Acțiuni cu matrice. Matrici

Matrici, concepte de bază.

O matrice este un tabel dreptunghiular A, format din elementele unui anumit set și format din m rânduri și n coloane.

Matrice pătrată - unde m=n.

Rând (vector rând) - matricea este formată dintr-un rând.

Coloană (vector coloană) - matricea este formată dintr-o coloană.

Matrice transpusă - O matrice obținută din matricea A prin înlocuirea rândurilor cu coloane.

O matrice diagonală este o matrice pătrată în care toate elementele care nu se află pe diagonala principală sunt egale cu zero.

Acțiuni asupra matricelor.

1) Înmulțirea și împărțirea unei matrice cu un număr.

Produsul matricei A și numărului α se numește Matrice Axα, ale cărei elemente se obțin din elementele matricei A prin înmulțirea cu numărul α.

Exemplu: 7xA, , .

2) Înmulțirea matricei.

Operația de înmulțire a două matrice este introdusă numai în cazul în care numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din a doua matrice.

Exemplu: ,, АхВ= .

Proprietățile înmulțirii matriceale:

A*(B*C)=(A*B)*C;

A * (B + C) = AB + AC

(A+B)*C=AC+BC;

a(AB) = (aA)B,

(A+B) T =A T +B T

(AB) T =B T A T

3) Adunare, scădere.

Suma (diferența) matricelor este o matrice ale cărei elemente sunt, respectiv, suma (diferența) elementelor matricelor originale.

c ij = a ij  b ij

C = A + B = B + A.

Întrebarea 2.

Continuitatea funcțiilor într-un punct, pe un interval, pe un segment. Punctele de întrerupere ale funcțiilor și clasificarea lor.

O functie f(x), definita intr-o vecinatate a unui anumit punct x 0, se numeste continua in punctul x 0 daca limita functiei si valoarea ei in acest punct sunt egale, i.e.

Funcția f(x) se numește continuă în punctul x 0 dacă pentru orice număr pozitiv e>0 există un număr D>0 astfel încât pentru orice x care îndeplinește condiția

inegalitatea adevărată .

Funcția f(x) se numește continuă în punctul x = x 0 dacă incrementul funcției în punctul x 0 este o valoare infinitezimală.

f(x) =f(x 0) +a(x)

unde a(x) este infinitezimal la x®x 0.

Proprietățile funcțiilor continue.

1) Suma, diferența și produsul funcțiilor continue în punctul x 0 este o funcție continuă în punctul x 0.

2) Coeficientul a două funcții continue este funcție continuă cu condiția ca g(x) să nu fie egal cu zero în punctul x 0.

3) Suprapunerea funcțiilor continue este o funcție continuă.

Această proprietate poate fi scrisă după cum urmează:

Dacă u=f(x),v=g(x) sunt funcții continue în punctul x = x 0, atunci funcția v=g(f(x)) este de asemenea o funcție continuă în acest punct.

Funcţie f(x) se numește continuu pe interval(o,b), dacă este continuă în fiecare punct al acestui interval.

Proprietățile funcțiilor continue pe un interval.

O funcție care este continuă pe un interval este mărginită pe acest interval, adică. condiția –M  f(x)  M este îndeplinită pe segment.

Dovada acestei proprietăți se bazează pe faptul că o funcție care este continuă în punctul x 0 este mărginită într-o anumită vecinătate a acesteia, iar dacă împărțiți segmentul într-un număr infinit de segmente care sunt „contractate” la punctul x 0, atunci se formează o anumită vecinătate a punctului x 0.

O funcție care este continuă pe segment ia cele mai mari și cele mai mici valori pe ea.

Aceste. există valori x 1 și x 2 astfel încât f(x 1) = m, f(x 2) = M și

m  f(x)  M

Să notăm aceste valori mai mari și cele mai mici pe care funcția le poate lua pe un segment de mai multe ori (de exemplu, f(x) = sinx).

Diferența dintre valoarea cea mai mare și cea mai mică a unei funcții pe un interval se numește oscilația funcției pe un interval.

O funcție care este continuă pe interval ia toate valorile dintre două valori arbitrare pe acest interval.

Dacă funcția f(x) este continuă în punctul x = x 0, atunci există o vecinătate a punctului x 0 în care funcția își păstrează semnul.

Dacă o funcție f(x) este continuă pe un segment și are valori de semne opuse la capetele segmentului, atunci există un punct în interiorul acestui segment în care f(x) = 0.

Definiţie. O matrice este un set de numere care formează un tabel dreptunghiular format din m rânduri și n coloane

Pe scurt, matricea se notează după cum urmează:

unde elementele acestei matrice, i este numărul rândului, j este numărul coloanei.

Dacă numărul de rânduri dintr-o matrice este egal cu numărul de coloane ( m = n), atunci matricea este numită pătrat n-a ordinul și în rest - dreptunghiular.

Dacă m= 1 și n > 1, atunci obținem o matrice cu un rând

care se numeste vector rând , dacă, atunci m>1 și n=1, atunci obținem o matrice cu o singură coloană

care se numeste vector coloană .

Se numește o matrice pătrată în care toate elementele, cu excepția celor de pe diagonala principală, sunt egale cu zero diagonală.

Se numește o matrice diagonală ale cărei elemente diagonale principale sunt egale cu unu individual, notat cu E.

Se numește matricea obținută de la una dată prin înlocuirea rândului său cu o coloană cu același număr transpus la acesta. Indicat.

Două matrici sunt egale dacă elementele din aceleași locuri sunt egale între ele, adică dacă

în fața tuturor i Şi j(în acest caz, numărul de rânduri (coloane) de matrice OŞi B ar trebui să fie la fel).

1°. Suma a două matrice O=(o ij) Și B=(b ij) cu aceeași sumă m linii şi n coloane se numește matrice C=(c ij), ale căror elemente sunt determinate de egalitate

Suma matricelor se notează cu C=O+B.

Exemplu.

2 0 . Produs Matrix O=(o ij) pe număr λ este o matrice în care fiecare element este egal cu produsul elementului corespunzător al matricei O pe număr λ :

λA=λ (o ij)=(λa ij), (i=1,2…,m ; j=1,2…,n).

Exemplu.

3 0 . Produs Matrix O=(o ij), având m linii şi k coloane, pe matrice B=(b ij), având k linii şi n coloane se numește matrice C=(c ij), având m linii şi n coloane al căror element c ij egală cu suma produselor elementelor i al-lea rând al matricei O Şi j coloana a matricei B, adică

În acest caz, numărul de coloane ale matricei O trebuie să fie egal cu numărul de rânduri ale matricei B. În caz contrar, produsul este nedefinit. Se notează produsul matricelor A*B=C.

Exemplu.

Pentru un produs de matrici, egalitatea dintre matrice nu este valabilă O* B Şi B* O, în cazul general unul dintre ele poate să nu fie definit.

Înmulțirea unei matrice pătrate de orice ordin cu matricea de identitate corespunzătoare nu schimbă matricea.

Exemplu. Fie,, atunci după regula înmulțirii matriceale pe care o avem

,

de unde tragem concluzia că

Determinanți și proprietățile lor.

Să fie dată o matrice pătrată de ordinul trei:

Definiţie. Determinantul de ordinul al treilea corespunzător matricei (1) este un număr notat cu simbolul

și definit de egalitate

Pentru a reține care produse din partea dreaptă a egalității (2) sunt luate cu semnul „+” și care cu semnul „-”, este util să folosiți următoarea regulă a triunghiului.

Exemplu.

Să formulăm proprietățile de bază pentru determinanții de ordinul trei, deși sunt inerente determinanților de orice ordin.

1. Valoarea determinantului nu se va schimba dacă rândurile și coloanele sale sunt schimbate, de exemplu.

2. Rearanjarea a două coloane sau două rânduri ale unui determinant este echivalentă cu înmulțirea acestuia cu -1.

3. Dacă determinantul are două coloane identice sau două rânduri identice, atunci este egal cu zero.

4. Înmulțirea tuturor elementelor unei coloane sau ale unui rând al unui determinant cu orice număr λ este echivalent cu înmulțirea determinantului cu acest număr λ .

5. Dacă toate elementele unei anumite coloane sau ale unui rând al unui determinant sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

6. Dacă elementele a două coloane sau două rânduri ale unui determinant sunt proporționale, atunci determinantul este egal cu zero.

7. Dacă fiecare element n a coloana ( n-a linie) a determinantului este suma a doi termeni, atunci determinantul poate fi reprezentat ca suma a doi determinanți, dintre care unul este în n-a coloană ( n-a linie) conține primul dintre termenii menționați, iar celălalt - al doilea; elementele din pozițiile rămase sunt aceleași pentru toți cei trei determinanți.

De exemplu,

8 0 . Dacă la elementele unei anumite coloane (rând) a determinantului adăugăm elementele corespunzătoare unei alte coloane (rând), înmulțite cu orice factor comun, atunci valoarea determinantului nu se va modifica.

De exemplu,

Minor a unui anumit element al unui determinant se numește determinant obținut dintr-un determinat determinant prin tăierea rândului și coloanei la intersecția cărora se află acest element.

De exemplu, elementul minor O 1 calificativ Δ este un determinant de ordinul 2

Complementul algebric al unui element al determinantului este minorul acestui element înmulțit cu (-1) p, Unde r- suma numerelor rândurilor și coloanelor la intersecția cărora se află acest element.

Dacă, de exemplu, un element O 2 sunt la intersecția coloanei 1 și a rândului 2, apoi pentru aceasta r=1+2=3 iar complementul algebric este

9 0 . Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărei coloane sau rând și a complementelor lor algebrice.

10 0 . Suma produselor elementelor oricărei coloane sau rând a determinantului prin complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare din altă coloană sau alt rând este egală cu zero.

Se pune întrebarea: este posibil pentru o matrice pătrată O alegeți o matrice astfel încât prin înmulțirea matricei cu ea O ca rezultat, obțineți matricea de identitate E, o astfel de matrice se numește inversul matricei O.

Definiţie. O matrice se numește inversul unei matrice pătrate A dacă.

Definiţie. O matrice pătrată se numește nesingulară dacă determinantul ei este diferit de zero. În caz contrar, matricea pătrată se numește singular.

Fiecare matrice nesingulară are un invers.

Transformări matriceale elementare sunt:

schimbarea a două rânduri paralele ale unei matrice;

înmulțirea tuturor elementelor matricei cu un alt număr decât zero;

adunând la toate elementele unei serii matriceale elementele corespunzătoare ale unei serii paralele, înmulțite cu același număr.

Matrice ÎN, obtinut din matrice O folosind transformări elementare se numește echivalent matrice.

Pentru o matrice pătrată nesingulară

matrice inversă de ordinul trei O-1 poate fi calculat folosind următoarea formulă

aici Δ este determinantul matricei O,O ij – adunări algebrice de elemente o ij matrici O.

Elementul rând al matricei este numit extrem , dacă este diferit de zero și toate elementele șirului din stânga acestuia sunt egale cu zero. Matricea se numește călcat , dacă elementul cel mai exterior al fiecărei linii se află în dreapta elementului cel mai exterior al liniei anterioare. De exemplu:

Nu călcat; - a pășit.

Matrici. Acțiuni asupra matricelor. Proprietăţi ale operaţiilor pe matrice. Tipuri de matrice.

Matrici (și, în consecință, secțiunea matematică - algebră matricială) sunt importante în matematica aplicată, deoarece permit să scrieți o parte semnificativă într-o formă destul de simplă modele matematice obiecte și procese. Termenul „matrice” a apărut în 1850. Matricele au fost menționate pentru prima dată în China antică, mai târziu de către matematicienii arabi.

Matrice A=A min se numește ordinul m*n tabel dreptunghiular de numere care conține m - rânduri și n - coloane.

Elemente de matrice aij, pentru care i=j se numesc diagonală și formă diagonala principală.

Pentru o matrice pătrată (m=n), diagonala principală este formată din elementele a 11, a 22,..., a nn.

Egalitatea matricei.

A=B, dacă matricea comandă OŞi B sunt aceleași și a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Acțiuni asupra matricelor.

1. Adunarea matricei - operație în funcție de elemente

2. Scăderea matricelor - operație element-wise

3. Produsul unei matrice printr-un număr - operație element-wise

4. Înmulțirea A*B matrici conform regulii rând la coloană(numărul de coloane ale matricei A trebuie să fie egal cu numărul de rânduri ale matricei B)

A mk *B kn =C mnși fiecare element cu ij matrici Cmn este egală cu suma produselor elementelor rândului i al matricei A cu elementele corespunzătoare ale coloanei j a matricei B, adică.

Să demonstrăm funcționarea înmulțirii matricelor folosind un exemplu

5. Exponentiatie

m>1 este un întreg pozitiv. A este o matrice pătrată (m=n), adică relevante numai pentru matrice pătrată

6. Transpunerea matricei A. Matricea transpusă este notată cu A T sau A"

Rândurile și coloanele schimbate

Exemplu

Proprietăți ale operațiilor pe matrice

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Tipuri de matrice

1. Dreptunghiular: mŞi n- numere întregi pozitive arbitrare

2. Pătrat: m=n

3. Rând matrice: m=1. De exemplu, (1 3 5 7) - în multe probleme practice o astfel de matrice se numește vector

4. Coloana Matrice: n=1. De exemplu

5. Matricea diagonală: m=nŞi a ij =0, Dacă i≠j. De exemplu

6. Matricea de identitate: m=nŞi

7. Matrice zero: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Matrice triunghiulară: toate elementele de sub diagonala principală sunt 0.

9. Matricea simetrică: m=nŞi a ij =a ji(adică în locuri simetrice față de diagonala principală ele stau elemente egale), și prin urmare A"=A

De exemplu,

10. Matrice simetrică oblică: m=nŞi a ij =-a ji(adică, elementele opuse sunt situate în locuri simetrice față de diagonala principală). În consecință, există zerouri pe diagonala principală (de când i=j avem a ii =-a ii)

Clar, A"=-A

11. Matricea hermitiana: m=nŞi a ii =-ã ii (ã ji- complex - conjugat cu a ji, adică Dacă A=3+2i, apoi conjugatul complex Ã=3-2i)

Scopul serviciului. Calculator matrice este destinat pentru rezolvarea expresiilor matriceale, de exemplu, cum ar fi 3A-CB 2 sau A -1 +B T .

Instrucţiuni. Pentru o soluție online, trebuie să specificați o expresie matriceală. În a doua etapă, va fi necesar să se clarifice dimensiunea matricelor. Operații valide: înmulțire (*), adunare (+), scădere (-), matrice inversă A^(-1), exponențiere (A^2, B^3), transpunere matrice (A^T).

Operații valide: înmulțire (*), adunare (+), scădere (-), matrice inversă A^(-1), exponențiere (A^2, B^3), transpunere matrice (A^T).
Pentru a efectua o listă de operații, utilizați un separator punct și virgulă (;). De exemplu, pentru a efectua trei operații:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
va trebui să o scrieți astfel: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matrice - dreptunghiulară tabel numeric, având m rânduri și n coloane, deci matricea poate fi reprezentată schematic ca dreptunghi.
Matrice zero (matrice nulă) este o matrice ale cărei elemente sunt toate egale cu zero și sunt notate cu 0.
Matricea identitară se numește matrice pătrată de forma

Două matrice A și B sunt egale, dacă au aceeași dimensiune și elementele corespunzătoare sunt egale.
Matrice singulară este o matrice al cărei determinant este egal cu zero (Δ = 0).

Să definim operații de bază pe matrici.

Adăugarea matricei

Definiție . Suma a două matrice A=||a i k || și B=||b i k || de aceeași mărime se numește matrice C=||c i k || de aceleași dimensiuni, ale căror elemente se găsesc prin formula c i k =a i k +b i k. Notat cu C=A+B.

Exemplul 6. .
Operația de adăugare a matricei se extinde la cazul oricărui număr de termeni. Evident A+0=A .
Să subliniem încă o dată că pot fi adăugate numai matrice de aceeași dimensiune; pentru matrice dimensiuni diferite operația de adăugare nu este definită.

Scăderea matricelor

Definiție . Diferența B-A matricele B și A de aceeași dimensiune se numesc matrice C astfel încât A+C=B.

Înmulțirea matricei

Definiție . Produsul matricei A=||a i k || cu numărul α este matricea C=||c i k ||, obținută din A prin înmulțirea tuturor elementelor sale cu α, c i k =α·a i k.

Definiție . Fie două matrice A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) și B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), iar numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de rânduri ale lui B. Produsul lui A și B este matricea C=||c i k ||, ale cărei elemente se găsesc prin formula .
Notat cu C=A·B.
Schematic, operația de înmulțire a matricei poate fi descrisă după cum urmează:

și regula pentru calcularea unui element dintr-un produs:

Să subliniem încă o dată că produsul A·B are sens dacă și numai dacă numărul de coloane al primului factor este egal cu numărul de rânduri al celui de-al doilea, iar produsul produce o matrice al cărei număr de rânduri este egal cu numărul de rânduri al primului factor, iar numărul de coloane este egal cu numărul de coloane al celui de-al doilea. Puteți verifica rezultatul înmulțirii folosind un calculator special online.

Exemplul 7. Matrici date Şi . Găsiți matrice C = A·B și D = B·A.
Soluţie. În primul rând, rețineți că produsul A·B există deoarece numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de rânduri ale lui B.

Rețineți că în cazul general A·B≠B·A, adică. produsul matricelor este anticomutativ.
Să găsim B·A (înmulțirea este posibilă).

Exemplul 8. Dată o matrice . Găsiți 3A 2 – 2A.
Soluţie.

.
; .
.
Să remarcăm următorul fapt interesant.
După cum știți, produsul a două numere diferite de zero nu este egal cu zero. Pentru matrice, este posibil să nu apară o circumstanță similară, adică produsul matricelor diferite de zero se poate dovedi egal cu matricea nulă.

Acest subiect va acoperi operațiuni precum adunarea și scăderea matricelor, înmulțirea unei matrice cu un număr, înmulțirea unei matrice cu o matrice și transpunerea unei matrice. Toate simbolurile folosite pe această pagină sunt preluate din subiectul anterior.

Adunarea și scăderea matricelor.

Suma $A+B$ a matricelor $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se numește matrice $C_(m \times n) =(c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pentru toate $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline( 1,n) $.

O definiție similară este introdusă pentru diferența de matrice:

Diferența dintre matricele $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times n)=( c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1, n)$.

Explicație pentru intrarea $i=\overline(1,m)$: show\hide

Notația „$i=\overline(1,m)$” înseamnă că parametrul $i$ variază de la 1 la m. De exemplu, intrarea $i=\overline(1,5)$ indică faptul că parametrul $i$ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.

Este de remarcat faptul că operațiile de adunare și scădere sunt definite numai pentru matrice de aceeași dimensiune. În general, adunarea și scăderea matricelor sunt operații clare intuitiv, deoarece ele înseamnă în esență doar însumarea sau scăderea elementelor corespunzătoare.

Exemplul nr. 1

Sunt date trei matrice:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Este posibil să găsim matricea $A+F$? Găsiți matrice $C$ și $D$ dacă $C=A+B$ și $D=A-B$.

Matricea $A$ conține 2 rânduri și 3 coloane (cu alte cuvinte, dimensiunea matricei $A$ este $2\xtime 3$), iar matricea $F$ conține 2 rânduri și 2 coloane. Dimensiunile matricelor $A$ și $F$ nu coincid, așa că nu le putem adăuga, adică. operația $A+F$ nu este definită pentru aceste matrici.

Dimensiunile matricelor $A$ și $B$ sunt aceleași, adică. Datele matricei conțin un număr egal de rânduri și coloane, astfel încât operația de adăugare este aplicabilă acestora.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Să găsim matricea $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)-\left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Răspuns: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ cu numărul $\alpha$ este matricea $B_(m\times n)=(b_(ij))$, unde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1,n)$.

Mai simplu spus, înmulțirea unei matrice cu un anumit număr înseamnă înmulțirea fiecărui element dintr-o matrice dată cu acel număr.

Exemplul nr. 2

Matricea este dată: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Găsiți matrice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ și $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( matrice) (ccc) 3\cdot(-1) și 3\cdot(-2) și 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 și 3\cdot 9 și 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

Notația $-A$ este o notație scurtă pentru $-1\cdot A$. Adică, pentru a găsi $-A$ trebuie să înmulțiți toate elementele matricei $A$ cu (-1). În esență, aceasta înseamnă că semnul tuturor elementelor matricei $A$ se va schimba în opus:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ stânga(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Răspuns: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Produsul a două matrice.

Definiția acestei operațiuni este greoaie și, la prima vedere, neclară. Prin urmare, mai întâi voi indica o definiție generală, apoi vom analiza în detaliu ce înseamnă aceasta și cum să lucrăm cu ea.

Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ de la matricea $B_(n\times k)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times k )=(c_( ij))$, pentru care fiecare element $c_(ij)$ este egal cu suma produselor elementelor corespondente I-a linie matricea $A$ în elementele coloanei j a matricei $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Să ne uităm la înmulțirea matricei pas cu pas folosind un exemplu. Cu toate acestea, ar trebui să rețineți imediat că nu toate matricele pot fi multiplicate. Dacă dorim să înmulțim matricea $A$ cu matricea $B$, atunci trebuie mai întâi să ne asigurăm că numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $B$ (astfel de matrici sunt adesea numite convenit). De exemplu, matricea $A_(5\times 4)$ (matricea conține 5 rânduri și 4 coloane) nu poate fi înmulțită cu matricea $F_(9\times 8)$ (9 rânduri și 8 coloane), deoarece numărul de coloane ale matricei $A $ nu este egal cu numărul de rânduri ale matricei $F$, adică. $4\neq 9$. Dar puteți înmulți matricea $A_(5\times 4)$ cu matricea $B_(4\times 9)$, deoarece numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $ B$. În acest caz, rezultatul înmulțirii matricelor $A_(5\times 4)$ și $B_(4\times 9)$ va fi matricea $C_(5\times 9)$, care conține 5 rânduri și 9 coloane:

Exemplul nr. 3

Matrici date: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matrice) \right)$ și $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 și 3 \\ 6 și 20 \\ 7 și 0 \\ 12 și -4 \end (matrice) \right) $. Găsiți matricea $C=A\cdot B$.

Mai întâi, să determinăm imediat dimensiunea matricei $C$. Deoarece matricea $A$ are dimensiunea $3\x 4$, iar matricea $B$ are dimensiunea $4\x 2$, atunci dimensiunea matricei $C$ este: $3\x 2$:

Deci, ca rezultat al produsului matricelor $A$ și $B$, ar trebui să obținem o matrice $C$, formată din trei rânduri și două coloane: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) și c_( 12) \\ c_(21) și c_(22) \\ c_(31) și c_(32) \end(array) \right)$. Dacă desemnarea elementelor ridică întrebări, atunci puteți consulta subiectul anterior: „Tipuri de matrice”, la începutul căruia este explicată desemnarea elementelor matricei. Scopul nostru: găsiți valorile tuturor elementelor matricei $C$.

Să începem cu elementul $c_(11)$. Pentru a obține elementul $c_(11)$, trebuie să găsiți suma produselor elementelor din primul rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:

Pentru a găsi elementul $c_(11)$ în sine, trebuie să înmulțiți elementele primului rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din prima coloană a matricei $B$, adică. primul element la primul, al doilea la al doilea, al treilea la al treilea, al patrulea la al patrulea. Rezumam rezultatele obtinute:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Să continuăm soluția și să găsim $c_(12)$. Pentru a face acest lucru, va trebui să înmulți elementele din primul rând al matricei $A$ și din a doua coloană a matricei $B$:

Similar cu precedenta, avem:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Toate elementele primului rând al matricei $C$ au fost găsite. Să trecem la a doua linie, care începe cu elementul $c_(21)$. Pentru a-l găsi, va trebui să înmulți elementele celui de-al doilea rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Găsim următorul element $c_(22)$ înmulțind elementele celui de-al doilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Pentru a găsi $c_(31)$, înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele primei coloane a matricei $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Și, în final, pentru a găsi elementul $c_(32)$, va trebui să înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Toate elementele matricei $C$ au fost găsite, tot ce rămâne este să scrieți că $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( matrice) \right)$ . Sau, pentru a scrie integral:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Răspuns: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Apropo, adesea nu există niciun motiv pentru a descrie în detaliu locația fiecărui element al matricei rezultate. Pentru matricele a căror dimensiune este mică, puteți face acest lucru:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 și 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) și 6\cdot(9)+3\cdot(90) ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 și 324 \\ -56 și -333 \end(array) \right) $$

De asemenea, este de remarcat faptul că înmulțirea matricei este necomutativă. Aceasta înseamnă că în cazul general $A\cdot B\neq B\cdot A$. Numai pentru unele tipuri de matrice, care sunt numite permutabil(sau naveta), egalitatea $A\cdot B=B\cdot A$ este adevărată. Pe baza necomutativității înmulțirii trebuie să indicăm exact cum înmulțim expresia cu o anumită matrice: în dreapta sau în stânga. De exemplu, expresia „înmulțiți ambele părți ale egalității $3E-F=Y$ cu matricea $A$ din dreapta” înseamnă că doriți să obțineți următoarea egalitate: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transpusă față de matricea $A_(m\times n)=(a_(ij))$ este matricea $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pentru elementele care $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Mai simplu spus, pentru a obține o matrice transpusă $A^T$, trebuie să înlocuiți coloanele din matricea originală $A$ cu rândurile corespunzătoare conform acestui principiu: a existat un prim rând - va fi o primă coloană ; a fost o a doua linie - va fi o a doua coloană; a fost un al treilea rând - va fi o a treia coloană și așa mai departe. De exemplu, să găsim matricea transpusă în matricea $A_(3\times 5)$:

În consecință, dacă matricea originală a avut o dimensiune de $3\times 5$, atunci matricea transpusă are o dimensiune de $5\times 3$.

Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.

Aici se presupune că $\alpha$, $\beta$ sunt niște numere și $A$, $B$, $C$ sunt matrici. Pentru primele patru proprietăți am indicat nume, restul pot fi numite prin analogie cu primele patru.