Formula suprafeței laterale. Suprafața laterală a piramidei

Piramidă- una dintre varietățile unui poliedru format din poligoane și triunghiuri care se află la bază și sunt fețele acestuia.

Mai mult, în vârful piramidei (adică la un moment dat) toate fețele sunt unite.

Pentru a calcula aria unei piramide, merită să determinați că suprafața sa laterală este formată din mai multe triunghiuri. Și putem găsi cu ușurință zonele lor folosind

diverse formule. În funcție de ce date știm despre triunghiuri, căutăm aria lor.

Enumerăm câteva formule care pot fi folosite pentru a găsi aria triunghiurilor:

1. S = (a*h)/2 . ÎN în acest caz,știm înălțimea triunghiului h , care este coborât în ​​lateral o .
2. S = a*b*sinβ . Iată laturile triunghiului o , b , iar unghiul dintre ele este β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Iată laturile triunghiului a, b, c . Raza unui cerc care este înscris într-un triunghi este r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Raza unui cerc circumscris în jurul unui triunghi este R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Această formulă ar trebui folosit numai atunci când triunghiul este un triunghi dreptunghic.
6. S = (a²*√3)/4 . Aplicam aceasta formula unui triunghi echilateral.

Numai după ce calculăm ariile tuturor triunghiurilor care sunt fețele piramidei noastre, putem calcula aria suprafeței sale laterale. Pentru a face acest lucru, vom folosi formulele de mai sus.

Pentru a calcula aria suprafeței laterale a unei piramide, nu apar dificultăți: trebuie să aflați suma ariilor tuturor triunghiurilor. Să exprimăm asta cu formula:

Sp = ΣSi

Aici Si este aria primului triunghi și S n - zona suprafeței laterale a piramidei.

Să ne uităm la un exemplu. Având în vedere o piramidă regulată, fețele sale laterale sunt formate din mai multe triunghiuri echilaterale,

« Geometria este cel mai puternic instrument de ascuțire a abilităților noastre mentale».

Galileo Galilei.

iar pătratul este baza piramidei. În plus, marginea piramidei are o lungime de 17 cm Să găsim aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Raționăm astfel: știm că fețele piramidei sunt triunghiuri, sunt echilaterale. Știm, de asemenea, care este lungimea marginii acestei piramide. Rezultă că toate triunghiurile au laturile egale și lungimea lor este de 17 cm.

Pentru a calcula aria fiecăruia dintre aceste triunghiuri, puteți utiliza următoarea formulă:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Deci, din moment ce știm că pătratul se află la baza piramidei, se dovedește că avem patru triunghiuri echilaterale. Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei poate fi calculată cu ușurință folosind următoarea formulă: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Răspunsul nostru este următorul: 500,548 cm² - aceasta este aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Aria suprafeței laterale a unei piramide arbitrare este egală cu suma ariilor fețelor sale laterale. Este logic să oferim o formulă specială pentru exprimarea acestei zone în cazul unei piramide obișnuite. Deci, să ni se dea o piramidă regulată, la baza căreia se află un n-gon regulat cu latura egală cu a. Fie h înălțimea feței laterale, numită și apotema piramide. Aria unei fețe laterale este egală cu 1/2ah, iar întreaga suprafață laterală a piramidei are o suprafață egală cu n/2ha Deoarece na este perimetrul bazei piramidei, putem scrie formula găsită sub forma:

Suprafata laterala a unei piramide regulate este egal cu produsul apotemului acesteia și jumătate din perimetrul bazei.

Referitor la suprafata totala, apoi adăugăm pur și simplu zona bazei pe cea laterală.

Sferă și minge înscrise și circumscrise. Trebuie remarcat faptul că centrul sferei înscrise în piramidă se află la intersecția planurilor bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei. Centrul sferei descrise în apropierea piramidei se află la intersecția planurilor care trec prin punctele mijlocii ale marginilor piramidei și perpendicular pe acestea.

Piramida trunchiată. Dacă o piramidă este tăiată de un plan paralel cu baza sa, atunci partea cuprinsă între planul de tăiere și bază se numește trunchi de piramidă. Figura arată o piramidă, aruncând partea sa situată deasupra planului de tăiere, obținem o piramidă trunchiată. Este clar că piramida mică aruncată este omotetică cu piramida mare, cu centrul homoteziei la vârf. Coeficientul de similitudine este egal cu raportul de înălțimi: k=h 2 /h 1, sau marginile laterale, sau alte dimensiuni liniare corespunzătoare ale ambelor piramide. Știm că ariile figurilor similare sunt legate ca pătrate de dimensiuni liniare; deci zonele bazelor ambelor piramide (adică aria bazelor piramidei trunchiate) sunt legate ca

Aici S 1 este aria bazei inferioare, iar S 2 este aria bazei superioare a piramidei trunchiate. Suprafețele laterale ale piramidelor sunt în aceeași relație. O regulă similară există pentru volume.

Volume de corpuri similare sunt legate ca cuburi de dimensiunile lor liniare; de exemplu, volumele piramidelor sunt legate ca produsul înălțimii lor și aria bazelor, din care se obține imediat regula noastră. Are absolut caracter generalși rezultă direct din faptul că volumul are întotdeauna o dimensiune a celei de-a treia puteri a lungimii. Folosind această regulă, derivăm o formulă care exprimă volumul unei piramide trunchiate prin înălțimea și aria bazelor.

Să fie dată o piramidă trunchiată cu înălțimea h și zonele de bază S 1 și S 2. Dacă ne imaginăm că este extinsă la o piramidă completă, atunci coeficientul de similitudine dintre piramida plină și piramida mică este ușor de găsit ca rădăcină a raportului S 2 /S 1 . Înălțimea unei piramide trunchiate este exprimată ca h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Acum avem pentru volumul unei piramide trunchiate (V 1 și V 2 reprezintă volumele piramidelor pline și mici)

formula pentru volumul unei piramide trunchiate

Să derivăm formula pentru aria S a suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate prin perimetrele P 1 și P 2 ale bazelor și lungimea apotemei a. Raționăm exact în același mod ca atunci când derivăm formula pentru volum. Completând piramida partea de sus, avem P 2 = kP 1, S 2 =k 2 S 1, unde k este coeficientul de asemănare, P 1 și P 2 sunt perimetrele bazelor, iar S 1 și S 2 sunt zonele suprafețelor laterale ale întreaga piramidă rezultată și, respectiv, partea superioară a acesteia. Pentru suprafața laterală găsim (a 1 și a 2 sunt apoteme ale piramidelor, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formula pentru suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite

Înainte de a studia întrebările despre această figură geometrică și proprietățile ei, ar trebui să înțelegeți câțiva termeni. Când o persoană aude despre o piramidă, își imaginează clădiri uriașe în Egipt. Așa arată cele mai simple. Dar se întâmplă diferite tipuriși forme, ceea ce înseamnă că formula de calcul pentru formele geometrice va fi diferită.

Tipuri de figuri

Piramida - figură geometrică, denotând și reprezentând mai multe fețe. În esență, acesta este același poliedru, la baza căruia se află un poligon, iar pe laturi există triunghiuri care se conectează într-un punct - vârful. Cifra vine în două tipuri principale:

• corecta;
• trunchiată.

În primul caz, baza este un poligon regulat. Aici toate suprafețele laterale sunt egaleîntre ei și figura în sine vor mulțumi ochiul unui perfecționist.

În al doilea caz, există două baze - una mare în partea de jos și una mică între partea de sus, repetând forma celei principale. Cu alte cuvinte, o piramidă trunchiată este un poliedru cu o secțiune transversală formată paralel cu baza.

Termeni și simboluri

Termeni cheie:

• Triunghi regulat (echilateral).- o figură cu trei unghiuri egale și laturi egale. În acest caz, toate unghiurile sunt de 60 de grade. Figura este cea mai simplă dintre poliedre regulate. Dacă această cifră se află la bază, atunci un astfel de poliedru va fi numit triunghiular regulat. Dacă baza este un pătrat, piramida va fi numită o piramidă patruunghiulară obișnuită.
• Vertex– punctul cel mai înalt în care marginile se întâlnesc. Înălțimea vârfului este formată dintr-o linie dreaptă care se extinde de la vârf până la baza piramidei.
• Margine– unul dintre planurile poligonului. Poate fi sub formă de triunghi în cazul unei piramide triunghiulare, sau sub formă de trapez pentru o piramidă trunchiată.
• Secțiune – figură plată, format ca urmare a disectiei. Nu trebuie confundat cu o secțiune, deoarece o secțiune arată și ce se află în spatele secțiunii.
• Apotema- un segment trasat de la vârful piramidei până la baza acesteia. Este, de asemenea, înălțimea feței unde se află al doilea punct de înălțime. Această definiție valabil numai pentru un poliedru regulat. De exemplu, dacă aceasta nu este o piramidă trunchiată, atunci fața va fi un triunghi. În acest caz, înălțimea acestui triunghi va deveni apotema.

Formule de arie

Găsiți aria suprafeței laterale a piramidei orice tip se poate face în mai multe moduri. Dacă figura nu este simetrică și este un poligon cu laturi diferite, atunci în acest caz este mai ușor să calculați suprafața totală prin totalitatea tuturor suprafețelor. Cu alte cuvinte, trebuie să calculați aria fiecărei fețe și să le adăugați.

În funcție de parametrii cunoscuți, pot fi necesare formule pentru calcularea unui pătrat, trapez, patrulater arbitrar etc. Formulele în sine cazuri diferite va avea și diferențe.

În cazul în care figura potrivită Găsirea zonei este mult mai ușoară. Este suficient să cunoașteți doar câțiva parametri cheie. În cele mai multe cazuri, calculele sunt necesare în mod specific pentru astfel de cifre. Prin urmare, formulele corespunzătoare vor fi date mai jos. În caz contrar, ar trebui să scrieți totul pe mai multe pagini, ceea ce nu ar face decât să vă încurce și să vă încurce.

Formula de bază pentru calcul Suprafața laterală a unei piramide obișnuite va avea următoarea formă:

S=½ Pa (P este perimetrul bazei și este apotema)

Să ne uităm la un exemplu. Poliedrul are o bază cu segmente A1, A2, A3, A4, A5 și toate sunt egale cu 10 cm Lăsați apotema să fie egală cu 5 cm. Deoarece toate cele cinci fețe ale bazei sunt aceleași, o puteți găsi astfel: P = 5 * 10 = 50 cm În continuare, aplicăm formula de bază: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm pătrat.

Suprafața laterală a unei piramide triunghiulare regulate cel mai usor de calculat. Formula arată astfel:

S =½* ab *3, unde a este apotema, b este fața bazei. Factorul de trei aici înseamnă numărul de fețe ale bazei, iar prima parte este aria suprafeței laterale. Să ne uităm la un exemplu. Având în vedere o figură cu apotema de 5 cm și marginea bazei de 8 cm Calculăm: S = 1/2*5*8*3=60 cm pătrat.

Suprafața laterală a unei piramide trunchiate Este puțin mai greu de calculat. Formula arată astfel: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, unde p_01 și p_02 sunt perimetrele bazelor și este apotema. Să ne uităm la un exemplu. Să presupunem că pentru o figură patruunghiulară dimensiunile laturilor bazelor sunt de 3 și 6 cm, iar apotema este de 4 cm.

Aici, mai întâi trebuie să găsiți perimetrele bazelor: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Rămâne să înlocuim valorile în formula principală și obținem: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm pătrat.

Astfel, puteți găsi suprafața laterală a unei piramide obișnuite de orice complexitate. Ar trebui să fii atent și să nu încurci aceste calcule cu aria totală a întregului poliedr. Și dacă tot trebuie să faceți acest lucru, doar calculați aria celei mai mari baze a poliedrului și adăugați-o la aria suprafeței laterale a poliedrului.

Video

Acest videoclip vă va ajuta să consolidați informații despre cum să găsiți suprafața laterală a diferitelor piramide.

Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC R- mijlocul coastei AB, S- de sus.
Se stie ca SR = 6, iar aria suprafeței laterale este egală cu 36 .
Aflați lungimea segmentului B.C..

Să facem un desen. Într-o piramidă obișnuită, fețele laterale sunt triunghiuri isoscele.

Segment S.R.- mediana coborâtă până la bază, și deci înălțimea feței laterale.

Suprafața laterală a unei piramide triunghiulare regulate este egală cu suma ariilor
trei fețe laterale egale partea S = 3 S ABS. De aici S ABS = 36: 3 = 12- zona feței.

Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei și înălțimii sale
S ABS = 0,5 AB SR. Cunoscând suprafața și înălțimea, găsim latura bazei AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Răspuns: 4

Puteți aborda problema de la celălalt capăt. Lăsați partea de bază AB = BC = a.
Apoi zona feței S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Aria fiecăreia dintre cele trei fețe este egală cu 3a, aria celor trei fețe este egală 9a.
În funcție de condițiile problemei, aria suprafeței laterale a piramidei este de 36.
partea S = 9a = 36.
De aici a = 4.

Instrucţiuni

În primul rând, merită să înțelegem că suprafața laterală a piramidei este reprezentată de mai multe triunghiuri, ale căror zone pot fi găsite folosind o varietate de formule, în funcție de datele cunoscute:

S = (a*h)/2, unde h este înălțimea coborâtă pe latura a;

S = a*b*sinβ, unde a, b sunt laturile triunghiului, iar β este unghiul dintre aceste laturi;

S = (r*(a + b + c))/2, unde a, b, c sunt laturile triunghiului, iar r este raza cercului înscris în acest triunghi;

S = (a*b*c)/4*R, unde R este raza triunghiului circumscris cercului;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (dacă triunghiul este dreptunghic);

S = S = (a²*√3)/4 (dacă triunghiul este echilateral).

De fapt, acestea sunt doar cele mai de bază formule cunoscute pentru a găsi aria unui triunghi.

După ce ați calculat ariile tuturor triunghiurilor care sunt fețele piramidei folosind formulele de mai sus, puteți începe să calculați aria acestei piramide. Acest lucru se face extrem de simplu: trebuie să însumați zonele tuturor triunghiurilor care formează suprafața laterală a piramidei. Aceasta poate fi exprimată prin formula:

Sp = ΣSi, unde Sp este aria suprafeței laterale, Si este aria triunghiului i, care face parte din suprafața sa laterală.

Pentru o mai mare claritate, putem lua în considerare un mic exemplu: având în vedere o piramidă regulată, ale cărei fețe laterale sunt formate din triunghiuri echilaterale, iar la baza ei se află un pătrat. Lungimea marginii acestei piramide este de 17 cm. Este necesar să găsiți aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Rezolvare: se cunoaște lungimea muchiei acestei piramide, se știe că fețele sale sunt triunghiuri echilaterale. Astfel, putem spune că toate laturile tuturor triunghiurilor de pe suprafața laterală sunt egale cu 17 cm. Prin urmare, pentru a calcula aria oricăruia dintre aceste triunghiuri, va trebui să aplicați formula:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Se știe că la baza piramidei se află un pătrat. Astfel, este clar că există patru triunghiuri echilaterale date. Apoi, aria suprafeței laterale a piramidei se calculează după cum urmează:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Răspuns: Suprafața laterală a piramidei este de 500,548 cm²

Mai întâi, să calculăm aria suprafeței laterale a piramidei. Suprafața laterală este suma ariilor tuturor fețelor laterale. Dacă aveți de-a face cu o piramidă obișnuită (adică una care are un poligon regulat la bază, iar vârful este proiectat în centrul acestui poligon), atunci pentru a calcula întreaga suprafață laterală este suficient să înmulțiți perimetrul de baza (adică suma lungimilor tuturor laturilor poligonului situat la piramida bazei) la înălțimea feței laterale (altfel numită apotema) și împărțiți valoarea rezultată la 2: Sb = 1/2P* h, unde Sb este aria suprafeței laterale, P este perimetrul bazei, h este înălțimea feței laterale (apotema).

Dacă aveți o piramidă arbitrară în fața dvs., va trebui să calculați separat ariile tuturor fețelor și apoi să le însumați. Deoarece fețele laterale ale piramidei sunt triunghiuri, utilizați formula pentru aria unui triunghi: S=1/2b*h, unde b este baza triunghiului și h este înălțimea. Când s-au calculat ariile tuturor fețelor, tot ce rămâne este să le adunăm pentru a obține aria suprafeței laterale a piramidei.

Apoi trebuie să calculați aria bazei piramidei. Alegerea formulei de calcul depinde de poligonul care se află la baza piramidei: regulat (adică unul cu toate laturile de aceeași lungime) sau neregulat. Aria unui poligon obișnuit poate fi calculată înmulțind perimetrul cu raza cercului înscris în poligon și împărțind valoarea rezultată la 2: Sn = 1/2P*r, unde Sn este aria poligonului. poligon, P este perimetrul și r este raza cercului înscris în poligon.

O trunchi de piramidă este un poliedru care este format dintr-o piramidă și secțiunea transversală a acesteia paralelă cu baza. Găsirea suprafeței laterale a piramidei nu este deloc dificilă. Este foarte simplu: aria este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor prin apotem. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide trunchiate. Să presupunem că ni se oferă o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimile bazei sunt b = 5 cm, c = 3 cm Apotema a = 4 cm Pentru a găsi aria suprafeței laterale a piramidei, trebuie să găsiți mai întâi perimetrul bazelor. Într-o bază mare va fi egală cu p1=4b=4*5=20 cm Într-o bază mai mică formula va fi următoarea: p2=4c=4*3=12 cm : s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 cm.

O piramidă este un poliedru, una dintre ale cărui fețe (bază) este un poligon arbitrar, iar fețele (laturile) rămase sunt triunghiuri având un vârf comun. În funcție de numărul de unghiuri, baza piramidei este triunghiulară (tetraedru), patruunghiulară și așa mai departe.

O piramidă este un poliedru cu o bază sub formă de poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri cu un vârf comun. O apotema este înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, care este desenată din vârful acesteia.