Diferențierea funcțiilor exponențiale și logaritmice. Antiderivată a funcției exponențiale în sarcinile UNT

Lucrări terminate

LUCRĂRI DE GRADUL

Au trecut deja multe și acum ești absolvent, dacă, bineînțeles, îți scrii teza la timp. Dar viața este așa ceva încât abia acum îți devine clar că, după ce ai încetat să mai fii student, vei pierde toate bucuriile studențești, multe dintre care nu le-ai încercat niciodată, amânând totul și amânând pentru mai târziu. Și acum, în loc să ajungi din urmă, lucrezi la teza ta? Există o soluție excelentă: descărcați teza de care aveți nevoie de pe site-ul nostru - și veți avea instantaneu mult timp liber!
Tezele au fost susținute cu succes la universități de top din Republica Kazahstan.
Costul lucrării de la 20.000 de tenge

LUCRĂRI DE CURS

Proiectul de curs este prima lucrare practică serioasă. Tocmai cu scrierea cursurilor începe pregătirea pentru dezvoltarea proiectelor de diplomă. Dacă un student învață să prezinte corect conținutul unui subiect într-un proiect de curs și să îl formateze în mod competent, atunci în viitor nu va avea probleme nici cu redactarea rapoartelor, nici cu compilarea teze, nici cu îndeplinirea altor sarcini practice. Pentru a ajuta elevii în redactarea acestui tip de lucrare a elevilor și pentru a clarifica întrebările care apar în timpul pregătirii sale, de fapt, a fost creată această secțiune de informații.
Costul lucrării de la 2.500 tenge

TEZE DE MASTER

Momentan în superioare institutii de invatamantÎn Kazahstan și țările CSI, nivelul de învățământ superior este foarte comun învăţământul profesional, care urmează unei diplome de licență - unui master. În programul de master, studenții studiază cu scopul de a obține o diplomă de master, care este recunoscută în majoritatea țărilor lumii mai mult decât o diplomă de licență și este, de asemenea, recunoscută de angajatorii străini. Rezultatul studiilor de master este susținerea unei teze de master.
Vă vom oferi material analitic și textual actualizat; prețul include 2 articole științifice și un rezumat.
Costul lucrării de la 35.000 tenge

RAPOARTE DE PRACTICĂ

După finalizarea oricărui tip de stagiu studentesc (educațional, industrial, preuniversitar), este necesar un raport. Acest document va fi confirmare munca practica student și baza pentru formarea unei evaluări pentru practică. De obicei, pentru a întocmi un raport despre un stagiu, trebuie să colectați și să analizați informații despre întreprindere, să luați în considerare structura și rutina de lucru a organizației în care se desfășoară stagiul, să întocmiți un plan calendaristic și să vă descrieți practicile practice. activități.
Vă vom ajuta să scrieți un raport despre stagiul dvs., ținând cont de specificul activităților unei anumite întreprinderi.

Tema lecției: „Diferențierea exponențială și funcţie logaritmică. Antiderivată a funcției exponențiale" în atribuirile UNT

Ţintă : dezvoltarea abilităților elevilor în aplicarea cunoștințelor teoretice pe tema „Diferențierea funcțiilor exponențiale și logaritmice. Antiderivată a funcției exponențiale” pentru rezolvarea problemelor UNT.

Sarcini

Educațional: sistematizați cunoștințele teoretice ale studenților, consolidați abilitățile de rezolvare a problemelor pe această temă.

Educațional: dezvolta memoria, observația, gândirea logică, vorbirea matematică a elevilor, atenția, stima de sine și abilitățile de autocontrol.

Educațional: promova:

dezvoltarea unei atitudini responsabile față de învățare în rândul elevilor;

dezvoltarea interesului durabil pentru matematică;

crearea unei motivații interne pozitive pentru a studia matematica.

Metode de predare: verbal, vizual, practic.

Forme de lucru: individual, frontal, în perechi.

Progresul lecției

Epigraf: „Mintea stă nu numai în cunoaștere, ci și în capacitatea de a aplica cunoștințele în practică” Aristotel (diapozitivul 2)

I. Moment organizatoric.

II. Rezolvarea cuvintelor încrucișate. (diapozitivul 3-21)

Matematicianul francez din secolul al XVII-lea Pierre Fermat a definit această linie drept „linia dreaptă cea mai apropiată curbei într-o mică vecinătate a punctului”.

Tangentă

O funcție care este dată de formula y = log o x.

Logaritmic

O funcție care este dată de formula y = O X.

Indicativ

În matematică, acest concept este folosit pentru a găsi viteza de mișcare a unui punct material și coeficientul unghiular al unei tangente la graficul unei funcții într-un punct dat.

Derivat

Care este numele funcției F(x) pentru funcția f(x), dacă condiția F"(x) =f(x) este îndeplinită pentru orice punct din intervalul I.

Antiderivat

Cum se numește relația dintre X și Y, în care fiecare element al lui X este asociat cu un singur element al lui Y.

Derivată a deplasării

Viteză

O funcție care este dată de formula y = e x.

Expozant

Dacă o funcție f(x) poate fi reprezentată ca f(x)=g(t(x)), atunci această funcție se numește...

III. Dictare matematică (diapozitivul 22)

1. Scrieți formula pentru derivata funcției exponențiale. ( O x)" = O x ln o

2. Scrieți formula pentru derivata exponențialului. (e x)" = e x

3. Notează formula derivată logaritmul natural. (ln x)"=

4. Scrieți formula pentru derivata unei funcții logaritmice. (log o x)"=

5. Înregistrați vedere generală antiderivate pentru funcția f(x) = O X. F(x)=

6. Notați forma generală a antiderivatelor pentru funcția f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Verificați-vă munca (răspunsurile de pe diapozitivul 23).

IV. Rezolvarea problemelor UNT (simulator)

A) Nr. 1,2,3,6,10,36 pe tablă și în caiet (diapozitivul 24)

B) Lucrați în perechi nr. 19,28 (simulator) (diapozitivul 25-26)

V. 1. Găsiți erori: (diapozitivul 27)

1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х

2) f(x)=17 2x, f „(x)= 17 2x ln17

3) f(x)= log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4х), f "(x)=
.

VI. Prezentarea elevilor.

Epigraf: „Cunoașterea este un lucru atât de prețios încât nu este rușine să o obții din orice sursă” Toma d’Aquino (diapozitivul 28)

VII. Tema Nr 19,20 p.116

VIII. Test (sarcină de rezervă) (diapozitivul 29-32)

IX. Rezumatul lecției.

„Dacă vrei să participi la o viață mare, atunci umple-ți capul cu matematică cât ai ocazia. Ea vă va oferi apoi un mare ajutor pe tot parcursul vieții” M. Kalinin (diapozitivul 33)

Lasă
(1)
este o funcție diferențiabilă a variabilei x. Mai întâi ne vom uita la setul de valori ale lui x pentru care ia y valori pozitive

: .
,
În cele ce urmează vom arăta că toate rezultatele obținute sunt aplicabile și pentru valorile negative ale .
.
În unele cazuri, pentru a găsi derivata funcției (1), este convenabil să o pre-logaritm
(2) .

și apoi calculați derivata. Apoi, conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe,
.

De aici Derivata logaritmului unei functii se numeste derivata logaritmica: este derivata logaritmului natural al acestei funcții: (ln f(x))′.

Cazul valorilor negative y

Acum luați în considerare cazul în care o variabilă poate lua atât valori pozitive, cât și negative. În acest caz, luați logaritmul modulului și găsiți derivata acestuia:
.
În unele cazuri, pentru a găsi derivata funcției (1), este convenabil să o pre-logaritm
(3) .
Adică, în cazul general, trebuie să găsiți derivata logaritmului modulului funcției.

Comparând (2) și (3) avem:
.
Adică, rezultatul formal al calculării derivatei logaritmice nu depinde dacă am luat modulo sau nu. Prin urmare, atunci când calculăm derivata logaritmică, nu trebuie să ne îngrijorăm cu privire la semnul funcției.

Această situație poate fi clarificată folosind numere complexe. Fie, pentru unele valori ale lui x, negativ: . Dacă luăm în considerare numai numere reale, atunci funcția este nedefinită. Cu toate acestea, dacă introducem în considerare numere complexe
.
, atunci obținem următoarele:
.
Adică, funcțiile și diferă printr-o constantă complexă:
.

Deoarece derivata unei constante este zero, atunci

Proprietatea derivatei logaritmice Dintr-o asemenea consideraţie rezultă că :
.
derivata logaritmică nu se va modifica dacă înmulțiți funcția cu o constantă arbitrară Într-adevăr, folosind proprietățile logaritmului , formule sumă derivată Şi derivată a unei constante

.

, avem:

Aplicarea derivatei logaritmice

Este convenabil să se folosească derivata logaritmică în cazurile în care funcția originală constă dintr-un produs de putere sau funcții exponențiale. În acest caz, operația cu logaritm transformă produsul funcțiilor în suma lor. Acest lucru simplifică calculul derivatei.

Exemplul 1
.

Aflați derivata funcției:

Soluţie
.

Să logaritmăm funcția originală:
Să diferențiem față de variabila x.
.
În tabelul derivatelor găsim:
;
;
;
;
Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe. .
(A1.1)

.

Înmulțiți cu:
.
Deci, am găsit derivata logaritmică:
.

De aici găsim derivata funcției originale:

Nota
.
Dacă vrem să folosim numai numere reale, atunci ar trebui să luăm logaritmul modulului funcției inițiale:
;
.
Apoi

Și am primit formula (A1.1). Prin urmare, rezultatul nu s-a schimbat.

Răspuns

Exemplul 2
.

Aflați derivata funcției:

Folosind derivata logaritmică, găsiți derivata funcției
Să luăm logaritmi: .
(A2.1)
;
;

;
;
;
.

Diferențierea față de variabila x:
.
Înmulțiți cu:
.

De aici obținem derivata logaritmică:
.

De aici găsim derivata funcției originale:

Derivată a funcției originale:
.
Aici funcția originală este nenegativă: .

Este definit la .
,
acest lucru nu va afecta rezultatul final.

Și am primit formula (A1.1). Prin urmare, rezultatul nu s-a schimbat.

Exemplul 3

Găsiți derivata
.

Aflați derivata funcției:

Efectuăm diferențierea folosind derivata logaritmică. Să luăm un logaritm, ținând cont de faptul că:
(A3.1) .

Prin diferențiere, obținem derivata logaritmică.
;
;
;
(A3.2) .

De atunci

.

De aici găsim derivata funcției originale:

Să efectuăm calculele fără a presupune că logaritmul poate fi definit pentru valorile negative ale argumentului. Pentru a face acest lucru, luați logaritmul modulului funcției originale:
.
Atunci în loc de (A3.1) avem:
;

.
Comparând cu (A3.2) vedem că rezultatul nu s-a schimbat.

Când se diferențiază funcții de putere exponențială sau expresii fracționale greoaie, este convenabil să se folosească derivata logaritmică. În acest articol vom analiza exemple de aplicare a acestuia cu soluții detaliate.

Prezentarea ulterioară presupune capacitatea de a utiliza tabelul de derivate, regulile de diferențiere și cunoașterea formulei pentru derivata unei funcții complexe.

Derivarea formulei pentru derivata logaritmică.

Mai întâi, luăm logaritmii la baza e, simplificăm forma funcției folosind proprietățile logaritmului și apoi găsim derivata funcției specificate implicit:

De exemplu, să găsim derivata unei funcții de putere exponențială x la puterea x.

Luând logaritmi dă . După proprietățile logaritmului. Diferențierea ambelor părți ale egalității duce la rezultatul:

Răspuns: .

Același exemplu poate fi rezolvat fără a utiliza derivata logaritmică. Puteți efectua unele transformări și puteți trece de la diferențierea unei funcții de putere exponențială la găsirea derivatei unei funcții complexe:

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții .

Soluţie.

În acest exemplu, funcția este o fracție și derivata ei poate fi găsită folosind regulile de diferențiere. Dar din cauza greutății expresiei, acest lucru va necesita multe transformări. În astfel de cazuri, este mai rezonabil să se folosească formula derivată logaritmică . De ce? Vei intelege acum.

Să-l găsim mai întâi. În transformări vom folosi proprietățile logaritmului (logaritmul unei fracții este egal cu diferența de logaritmi, iar logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor, iar gradul expresiei sub semnul logaritmului poate fi scos ca coeficient în fața logaritmului):

Aceste transformări ne-au condus la o expresie destul de simplă, a cărei derivată este ușor de găsit:

Înlocuim rezultatul obținut în formula derivatei logaritmice și obținem răspunsul:

Pentru a consolida materialul, vom mai oferi câteva exemple fără explicații detaliate.

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții de putere exponențială

Diferențierea funcțiilor exponențiale și logaritmice

1. Numărul e. Funcția y = e x, proprietățile sale, graficul, diferențierea

Să luăm în considerare un exponențial funcţie y=a x, unde a > 1. Pentru diferite baze a obținem grafice diferite (Fig. 232-234), dar puteți observa că toate trec prin punctul (0; 1), toate au o asimptotă orizontală y = 0 la , toate sunt convex cu fața în jos și, în cele din urmă, toate au tangente în toate punctele lor. Să desenăm, de exemplu, o tangentă la grafică funcţia y=2x în punctul x = 0 (Fig. 232). Dacă efectuați construcții și măsurători precise, vă puteți asigura că această tangentă formează un unghi de 35° (aproximativ) cu axa x.

Acum să desenăm o tangentă la graficul funcției y = 3 x, tot în punctul x = 0 (Fig. 233). Aici unghiul dintre tangentă și axa x va fi mai mare - 48°. Și pentru funcția exponențială y = 10 x într-un mod similar
situație obținem un unghi de 66,5° (Fig. 234).

Deci, dacă baza a funcției exponențiale y=ax crește treptat de la 2 la 10, atunci unghiul dintre tangenta la graficul funcției în punctul x=0 și abscisa crește treptat de la 35° la 66,5°. Este logic să presupunem că există o bază a pentru care unghiul corespunzător este de 45°. Această bază trebuie să fie cuprinsă între numerele 2 și 3, deoarece pentru funcția y-2x unghiul care ne interesează este de 35°, care este mai mic de 45°, iar pentru funcția y = 3 x este egal cu 48°. , care este deja puțin mai mult de 45 °. Baza care ne interesează este de obicei notă cu litera e S-a stabilit că numărul e este irațional, adică. reprezintă o zecimală infinită neperiodică fracţiune:

e = 2,7182818284590...;

în practică se presupune de obicei că e=2,7.

Comentariu(nu foarte grav). Este clar că L.N. Tolstoi nu are nicio legătură cu numărul e, totuși, în scrierea numărului e, vă rugăm să rețineți că numărul 1828 se repetă de două ori la rând - anul nașterii lui L.N. Tolstoi.

Graficul funcției y=e x este prezentat în Fig. 235. Acesta este un exponențial care diferă de alte exponențiale (grafice ale funcțiilor exponențiale cu alte baze) prin aceea că unghiul dintre tangenta la grafic în punctul x=0 și axa x este de 45°.

Proprietățile funcției y = e x:

1)
2) nu este nici par, nici impar;
3) crește;
4) nelimitat de sus, limitat de jos;
5) nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori;
6) continuu;
7)
8) convex în jos;
9) diferentiabil.

Reveniți la § 45, uitați-vă la lista de proprietăți ale funcției exponențiale y = a x pentru a > 1. Veți găsi aceleași proprietăți 1-8 (ceea ce este destul de natural), și a noua proprietate asociată cu
nu am menționat atunci diferențiabilitatea funcției. Să discutăm acum.

Să derivăm o formulă pentru găsirea derivatei y-ex. În acest caz, nu vom folosi algoritmul obișnuit, pe care l-am dezvoltat în § 32 și care a fost folosit cu succes de mai multe ori. În acest algoritm, în etapa finală este necesar să se calculeze limita, iar cunoștințele noastre despre teoria limitelor sunt încă foarte, foarte limitate. Prin urmare, ne vom baza pe premise geometrice, luând în considerare, în special, însuși faptul existenței unei tangente la graficul funcției exponențiale fără îndoială (de aceea am notat cu atâta încredere a noua proprietate în lista de proprietăți de mai sus). - diferențiabilitatea funcției y = e x).

1. Rețineți că pentru funcția y = f(x), unde f(x) =ех, valoarea derivatei în punctul x =0 ne este deja cunoscută: f / = tan45°=1.

2. Să introducem funcția y=g(x), unde g(x) -f(x-a), adică. g(x)-ex" a. Fig. 236 prezintă graficul funcției y = g(x): se obține din graficul funcției y - fx) prin deplasarea de-a lungul axei x cu unități de scară |a| . Tangenta la graficul functiei y = g (x) in punctul x-a este paralelă cu tangenta la graficul funcției y = f(x) în punctul x -0 (vezi Fig. 236), ceea ce înseamnă că formează un unghi de 45° cu axa x. Folosind sens geometric derivată, putem scrie că g(a) =tg45°;=1.

3. Să revenim la funcția y = f(x). Avem:

4. Am stabilit că pentru orice valoare a a relația este valabilă. În loc de litera a, puteți folosi, desigur, litera x; atunci primim

Din această formulă obținem formula de integrare corespunzătoare:

A.G. Mordkovich Algebra clasa a X-a

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, descărcare Matematică la școală

Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practica sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte planul calendaristic pentru anul recomandări metodologice programe de discuții Lecții integrate