Care este excentricitatea unei elipse. Elipsa și ecuația ei

Curbe de ordinul doi pe un plan sunt drepte definite prin ecuații în care coordonatele variabilei xŞi y sunt cuprinse în gradul doi. Acestea includ elipsa, hiperbola și parabola.

Forma generală a ecuației curbei de ordinul doi este următoarea:

Unde A, B, C, D, E, F- numere și cel puțin unul dintre coeficienți A, B, C nu este egal cu zero.

La rezolvarea problemelor cu curbe de ordinul doi, cel mai adesea sunt luate în considerare ecuațiile canonice ale elipsei, hiperbolei și parabolei. Este ușor să treceți la ele din ecuațiile generale. Exemplul 1 de probleme cu elipse va fi dedicat acestui lucru.

Elipsa dată de ecuația canonică

Definiţia an elipse. O elipsă este mulțimea tuturor punctelor planului pentru care suma distanțelor până la punctele numite focare este o valoare constantă mai mare decât distanța dintre focare.

Focalizările sunt indicate ca în figura de mai jos.

Ecuația canonică a unei elipse are forma:

Unde oŞi b (o > b) - lungimile semi-axelor, adică jumătate din lungimile segmentelor tăiate de elipsă pe axele de coordonate.

Linia dreaptă care trece prin focarele elipsei este axa ei de simetrie. O altă axă de simetrie a unei elipse este o linie dreaptă care trece prin mijlocul unui segment perpendicular pe acest segment. Punct DESPRE intersecția acestor drepte servește ca centru de simetrie al elipsei sau pur și simplu ca centru al elipsei.

Axa absciselor elipsei se intersectează în punctele ( o, DESPRE) Și (- o, DESPRE), iar axa ordonatelor este în puncte ( b, DESPRE) Și (- b, DESPRE). Aceste patru puncte sunt numite vârfuri ale elipsei. Segmentul dintre vârfurile elipsei de pe axa x se numește axa sa majoră, iar pe axa ordonatelor - axa sa minoră. Segmentele lor dinspre vârf spre centrul elipsei se numesc semi-axe.

Dacă o = b, atunci ecuația elipsei ia forma . Aceasta este ecuația unui cerc cu rază o, iar un cerc este un caz special al unei elipse. O elipsă poate fi obținută dintr-un cerc cu rază o, dacă îl comprimați în o/b ori de-a lungul axei Oi .

Exemplul 1. Verificați dacă o dreaptă dată de o ecuație generală este , elipsă.

Soluţie. Transformăm ecuația generală. Folosim transferul termenului liber în partea dreaptă, împărțirea termen cu termen a ecuației cu același număr și reducerea fracțiilor:

Răspuns. Ecuația obținută în urma transformărilor este ecuația canonică a elipsei. Prin urmare, această linie este o elipsă.

Exemplul 2. Compuneți ecuația canonică a unei elipse dacă semiaxele sale sunt egale cu 5 și, respectiv, 4.

Soluţie. Ne uităm la formula pentru ecuația canonică a unei elipse și înlocuim: semiaxa majoră este o= 5, semiaxa minoră este b= 4 . Obținem ecuația canonică a elipsei:

Punctele și , indicate cu verde pe axa majoră, unde

sunt numite trucuri.

numit excentricitate elipsă.

Atitudine b/o caracterizează „oblatirea” elipsei. Cu cât acest raport este mai mic, cu atât elipsa este mai alungită de-a lungul axei majore. Cu toate acestea, gradul de alungire al unei elipse este exprimat mai des prin excentricitate, a cărei formulă este dată mai sus. Pentru diferite elipse, excentricitatea variază de la 0 la 1, rămânând întotdeauna mai mică decât unitate.

Exemplul 3. Compuneți ecuația canonică a elipsei dacă distanța dintre focare este 8 și axa majoră este 10.

Soluţie. Să tragem câteva concluzii simple:

Dacă axa majoră este egală cu 10, atunci jumătate din ea, adică semiaxa o = 5 ,

Dacă distanța dintre focare este 8, atunci numărul c dintre coordonatele focale este egală cu 4.

Inlocuim si calculam:

Rezultatul este ecuația canonică a elipsei:

Exemplul 4. Compuneți ecuația canonică a unei elipse dacă axa ei majoră este 26 și excentricitatea ei este .

Soluţie. După cum rezultă atât din dimensiunea axei majore, cât și din ecuația excentricității, semiaxa majoră a elipsei o= 13. Din ecuația excentricității exprimăm numărul c, necesar pentru a calcula lungimea semiaxei minore:

.

Calculăm pătratul lungimii semiaxei minore:

Compunem ecuația canonică a elipsei:

Exemplul 5. Determinați focarele elipsei date de ecuația canonică.

Soluţie. Găsiți numărul c, care determină primele coordonate ale focarelor elipsei:

.

Obținem focusurile elipsei:

Exemplul 6. Focarele elipsei sunt situate pe axă Bou simetric fata de origine. Compuneți ecuația canonică a elipsei dacă:

1) distanța dintre focusuri este 30, iar axa majoră este 34

2) axa minoră 24, iar unul dintre focusuri este în punctul (-5; 0)

3) excentricitate, iar unul dintre focare este în punctul (6; 0)

Să continuăm să rezolvăm împreună problemele elipselor

Dacă este un punct arbitrar al elipsei (indicat cu verde în partea dreaptă sus a elipsei din desen) și este distanța până la acest punct de la focare, atunci formulele pentru distanțe sunt următoarele:

Pentru fiecare punct aparținând elipsei, suma distanțelor de la focare este o valoare constantă egală cu 2 o.

Liniile definite prin ecuații

sunt numite directoare elipsă (în desen există linii roșii de-a lungul marginilor).

Din cele două ecuații de mai sus rezultă că pentru orice punct al elipsei

,

unde si sunt distantele acestui punct fata de directrice si .

Exemplul 7. Dată o elipsă. Scrieți o ecuație pentru directricele sale.

Soluţie. Ne uităm la ecuația directricei și aflăm că trebuie să găsim excentricitatea elipsei, adică. Avem toate datele pentru asta. Noi calculăm:

.

Obținem ecuația directricelor elipsei:

Exemplul 8. Compuneți ecuația canonică a unei elipse dacă focarele sale sunt puncte și directricele sunt drepte.

Circumferinţă este o curbă plană închisă, toate punctele căreia sunt echidistante de un punct dat (centrul cercului). Distanța de la orice punct al cercului \(P\left((x,y)\right)\) până la centrul său se numește rază. Centrul cercului și cercul însuși se află în același plan. Ecuația unui cerc cu raza \(R\) cu centrul la origine ( ecuația canonică a unui cerc ) are forma
\((x^2) + (y^2) = (R^2)\).

Ecuația unui cerc raza \(R\) cu centrul într-un punct arbitrar \(A\left((a,b) \right)\) se scrie ca
\((\left((x - a) \right)^2) + (\left((y - b) \right)^2) = (R^2)\).



Ecuația unui cerc care trece prin trei puncte , scris sub forma: \(\left| (\begin(array)(*(20)(c)) ((x^2) + (y^2)) & x & y & 1\\ (x_1^ 2 + y_1^2) și ((x_1)) și ((y_1)) și 1\\ (x_2^2 + y_2^2) și ((x_2)) și ((y_2)) și 1\\ (x_3^ 2 + y_3^2) & ((x_3)) & ((y_3)) & 1 \end(array)) \right = 0.\\\)
Aici \(A\left(((x_1),(y_1)) \right)\), \(B\left(((x_2),(y_2)) \right)\), \(C\left(( (x_3),(y_3)) \right)\) sunt trei puncte situate pe cerc.



Ecuația unui cerc în formă parametrică
\(\left\( \begin(aligned) x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
unde \(x\), \(y\) sunt coordonatele punctelor cercului, \(R\) este raza cercului, \(t\) este parametrul.

Ecuația generală a unui cerc
\(A(x^2) + A(y^2) + Dx + Ey + F = 0\)
sub rezerva \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Centrul cercului este situat în punctul cu coordonatele \(\left((a,b)\right)\), unde
\(a = - \large\frac(D)((2A))\normalsize,\;\;b = - \large\frac(E)((2A))\normalsize.\)
Raza cercului este
\(R = \sqrt (\large\frac(((D^2) + (E^2) - 4AF))((2\left| A \right|))\normalsize) \)

Elipsă se numește curbă plană pentru fiecare punct din care suma distanțelor la doi puncte date (focare de elipsă ) este constantă. Distanța dintre focare se numește distanta focala și se notează cu \(2c\). Mijlocul segmentului care leagă focarele se numește centrul elipsei . O elipsă are două axe de simetrie: prima sau axă focală, care trece prin focare, și a doua axă perpendiculară pe aceasta. Se numesc punctele de intersecție a acestor axe cu elipsa culmi. Segmentul care leagă centrul elipsei cu vârful se numește semiaxa elipsei . Semiaxa majoră se notează cu \(a\), semiaxa mică cu \(b\). O elipsă al cărei centru este la origine și ale cărei semi-axe se află pe linii de coordonate este descrisă după cum urmează ecuație canonică :
\(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalsize + \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ dimensiune normală = 1.\)



Suma distanțelor de la orice punct al elipsei până la focarele sale constant:
\((r_1) + (r_2) = 2a\),
unde \((r_1)\), \((r_2)\) sunt distanțele de la un punct arbitrar \(P\left((x,y) \right)\) până la focare \((F_1)\) și \(( F_2)\), \(a\) este semiaxa majoră a elipsei.



Relația dintre semiaxele elipsei și distanța focală
\((a^2) = (b^2) + (c^2)\),
unde \(a\) este semiaxa majoră a elipsei, \(b\) este semiaxa minoră, \(c\) este jumătate din distanța focală.

Excentricitatea elipsei
\(e = \large\frac(c)(a)\normalsize

Ecuații ale directricelor elipselor
Directricea unei elipse este o linie dreaptă perpendiculară pe axa ei focală și care o intersectează la o distanță \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) de centru. Elipsa are două directrice situate pe laturile opuse ale centrului. Ecuațiile directrice sunt scrise sub forma
\(x = \pm \large\frac(a)(e)\normalsize = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalsize.\)

Ecuația unei elipse în formă parametrică
\(\left\( \begin(aligned) x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
unde \(a\), \(b\) sunt semiaxele elipsei, \(t\) este parametrul.

Ecuația generală a elipsei
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
unde \((B^2) - 4AC

Ecuația generală a unei elipse ale cărei semi-axe sunt paralele cu axele de coordonate
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
unde \(AC > 0\).

Perimetrul elipsei
\(L = 4aE\stânga(e\dreapta)\),
unde \(a\) este semiaxa majoră a elipsei, \(e\) este excentricitatea, \(E\) este integrală eliptică completă de al doilea fel.

Formule aproximative pentru perimetrul unei elipse
\(L \aprox \pi \left[ (\large\frac(3)(2)\normalsize\left((a + b) \right) - \sqrt (ab) ) \right],\;\;L \aproximativ \pi \sqrt (2\left(((a^2) + (b^2)) \right)),\)
unde \(a\), \(b\) sunt semiaxele elipsei.

Zona elipsei
\(S = \pi ab\)

11.1. Concepte de bază

Să luăm în considerare liniile definite prin ecuații de gradul doi în raport cu coordonatele curente

Coeficienții ecuației sunt numere reale, dar cel puțin unul dintre numerele A, B sau C este diferit de zero. Astfel de linii se numesc linii (curbe) de ordinul doi. Mai jos se va stabili că ecuația (11.1) definește un cerc, elipsă, hiperbolă sau parabolă pe plan. Înainte de a trece la această afirmație, să studiem proprietățile curbelor enumerate.

11.2. Cerc

Cea mai simplă curbă de ordinul doi este un cerc. Reamintim că un cerc de rază R cu centru într-un punct este mulțimea tuturor punctelor M ale planului care îndeplinesc condiția . Fie ca un punct dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular să aibă coordonatele x 0, y 0 și - un punct arbitrar pe cerc (vezi Fig. 48).

Apoi din condiție obținem ecuația

(11.2)

Ecuația (11.2) este satisfăcută de coordonatele oricărui punct dintr-un cerc dat și nu este satisfăcută de coordonatele oricărui punct care nu se află pe cerc.

Ecuația (11.2) se numește ecuația canonică a unui cerc

În special, stabilind și , obținem ecuația unui cerc cu centrul la origine .

Ecuația cercului (11.2) după transformări simple va lua forma . Când comparăm această ecuație cu ecuația generală (11.1) a unei curbe de ordinul doi, este ușor de observat că sunt îndeplinite două condiții pentru ecuația unui cerc:

1) coeficienții pentru x 2 și y 2 sunt egali între ei;

2) nu există niciun membru care să conţină produsul xy al coordonatelor curente.

Să luăm în considerare problema inversă. Punând valorile și în ecuația (11.1), obținem

Să transformăm această ecuație:

(11.4)

Rezultă că ecuația (11.3) definește un cerc sub condiția . Centrul său este în punct

.

, și raza Dacă

.

, atunci ecuația (11.3) are forma Este satisfăcut de coordonatele unui singur punct

. În acest caz, ei spun: „cercul a degenerat într-un punct” (are rază zero).

Dacă

Ecuația canonică a elipsei

Elipsă este mulțimea tuturor punctelor unui plan, suma distanțelor de la fiecare dintre acestea la două puncte date ale acestui plan, numite trucuri , este o valoare constantă mai mare decât distanța dintre focare.

Să notăm focusurile prin F 1Şi F 2, distanța dintre ele este 2 c, și suma distanțelor de la un punct arbitrar al elipsei la focare - în 2 o(vezi Fig. 49). Prin definiție 2 o > 2c, adică o > c.

Pentru a deriva ecuația elipsei, alegem un sistem de coordonate astfel încât focarele F 1Şi F 2 așezat pe axă, iar originea a coincis cu mijlocul segmentului F 1 F 2.

Atunci focarele vor avea următoarele coordonate: și .

Fie un punct arbitrar al elipsei. Apoi, conform definiției unei elipse, i.e.

Aceasta, în esență, este ecuația unei elipse. Să transformăm ecuația (11.5) în mai mult vedere simplă

după cum urmează: o>Deoarece Cu

(11.6)

, Asta . Să punem

(11.7)

Apoi ultima ecuație va lua forma sau Se poate dovedi că ecuația (11.7) este echivalentă cu ecuația inițială. Se numește .

ecuația elipsei canonice

O elipsă este o curbă de ordinul doi.

Studierea formei unei elipse folosind ecuația acesteia

Să stabilim forma elipsei folosind ecuația ei canonică.

1. Ecuația (11.7) conține x și y numai în puteri pare, deci dacă un punct aparține elipsei, atunci îi aparțin și punctele ,,. Rezultă că elipsa este simetrică față de axele și, precum și față de punctul, care se numește centrul elipsei. 1 , 2. Aflați punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate. Punând , găsim două puncte și , la care axa intersectează elipsa (vezi Fig. 50). Punând în ecuația (11.7) , găsim punctele de intersecție ale elipsei cu axa: și . Puncte , O, A 2 sunt numite B 1 B 2 Rezultă că elipsa este simetrică față de axele și, precum și față de punctul, care se numește centrul elipsei. 1 2. Aflați punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate. Punând , găsim două puncte și , la care axa intersectează elipsa (vezi Fig. 50). Punând în ecuația (11.7) , găsim punctele de intersecție ale elipsei cu axa: și . PuncteŞi vârfurile elipsei. Segmente o B 1 B 2 b, precum și lungimile acestora 2 și 2 sunt numite în consecință oŞi b axele majore și minore elipsă. Numerele elipsă.

sunt numite mari și, respectiv, mici

arbori de osie

3. Din ecuația (11.7) rezultă că fiecare termen din partea stângă nu depășește unul, i.e. au loc inegalitățile și sau și. În consecință, toate punctele elipsei se află în interiorul dreptunghiului format din liniile drepte.

4. În ecuația (11.7), suma termenilor nenegativi și este egală cu unu. În consecință, pe măsură ce un termen crește, celălalt va scădea, adică dacă crește, scade și invers.

Forma elipsei depinde de raport.

Când elipsa se transformă într-un cerc, ecuația elipsei (11.7) ia forma . Raportul este adesea folosit pentru a caracteriza forma unei elipse.<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Raportul dintre jumătate din distanța dintre focare și semiaxa majoră a elipsei se numește excentricitatea elipsei și o6o este notat cu litera ε ("epsilon"):

cu 0

Aceasta arată că cu cât excentricitatea elipsei este mai mică, cu atât elipsa va fi mai puțin aplatizată; dacă setăm ε = 0, atunci elipsa se transformă într-un cerc.

Fie M(x;y) un punct arbitrar al elipsei cu focare F 1 și F 2 (vezi Fig. 51). Lungimile segmentelor F 1 M = r 1 și F 2 M = r 2 se numesc razele focale ale punctului M. Evident,

Formulele sunt valabile Se numesc linii directe

Teorema 11.1. .

Dacă este distanța de la un punct arbitrar al elipsei la un focar, d este distanța de la același punct la directrixa corespunzătoare acestui focar, atunci raportul este o valoare constantă egală cu excentricitatea elipsei:

Din egalitatea (11.6) rezultă că . Dacă, atunci ecuația (11.7) definește o elipsă, a cărei axă majoră se află pe axa Oy și axa minoră pe axa Ox (vezi Fig. 52). Focarele unei astfel de elipse sunt în punctele și , unde

11.4. Hiperbolă Ecuația canonică a hiperbolei trucuri Hiperbolă

Să notăm focusurile prin F 1Şi F 2 este mulțimea tuturor punctelor planului, modulul diferenței de distanțe de la fiecare dintre ele la două puncte date ale acestui plan, numite , este o valoare constantă mai mică decât distanța dintre focare. distanța dintre ele este 2s, și modulul diferenței de distanțe de la fiecare punct al hiperbolei la focare prin 2s < , este o valoare constantă mai mică decât distanța dintre focare. 2a o < c.

. Prin definiție F 1Şi , adică Pentru a deriva ecuația hiperbolei, alegem un sistem de coordonate astfel încât focarele F 1 F 2 F 2

așezat pe axă, iar originea a coincis cu mijlocul segmentului (vezi Fig. 53). Apoi focarele vor avea coordonate și Fie un punct arbitrar al hiperbolei. Apoi, conform definiției unei hiperbole

(11.9)

(11.10)

sau , adică După simplificări, așa cum sa făcut la derivarea ecuației elipsei, obținem

ecuația canonică a hiperbolei

O hiperbola este o linie de ordinul doi.

Studierea formei unei hiperbole folosind ecuația acesteia Să stabilim forma hiperbolei folosind ecuația sa caconică.

2. Aflați punctele de intersecție ale hiperbolei cu axele de coordonate. Punând în ecuația (11.9), găsim două puncte de intersecție ale hiperbolei cu axa: și. Introducând (11.9), obținem , care nu poate fi. Prin urmare, hiperbola nu intersectează axa Oy.

Punctele sunt numite culmi hiperbole și segmentul

axa reală , segment - semiaxă reală hiperbolă.

Se numește un segment care leagă punctele axa imaginară , numărul b - semiaxă imaginară . 2sŞi Dreptunghi cu laturi 2b numit .

dreptunghi de bază al hiperbolei

3. Din ecuația (11.9) rezultă că minuendul nu este mai mic de unu, adică acel sau .

Aceasta înseamnă că punctele hiperbolei sunt situate la dreapta liniei (ramura dreaptă a hiperbolei) și la stânga liniei (ramura stângă a hiperbolei).

4. Din ecuația (11.9) a hiperbolei este clar că atunci când crește, crește.

Aceasta rezultă din faptul că diferența menține o valoare constantă egală cu unu. Din cele de mai sus rezultă că hiperbola are forma prezentată în Figura 54 (o curbă formată din două ramuri nelimitate).

Asimptotele unei hiperbole

(11.11)

Linia dreaptă L se numește asimptotă

curba nemărginită K, dacă distanța d de la punctul M al curbei K la această dreaptă tinde spre zero atunci când distanța punctului M de-a lungul curbei K de la origine este nelimitată. Figura 55 oferă o ilustrare a conceptului de asimptotă: linia dreaptă L este o asimptotă pentru curba K.

Să arătăm că hiperbola are două asimptote: Deoarece liniile drepte (11.11) și hiperbola (11.9) sunt simetrice față de axele de coordonate, este suficient să luăm în considerare doar acele puncte ale liniilor indicate care sunt situate în primul sfert.

Să luăm un punct N pe o dreaptă care are aceeași abscisă x ca punctul de pe hiperbolă

(vezi Fig. 56) și găsiți diferența ΜΝ dintre ordonatele dreptei și ramura hiperbolei:

După cum puteți vedea, pe măsură ce x crește, numitorul fracției crește; numărătorul este o valoare constantă. Prin urmare, lungimea segmentului

ΜΝ tinde spre zero. Deoarece MΝ este mai mare decât distanța d de la punctul M la linie, atunci d tinde spre zero. Deci, liniile sunt asimptote ale hiperbolei (11.9).

(11.12)

Asimptotele unei hiperbole echilaterale au ecuații și, prin urmare, sunt bisectoare ale unghiurilor de coordonate.

Să considerăm ecuația acestei hiperbole într-un nou sistem de coordonate (vezi Fig. 58), obținut din cel vechi prin rotirea axelor de coordonate cu un unghi.

Folosim formulele pentru rotirea axelor de coordonate:

Inlocuim valorile lui x si y in ecuatia (11.12):

Ecuația unei hiperbole echilaterale, pentru care axele Ox și Oy sunt asimptote, va avea forma .

Mai multe informații despre hiperbolă Excentricitate

hiperbola (11.9) este raportul dintre distanța dintre focare și valoarea axei reale a hiperbolei, notat cu ε: .

Deoarece pentru o hiperbolă , excentricitatea hiperbolei este mai mare decât unu: . Excentricitatea caracterizează forma unei hiperbole. Într-adevăr, din egalitate (11.10) rezultă că i.e.

Şi

Din aceasta se poate observa că cu cât excentricitatea hiperbolei este mai mică, cu atât este mai mic raportul semi-axelor sale și, prin urmare, cu atât dreptunghiul său principal este mai alungit. Excentricitatea unei hiperbole echilaterale este . într-adevăr, Raze focale Excentricitatea unei hiperbole echilaterale este . într-adevăr, .

Şi

pentru punctele ramurii drepte hiperbolele au forma și , iar pentru ramura stângă -

Liniile directe se numesc directrice ale unei hiperbole. Deoarece pentru o hiperbolă ε > 1, atunci . o Aceasta înseamnă că directricea dreaptă este situată între centrul și vârful drept al hiperbolei, stânga - între centru și vârful stâng.

Direcricele unei hiperbole au aceeași proprietate ca și directricele unei elipse.

Curba definită de ecuație este, de asemenea, o hiperbolă, a cărei axă reală 2b este situată pe axa Oy, iar axa imaginară 2

- pe axa Bou. În Figura 59 este prezentat ca o linie punctată.

Este evident că hiperbolele au asimptote comune. Astfel de hiperbole se numesc conjugate.

11.5. Parabolă

Ecuația parabolei canonice

2. Deoarece ρ > 0, din (11.13) rezultă că . În consecință, parabola este situată în dreapta axei Oy.

3. Când avem y = 0. Prin urmare, parabola trece prin origine.

4. Pe măsură ce x crește la nesfârșit, modulul y crește și el la infinit. Parabola are forma (forma) prezentată în Figura 61. Punctul O(0; 0) se numește vârful parabolei, segmentul FM = r se numește raza focală a punctului M.

Ecuații , , ( p>0) definesc de asemenea parabole, acestea fiind prezentate în Figura 62

Este ușor de arătat că graficul unui trinom pătratic, unde , B și C sunt numere reale, este o parabolă în sensul definiției sale prezentate mai sus.

11.6. Ecuația generală a liniilor de ordinul doi

Ecuații ale curbelor de ordinul doi cu axe de simetrie paralele cu axele de coordonate

Să găsim mai întâi ecuația unei elipse cu un centru în punct, ale cărei axe de simetrie sunt paralele cu axele de coordonate Ox și Oy, iar semiaxele sunt, respectiv, egale. oŞi b. Să plasăm în centrul elipsei O 1 începutul unui nou sistem de coordonate, ale cărui axe și semiaxe oŞi b(vezi Fig. 64):

În cele din urmă, parabolele prezentate în Figura 65 au ecuații corespunzătoare.

Ecuaţie

Ecuațiile unei elipse, hiperbole, parabole și ecuația unui cerc după transformări (deschideți paranteze, mutați toți termenii ecuației într-o parte, aduceți termeni similari, introduceți noi notații pentru coeficienți) pot fi scrise folosind o singură ecuație a formă

unde coeficienții A și C nu sunt egali cu zero în același timp.

Se pune întrebarea: fiecare ecuație de forma (11.14) determină una dintre curbele (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă) de ordinul doi? Răspunsul este dat de următoarea teoremă.

Teorema 11.2. Ecuația (11.14) definește întotdeauna: fie un cerc (pentru A = C), fie o elipsă (pentru A C > 0), fie o hiperbolă (pentru A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Ecuație generală de ordinul doi

Să considerăm acum o ecuație generală de gradul doi cu două necunoscute:

Diferă de ecuația (11.14) prin prezența unui termen cu produsul coordonatelor (B¹ 0). Este posibil, prin rotirea axelor de coordonate cu un unghi a, să se transforme această ecuație astfel încât termenul cu produsul coordonatelor să fie absent.

Utilizarea formulelor de rotație a axelor

Să exprimăm coordonatele vechi în termenii celor noi:

Să alegem unghiul a astfel încât coeficientul pentru x" · y" să devină zero, adică astfel încât egalitatea

Astfel, atunci când axele sunt rotite cu un unghi a care îndeplinește condiția (11.17), ecuația (11.15) se reduce la ecuația (11.14).

Concluzie: ecuația generală de ordinul doi (11.15) definește pe plan (cu excepția cazurilor de degenerare și dezintegrare) următoarele curbe: cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă.

Notă: Dacă A = C, atunci ecuația (11.17) devine lipsită de sens. În acest caz, cos2α = 0 (vezi (11.16)), apoi 2α = 90°, adică α = 45°. Deci, când A = C, sistemul de coordonate ar trebui rotit cu 45°.

Ecuația canonică a elipsei are forma

unde a este semiaxa majoră; b – semiaxa minoră. Se numesc punctele F1(c,0) si F2(-c,0) − c

a, b - semiaxele elipsei.

Găsirea focarelor, excentricității, directricelor unei elipse, dacă se cunoaște ecuația canonică a acesteia.

Definiţia hyperbole. Trucuri hiperbole.

Definiţie. O hiperbolă este un set de puncte dintr-un plan pentru care modulul diferenței de distanțe de la două puncte date, numite focare, este o valoare constantă mai mică decât distanța dintre focare.

Prin definiție |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – focarele hiperbolei. F1F2 = 2c.

Ecuația canonică a unei hiperbole. Semiaxele unei hiperbole. Construirea unei hiperbole dacă este cunoscută ecuația ei canonică.

Ecuația canonică:

Semiaxa majoră a unei hiperbole este jumătate din distanța minimă dintre două ramuri ale hiperbolei, pe laturile pozitive și negative ale axei (stânga și dreapta față de origine). Pentru o ramură situată pe partea pozitivă, semiaxa va fi egală cu:

Dacă o exprimăm prin secțiunea conică și excentricitate, atunci expresia va lua forma:

Găsirea focarelor, excentricității, directricelor unei hiperbole, dacă se cunoaște ecuația canonică a acesteia.

Excentricitatea hiperbolei

Definiţie. Raportul se numește excentricitatea hiperbolei, unde c –

jumătate din distanța dintre focare și este semiaxa reală.

Ținând cont de faptul că c2 – a2 = b2:

Dacă a = b, e = , atunci hiperbola se numește echilaterală (echilaterală).

Directricele unei hiperbole

Definiţie. Două drepte perpendiculare pe axa reală a hiperbolei și situate simetric față de centru la o distanță a/e ​​de acesta se numesc directrice ale hiperbolei. Ecuațiile lor sunt: ​​.

Teorema. Dacă r este distanța de la un punct arbitrar M al hiperbolei la orice focar, d este distanța de la același punct la directrixa corespunzătoare acestui focar, atunci raportul r/d este o valoare constantă egală cu excentricitatea.

Definiția unei parabole. Focalizarea și directricea unei parabole.

Parabolă. O parabolă este locul punctelor, fiecare dintre ele fiind la fel de îndepărtat de un punct fix dat și de o dreaptă fixă ​​dată. Punctul despre care despre care vorbimîn definiție, se numește focarul parabolei, iar linia dreaptă este directriza acesteia.

Ecuația canonică a unei parabole. Parametrul parabolei. Construcția unei parabole.

Ecuația canonică a unei parabole într-un sistem de coordonate dreptunghiular: (sau, dacă axele sunt schimbate).

Construcția unei parabole pentru o valoare dată a parametrului p se realizează în următoarea secvență:

Desenați axa de simetrie a parabolei și trasați pe ea segmentul KF=p;

Directricea DD1 este trasată prin punctul K perpendicular pe axa de simetrie;

Segmentul KF este împărțit în jumătate pentru a obține vârful 0 al parabolei;

O serie de puncte arbitrare 1, 2, 3, 5, 6 sunt măsurate de sus cu o distanță care crește treptat între ele;

Prin aceste puncte se trasează drepte auxiliare perpendiculare pe axa parabolei;

Pe liniile auxiliare, serifurile sunt realizate cu o rază egală cu distanța de la linia dreaptă la directrice;

Punctele rezultate sunt conectate printr-o curbă netedă.

Elipsă

Elipsă. Trucuri. Ecuația elipsei. Distanța focală.

Axele majore și minore ale elipsei. Excentricitate. Ecuaţie

tangentă la elipsă. Condiție de tangență între o linie dreaptă și o elipsă.

Elipsă (Fig.1 ) este locul punctelor, suma distanțelor de la care la două puncte date F 1 și F 2, numit trucuri elipsă, există o valoare constantă.

Ecuația elipsei (Fig.1):

Aici origineeste centrul de simetrie al elipsei, O axele de coordonate sunt axele sale de simetrie. Lao > bfocarele elipsei se află pe axă OH (Fig.1) , cu o< b focarele elipsei se află pe axă DESPRE Y, și când o= belipsa devine cerc(focarele elipsei coincid în acest caz cu centrul cercului). Astfel, un cerc este un caz special al unei elipse .

Segment F 1 F 2 = 2 Cu, Unde , numit distanta focala . SegmentAB = 2 onumit axa majoră a elipsei , și segmentul CD = 2 b – axa minoră elipsă . Număre = c / o , e < 1 называется excentricitate elipsă .

Lasă R(X 1 , la 1 ) este un punct al elipsei, atunciecuație tangentă la o elipsă V