Formula pentru aflarea coordonatelor punctului mijlociu al unui segment. Coordonatele punctului de mijloc al segmentului

Foarte des în problema C2 trebuie să lucrați cu puncte care bisectează un segment. Coordonatele unor astfel de puncte sunt ușor de calculat dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor segmentului.

Deci, să fie definit segmentul prin capetele sale - punctele A = (x a; y a; z a) și B = (x b; y b; z b). Apoi coordonatele mijlocului segmentului - să-l notăm prin punctul H - pot fi găsite folosind formula:

Cu alte cuvinte, coordonatele mijlocului unui segment sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor acestuia.

· Sarcină . Cubul unității ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este plasat într-un sistem de coordonate astfel încât axele x, y și z să fie direcționate de-a lungul muchiilor AB, AD și, respectiv, AA 1, iar originea coincide cu punctul A. Punctul K este mijlocul muchiei A 1 B 1. Găsiți coordonatele acestui punct.

Soluţie. Deoarece punctul K este mijlocul segmentului A 1 B 1, coordonatele sale sunt egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Să notăm coordonatele capetelor: A 1 = (0; 0; 1) și B 1 = (1; 0; 1). Acum să găsim coordonatele punctului K:

Răspuns: K = (0,5; 0; 1)

· Sarcină . Cubul unității ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este plasat într-un sistem de coordonate astfel încât axele x, y și z să fie direcționate de-a lungul muchiilor AB, AD și, respectiv, AA 1, iar originea coincide cu punctul A. Aflați coordonatele punctului L în care se intersectează diagonalele pătratului A 1 B 1 C 1 D 1 .

Soluţie. Din cursul planimetriei știm că punctul de intersecție al diagonalelor unui pătrat este echidistant de toate vârfurile acestuia. În special, A 1 L = C 1 L, adică. punctul L este mijlocul segmentului A 1 C 1. Dar A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), deci avem:

Răspuns: L = (0,5; 0,5; 1)

Cele mai simple probleme de geometrie analitică.
Acțiuni cu vectori în coordonate

Este foarte recomandabil să înveți cum să rezolvi sarcinile care vor fi luate în considerare complet automat și formulele memora, nici nu trebuie să-ți amintești intenționat, ei își vor aminti ei înșiși =) Acest lucru este foarte important, deoarece alte probleme de geometrie analitică se bazează pe cele mai simple exemple elementare și va fi enervant să petreci timp suplimentar mâncând pioni . Nu este nevoie să-ți prinzi nasturii de sus pe cămașă multe lucruri îți sunt familiare de la școală.

Prezentarea materialului va urma un curs paralel - atât pentru avion, cât și pentru spațiu. Din motivul că toate formulele... veți vedea singur.

Articolul de mai jos va acoperi problemele de a găsi coordonatele mijlocului unui segment dacă coordonatele punctelor sale extreme sunt disponibile ca date inițiale. Dar înainte de a începe să studiem problema, să introducem o serie de definiții.

Definiția 1

Segment– o linie dreaptă care leagă două puncte arbitrare, numite capetele unui segment. De exemplu, să fie acestea punctele A și B și, în consecință, segmentul A B.

Dacă segmentul A B este continuat în ambele direcții din punctele A și B, obținem o dreaptă A B. Atunci segmentul A B face parte din dreapta rezultată, mărginită de punctele A și B. Segmentul A B unește punctele A și B, care sunt capetele sale, precum și setul de puncte aflate între ele. Dacă, de exemplu, luăm orice punct K arbitrar situat între punctele A și B, putem spune că punctul K se află pe segmentul A B.

Definiția 2

Lungimea secțiunii– distanța dintre capetele unui segment la o scară dată (un segment de lungime unitară). Să notăm lungimea segmentului A B astfel: A B .

Definiția 3

Punctul de mijloc al segmentului– un punct situat pe un segment și echidistant de capetele acestuia. Dacă mijlocul segmentului A B este desemnat de punctul C, atunci egalitatea va fi adevărată: A C = C B

Date inițiale: linia de coordonate O x și puncte necoincidente pe ea: A și B. Aceste puncte corespund numerelor reale x A și x B . Punctul C este mijlocul segmentului A B: este necesar să se determine coordonatele x C .

Deoarece punctul C este mijlocul segmentului A B, egalitatea va fi adevărată: | A C | = | C B | . Distanța dintre puncte este determinată de modulul diferenței dintre coordonatele lor, adică.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Atunci sunt posibile două egalități: x C - x A = x B - x C și x C - x A = - (x B - x C)

Din prima egalitate derivăm formula pentru coordonatele punctului C: x C = x A + x B 2 (jumătate din suma coordonatelor capetelor segmentului).

Din a doua egalitate obținem: x A = x B, ceea ce este imposibil, deoarece în datele sursă – puncte necoincidente. Astfel, formula de determinare a coordonatelor mijlocului segmentului A B cu capete A (x A) si B(xB):

Formula rezultată va sta la baza pentru determinarea coordonatelor mijlocului unui segment pe un plan sau în spațiu.

Date inițiale: sistem de coordonate dreptunghiulare pe planul O x y, două puncte arbitrare necoincidente cu coordonatele date A x A, y A și B x B, y B. Punctul C este mijlocul segmentului A B. Este necesar să se determine coordonatele x C și y C pentru punctul C.

Să luăm spre analiză cazul când punctele A și B nu coincid și nu se află pe aceeași dreaptă de coordonate sau pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axe. A x , A y ; B x, B y și C x, C y - proiecții ale punctelor A, B și C pe axele de coordonate (drepte O x și O y).

Conform construcției, dreptele A A x, B B x, C C x sunt paralele; liniile sunt de asemenea paralele între ele. Împreună cu aceasta, conform teoremei lui Thales, din egalitatea A C = C B rezultă egalitățile: A x C x = C x B x și A y C y = C y B y, iar ele la rândul lor indică faptul că punctul C x este mijlocul segmentului A x B x, iar C y este mijlocul segmentului A y B y. Și apoi, pe baza formulei obținute mai devreme, obținem:

x C = x A + x B 2 și y C = y A + y B 2

Aceleași formule pot fi folosite în cazul în care punctele A și B se află pe aceeași linie de coordonate sau pe o linie perpendiculară pe una dintre axe. Nu vom efectua o analiză detaliată a acestui caz, îl vom lua în considerare doar grafic:

Rezumând toate cele de mai sus, coordonatele mijlocului segmentului A B pe planul cu coordonatele capetelor A (x A , y A) Şi B(xB, yB) sunt definite ca:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Date inițiale: sistemul de coordonate O x y z și două puncte arbitrare cu coordonatele date A (x A, y A, z A) și B (x B, y B, z B). Este necesar să se determine coordonatele punctului C, care este mijlocul segmentului A B.

A x , A y , A z ; B x , B y , B z și C x , C y , C z - proiecțiile tuturor puncte date pe axa sistemului de coordonate.

Conform teoremei lui Thales, sunt adevărate următoarele egalități: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Prin urmare, punctele C x , C y , C z sunt punctele medii ale segmentelor A x B x , A y B y , respectiv A z B z . Apoi, Pentru a determina coordonatele mijlocului unui segment în spațiu, următoarele formule sunt corecte:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Formulele rezultate sunt aplicabile și în cazurile în care punctele A și B se află pe una dintre liniile de coordonate; pe o linie dreaptă perpendiculară pe una dintre axe; într-un plan de coordonate sau un plan perpendicular pe unul dintre planurile de coordonate.

Determinarea coordonatelor mijlocului unui segment prin coordonatele vectorilor de rază ai capetelor acestuia

Formula pentru aflarea coordonatelor mijlocului unui segment poate fi derivată și în funcție de interpretarea algebrică a vectorilor.

Date de intrare: sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare O x y, puncte cu coordonatele date A (x A, y A) și B (x B, x B). Punctul C este mijlocul segmentului A B.

Conform definiției geometrice a acțiunilor asupra vectorilor, următoarea egalitate va fi adevărată: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Punctul C la în acest caz,– punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelogram construit pe baza vectorilor O A → și O B →, adică. punctul din mijlocul diagonalelor Coordonatele vectorului raza punctului sunt egale cu coordonatele punctului, atunci egalitățile sunt adevărate: O A → = (x A, y A), O B → = (x B. , y B). Să efectuăm câteva operații pe vectori în coordonate și să obținem:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Prin urmare, punctul C are coordonatele:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Prin analogie, se determină o formulă pentru a găsi coordonatele mijlocului unui segment în spațiu:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Exemple de rezolvare a problemelor privind găsirea coordonatelor punctului mijlociu al unui segment

Printre problemele care presupun folosirea formulelor obtinute mai sus se numara cele in care intrebarea directa este calcularea coordonatelor mijlocului segmentului, iar cele care presupun aducerea conditiilor date la aceasta intrebare: termenul „mediana” este adesea folosit, scopul este de a găsi coordonatele unuia de la capetele unui segment, iar problemele de simetrie sunt, de asemenea, comune, a căror soluție, în general, nu ar trebui să provoace dificultăți după studierea acestui subiect. Să ne uităm la exemple tipice.

Exemplul 1

Date inițiale: pe plan - puncte cu coordonatele date A (- 7, 3) și B (2, 4). Este necesar să găsiți coordonatele punctului de mijloc al segmentului A B.

Soluţie

Să notăm mijlocul segmentului A B prin punctul C. Coordonatele sale vor fi determinate ca jumătate din suma coordonatelor capetelor segmentului, i.e. punctele A și B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Răspuns: coordonatele mijlocului segmentului A B - 5 2, 7 2.

Exemplul 2

Date inițiale: se cunosc coordonatele triunghiului A B C: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Este necesar să găsiți lungimea mediei A M.

Soluţie

1. Conform condițiilor problemei, A M este mediana, ceea ce înseamnă că M este punctul de mijloc al segmentului B C . În primul rând, să găsim coordonatele mijlocului segmentului B C, adică. M puncte:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Deoarece acum cunoaștem coordonatele ambelor capete ale medianei (punctele A și M), putem folosi formula pentru a determina distanța dintre puncte și pentru a calcula lungimea medianei A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Răspuns: 58

Exemplul 3

Date inițiale:într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, este dat un paralelipiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Coordonatele punctului C 1 sunt date (1, 1, 0) și se definește și punctul M, care este punctul de mijloc al diagonalei B D 1 și are coordonatele M (4, 2, - 4). Este necesar să se calculeze coordonatele punctului A.

Soluţie

Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct, care este punctul de mijloc al tuturor diagonalelor. Pe baza acestei afirmații, putem reține că punctul M, cunoscut din condițiile problemei, este punctul de mijloc al segmentului A C 1. Pe baza formulei de găsire a coordonatelor mijlocului unui segment în spațiu, găsim coordonatele punctului A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Răspuns: coordonatele punctului A (7, 3, - 8).

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Cum să găsiți coordonatele punctului de mijloc al unui segment
Mai întâi, să ne dăm seama care este mijlocul unui segment.
Punctul de mijloc al unui segment este considerat a fi un punct care aparține unui segment dat și se află la aceeași distanță de la capetele acestuia.

Coordonatele unui astfel de punct sunt ușor de găsit dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor acestui segment. În acest caz, coordonatele mijlocului segmentului vor fi egale cu jumătate din suma coordonatelor corespunzătoare ale capetelor segmentului.
Coordonatele mijlocului unui segment sunt adesea găsite prin rezolvarea problemelor pe mediană, linie centrală etc.
Să luăm în considerare calcularea coordonatelor punctului mijlociu al unui segment pentru două cazuri: când segmentul este specificat pe un plan și când este specificat în spațiu.
Fie specificat un segment din plan prin două puncte cu coordonatele și . Apoi coordonatele mijlocului segmentului PH sunt calculate folosind formula:

Fie un segment definit în spațiu prin două puncte cu coordonatele și . Apoi coordonatele mijlocului segmentului PH sunt calculate folosind formula:

Exemplu.
Aflați coordonatele punctului K - mijlocul lui MO, dacă M (-1; 6) și O (8; 5).

Soluţie.
Deoarece punctele au două coordonate, aceasta înseamnă că segmentul este definit în plan. Folosim formulele adecvate:

În consecință, mijlocul MO va avea coordonatele K (3,5; 5,5).

Răspuns. K (3,5; 5,5).

Nu este greu. Există o expresie simplă pentru a le calcula, care este ușor de reținut. De exemplu, dacă coordonatele capetelor unui segment sunt egale cu (x1; y1) și respectiv (x2; y2), atunci coordonatele mijlocului său sunt calculate ca media aritmetică a acestor coordonate, adică:

Asta e toată dificultatea.
Să ne uităm la calcularea coordonatelor centrului unuia dintre segmente folosind un exemplu specific, așa cum ați întrebat.

Sarcină.
Aflați coordonatele unui anumit punct M dacă acesta este mijlocul (centrul) segmentului KR, ale cărui capete au următoarele coordonate: (-3; 7) și respectiv (13; 21).

Soluţie.
Folosim formula discutată mai sus:

Răspuns. M (5; 14).

Folosind această formulă, puteți găsi nu numai coordonatele mijlocului unui segment, ci și capetele acestuia. Să ne uităm la un exemplu.

Sarcină.
Sunt date coordonatele a două puncte (7; 19) și (8; 27). Aflați coordonatele unuia dintre capetele segmentului dacă cele două puncte anterioare sunt capătul și mijlocul acestuia.

Soluţie.
Să notăm capetele segmentului ca K și P, iar mijlocul acestuia ca S. Să rescriem formula ținând cont de noile nume:

Să înlocuim coordonatele cunoscute și să calculăm coordonatele individuale:

Informații geometrice inițiale

Conceptul de segment, ca și conceptul de punct, linie, rază și unghi, se referă la informațiile geometrice inițiale. Studiul geometriei începe cu conceptele de mai sus.

Prin „informații inițiale” înțelegem de obicei ceva elementar și simplu. În înțelegere, poate că acest lucru este adevărat. Cu toate acestea, astfel de concepte simple sunt adesea întâlnite și se dovedesc a fi necesare nu numai la noi viata de zi cu zi, dar și în producție, construcții și alte domenii ale vieții noastre.

Să începem cu definiții.

Definiția 1

Un segment este o parte a unei linii delimitate de două puncte (capete).

Dacă capetele segmentului sunt punctele $A$ și $B$, atunci segmentul rezultat este scris ca $AB$ sau $BA$. Un astfel de segment conține punctele $A$ și $B$, precum și toate punctele de pe linia care se află între aceste puncte.

Definiția 2

Punctul de mijloc al unui segment este punctul de pe un segment care îl împarte la jumătate în două segmente egale.

Dacă acesta este punctul $C$, atunci $AC=CB$.

Măsurarea unui segment are loc prin comparație cu un anumit segment luat ca unitate de măsură. Cel mai des folosit este un centimetru. Dacă într-un anumit segment un centimetru este plasat exact de patru ori, aceasta înseamnă că lungimea acestui segment este de $4$ cm.

Să introducem o observație simplă. Dacă un punct împarte un segment în două segmente, atunci lungimea întregului segment este egală cu suma lungimilor acestor segmente.

Formula pentru aflarea coordonatelor punctului mijlociu al unui segment

Formula pentru găsirea coordonatelor punctului mijlociu al unui segment se aplică cursului geometriei analitice pe un plan.

Să definim coordonatele.

Definiția 3

Coordonatele sunt numere specifice (sau ordonate) care arată poziția unui punct pe un plan, pe o suprafață sau în spațiu.

În cazul nostru, coordonatele sunt marcate pe un plan definit de axele de coordonate.

Figura 3. Planul de coordonate. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

Să descriem desenul. Un punct este selectat pe plan, numit origine. Este notat cu litera $O$. Două linii drepte (axe de coordonate) sunt trase prin originea coordonatelor, intersectându-se în unghi drept, iar una dintre ele este strict orizontală, iar cealaltă verticală. Această situație este considerată normală. Linia orizontală se numește axa absciselor și este desemnată $OX$, linia verticală se numește axa ordonatelor $OY$.

Astfel, axele definesc planul $XOY$.

Coordonatele punctelor dintr-un astfel de sistem sunt determinate de două numere.

Există diferite formule (ecuații) care determină anumite coordonate. De obicei, într-un curs de geometrie analitică, ei studiază diverse formule pentru linii drepte, unghiuri, lungimea unui segment și altele.

Să mergem direct la formula pentru coordonatele mijlocului segmentului.

Definiția 4

Dacă coordonatele punctului $E(x,y)$ sunt mijlocul segmentului $M_1M_2$, atunci:

Figura 4. Formula pentru aflarea coordonatelor mijlocului unui segment. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

Partea practică

Exemplele dintr-un curs de geometrie școlar sunt destul de simple. Să ne uităm la câteva dintre cele de bază.

Pentru o mai bună înțelegere, să luăm mai întâi în considerare un exemplu vizual elementar.

Exemplul 1

Avem o poza:

În figură, segmentele $AC, CD, DE, EB$ sunt egale.

1. Punctul de mijloc al căror segmente este punctul $D$?
2. Care este punctul de mijloc al segmentului $DB$?

1. punctul $D$ este punctul de mijloc al segmentelor $AB$ și $CE$;
2. punctul $E$.

Să ne uităm la un alt exemplu simplu în care trebuie să calculăm lungimea.

Exemplul 2

Punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$. $AB = 9$ cm Care este lungimea $AC$?

Deoarece t. $B$ împarte $AC$ la jumătate, atunci $AB = BC= 9$ cm. Prin urmare, $AC = 9+9=18$ cm.

Raspuns: 18 cm.

Alte exemple similare sunt de obicei identice și se concentrează pe capacitatea de a compara valorile lungimii și reprezentarea lor cu operații algebrice. Adesea, în probleme există cazuri când centimetrul nu se potrivește exact de numărul de ori într-un segment. Apoi unitatea de măsură este împărțită în părți egale. În cazul nostru, un centimetru este împărțit în 10 milimetri. Măsurați separat restul, comparându-l cu un milimetru. Să dăm un exemplu care demonstrează un astfel de caz.