere.

- Ce spui despre o astfel de figură?

Mișcând ușor pătratele, bunica mea le-a împăturit într-o asemănare cu o literă F. cu cocoașă.

- Și iată altul.

Duncan se simțea ca ultimul idiot, iar cuvintele bunicii zăceau ca un balsam pe sufletul lui jenat:

- Ești grozav. Gândește-te doar că am ratat doar două cifre. Și numărul total de cifre este de douăsprezece. Nici mai mult, nici mai puțin. Acum le știi pe toate. Căutați pentru totdeauna - nu veți mai găsi unul.

Bunica a măturat cinci pătrate albe într-un colț și a așezat pe masă o duzină de bucăți de plastic viu colorate. Acestea erau aceleași douăsprezece cifre, dar deja în forma terminată, și fiecare a constat din cinci pătrate. Duncan era pe punctul de a fi de acord că nu existau cu adevărat alte figuri.

Dar, din moment ce bunica a așezat aceste dungi multicolore, înseamnă că jocul continuă și o altă surpriză îl aștepta pe Duncan.

„Acum, Duncan, ascultă cu atenție. Aceste cifre se numesc „pentominoe”. Numele provine din cuvântul grecesc „penta”, care înseamnă „cinci”. Toate cifrele sunt egale ca suprafață, deoarece fiecare este format din cinci pătrate identice. Există douăsprezece cifre, cinci pătrate, prin urmare, suprafața totală va fi egală cu șaizeci de pătrate. Dreapta?

- MMM da.

- Ascultă mai departe. Sixty este un număr rotund minunat care poate fi compus în mai multe moduri. Cel mai ușor este să înmulțești zece cu șase. Această casetă are o astfel de zonă: pe orizontală, zece pătrate se potrivesc în ea și șase pe verticală. Prin urmare, toate cele douăsprezece figuri trebuie să se încadreze în ea. La fel de simplu ca o imagine de puzzle compusă.

Duncan se aștepta la o captură. Bunica iubea paradoxurile verbale și matematice și nu toate erau conceptul victimei sale de zece ani. Dar de data aceasta nu au existat paradoxuri. Fundul cutiei era căptușit cu șaizeci de pătrate, așa că ... Oprește-te! Pătratul este o zonă, dar figurile au contururi diferite. Încercați să le puneți într-o cutie!

- Vă las această problemă pentru propria decizie, - a anunțat bunica, văzând cum mișcă din păcate pentamino de-a lungul fundului cutiei - Crede-mă, pot fi colectate.

Curând, Duncan a început să se îndoiască profund de cuvintele bunicii sale. A reușit cu ușurință să încapă zece figuri în cutie și, odată, a reușit să strângă în a unsprezecea. Dar conturul spațiului gol nu a coincis cu contururile celei de-a douăsprezecea figuri, pe care băiatul o învârtea în mâini. Era o cruce, iar figura rămasă semăna cu litera Z ...

După încă o jumătate de oră, Duncan era deja la un pas de disperare. Bunica intra în dialog cu computerul ei, dar din când în când o privea cu interes, ca și când ar spune: „Nu este atât de ușor pe cât credeai”.

La zece ani, Duncan s-a remarcat prin încăpățânarea sa. Majoritatea colegilor săi ar fi renunțat să mai încerce demult. (Abia după câțiva ani și-a dat seama că bunica lui efectuează cu grație un test psihologic cu el.) Duncan a rezistat fără asistență timp de aproape patruzeci de minute ...

Apoi bunica s-a ridicat de pe computer și s-a aplecat asupra puzzle-ului. Degetele ei mișcau formele U, X și L ...

Partea de jos a cutiei a fost complet umplută! Toate piesele puzzle-ului sunt la locul lor.

- Desigur, știai din timp răspunsul! Spuse Duncan cu resentimente.

- Răspuns? - a întrebat bunica - Și ce crezi, în câte moduri se pot pune pentominoii în această cutie?

Iată-l, capcana. Duncan a petrecut aproape o oră fără să găsească o soluție, deși în acest timp a încercat cel puțin o sută de opțiuni. A crezut că există o singură cale. Și pot fi ... doisprezece? Sau mai mult?

- Deci, în ce feluri crezi că pot exista? Întrebă din nou bunica.

- Douăzeci, a izbucnit Duncan, crezând că bunicii nu i-ar deranja acum.

- Încearcă din nou.

Duncan a simțit pericolul. Distracția s-a dovedit a fi mult mai vicleană decât credea, iar băiatul a decis cu înțelepciune să nu-l riște.

- De fapt, nu știu, spuse el clătinând din cap.

„Și tu ești un băiat sensibil, zâmbi din nou bunica.„ Intuția este un ghid periculos, dar uneori nu avem altul. Vă pot mulțumi: este imposibil să ghiciți răspunsul corect aici. Există peste două mii de moduri diferite de a pune pentominoii în această casetă. Mai exact, două mii trei sute treizeci și nouă. Și ce spui la asta?

Este puțin probabil ca bunica lui să-l înșele. Dar Duncan a fost atât de zdrobit de incapacitatea sa de a găsi o soluție, încât nu a putut rezista și a izbucnit:

- Nu cred!

Helene arăta rareori iritare. Când Duncan a jignit-o într-un fel, a devenit pur și simplu rece și detașată. Cu toate acestea, acum bunica tocmai a rânjit și a atins ceva de pe tastatura computerului.

- Aruncă o privire aici, sugeră ea.

Un set de doisprezece pentominoe multicolore a apărut pe ecran, umplând un dreptunghi zece pe șase. Câteva secunde mai târziu, a fost înlocuită cu o altă imagine, unde piesele, cel mai probabil, erau amplasate într-un mod diferit (Duncan nu putea spune cu siguranță, deoarece nu-și amintea prima combinație). În curând imaginea s-a schimbat din nou, apoi din nou și din nou ... Acest lucru a continuat până când bunica a oprit programul.

„Chiar și la viteză mare, va fi nevoie de un computer cinci ore pentru a trece peste toate metodele", a explicat bunica. „Poți să mă crezi pe cuvânt: toate sunt diferite. Dacă nu ar fi computerele, mă îndoiesc că oamenii ar fi găsit toate metodele cu enumerarea obișnuită a opțiunilor.

Duncan se uită lung la douăsprezece figuri înșelătoare de simple. A digerat încet cuvintele bunicii sale. Aceasta a fost prima revelație matematică din viața sa. Ceea ce el a considerat atât de nesăbuit ca o joacă obișnuită pentru copii, a început brusc să se desfășoare în fața lui cărări și orizonturi nesfârșite, deși chiar și cel mai înzestrat copil de zece ani cu greu ar fi putut să simtă nemărginirea acestui univers.

Dar atunci încântarea și temerea lui Duncan au fost pasive. Explozia reală a plăcerii intelectuale a venit mai târziu, când și-a găsit în mod independent prima modalitate de a stiva pentaminoii. Săptămâni întregi, Duncan a purtat cu el o cutie de plastic peste tot. El și-a petrecut tot timpul liber doar pe pentaminoe. Cifrele devin prietenii personali ai lui Duncan. Le-a numit după literele pe care le semănau, deși în unele cazuri asemănarea era mai mult decât îndepărtată. Cinci figuri - F, I, L, P, N au ieșit din ordine, în timp ce celelalte șapte au repetat succesiunea alfabetului latin: T, U, V, W, X, Y, Z.

Odată, într-o stare de transă geometrică sau de extaz geometric care nu se mai repeta, Duncan a găsit cinci opțiuni de stil în mai puțin de o oră. Poate că chiar și Newton, Einstein sau Chen Tzu, în momentele lor de adevăr, nu au simțit o afinitate mai mare cu zeii matematicii decât Duncan Mackenzie.

Curând și-a dat seama, și el însuși, fără indicațiile bunicii sale, că pentomino poate fi așezat într-un dreptunghi cu diferite dimensiuni laterale. Destul de ușor, Duncan a găsit mai multe opțiuni pentru dreptunghiurile 5 cu 12 și 4 cu 15. Apoi a chinuit o săptămână întreagă, încercând să conducă doisprezece figuri într-un dreptunghi mai lung și mai îngust, 3 la 20. Din nou și din nou, a început să completeze insidiosul spațiu și ... obțineți găuri în dreptunghi și figuri „suplimentare”.

Copleșit, Duncan a făcut o vizită bunicii sale, unde îl aștepta o nouă surpriză.

„Mă bucur pentru experimentele voastre", a spus Helene. „Ați explorat toate posibilitățile, încercând să deduceți un model general. Așa fac întotdeauna matematicienii. Dar vă înșelați: există încă soluții pentru un dreptunghi de trei pe douăzeci. Există doar două dintre ele, iar dacă găsești una, o vei putea găsi pe a doua.

Inspirat de laudele bunicii sale, Duncan și-a continuat „vânătoarea de pentamino” cu vigoare reînnoită. După încă o săptămână, a început să înțeleagă ce încărcătură copleșitoare pusese pe umerii săi. Duncan a fost copleșit de numărul de moduri în care puteau fi aranjate douăsprezece figuri. Mai mult, fiecare figură avea patru poziții!

Și din nou a venit la bunica lui, expunându-i toate dificultățile. Dacă ar exista doar două opțiuni pentru un dreptunghi de 3 pe 20, cât ar dura să le găsim?

„Dacă te rog, îți răspund", a spus bunica. „Dacă te-ai comporta ca un computer fără creier, făcând o triere simplă a combinațiilor și cheltuind o secundă pentru fiecare, ai avea nevoie de ..." Aici s-a oprit în mod deliberat. mai mult de șase milioane ... da, peste șase milioane de ani.

Terestru sau Titan? Această întrebare a apărut instantaneu în mintea lui Duncan. Cu toate acestea, care este diferența?

„Dar ești diferit de un computer fără creier”, a continuat bunica. Încearcă din nou.

Duncan s-a supus, acum fără entuziasm și încredere în succes. Și apoi i-a venit o idee strălucită.

Karl s-a interesat imediat de pentomino și a acceptat provocarea. Luă cutia cu figuri de la Duncan și dispăru câteva ore.

Când Karl la sunat, prietenul său părea oarecum supărat.

- Sunteți sigur că această problemă are într-adevăr o soluție? - el a intrebat.

- Absolut sigur. Sunt doi. Nu ai găsit măcar unul? Am crezut că ești bun la matematică.

- Imaginează-ți, înțeleg, de aceea știu ce fel de muncă merită sarcina ta. Trebuie să verificăm ... un milion de miliarde de combinații posibile.

- De unde ai știut că sunt atât de mulți dintre ei? A întrebat Duncan, mulțumit că a reușit cumva să-l facă pe prietenul său să se zgârie în cap confuz.

Karl își făcu ochii cu ochii la o foaie de hârtie umplută cu diagrame și cifre.

„Dacă excludem combinații inacceptabile și luăm în considerare simetria și posibilitatea de rotație ... obținem un factorial ... numărul total de permutări ... tot nu veți înțelege. Mai bine îți arăt numărul în sine.

El a adus o altă foaie la cameră, pe care a fost prezentat un șir impresionant de numere în mare:

1 004 539 160 000 000.

Duncan nu știa nimic despre factoriale, dar Karl nu avea nicio îndoială cu privire la acuratețea calculelor lui Karl. Îi plăcea foarte mult numărul lung.

- Deci ai de gând să renunți la această sarcină? Întrebă Duncan cu atenție.

- Ce mai mult! Voiam doar să vă arăt cât de greu este.

Chipul lui Karl exprima o hotărâre sumbră. După ce a spus aceste cuvinte, a leșinat.

A doua zi, Duncan s-a confruntat cu una dintre cele mai mari răsturnări de viață din copilărie. De pe ecran, fața ticăloasă și dureroasă a lui Karl îl privea. Se simțea că își petrecuse o noapte nedormită.

- Ei bine, asta-i tot, anunță el cu o voce obosită, dar triumfătoare.

Duncan cu greu își putea crede ochilor. I se părea că șansele de succes erau neglijabile. Ba chiar s-a convins de asta. Și dintr-o dată ... În fața lui se întindea un dreptunghi trei la douăzeci, umplut cu toate cele douăsprezece figuri pentamino.

Apoi Karl s-a întors și a întors piesele la capete, plecând Partea centrală intact. Degetele îi tremurau ușor de oboseală.

„Aceasta este a doua decizie", a explicat el. „Și acum mă duc la culcare. Deci noapte bună sau Buna dimineata- asta e ceea ce vrei.

Duncan, rușinat, se uită lung la ecranul estompat. Nu știa pe ce cale mergea Karl, simțind soluția puzzle-ului. Știa însă că prietenul său era câștigătorul. Contrar tuturor.

Nu a invidiat victoria prietenului său. Duncan l-a iubit prea mult pe Karl și s-a bucurat întotdeauna de succesele sale, deși de multe ori s-a dovedit el însuși partea învinsă. Dar în triumful de azi al unui prieten a existat altceva, ceva aproape magic.

Duncan a văzut pentru prima dată puterea intuiției. El a fost confruntat cu misterioasa abilitate a minții de a ieși din fapte și de a arunca deoparte logica interferentă. În câteva ore, Karl a făcut o treabă colosală, depășind cel mai rapid computer.

Ulterior, Duncan a aflat că toți oamenii au astfel de abilități, dar le folosesc rar - poate o dată în viață. Karl a dezvoltat acest dar extraordinar ... Din acel moment, Duncan a început să ia în serios raționamentul prietenului său, chiar și cel mai ridicol și scandalos din punct de vedere al bunului simț.

Asta a fost acum douăzeci de ani. Duncan nu-și amintea unde se duseră piesele de plastic pentomino. Poate că au rămas cu Karl.

Darul bunicii a devenit noua lor încarnare, acum sub formă de bucăți de piatră multicoloră. Uimitorul granit roz pal provenea din dealurile Galileii, obsidianul - de pe platoul Huygens și pseudomarbilul - de pe creasta Herschel. Și printre ei ... la început, Duncan a crezut că se înșală. Nu, așa este: era cel mai rar și mai misterios mineral din Titan. Bunica a făcut crucea de pentamino din piatră din titanit. Acest mineral albastru-negru cu stropi aurii nu poate fi confundat cu nimic. Duncan nu văzuse niciodată piese atât de mari și nu putea decât să ghicească care era valoarea ei.

„Nu știu ce să spun,” mormăi el. „Ce frumusețe. Este pentru prima dată când văd asta.

A îmbrățișat umerii zveltei bunicii și a simțit brusc că tremură și ea nu a putut opri acest tremur. Duncan o ținea ușor în brațe până când umerii lui nu mai tremură. În astfel de momente, cuvintele nu sunt necesare. Duncan a înțeles mai clar decât înainte: a fost ultima iubire din viața devastată a Helen Mackenzie. Și acum zboară, lăsând-o singură cu amintirile.

PIAȚE MAGICE MARI

Matematicianul chinez Yang Hui din secolul al XIII-lea era familiarizat cu triunghiul lui Pascal (triunghiul aritmetic). El a lăsat o prezentare a metodelor de rezolvare a ecuațiilor gradelor 4 și superioare, există reguli pentru rezolvarea completă ecuație pătratică, însumarea progresiilor, tehnici pentru construirea pătratelor magice. El a reușit să construiască un pătrat magic de ordinul șase, iar acesta din urmă sa dovedit a fi aproape asociativ (în el, doar două perechi de numere opuse central nu dau suma 37).

Benjamin Franklin a făcut un pătrat de 16 × 16, care, pe lângă faptul că avea o sumă constantă de 2056 în toate rândurile, coloanele și diagonalele, avea o altă proprietate suplimentară. Dacă tăiem un pătrat 4 × 4 dintr-o foaie de hârtie și punem această foaie pe un pătrat mare astfel încât 16 celule ale pătratului mai mare să cadă în acest slot, atunci suma numerelor care apar în acest slot, oriunde am pune va fi la fel - 2056.

Cel mai valoros lucru despre acest pătrat este că este destul de ușor să-l transformi într-un pătrat magic perfect, în timp ce construirea de pătrate magice perfecte nu este o sarcină ușoară. Franklin a numit acest pătrat „cea mai fermecătoare magie dintre toate pătratele magice create vreodată de vrăjitori”.