Notaţie este o metodă de scriere a unui număr folosind un set specificat de caractere speciale (cifre).

Notaţie:

• oferă o reprezentare a unui set de numere (întregi și/sau reale);

• dă fiecărui număr o reprezentare unică (sau cel puțin o reprezentare standard);

• afișează structura algebrică și aritmetică a unui număr.

Scrierea unui număr într-un sistem de numere este numită codul numeric.

Este apelată o poziție separată într-un afișaj numeric deversare, ceea ce înseamnă că numărul poziției este număr de rang.

Se numește numărul de cifre dintr-un număr adâncimea de bițiși coincide cu lungimea sa.

Sistemele numerice sunt împărțite în poziționalŞi nepozițională. Sistemele de numere poziționale sunt împărțite

pe omogenŞi amestecat.

sistem de numere octale, sistem de numere hexazecimale și alte sisteme de numere.

Traducerea sistemelor numerice. Numerele pot fi convertite dintr-un sistem numeric în altul.

Tabel de corespondență a numerelor în diferite sisteme de numere.

1.3.1.CONCEPTUL DE SISTEM NUMERIC.

Toate posibilitățile fantastice ale tehnologiei computerizate (CT) sunt realizate prin crearea diferitelor combinații de semnale de nivel înalt și scăzut, care sunt de acord să fie numite „unu” și „zero”.

Notaţie (CC) este un sistem de înregistrare a numerelor folosind un anumit set de cifre este numit CC pozițional, dacă aceeași cifră are o semnificație diferită, care este determinată de locul ei în număr. SS zecimal este pozițional: 999. SS roman este nepozițională. Valoarea cifrei X din numărul XXI rămâne neschimbată atunci când poziția sa în număr variază. Se numește numărul de cifre diferite utilizate în SS pozițional baza SS.

Formă extinsă numerele sunt o înregistrare care reprezintă suma produselor cifrelor unui număr cu valoarea pozițiilor.

De exemplu: 8527=8*10 3 +5*10 2 +2*10 1 +7*10 0

Forma extinsă de scriere a numerelor a unui sistem de numere arbitrar are forma

X - număr;
a este baza sistemului numeric;
i - indice;
m - numărul de cifre ale părții fracționale;
n - numărul de cifre ale părții întregi.

De exemplu: 327,46 n=3, m=2, q=10

Dacă baza SS utilizată este mai mare de zece, atunci se introduce un simbol cu ​​o paranteză în partea de sus sau o desemnare a literei pentru numere.

De exemplu: dacă 10=A și 11=B, atunci numărul 7A.5B 12 poate fi scris după cum urmează:

7A.5B 12 = B 12 -2 + 5 2 -1 +A 12 0 + 7 12 1.

ÎN hexazecimal Baza SS este numerele 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 cu denumirile corespunzătoare 0,1,2,3,4, 5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Exemple de numere: 17D.ECH, F12AH.

BinarySS- este un sistem în care două cifre 0 și 1 sunt folosite pentru a scrie numere. Baza sistemului numeric binar este numărul 2.

Cod binar numere - înregistrarea acestui număr în sistemul de numere binar. De exemplu,

0=0 2
1=1 2
2=10 2
3=11 2 …
7=111 2
120=1111000 2 .

În VT, sunt utilizate SS poziționale cu o bază non-zecimală: binare, octale, hexazecimale. Pentru a indica SS utilizat, numărul este prevăzut cu un superscript sau un indice în care este scris SS de bază. O altă modalitate este să folosiți litere latine după ce ați scris numărul:

D – zecimal SS
B – SS binar
O – SS octal
H – SS hexazecimal.

În ciuda faptului că SS de 10 cifre este larg răspândit, calculatoarele digitale sunt construite pe elemente binare, deoarece Este dificil să implementezi elemente cu 10 stări clar distinse. Dezvoltarea istorică a tehnologiei informatice s-a dezvoltat în așa fel încât calculatoarele sunt construite pe baza unor dispozitive digitale binare: flip-flops, registre, contoare, elemente logice etc.

SS hexazecimal și octal sunt folosite la compunerea programelor în limbajul codului mașină pentru o înregistrare mai scurtă și mai convenabilă a codurilor binare - comenzi, date, adrese și operanzi.

Sarcina de a transfera de la un sistem la altul este adesea întâlnită în programare, în special în limbajul de asamblare. De exemplu, la determinarea adresei unei celule de memorie. Anumite proceduri standard ale limbajelor de programare Pascal, BASIC, C, HTML necesită setarea parametrilor în SS hexazecimal. Pentru a edita direct datele înregistrate pe hard disk, aveți nevoie și de capacitatea de a lucra cu numere hexazecimale. Este imposibil să găsești o defecțiune într-un computer fără a înțelege sistemul binar.

Tabelul prezintă câteva dintre numerele prezentate în diferite CC.

Binar numere	Octal numere	Zecimal numere	hexazecimal numere

1.3.2. TRADUCEREA NUMERELOR DIN SS ARBITRARE ÎN DECIMAL ȘI SPATE.

Conversia numerelor dintr-un sistem arbitrar în zecimal. Pentru a converti un număr din orice SS pozițional în zecimal, trebuie să utilizați forma extinsă a numărului, înlocuind, dacă este necesar, desemnările literelor cu numerele corespunzătoare. De exemplu:

1101 2 =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =13 10

17D.ECH=12·16 -2 + 14·16 -1 +13·16 0 + 7·16 1 + 1·16 2 =381,921875

Conversia numerelor din SS zecimal în date.

1) Pentru conversie numere întregi a sistemului de numere zecimal într-un număr al oricărui sistem de numere, împărțiți în mod egal la baza SS până când ajung la zero. Numerele care apar ca rest din împărțirea cu SS de bază reprezintă o înregistrare secvențială a cifrelor unui număr din SS selectat de la cel mai puțin semnificativ la cel mai semnificativ. Prin urmare, pentru a scrie numărul în sine, resturile de împărțire sunt scrise în ordine inversă.

De exemplu:

Citind resturile de împărțire de jos în sus, obținem 111011011.

Examinare:

1*2 8 +1*2 7 +1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 = 1+2+8+16+64+128+256=475 10 .

2) Pentru conversie zecimale zecimal SS la numărul oricărei SS, înmulțirea este efectuată succesiv de baza sistemului numeric până când partea fracționară a produsului devine egală cu zero. Părțile întregi rezultate sunt cifrele numărului în sistem nou, și trebuie să fie reprezentate de numerele acestui nou sistem de numere. Părți întregi sunt ulterior aruncate.

De exemplu: Convertiți numărul 0,375 10 în SS binar.

Rezultatul obtinut este 0,011 2.

Trebuie remarcat faptul că nu orice număr poate fi exprimat cu acuratețe în noul sistem de numere, așa că uneori se calculează doar numărul necesar de cifre fracționale, rotunjind ultima cifră.

1.3.3. TRADUCERE ÎNTRE BAZELE GRADUL CONSTITUITIV 2.

Pentru a de la octal sistemul de numere converti numărul în binar cod, fiecare cifră a acestui număr trebuie reprezentată ca o triadă de caractere binare. Zerourile suplimentare din cifrele cele mai semnificative sunt eliminate.

De exemplu:

1234.777 8 = 001 010 011 100.111 111 111 2 = 1 010 011 100.111 111 111 2

1234567 8 = 001 010 011 100 101 110 111 2 = 1 010 011 100 101 110 111 2

Translația inversă: fiecare triadă de cifre binare este înlocuită cu o cifră octală și, dacă este necesar, numărul este aliniat prin adăugarea de zerouri înaintea părții întregi sau după partea fracțională.

De exemplu:

1100111 2 = 001 100 111 2 = 147 8

11.1001 2 = 011.100 100 2 = 3.44 8

110.0111 2 = 110.011 100 2 = 6.34 8

La transferul între binarŞi hexazecimal SS folosește patru cifre. Dacă este necesar, alinierea este efectuată la o lungime a numărului binar care este un multiplu de patru.

De exemplu:

1234.AB77 16 = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111 2 =1 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111 2

CE4567 16 = 1100 1110 0100 0101 0110 0111 2

0,1234AA 16 = 0,0001 0010 0011 0100 1010 1010 2

1100111 2 = 0110 0111 2 = 67 16

11.1001 2 = 0011.1001 2 = 3.9 16

110.0111001 2 = 0110.0111 0010 2 = 65.72 16

La mutarea din octal socotind in hexazecimal Codul numeric binar auxiliar este folosit pentru numărare și înapoi.

De exemplu:

1234567 8 = 001 010 011 100 101 110 111 2 = 0101 0011 1001 0111 0111 2 = 53977 16

0.12034 8 = 0.001 010 000 011 100 2 = 0.0010 1000 0011 1000 2 = 0.2838 16

120.34 8 = 001 010 000. 011 100 2 = 0101 0000.0111 0000 2 = 50.7 16

1234.AB77 16 = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111 2 =

001 001 000 110 100.101 010 110 111 011 100 2 = 11064.526734 8

CE4567 16 = 1100 1110 0100 0101 0110 0111 2 = 110 011 100 100 010 101 100 111 2 = 63442547 8

0,1234AA 16 =0,0001 0010 0011 0100 1010 1010 2 =0,000 100 100 011 010 010 101 010 2 =0,04432252 8

Introducere

Omul modern V viata de zi cu ziîntâlnește constant numere: ne amintim numerele de autobuz și de telefon din magazin

Calculăm costul achizițiilor, ne gestionăm bugetul familiei în ruble și copeici (sutimi de rublă), etc. Cifre, numere. Sunt cu noi peste tot.

Conceptul de număr este un concept fundamental atât în ​​matematică, cât și în informatică. Astăzi, la sfârșitul secolului al XX-lea, omenirea folosește în principal sistemul numeric zecimal pentru a înregistra numere. Ce este un sistem numeric?

Un sistem numeric este o modalitate de înregistrare (reprezentare) a numerelor.

Diferitele sisteme de numere care au existat în trecut și care sunt în uz în prezent sunt împărțite în două grupe: pozițional și nepozițional. Cele mai avansate sunt sistemele de numere poziționale, adică. sisteme de scriere a numerelor în care contribuția fiecărei cifre la valoarea numărului depinde de poziția (poziția) acesteia în succesiunea cifrelor reprezentând numărul. De exemplu, sistemul nostru zecimal obișnuit este pozițional: în numărul 34, cifra 3 denotă numărul de zeci și „contribuie” la valoarea numărului 30, iar în numărul 304 aceeași cifră 3 denotă numărul de sute și „contribuie” la valoarea numărului 300.

Sistemele numerice în care fiecărei cifre îi corespunde o valoare care nu depinde de locul ei în număr sunt numite nepoziționale.

Sistemele de numere poziționale sunt rezultatul unei lungi dezvoltări istorice a sistemelor de numere non-poziționale.

1.Istoria sistemelor numerice

• Sistem de numere de unitate

Nevoia de a scrie numere a apărut în vremuri foarte străvechi, de îndată ce oamenii au început să numere. Numărul de obiecte, de exemplu oile, era reprezentat prin trasarea unor linii sau serifi pe o suprafață tare: piatră, lut, lemn (inventarea hârtiei era încă foarte, foarte departe). Fiecare oaie dintr-o astfel de înregistrare corespundea unui rând. Arheologii au găsit astfel de „înregistrări” în timpul săpăturilor de straturi culturale datând din perioada paleolitică (10 - 11 mii de ani î.Hr.).

Oamenii de știință au numit această metodă de scriere a numerelor sistem de numere de unitate („stick”). În ea, a fost folosit un singur tip de semn pentru a înregistra numere - „stick”. Fiecare număr dintr-un astfel de sistem de numere a fost desemnat folosind o linie formată din bastoane, al căror număr era egal cu numărul desemnat.

Inconvenientele unui astfel de sistem de scriere a numerelor și limitările aplicării lui sunt evidente: cu cât numărul care trebuie scris este mai mare, cu atât șirul de bețe este mai lung. Și când notezi un număr mare, este ușor să faci o greșeală adăugând un număr suplimentar de bețe sau, dimpotrivă, nu le scrii.

Se poate sugera că pentru a ușura numărarea, oamenii au început să grupeze obiectele în 3, 5, 10 bucăți. Și la înregistrare, au folosit semne corespunzătoare unui grup de mai multe obiecte. Desigur, degetele erau folosite la numărare, așa că au apărut mai întâi semne pentru a desemna un grup de obiecte de 5 și 10 bucăți (unități). Astfel, au apărut sisteme mai convenabile pentru scrierea numerelor.

• Sistemul de numere nepozițional zecimal egiptean antic

Sistemul de numere egiptean antic, care a apărut în a doua jumătate a mileniului al treilea î.Hr., folosea numere speciale pentru a reprezenta numerele 1, 10, 10. 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Numerele din sistemul de numere egiptean au fost scrise ca combinații ale acestor cifre, în care fiecare dintre ele a fost repetată de cel mult nouă ori.

Exemplu. Vechii egipteni au scris numărul 345 după cum urmează:

Figura 1 Scrierea unui număr folosind sistemul de numere egiptean antic

Desemnarea numerelor în sistemul de numere egiptean antic non-pozițional:

Figura 2 Unitatea

Figura 3 Zeci

Figura 4 Sute

Figura 5 Mii

Figura 6 Zeci de mii

Figura 7 Sute de mii

Atât sistemul de numere stick, cât și vechiul egiptean s-au bazat pe principiul simplu al adunării, conform căruiavaloarea unui număr este egală cu suma valorilor cifrelor implicate în înregistrarea acestuia. Oamenii de știință clasifică sistemul de numere egiptean antic ca zecimal non-pozițional.

• Sistemul numeric babilonian (sexagezimal).

Numerele din acest sistem numeric erau compuse din două tipuri de semne: o pană dreaptă (Figura 8) a servit la desemnarea unităților, o pană culcată (Figura 9) - pentru a desemna zeci.

Figura 8 Pană dreaptă

Figura 9 Pană înclinată

Astfel, numărul 32 a fost scris astfel:

Figura 10 Scrierea numărului 32 în sistemul numeric sexagesimal babilonian

Numărul 60 a fost din nou notat cu același semn (Figura 8) ca 1. Același semn a fost notat cu numerele 3600 = 60 2 , 216000 = 60 3 iar toate celelalte puteri sunt 60. Prin urmare, sistemul numeric babilonian a fost numit sexagesimal.

Pentru a determina valoarea unui număr, a fost necesar să se împartă imaginea numărului în cifre de la dreapta la stânga. Alternarea grupurilor de caractere identice („cifre”) corespundea alternanței cifrelor:

Figura 11 Împărțirea unui număr în cifre

Valoarea unui număr a fost determinată de valorile „cifrelor” sale constitutive, dar ținând cont de faptul că „cifrele” din fiecare cifră ulterioară însemnau de 60 de ori mai mult decât aceleași „cifre” din cifra anterioară.

Babilonienii au scris toate numerele de la 1 la 59 într-un sistem zecimal non-pozițional, iar numărul ca întreg - într-un sistem pozițional cu o bază de 60.

Înregistrarea numărului de către babilonieni era ambiguă, deoarece nu exista nicio „cifră” care să reprezinte zero. Scrierea numărului 92 ar putea însemna nu numai 92 = 60 + 32, ci și 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32 etc. Pentru a determinavaloarea absolută a unui numărnecesar Informații suplimentare. Ulterior, babilonienii au introdus un simbol special (Figura 12) pentru a desemna cifra sexagesimală lipsă, care corespunde în sistemul zecimal cu care suntem familiarizați cu apariția numărului 0 în notația unui număr. Dar acest simbol nu era de obicei plasat la sfârșitul numărului, adică acest simbol nu era un zero în înțelegerea noastră.

Figura 12 Simbol pentru cifra sexagesimală lipsă

Astfel, numărul 3632 trebuia acum scris astfel:

Figura 13 Scrierea numărului 3632

Babilonienii nu au memorat niciodată tabelele înmulțirii, deoarece era practic imposibil. Când făceau calcule, au folosit tabele de înmulțire gata făcute.

Sistemul sexagesimal babilonian este primul sistem numeric cunoscut de noi pe baza principiului pozițional. Sistemul babilonian a jucat un rol major în dezvoltarea matematicii și a astronomiei și urme ale acestuia au supraviețuit până în zilele noastre. Deci, încă împărțim o oră în 60 de minute și un minut în 60 de secunde. La fel, urmând exemplul babilonienilor, împărțim cercul în 360 de părți (grade).

• Sistemul de numere romane

Un exemplu de sistem numeric non-pozițional care a supraviețuit până în zilele noastre este sistemul numeric folosit în urmă cu mai bine de două mii și jumătate de ani în Roma Antică.

Sistemul numeric roman se bazează pe semnele I (un deget) pentru numărul 1, V (palma deschisă) pentru numărul 5, X (două palme îndoite) pentru 10 și semne speciale pentru a reprezenta numerele 50, 100, 500 și 1000.

Notația pentru ultimele patru numere a suferit modificări semnificative de-a lungul timpului. Oamenii de știință sugerează că inițial semnul pentru numărul 100 arăta ca o grămadă de trei linii ca litera rusă Zh, iar pentru numărul 50 arăta ca jumătatea superioară a acestei litere, care a fost transformată ulterior în semnul L:

Figura 14 Transformarea numărului 100

Pentru a desemna numerele 100, 500 și 1000, au început să fie folosite primele litere ale cuvintelor latine corespunzătoare (Centum o sută, Demimille jumătate de mie, Mille mie).

Pentru a scrie un număr, romanii foloseau nu numai adunarea, ci și scăderea numerelor cheie. S-a aplicat următoarea regulă.

Valoarea fiecărui semn mai mic plasat în stânga celui mai mare se scade din valoarea semnului mai mare.

De exemplu, intrarea IX reprezintă numărul 9, iar intrarea XI reprezintă numărul 11. Numărul zecimal 28 este reprezentat după cum urmează:

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

Numărul zecimal 99 este reprezentat după cum urmează:

Figura 15 Numărul 99

Faptul că atunci când se scriu numere noi, numerele cheie nu pot fi doar adăugate, ci și scazute, are un dezavantaj semnificativ: scrierea cu cifre romane privează numărul de reprezentare unică. Într-adevăr, în conformitate cu regula de mai sus, numărul 1995 poate fi scris, de exemplu, în următoarele moduri:

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,

MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5

MVM = 1000 + (1000 - 5),

MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) și așa mai departe.

Încă nu există reguli uniforme pentru înregistrarea cifrelor romane, dar există propuneri de adoptare a unui standard internațional pentru acestea.

În prezent, se propune să scrieți oricare dintre cifrele romane într-un număr de cel mult trei ori la rând. Pe baza acestui fapt, a fost construit un tabel care este convenabil de utilizat pentru a desemna numerele cu cifre romane:

Unități	Zeci	sute	Mii
	10 X	100 C	1000 M
2 II	20 XX	200 CC	2000 mm
3 III	30 XXX	300 CCC	3000 mm
4 IV	40 XL	400 CD
	50 L	500 D
6 VI	60 LX	600 DC
7 VII	70 LXX	700 DCC
8 VIII	80 LXXX	800 DCCC
9 IX	90 XC	900 cm

Tabelul 1 Tabelul cifrelor romane

Numerele romane au fost folosite de foarte mult timp. Chiar și acum 200 de ani, în documentele de afaceri, numerele trebuiau indicate cu cifre romane (se credea că cifrele arabe obișnuite sunt ușor de contrafăcut).

În prezent, sistemul numeric roman nu este utilizat, cu unele excepții:

• Denumirile secolelor (secolul al XV-lea etc.), ani d.Hr. e. (MCMLXXVII etc.) și luni când se indică datele (de exemplu, 1. V. 1975).
• Notarea numerelor ordinale.
• Desemnarea derivatelor de ordine mici, mai mari de trei: yIV, yV etc.
• Desemnarea valenței elementelor chimice.
  • Sistem de numere slav

Această numerotare a fost creată împreună cu sistemul alfabetic slav pentru copierea cărților sacre pentru slavi de către călugării greci frații Chiril (Constantin) și Metodie în secolul al IX-lea. Această formă de scriere a numerelor a devenit larg răspândită datorită faptului că era complet asemănătoare cu notația greacă a numerelor.

Unități		Zeci		sute

Tabelul 2 Sistemul numeric slav

Dacă te uiți cu atenție, vom vedea că după „a” vine litera „c”, și nu „b” așa cum ar trebui în alfabetul slav, adică se folosesc doar litere care sunt în alfabetul grec. Până în secolul al XVII-lea, această formă de înregistrare a numerelor a fost oficială pe teritoriu Rusia modernă, Belarus, Ucraina, Bulgaria, Ungaria, Serbia și Croația. Această numerotare este încă folosită în cărțile bisericii ortodoxe.

• Sistemul numeric mayaș

Acest sistem a fost folosit pentru calculele calendaristice. În viața de zi cu zi, mayașii foloseau un sistem non-pozițional similar cu cel egiptean antic. Numerele mayașe în sine dau o idee despre acest sistem, care poate fi interpretat ca o înregistrare a primelor 19 numere naturale în sistemul numeric de cinci ori non-pozițional. Un principiu similar al numerelor compuse este folosit în sistemul numeric sexagesimal babilonian.

Numerele mayașe constau dintr-un zero (semnul cochiliei) și 19 cifre compuse. Aceste numere au fost construite din semnul unic (punct) și semnul cinci (linia orizontală). De exemplu, cifra care reprezintă numărul 19 a fost scrisă ca patru puncte într-un rând orizontal deasupra a trei linii orizontale.

Figura 16 Sistemul numeric mayaș

Numerele peste 19 au fost scrise conform principiului pozițional de jos în sus în puteri de 20. De exemplu:

32 a fost scris ca (1)(12) = 1×20 + 12

429 ca (1)(1)(9) = 1×400 + 1×20 + 9

4805 ca (12)(0)(5) = 12×400 + 0×20 + 5

Imaginile zeităților au fost uneori folosite pentru a înregistra numerele de la 1 la 19. Astfel de figuri au fost folosite extrem de rar, supraviețuind doar pe câteva stele monumentale.

Sistemul de numere poziționale necesită utilizarea zero pentru a indica cifrele goale. Prima dată care a ajuns până la noi cu un zero (pe Stela 2 din Chiapa de Corzo, Chiapas) este datată 36 î.Hr. e. Primul sistem de numere poziționale din Eurasia, creat în Babilonul antic, 2000 î.Hr. e., inițial nu avea zero, iar ulterior semnul zero a fost folosit doar în cifrele intermediare ale numărului, ceea ce a dus la înregistrarea ambiguă a numerelor. Sistemele de numere non-poziționale ale popoarelor antice, de regulă, nu aveau zero.

„Numărătoarea lungă” a calendarului Maya a folosit o variantă a sistemului de numere cu 20 de cifre, în care a doua cifră putea conține doar numere de la 0 la 17, după care una a fost adăugată la a treia cifră. Astfel, o unitate din a treia cifră nu însemna 400, ci 18×20 = 360, ceea ce se apropie de numărul de zile dintr-un an solar.

• Istoria numerelor arabe

Aceasta este cea mai comună numerotare astăzi. Numele „Arab” nu este în întregime corect pentru el, deoarece, deși a fost adus în Europa din țări arabe, nici nu era nativ acolo. Adevărata patrie a acestei numerotări este India.

Au existat diverse sisteme de numerotare în diferite părți ale Indiei, dar la un moment dat unul s-a remarcat printre ele. În ea, numerele arătau ca literele inițiale ale numerelor corespunzătoare din vechea limbă indiană - sanscrită, folosind alfabetul Devanagari.

Inițial, aceste semne reprezentau numerele 1, 2, 3, ... 9, 10, 20, 30, ..., 90, 100, 1000; cu ajutorul lor s-au notat alte numere. Dar mai târziu a fost introdus un semn special - un punct aldine, sau un cerc, pentru a indica o cifră goală; iar numerotarea Devanagari a devenit un sistem zecimal al locului. Cum și când a avut loc o astfel de tranziție este încă necunoscut. Până la mijlocul secolului al VIII-lea, sistemul de numerotare pozițională a fost utilizat pe scară largă. În același timp, pătrunde în țările vecine: Indochina, China, Tibet și Asia Centrală.

Rol decisiv în răspândirea numerotării indiene în țările arabe jucat de manualul întocmit la începutul secolului al IX-lea de Muhammad Al Khwarizmi. A fost tradusă în Europa de Vest în latinîn secolul al XII-lea. În secolul al XIII-lea, numerotarea indiană a câștigat predominanța în Italia. În alte țări se răspândește secolul al XVI-lea. Europenii, care au împrumutat numerotarea de la arabi, l-au numit „arabă”. Această denumire istorică greșită continuă până în zilele noastre.

Cuvântul „cifră” (în arabă „syfr”), însemnând literal „spațiu gol” (traducerea cuvântului sanscrit „sunya”, care are același înțeles), a fost, de asemenea, împrumutat din limba arabă. Acest cuvânt a fost folosit pentru a denumi semnul unei cifre goale și a păstrat acest sens până în secolul al XVIII-lea, deși termenul latin „zero” (nullum - nimic) a apărut în secolul al XV-lea.

Forma numerelor indiene a suferit diverse modificări. Forma pe care o folosim acum a fost stabilită în secolul al XVI-lea.

• Istoria lui zero

Zero poate fi diferit. În primul rând, zero este o cifră care este folosită pentru a indica un loc gol; în al doilea rând, zero este un număr neobișnuit, deoarece nu poți împărți cu zero și atunci când este înmulțit cu zero, orice număr devine zero; în al treilea rând, este necesar zero pentru scădere și adunare, în caz contrar, cât va fi dacă scădeți 5 din 5?

Zero a apărut pentru prima dată în vechiul sistem numeric babilonian, a fost folosit pentru a indica cifrele lipsă în numere, dar numere precum 1 și 60 au fost scrise în același mod, deoarece nu puneau zero la sfârșitul numărului. În sistemul lor, zero a servit ca spațiu în text.

Marele astronom grec Ptolemeu poate fi considerat inventatorul formei zero, deoarece în textele sale în locul semnului spațiului există litera greacă omicron, care amintește foarte mult de semnul zero modern. Dar Ptolemeu folosește zero în același sens ca și babilonienii.

Pe o inscripție de perete din India în secolul al IX-lea d.Hr. Prima dată când apare simbolul zero este la sfârșitul unui număr. Aceasta este prima denumire general acceptată semn modern zero. Matematicienii indieni au inventat zero în toate cele trei sensuri ale sale. De exemplu, matematicianul indian Brahmagupta din secolul al VII-lea d.Hr. a început în mod activ să folosească numere negative și operații cu zero. Dar el a susținut că un număr împărțit la zero este zero, ceea ce este desigur o eroare, dar o adevărată îndrăzneală matematică care a dus la o altă descoperire remarcabilă a matematicienilor indieni. Și în secolul al XII-lea, un alt matematician indian Bhaskara face o altă încercare de a înțelege ce se va întâmpla atunci când este împărțit la zero. El scrie: „o cantitate împărțită la zero devine o fracție al cărei numitor este zero.” Această fracție se numește infinit.

Leonardo Fibonacci, în lucrarea sa „Liber abaci” (1202), numește semnul 0 în arabă zephirum. Cuvântul zephirum este cuvântul arab as-sifr, care provine de la cuvântul indian sunya, adică gol, care a servit drept nume pentru zero. Din cuvântul zephirum provine cuvântul francez zero (zero) și cuvântul italian zero. Pe de altă parte, din arabă provine cuvântul as-sifr cuvânt rusesc număr. Până la mijlocul secolului al XVII-lea, acest cuvânt a fost folosit special pentru a se referi la zero. Cuvântul latin nullus (nimic) a intrat în uz pentru a însemna zero în secolul al XVI-lea.

Zero este un semn unic. Zero este un concept pur abstract, unul dintre cele mai mari realizări persoană. Nu se găsește în natura din jurul nostru. Puteți face cu ușurință fără zero în calculele mentale, dar este imposibil să faceți fără înregistrarea cu precizie a numerelor. În plus, zero este în contrast cu toate celelalte numere și simbolizează lume nesfârșită. Și dacă „totul este număr”, atunci nimic este totul!

• Dezavantajele sistemului numeric nepozițional

Sistemele numerice non-poziționale au o serie de dezavantaje semnificative:

1. Există o nevoie constantă de a introduce noi simboluri pentru înregistrarea numerelor mari.

2. Este imposibil de reprezentat numere fracționale și negative.

3. Este dificil să se efectueze operații aritmetice, deoarece nu există algoritmi pentru implementarea lor. În special, toate națiunile, împreună cu sistemele de numere, aveau metode de numărare a degetelor, iar grecii aveau o tablă de numărare a abac, ceva asemănător cu abacul nostru.

Dar încă folosim elemente ale sistemului numeric non-pozițional în vorbirea de zi cu zi, în special, spunem o sută, nu zece zeci, o mie, un milion, un miliard, un trilion.

2. Sistem de numere binar.

Există doar două numere în acest sistem - 0 și 1. Numărul 2 și puterile sale joacă un rol special aici: 2, 4, 8 etc. Cifra cea mai din dreapta a numărului arată numărul de unități, următoarea cifră arată numărul de doi, următoarea arată numărul de patru etc. Sistemul de numere binare vă permite să codificați orice număr natural- reprezentați-o ca o succesiune de zerouri și unu. În formă binară, puteți reprezenta nu numai numere, ci și orice alte informații: texte, imagini, filme și înregistrări audio. Inginerii sunt atrași de codarea binară, deoarece este ușor de implementat din punct de vedere tehnic. Cele mai simple din punct de vedere al implementării tehnice sunt elementele cu două poziții, de exemplu, un releu electromagnetic, un comutator cu tranzistor.

• Istoria sistemului de numere binar

Inginerii și matematicienii și-au bazat căutările pe natura binară cu două poziții a elementelor tehnologiei computerelor.

Luați, de exemplu, un dispozitiv electronic cu doi poli - o diodă. Poate fi doar în două stări: fie conduce curentul electric - „deschis”, fie nu îl conduce - „blocat”. Dar declanșatorul? Are și două stări stabile. Elementele de memorie funcționează pe același principiu.

Atunci de ce să nu folosiți sistemul de numere binar? La urma urmei, are doar două numere: 0 și 1. Și acest lucru este convenabil pentru a lucra la o mașină electronică. Și mașinile noi au început să numere folosind 0 și 1.

Să nu credeți că sistemul binar este un contemporan al mașinilor electronice. Nu, e mult mai în vârstă. Oamenii sunt interesați de numerele binare de mult timp. Erau interesați în special de sfârşitul XVI-lea până la începutul secolului al XIX-lea.

Leibniz a considerat sistemul binar simplu, convenabil și frumos. El a spus că „calculul cu ajutorul doi... este fundamental pentru știință și dă naștere la noi descoperiri... Când numerele sunt reduse la cele mai simple principii, care sunt 0 și 1, o ordine minunată apare peste tot”.

La cererea omului de știință, o medalie a fost eliminată în onoarea „sistemului diadic” - așa cum era numit atunci sistemul binar. Înfățișa un tabel cu numere și operații simple cu acestea. De-a lungul marginii medaliei era o panglică cu inscripția: „Pentru a scoate totul din nesemnificație, este suficient una”.

Formula 1 Cantitatea de informații în biți

• Conversia de la sistemul de numere binar la zecimal

Sarcina de a converti numerele din sistemul de numere binar în sistemul de numere zecimal apare cel mai adesea atunci când se convertesc invers valorile calculate sau procesate de computer în numere zecimale care sunt mai ușor de înțeles pentru utilizator. Algoritmul pentru conversia numerelor binare în numere zecimale este destul de simplu (uneori este numit algoritm de substituție):

Pentru a converti un număr binar într-un număr zecimal, este necesar să se reprezinte acest număr ca suma produselor puterilor bazei sistemului de numere binar cu cifrele corespunzătoare din cifrele numărului binar.

De exemplu, trebuie să convertiți numărul binar 10110110 în zecimal. Acest număr are 8 cifre și 8 biți (biții sunt numărați începând de la zero, ceea ce corespunde bitului cel mai puțin semnificativ). În conformitate cu regula deja cunoscută nouă, o prezentăm ca o sumă de puteri cu o bază de 2:

10110110 2 = (1 2 7 )+(0 2 6 )+(1 2 5 )+(1 2 4 )+(0 2 3 )+(1 2 2 )+(1 2 1 )+(0·2 0 ) = 128+32+16+4+2 = 182 10

În electronică, se numește un dispozitiv care realizează o transformare similară decodor (decodor, decodor englezesc).

Decodor acesta este un circuit care convertește codul binar furnizat intrărilor într-un semnal la una dintre ieșiri, adică decodorul descifrează un număr în cod binar, reprezentându-l ca o unitate logică la ieșire, al cărui număr corespunde cu un număr zecimal.

• Conversia din sistem de numere binar în hexazecimal

Fiecare cifră a unui număr hexazecimal conține 4 biți de informații.

Astfel, pentru a converti un număr binar întreg în hexazecimal, acesta trebuie împărțit în grupuri de patru cifre (tetrade), începând de la dreapta și, dacă ultimul grup din stânga conține mai puțin de patru cifre, completați-l în stânga cu zerouri. Pentru a converti un număr binar fracționar (fracție proprie) în hexazecimal, trebuie să-l împărțiți în tetrade de la stânga la dreapta și, dacă ultimul grup din dreapta conține mai puțin de patru cifre, atunci trebuie să-l completați cu zerouri în dreapta.

Apoi, trebuie să convertiți fiecare grup într-o cifră hexazecimală, utilizând un tabel precompilat de corespondență între tetrade binare și cifre hexazecimale.

Hexnad- teric număr

Binar tetradă

Tabelul 3 Tabelul cifrelor hexazecimale și al tetradelor binare

• Conversia din sistem de numere binar în octal

Convertirea unui număr binar în sistem octal este destul de simplă pentru aceasta, aveți nevoie de:

1. Împărțiți un număr binar în triade (grupe de 3 cifre binare), începând cu cifrele cele mai puțin semnificative. Dacă ultima triada (cele mai semnificative cifre) conține mai puțin de trei cifre, atunci o vom completa cu trei zerouri în stânga.
   1. Sub fiecare triadă a unui număr binar, notați cifra octală corespunzătoare din tabelul următor.

Octal număr
Triada binară

Tabelul 4 Tabelul numerelor octale și triadelor binare

3. Sistem de numere octale

Sistemul de numere octale este un sistem de numere pozițional cu baza 8. Sistemul octal folosește 8 cifre de la zero la șapte (0,1,2,3,4,5,6,7) pentru a scrie numere.

Aplicație: sistemul octal, împreună cu binar și hexazecimal, este folosit în electronica digitală și tehnologia computerelor, dar acum este rar folosit (folosit anterior în programarea de nivel scăzut, înlocuit cu hexazecimal).

Utilizarea pe scară largă a sistemului octal în calculul electronic se explică prin faptul că se caracterizează printr-o conversie ușoară în binar și înapoi folosind un tabel simplu în care toate cifrele sistemului octal de la 0 la 7 sunt prezentate sub formă de triplete binare. (Tabelul 4).

• Istoria sistemului de numere octale

Istorie: apariția sistemului octal este asociată cu această tehnică de numărare pe degete, când nu degetele au fost numărate, ci spațiile dintre ele (sunt doar opt).

În 1716, regele Carol al XII-lea al Suediei i-a propus celebrului filozof suedez Emanuel Swedenborg să dezvolte un sistem numeric bazat pe 64 în loc de 10. Totuși, Swedenborg credea că pentru oamenii cu mai puțină inteligență decât regele ar fi prea dificil să opereze un astfel de sistem. un sistem numeric și a propus numărul 8. Sistemul a fost dezvoltat, dar moartea Carol al XII-leaîn 1718 a împiedicat introducerea sa, așa cum este general acceptat, această lucrare a lui Swedenborg nu a fost publicată.

• Conversia de la sistemul de numere octal la zecimal

Pentru a converti un număr octal într-un număr zecimal, este necesar să se reprezinte acest număr ca suma produselor puterilor bazei sistemului de numere octale cu cifrele corespunzătoare din cifrele numărului octal. [ 24]

De exemplu, doriți să convertiți numărul octal 2357 în zecimal. Acest număr are 4 cifre și 4 biți (biții sunt numărați începând de la zero, ceea ce corespunde bitului cel mai puțin semnificativ). În conformitate cu regula deja cunoscută nouă, să o reprezentăm ca o sumă de puteri cu o bază de 8:

23578 = (2 83)+(3 82)+(5 81)+(7 80) = 2 512 + 3 64 + 5 8 + 7 1 = 126310

• Conversia din sistemul de numere octal în binar

Pentru a converti de la octal la binar, fiecare cifră a numărului trebuie convertită într-un grup de trei cifre binare, o triadă (Tabelul 4).

• Conversia din sistemul de numere octal în hexazecimal

Pentru a converti de la hexazecimal la binar, fiecare cifră a numărului trebuie convertită într-un grup de trei cifre binare într-o tetradă (Tabelul 3).

3. Sistem numeric hexazecimal

Sistem de numere pozițional bazat pe baza întregului 16.

De obicei, cifrele hexazecimale sunt folosite ca cifre zecimale de la 0 la 9 și literele latine de la A la F pentru a reprezenta numere de la 1010 la 1510, adică (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Utilizat pe scară largă în programarea de nivel scăzut și documentarea computerului, deoarece în computerele moderne unitatea minimă de memorie este un octet de 8 biți, ale cărui valori sunt scrise convenabil în două cifre hexazecimale.

În standardul Unicode, numărul caracterului este de obicei scris în hexazecimal, folosind cel puțin 4 cifre (cu zerouri înainte, dacă este necesar).

Culoare hexazecimală înregistrând cele trei componente ale culorii (R, G și B) în notație hexazecimală.

• Istoricul sistemului numeric hexazecimal

Sistemul de numere hexazecimale a fost introdus de corporația americană IBM. Utilizat pe scară largă în programarea pentru calculatoare compatibile cu IBM. Unitatea minimă de informație adresabilă (trimisă între componentele computerului) este un octet, constând de obicei din 8 biți (biți englezi cifră binară, cifră binară de sistem) și doi octeți, adică 16 biți, constituie un cuvânt de mașină (comandă ). Astfel, este convenabil să folosiți un sistem de bază 16 pentru a scrie comenzi.

• Conversia din sistemul de numere hexazecimal în binar

Algoritmul de conversie a numerelor din hexazecimal în binar este extrem de simplu. Trebuie doar să înlocuiți fiecare cifră hexazecimală cu echivalentul său binar (în cazul numerelor pozitive). Menționăm doar că fiecare număr hexazecimal ar trebui înlocuit cu unul binar, completându-l cu 4 cifre (spre cele mai semnificative cifre).

• Conversia de la sistemul numeric hexazecimal la zecimal

Pentru a converti un număr hexazecimal într-un număr zecimal, este necesar să prezentați acest număr ca suma produselor puterilor bazei sistemului numeric hexazecimal cu cifrele corespunzătoare din cifrele numărului hexazecimal.

De exemplu, doriți să convertiți numărul hexazecimal F45ED23C în zecimal. Acest număr are 8 cifre și 8 biți (rețineți că biții sunt numărați începând de la zero, ceea ce corespunde bitului cel mai puțin semnificativ). În conformitate cu regula de mai sus, o prezentăm ca o sumă de puteri cu o bază de 16:

F45ED23C 16 = (15 16 7 )+(4 16 6 )+(5 16 5 )+(14 16 4 )+(13 16 3 )+(2 16 2 )+(3 16 1 )+(12·16 0 ) = 4099854908 10

• Conversia din sistemul de numere hexazecimal în octal

De obicei, la conversia numerelor din hexazecimal în octal, numărul hexazecimal este mai întâi convertit în binar, apoi împărțit în triade, începând cu bitul cel mai puțin semnificativ, iar apoi triadele sunt înlocuite cu echivalentele octale corespunzătoare (Tabelul 4).

Concluzie

Acum, în majoritatea țărilor lumii, în ciuda faptului că vorbesc diferite limbi, ei numără la fel, „în arabă”.

Dar nu a fost întotdeauna așa. Cu doar vreo cinci sute de ani în urmă, nu exista nicio urmă de așa ceva chiar și în Europa iluminată, ca să nu mai vorbim de Africa sau America.

Dar, cu toate acestea, oamenii încă au notat cumva numerele. Fiecare națiune avea propriul sistem sau împrumutat de la un vecin pentru înregistrarea numerelor. Unii foloseau litere, alții - icoane, alții - squiggles. Pentru unii a fost mai convenabil, pentru alții nu atât.

Pe în acest moment folosim sisteme numerice diferite națiuni diferite, în ciuda faptului că sistemul numeric zecimal are o serie de avantaje față de altele.

Sistemul numeric sexagesimal babilonian este încă folosit în astronomie. Urma sa a supraviețuit până în zilele noastre. Încă măsuram timpul în șaizeci de secunde, în ore șaizeci de minute și este folosit și în geometrie pentru a măsura unghiurile.

Folosim sistemul numeric roman non-pozițional pentru a desemna paragrafe, secțiuni și, bineînțeles, în chimie.

Tehnologia informatică folosește un sistem binar. Tocmai din cauza utilizării a doar două numere 0 și 1 stă la baza funcționării unui computer, deoarece are două stări stabile: tensiune joasă sau înaltă, există curent sau nu există, magnetizat sau nemagnetizat. sistemul de numere binare nu este convenabil deoarece -din cauza greutății de scriere a codului, dar conversia numerelor din binar în zecimal și înapoi nu este atât de convenabilă, așa că au început să folosească sisteme de numere octale și hexazecimale.

Lista de desene

Lista de tabele

Formule

Lista de referințe și surse

1. Berman N.G. „Numără și număr”. OGIZ Gostekhizdat Moscova 1947.
2. Brugsch G. Totul despre Egipt M:. Asociația Unității Spirituale „Epoca de Aur”, 2000. 627 p.
3. Vygodsky M. Ya Aritmetică și algebră în lumea antică M.: Nauka, 1967.
4. Van der Waerden Trezirea științei. Matematică Egiptul antic, Babilonul și Grecia / Trad. din olandeză I. N. Veselovski. M., 1959. 456 p.
5. G. I. Glazer. Istoria matematicii la scoala. M.: Educaţie, 1964, 376 p.
6. Bosova L. L. Informatica: Manual pentru clasa a VI-a
7. Fomin S.V. Sisteme numerice, M.: Nauka, 2010
8. Toate tipurile de sisteme de numerotare și numere (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)
9. Matematic dicţionar enciclopedic. M.: „Sov. Enciclopedie”, 1988. P. 847
10. Talakh V.N., Kuprienko S.A. America originală. Surse despre istoria mayașilor, științei (astecilor) și incașilor
11. Talakh V.M. Introducere în scrierea hieroglifică mayașă
12. A.P. Yushkevich, Istoria matematicii, volumul 1, 1970
13. I. Ya Depman, Istoria aritmeticii, 1965
14. L.Z.Shautsukova, „Fundamentele informaticii în întrebări și răspunsuri”, Centrul de editură „El-Fa”, Nalchik, 1994
15. A. Kostinsky, V. Gubailovsky, Triune zero(http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)
16. 2007-2014 „Istoria computerului” (http://chernykh.net/content/view/50/105/)
17. Informatica. Curs de bază. / Ed. S.V.Simonovici. - Sankt Petersburg, 2000
18. Zaretskaya I.T., Kolodyazhny B.G., Gurzhiy A.N., Sokolov A.Yu. Informatică: manual pentru clasele 10 11. scoli medii. K.: Forum, 2001. 496 p.
19. GlavSprav 20092014( http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/)
20. Informatica. Tehnologia calculatoarelor. Tehnologii informatice. / Manual, ed. O.I. Pushkar - Centrul de editură „Academia”, Kiev, - 2001.
21. Manual „Fundamentele aritmetice ale computerelor și sistemelor”. Partea 1. Sisteme numerice
22. O. Efimova, V. Morozova, N. Ugrinovich Manual „Curs de tehnologie informatică” pentru liceu
23. Kagan B.M. Calculatoare și sisteme electronice - M.: Energoatomizdat, 1985
24. Mayorov S.A., Kirillov V.V., Pribluda A.A., Introducere în microcalculatoare, Leningrad: Inginerie mecanică, 1988.
25. Fomin S.V. Sisteme numerice, M.: Nauka, 1987
26. Vygodsky M.Ya. Manual de matematică elementară, M.: Editura de Stat de Literatură Tehnică și Teoretică, 1956.
27. Enciclopedie matematică. M: „ Enciclopedia sovietică” 1985
28. Shauman A. M. Fundamentele aritmeticii mașinilor. Leningrad, Editura Universității din Leningrad. 1979
29. Voroshchuk A. N. Fundamentele calculatoarelor digitale și programării. M: „Știință” 1978
30. Rolich Ch. N. De la 2 la 16, Minsk, „Școala superioară”, 1981.

Un sistem numeric este un set de tehnici și reguli pentru reprezentarea numerelor în simboluri digitale. Sistemele numerice sunt împărțite în non-pozițional și pozițional.

Un sistem numeric non-pozițional este un sistem în care valoarea unui simbol nu depinde de poziția sa în număr. Un exemplu de sistem de numere nepozițional este sistemul de numere roman, în care numerele sunt desemnate prin semne diferite: Ⅰ – 1, Ⅲ – 3, Ⅵ – 6, L – 50 ...

Principalul dezavantaj al unui astfel de sistem este număr mare diferite semne și complexitatea efectuării operațiilor aritmetice.

Un sistem de numere poziționale este un sistem în care semnificația unui simbol depinde de locul (poziția) acestuia într-o serie de cifre care reprezintă numărul. De exemplu, în numărul 548, prima cifră înseamnă numărul de sute, a doua - zeci și a treia - unități. Sistemele de numere poziționale sunt mai convenabile pentru operațiile de calcul, motiv pentru care sunt cele mai răspândite.

Sistemele de numere poziționale sunt caracterizate de o bază. Baza (sau baza) unui sistem de numere pozițional este numărul de semne sau simboluri utilizate pentru a reprezenta un număr în cifrele unui anumit sistem de numere.

Pentru a scrie numere într-un anumit sistem de numere, se folosește un anumit alfabet finit, format din numere: a 1, a 2,…,a n. În acest caz, fiecărei cifre a 1 din notația unui număr i se atribuie un anumit echivalent cantitativ: „greutate” - S 1 .

Orice număr N din sistemul de numere pozițional poate fi reprezentat ca suma produselor coeficienților întregi cu o singură valoare a 1 luate din alfabetul sistemului prin puteri întregi succesive ale bazei S:

Forma prescurtată a numărului N S este:

Cu această poziție a cifrelor, un 1 din această notație se numește cifre. Cele mai semnificative cifre, corespunzătoare puterilor mai mari ale bazei S, sunt situate în stânga, iar cele minore - în dreapta. Cifrele a 1 din orice i-a cifră pot lua S sensuri diferite, și întotdeauna un i

Calculatoarele folosesc sisteme numerice zecimal, binar, octal și hexazecimal.

Sistemul numeric zecimal este baza S=10. Setul de cifre al acestui sistem este 0, 1, 2, ..., 9. Orice număr întreg din sistemul numeric zecimal se scrie ca o sumă de cantități: 10 0, 10 1, 10 2, ..., fiecare dintre care poate fi luat de la 1 la 9 ori. De exemplu, numărul 8765.31 este o prescurtare pentru expresia:

Reprezentarea fizică a numerelor necesită elemente care pot fi într-una din mai multe stări stabile. Numărul acestor stări trebuie să fie egal cu baza sistemului de numere adoptat. Apoi fiecare stare va reprezenta cifra corespunzătoare din alfabetul unui anumit sistem de numere.

Cele mai simple din punct de vedere al implementării tehnice sunt așa-numitele elemente cu două poziții, capabile să fie într-una din cele două stări stabile. De exemplu, un releu este închis sau deschis, un tranzistor este închis sau deschis. Una dintre aceste stări stabile poate reprezenta numărul 0 sau – 1. Simplitatea implementării tehnice a elementelor cu două poziții a asigurat că sistemul binar este cel mai răspândit în calculatoare.

Sistem de numere binar – baza S=2. Pentru înregistrarea unui număr se folosesc două cifre: 0 și 1. Mai mult, fiecare cifră mare este de două ori mai mare decât cifra inferioară vecină. Orice număr din sistemul de numere binar este reprezentat ca o sumă a puterilor întregi ale bazei S=2, înmulțită cu coeficienții corespunzători (0 sau 1). De exemplu, un număr binar

Pe lângă sistemul de numere binar, calculatoarele folosesc sisteme octale și hexazecimale. Bazele acestor sisteme corespund puterilor întregi ale numărului 2 (8=2 3, 16=2 4), deci regulile de conversie la sistemul binar și invers sunt extrem de simple pentru ei.

Sistem de numere octale – baza S=8. Numerele folosite sunt: ​​0, 1, 2, …, 7. Orice număr este reprezentat de suma puterilor întregi ale bazei S=8, înmulțită cu coeficienții corespunzători a i =0, …, 7. De exemplu,

Sistem numeric hexazecimal – baza S=16. Alfabetul caracterelor digitale este format din 16 caractere: primele zece sunt cifre arabe de la 0 la 9, iar cele suplimentare sunt A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). De exemplu,

În tabel 1 arată înregistrarea numerelor de la 0 la 16 în sisteme de numere binar, octal și hexazecimal.

Tabelul 1.

zecimal	binar	octal	hexazecimal
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	O
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

În unele calculatoare, intrarea și ieșirea informațiilor se efectuează în sisteme de numere mixte (codate binar) cu o bază S>2, în care fiecare cifră a unui număr este reprezentată în sistemul binar. Cele mai utilizate în computere sunt sistemele de numere cu coduri binare octale, zecimale și hexazecimale.

Sistem de numere binar octale. În acest sistem, fiecare cifră octală este reprezentată de un număr binar de trei cifre - o triadă. De exemplu, = 001 011 111, 100 101 2-8.

Sistem de numere binar zecimal. În acest sistem, fiecare cifră zecimală este reprezentată de un număr binar de patru cifre - o tetradă. De exemplu,

273,59 10 = 0010 0111 0011, 0101 1001 2-10.

Sistem de numere binar-hexazecimal. În acest sistem (ca și în BCD), fiecare cifră hexazecimală este reprezentată de un număr binar de patru cifre (tetradă). De exemplu,

39C 16 =0011 1001 1100 2-16

Când lucrați cu sisteme de numere mixte, următoarea afirmație este adevărată: dacă P=S k (unde P, S sunt bazele sistemelor, k sunt numere întregi pozitive), atunci scrieți orice număr în format mixt. Sistemul S-P notația coincide identic cu înregistrarea aceluiași număr în sistemul numeric cu baza S până la zero la începutul scrierii părții întregi a numărului și la sfârșitul părții fracționale.

Conform acestei afirmații, dacă P=8, S=2, k=3, atunci notația oricărui număr din sistemul binar-octal coincide cu notația aceluiași număr în sistemul binar. De exemplu: numărul 68 8 în sistemul octal binar va fi 62 8 = 110 010 2-8; 6 2

același număr va fi în sistemul zecimal; dacă acum reprezentăm numărul 50 10 în binar, obținem 50 10 =110 010 2.

Astfel, notațiile binare și binar-octale ale aceluiași număr total (62 8) sunt aceleași.

1. Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul .

Dacă un număr X dintr-un sistem numeric cu baza s trebuie convertit într-un sistem numeric cu baza p, translația se efectuează conform următoarelor reguli:

Regula 1.

Dacă p=s k este egal, unde k este un număr întreg pozitiv (de exemplu, p=8=2 3 , k=3, s=2), în acest caz:

• când convertiți un număr din binar în octal, începând cu virgulă partea stângă pentru partea întreagă și la dreapta - pentru partea fracțională, numărul este împărțit în triade și fiecare triadă este înlocuită cu o cifră octală;
• la conversia unui număr din sistemul de numere octale în binar, fiecare cifră este scrisă ca binară în triade;
• la conversia unui număr din sistemul numeric binar în hexazecimal, numărul este împărțit în tetrade și fiecare tetradă este înlocuită cu o cifră hexazecimală (P=16=2 4, k=4, s=2);
• Când stocați un număr din sistemul numeric hexazecimal în binar, fiecare cifră este scrisă ca binar în tetrade.

De exemplu,

1. 011 011 011, 101 110 2 = 333,56 8 ;

1. 167,56 8 = 001 110 111, 101 110 2 ;

1. 0011 1011 0100, 1111 1010 2 = 3B4,FA 16;

1. A29,CF 16 = 1010 0010 1001, 1100 1111 2.

Regulă 2.

Dacă egalitatea p=s k (unde k este un număr întreg pozitiv) nu este satisfăcută, în acest caz:

• Partea întreagă a numărului este împărțită la noua bază p; primul rest obținut din împărțire este cifra cea mai puțin semnificativă a părții întregi a numărului cu baza p; apoi numărul rezultat este din nou împărțit la baza p, ca urmare se determină al doilea rest, corespunzător următoarei cifre minore a numărului cu baza p; împărțirea continuă până când câtul devine mai mic decât divizorul; ultimul coeficient dă cifra inițială a unui număr cu baza p. De exemplu,

1. Convertiți numărul 26 10 în sistem de numere binar:

Astfel, 26 10 = 11010 2.

1. Convertiți numărul 191 10 în sistemul de numere octale:

grad superior

Astfel, 191 10 = 277 8.

• Partea fracționară a numărului este înmulțită cu noua bază p, iar partea întreagă a produsului rezultat este cea mai mare cifră a părții fracționale a numărului cu baza p; apoi partea fracționată a produsului este din nou înmulțită cu baza p; partea rezultată a produsului va fi a doua cifră necesară; iar partea fracționată este înmulțită cu baza p etc.

De exemplu, convertiți numărul 0,31 10 în sistemul numeric binar:

Când convertesc numerele în al 10-lea sistem numeric, ele folosesc descompunerea numărului în puteri ale bazelor sistemului numeric.

Diferitele sisteme numerice care au existat în trecut și care sunt folosite astăzi pot fi împărțite în non-pozițional și pozițional. Semnele folosite pentru scrierea numerelor se numesc cifre.

În sistemele numerice nepoziționale, poziția cifrei în notația numerică nu depinde de valoarea pe care o reprezintă. Un exemplu de sistem de numere non-pozițional este sistemul roman, care folosește litere latine ca numere:

De exemplu, VI = 5 + 1 = 6 și IX = 10-1 = 9.

În sistemele de numere poziționale, valoarea notată printr-o cifră într-un număr depinde de poziția acestuia. Numărul de cifre folosit se numește baza sistemului numeric. Locul fiecărei cifre într-un număr se numește poziție. Primul sistem cunoscut de noi pe baza principiului pozițional este sexagesimalul babilonian. Numerele din el erau de două tipuri, dintre care unul desemna unități, celălalt - zeci. Urme ale sistemului babilonian au supraviețuit până în zilele noastre în metodele de măsurare și înregistrare a unghiurilor și a intervalelor de timp.

Cu toate acestea, sistemul zecimal hindus-araba este de cea mai mare valoare pentru noi. Indienii au fost primii care au folosit zero pentru a indica semnificația pozițională a unei cantități dintr-un șir de numere. Acest sistem se numește zecimal deoarece are zece cifre.

Pentru a înțelege mai bine diferența dintre sistemele numerice poziționale și nepoziționale, luați în considerare un exemplu de comparare a două numere. În sistemul numeric pozițional, compararea a două numere are loc după cum urmează: în numerele luate în considerare, de la stânga la dreapta, sunt comparate cifrele din aceleași poziții. Un număr mai mare corespunde unei valori mai mari. De exemplu, pentru numerele 123 și 234, 1 este mai mic decât 2, deci 234 este mai mare decât 123. Într-un sistem numeric nepozițional, această regulă nu se aplică. Un exemplu în acest sens ar fi compararea a două numere IX și VI. Chiar dacă I ​​este mai mic decât V, IX este mai mare decât VI.

Baza sistemului numeric în care este scris un număr este de obicei indicată printr-un indice. De exemplu, 5557 este un număr scris în sistemul numeric zecimal. Dacă un număr este scris în sistemul zecimal, atunci baza nu este de obicei indicată. Baza sistemului este, de asemenea, un număr și îl vom indica în sistemul zecimal obișnuit. În general, numărul x poate fi reprezentat în sistem cu baza p ca x = a n x p n + a n _! x r p_1 + a! x p 1 + a 0 x p°, unde a p...a ​​​​0 sunt numerele din reprezentarea acestui număr. Deci, de exemplu,

• 1035 10 = 1 x Yu 3 +0 x Yu 2 +3 x Yu 1 + 5 x 10°;
• 1010 2 = 1 X 2 3 + 0 X 2 2 + 1 X 2 1 + O X 2° = 10.

Cel mai mare interes atunci când lucrați la un computer sunt sistemele de numere cu bazele 2, 8 și 16. În general, aceste sisteme de numere sunt de obicei suficiente pentru munca cu drepturi depline atât a unei persoane, cât și a unui computer. Cu toate acestea, uneori, din cauza diverselor circumstanțe, este încă necesar să se apeleze la alte sisteme numerice, de exemplu, la sistemul de numere ternar, septal sau de bază 32.

Pentru a opera în mod normal cu numere scrise în astfel de sisteme netradiționale, este important să înțelegem că, în principiu, ele nu sunt diferite de sistemul zecimal cu care suntem obișnuiți. Adunarea, scăderea și înmulțirea lor se efectuează conform aceleiași scheme.

De ce nu folosim alte sisteme numerice? În principal pentru că în viața de zi cu zi suntem obișnuiți să folosim sistemul numeric zecimal și nu avem nevoie de altul. În calculatoare, se folosește sistemul de numere binar, deoarece este destul de simplu să se opereze pe numere scrise în formă binară.

Sistemul hexazecimal este adesea folosit în informatică, deoarece scrierea numerelor în el este mult mai scurtă decât scrierea numerelor în sistemul binar. Poate apărea întrebarea: de ce să nu folosiți un sistem numeric, de exemplu baza 50, pentru a scrie numere foarte mari? Un astfel de sistem de numere necesită 10 cifre obișnuite plus 40 de semne, care ar corespunde numerelor de la 10 la 49 și este puțin probabil ca cineva să vrea să lucreze cu aceste patruzeci de caractere. Prin urmare în viata reala Sistemele numerice bazate pe baze mai mari de 16 practic nu sunt folosite.

Sistem de numere binar. Oamenii preferă sistemul zecimal, probabil pentru că numară pe degete din cele mai vechi timpuri. Dar oamenii nu întotdeauna și nu peste tot au folosit sistemul numeric zecimal. În China, de exemplu, sistemul de numere chinari a fost folosit multă vreme. Calculatoarele folosesc sistemul binar deoarece are o serie de avantaje față de altele:

• ? pentru implementarea acestuia se folosesc elemente tehnice cu două stări posibile (există curent - fără curent, magnetizat - nemagnetizat);
• ? prezentarea informațiilor prin doar două stări este fiabilă și rezistentă la zgomot;
• ? este posibil să se utilizeze aparatul algebrei booleene pentru a efectua transformări logice ale informațiilor;
• ? Aritmetica binară este mai simplă decât aritmetica zecimală (tabelele binare de adunare și înmulțire sunt extrem de simple).

În sistemul de numere binare există doar două cifre, numite cifre binare. Abrevierea acestui nume a dus la apariția termenului „bit”, care a devenit numele cifrei unui număr binar. Greutățile cifrelor din sistemul binar variază în puteri de doi.

Deoarece greutatea fiecărei cifre este înmulțită fie cu 0, fie cu 1, valoarea rezultată a numărului este determinată ca suma puterilor corespunzătoare a două. Dacă orice bit al unui număr binar este 1, atunci se numește bit semnificativ. Scrierea unui număr în binar este mult mai lungă decât scrierea în sistemul numeric zecimal.

Operațiile aritmetice efectuate în sistemul binar urmează aceleași reguli ca și în sistemul zecimal. Numai în sistemul binar, transferul de unități la cifra cea mai semnificativă are loc mai des decât în ​​sistemul zecimal. Iată cum arată un tabel de adăugare în binar:

Tabelul 1.3

Opțiuni de pliere

Să aruncăm o privire mai atentă asupra modului în care are loc procesul de înmulțire a numerelor binare. Să înmulțim numărul 1101 cu 101 (ambele numere sunt în sistemul numeric binar). Mașina face acest lucru în felul următor: ia numărul 1101, iar dacă primul element al celui de-al doilea factor este 1, atunci îl introduce în sumă. Apoi, mută numărul 1101 la stânga cu o poziție, obținând astfel 11010, iar dacă al doilea element al celui de-al doilea factor este egal cu unu, atunci îl adaugă și la sumă. Dacă elementul celui de-al doilea multiplicator este zero, atunci suma nu se modifică.

Împărțirea binară se bazează pe metoda cunoscută pentru dvs. din împărțirea zecimală, adică se rezumă la efectuarea operațiilor de înmulțire și scădere. Efectuarea procedurii principale - alegerea unui număr care este un multiplu al divizorului și care are scopul de a reduce dividendul - este mai simplă aici, deoarece un astfel de număr poate fi fie 0, fie divizorul însuși.

Trebuie remarcat faptul că majoritatea calculatoarelor implementate pe un computer (inclusiv KCa1c) vă permit să lucrați în sisteme numerice cu bazele 2.8, 16 și, desigur, 10.