Što je ekscentricitet elipse. Elipsa i njena jednadžba

Krivulje drugog reda na ravnini su pravci definirani jednadžbama u kojima varijable koordinate x I g nalaze se u drugom stupnju. Tu spadaju elipsa, hiperbola i parabola.

Opći oblik jednadžbe krivulje drugog reda je sljedeći:

Gdje A, B, C, D, E, F- brojeve i barem jedan od koeficijenata A, B, C nije jednak nuli.

Pri rješavanju problema s krivuljama drugog reda najčešće se razmatraju kanonske jednadžbe elipse, hiperbole i parabole. Lako je prijeći na njih s općih jednadžbi; primjer 1 problema s elipsama bit će posvećen tome.

Elipsa dana kanonskom jednadžbom

Definicija elipse. Elipsa je skup svih točaka ravnine za koje je zbroj udaljenosti do točaka koje se nazivaju žarištima konstantna vrijednost veća od udaljenosti između žarišta.

Fokusi su označeni kao na donjoj slici.

Kanonska jednadžba elipse ima oblik:

Gdje a I b (a > b) - duljine poluosi, tj. polovice duljina segmenata koje odsjeca elipsa na koordinatnim osima.

Pravac koji prolazi kroz žarišta elipse je njezina os simetrije. Druga os simetrije elipse je ravna linija koja prolazi kroz sredinu segmenta okomito na ovaj segment. Točka OKO sjecište ovih linija služi kao središte simetrije elipse ili jednostavno središte elipse.

Os apscisa elipse siječe se u točkama ( a, OKO) I (- a, OKO), a os ordinata je u točkama ( b, OKO) I (- b, OKO). Ove četiri točke nazivaju se vrhovi elipse. Segment između vrhova elipse na x-osi naziva se njezina velika os, a na ordinatnoj osi - mala os. Njihovi segmenti od vrha do središta elipse nazivaju se poluosovinama.

Ako a = b, tada jednadžba elipse ima oblik . Ovo je jednadžba kruga s radijusom a, a krug je poseban slučaj elipse. Elipsa se može dobiti iz kruga radijusa a, ako ga sabijete u a/b puta duž osi Joj .

Primjer 1. Provjerite je li pravac zadan općom jednadžbom , elipsa.

Otopina. Transformiramo opću jednadžbu. Koristimo se prijenosom slobodnog člana na desnu stranu, počlanim dijeljenjem jednadžbe s istim brojem i redukcijom razlomaka:

Odgovor. Jednadžba dobivena kao rezultat transformacija je kanonska jednadžba elipse. Stoga je ovaj pravac elipsa.

Primjer 2. Sastavite kanoničku jednadžbu elipse ako su njezine poluosi 5 odnosno 4.

Otopina. Promatramo formulu za kanoničku jednadžbu elipse i zamjenu: velika poluos je a= 5, mala poluos je b= 4. Dobivamo kanonsku jednadžbu elipse:

Točke i , označene zelenom bojom na glavnoj osi, gdje

nazivaju se trikovi.

nazvao ekscentričnost elipsa.

Stav b/a karakterizira "spljoštenost" elipse. Što je taj omjer manji, to je elipsa više izdužena duž glavne osi. Međutim, stupanj izduženja elipse češće se izražava preko ekscentričnosti, formula za koju je navedena gore. Za različite elipse, ekscentricitet varira od 0 do 1, uvijek ostajući manji od jedinice.

Primjer 3. Sastavite kanonsku jednadžbu elipse ako je udaljenost između žarišta 8, a velike osi 10.

Otopina. Napravimo nekoliko jednostavnih zaključaka:

Ako je velika os jednaka 10, onda je njena polovica, tj. poluos a = 5 ,

Ako je udaljenost između žarišta 8, tada broj cžarišnih koordinata jednak je 4.

Zamjenjujemo i izračunavamo:

Rezultat je kanonska jednadžba elipse:

Primjer 4. Sastavite kanoničku jednadžbu elipse ako joj je velika os 26, a ekscentricitet .

Otopina. Kao što slijedi iz veličine velike osi i jednadžbe ekscentričnosti, velika poluos elipse a= 13. Iz jednadžbe ekscentriciteta izražavamo broj c, potreban za izračunavanje duljine male poluosi:

.

Izračunavamo kvadrat duljine male poluosi:

Sastavljamo kanonsku jednadžbu elipse:

Primjer 5. Odredite žarišta elipse zadane kanonskom jednadžbom.

Otopina. Pronađite broj c, koji određuje prve koordinate žarišta elipse:

.

Dobivamo fokuse elipse:

Primjer 6. Fokusi elipse nalaze se na osi Vol simetrično u odnosu na podrijetlo. Sastavite kanoničku jednadžbu elipse ako je:

1) udaljenost između žarišta je 30, a velika os je 34

2) mala os 24, a jedan od fokusa je u točki (-5; 0)

3) ekscentricitet, a jedno od žarišta je u točki (6; 0)

Nastavimo zajedno rješavati probleme elipse

Ako je proizvoljna točka elipse (označena zelenom bojom u gornjem desnom dijelu elipse na crtežu) i udaljenost do te točke od žarišta, tada su formule za udaljenosti sljedeće:

Za svaku točku koja pripada elipsi, zbroj udaljenosti od žarišta je konstantna vrijednost jednaka 2. a.

Pravci definirani jednadžbama

nazivaju se ravnateljice elipsa (na crtežu su crvene linije duž rubova).

Iz gornje dvije jednadžbe slijedi da za bilo koju točku elipse

,

gdje su i udaljenosti ove točke do direktrisa i .

Primjer 7. S obzirom na elipsu. Napiši jednadžbu za njegove direktrise.

Otopina. Promatramo jednadžbu direktrise i otkrivamo da trebamo pronaći ekscentricitet elipse, tj. Za to imamo sve podatke. Računamo:

.

Dobivamo jednadžbu direktrisa elipse:

Primjer 8. Sastavite kanoničku jednadžbu elipse ako su joj žarišta točke, a direktrise pravci.

Obujam je zatvorena ravninska krivulja čije su sve točke jednako udaljene od dane točke (središta kružnice). Udaljenost od bilo koje točke kruga \(P\lijevo((x,y) \desno)\) do njegovog središta naziva se radius. Središte kružnice i sama kružnica leže u istoj ravnini. Jednadžba kruga radijusa \(R\) sa središtem u ishodištu ( kanonska jednadžba kruga ) ima oblik
\((x^2) + (y^2) = (R^2)\).

Jednadžba kruga polumjer \(R\) sa središtem u proizvoljnoj točki \(A\lijevo((a,b) \desno)\) je napisano kao
\((\lijevo((x - a) \desno)^2) + (\lijevo((y - b) \desno)^2) = (R^2)\).



Jednadžba kružnice koja prolazi kroz tri točke , napisano u obliku: \(\left| (\begin(array)(*(20)(c)) ((x^2) + (y^2)) & x & y & 1\\ (x_1^ 2 + y_1^2) & ((x_1)) & ((y_1)) & 1\\ (x_2^2 + y_2^2) & ((x_2)) & ((y_2)) & 1\\ (x_3^ 2 + y_3^2) & ((x_3)) & ((y_3)) & 1 \end(niz)) \desno| = 0.\\\)
Ovdje \(A\lijevo(((x_1),(y_1)) \desno)\), \(B\lijevo(((x_2),(y_2)) \desno)\), \(C\lijevo(( (x_3),(y_3)) \desno)\) su tri točke koje leže na kružnici.



Jednadžba kružnice u parametarskom obliku
\(\lijevo\( \begin(poravnano) x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end(poravnano) \desno., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
gdje su \(x\), \(y\) koordinate točaka kruga, \(R\) je polumjer kruga, \(t\) je parametar.

Opća jednadžba kruga
\(A(x^2) + A(y^2) + Dx + Ey + F = 0\)
podložno \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Središte kružnice nalazi se u točki s koordinatama \(\lijevo((a,b) \desno)\), gdje
\(a = - \veliki\frac(D)((2A))\normalna veličina,\;\;b = - \veliki\frac(E)((2A))\normalna veličina.\)
Polumjer kruga je
\(R = \sqrt (\veliki\frac(((D^2) + (E^2) - 4AF))((2\lijevo| A \desno|))\normalna veličina) \)

Elipsa naziva se ravninska krivulja za svaku točku čiji je zbroj udaljenosti do dva zadanih bodova (žarišta elipse ) je konstantna. Udaljenost između žarišta naziva se žarišna duljina a označava se s \(2c\). Sredina segmenta koji povezuje žarišta naziva se središte elipse . Elipsa ima dvije osi simetrije: prvu ili žarišnu os, koja prolazi kroz fokuse, i drugu os koja je okomita na nju. Točke presjeka tih osi s elipsom nazivaju se vrhovi. Segment koji spaja središte elipse s vrhom naziva se poluos elipse . Velika poluos je označena s \(a\), mala poluos s \(b\). Elipsa čije je središte u ishodištu i čije poluosi leže na koordinatnim pravcima opisana je sljedećim kanonska jednadžba :
\(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalsize + \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ normalna veličina = 1.\)



Zbroj udaljenosti od bilo koje točke elipse do njezinih žarišta konstanta:
\((r_1) + (r_2) = 2a\),
gdje su \((r_1)\), \((r_2)\) udaljenosti od proizvoljne točke \(P\lijevo((x,y) \desno)\) do žarišta \((F_1)\) i \(( F_2)\), \(a\) je velika poluos elipse.



Odnos između poluosi elipse i žarišne duljine
\((a^2) = (b^2) + (c^2)\),
gdje je \(a\) velika poluos elipse, \(b\) mala poluos, \(c\) polovica žarišne duljine.

Ekscentricitet elipse
\(e = \veliki\frac(c)(a)\normalna veličina

Jednadžbe direktrisa elipse
Direktrisa elipse je ravna crta okomita na njezinu žarišnu os koja je siječe na udaljenosti \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) od središta. Elipsa ima dvije direktrise koje se nalaze na suprotnim stranama središta. Jednadžbe direktrisa napisane su u obliku
\(x = \pm \veliki\frac(a)(e)\normalna veličina = \pm \veliki\frac(((a^2)))(c)\normalna veličina.\)

Jednadžba elipse u parametarskom obliku
\(\lijevo\( \begin(poravnano) x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end(poravnano) \desno., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
gdje su \(a\), \(b\) poluosi elipse, \(t\) je parametar.

Opća jednadžba elipse
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
gdje je \((B^2) - 4AC

Opća jednadžba elipse čije su poluosi paralelne s koordinatnim osama
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
gdje je \(AC > 0\).

Opseg elipse
\(L = 4aE\lijevo(e \desno)\),
gdje je \(a\) velika poluos elipse, \(e\) je ekscentricitet, \(E\) je potpuni eliptički integral druge vrste.

Približne formule za opseg elipse
\(L \približno \pi \lijevo[ (\veliki\frac(3)(2)\normalna veličina\lijevo((a + b) \desno) - \sqrt (ab) ) \desno],\;\;L \approx \pi \sqrt (2\lijevo(((a^2) + (b^2)) \desno)),\)
gdje su \(a\), \(b\) poluosi elipse.

Područje elipse
\(S = \pi ab\)

11.1. Osnovni pojmovi

Razmotrimo linije definirane jednadžbama drugog stupnja u odnosu na trenutne koordinate

Koeficijenti jednadžbe su realni brojevi, ali barem jedan od brojeva A, B ili C nije nula. Takve linije nazivamo linijama (krivuljama) drugog reda. U nastavku će se utvrditi da jednadžba (11.1) definira kružnicu, elipsu, hiperbolu ili parabolu na ravnini. Prije nego prijeđemo na ovu tvrdnju, proučimo svojstva navedenih krivulja.

11.2. Krug

Najjednostavnija krivulja drugog reda je kružnica. Prisjetimo se da je kružnica polumjera R sa središtem u točki skup svih točaka M ravnine koje zadovoljavaju uvjet . Neka točka u pravokutnom koordinatnom sustavu ima koordinate x 0, y 0 i - proizvoljna točka na kružnici (vidi sl. 48).

Tada iz uvjeta dobijemo jednadžbu

(11.2)

Jednadžbu (11.2) zadovoljavaju koordinate bilo koje točke na danoj kružnici, a ne zadovoljavaju je koordinate bilo koje točke koja ne leži na kružnici.

Jednadžba (11.2) naziva se kanonska jednadžba kruga

Konkretno, postavljajući i , dobivamo jednadžbu kruga sa središtem u ishodištu .

Kružna jednadžba (11.2) nakon jednostavnih transformacija poprimit će oblik . Uspoređujući ovu jednadžbu s općom jednadžbom (11.1) krivulje drugog reda, lako je uočiti da su za jednadžbu kružnice zadovoljena dva uvjeta:

1) koeficijenti za x 2 i y 2 su međusobno jednaki;

2) ne postoji član koji sadrži umnožak xy trenutnih koordinata.

Razmotrimo inverzni problem. Stavljajući vrijednosti i u jednadžbu (11.1), dobivamo

Transformirajmo ovu jednadžbu:

(11.4)

Slijedi da jednadžba (11.3) definira kružnicu pod uvjetom . Njegovo središte je u točki

.

, i radijus Ako

.

, tada jednadžba (11.3) ima oblik Zadovoljavaju ga koordinate jedne točke

. U ovom slučaju kažu: "krug je degenerirao u točku" (ima polumjer nula).

Ako

Kanonska jednadžba elipse

Elipsa je skup svih točaka ravnine, zbroj udaljenosti od svake od njih do dviju zadanih točaka te ravnine, tzv. trikovi , je konstantna vrijednost veća od udaljenosti između žarišta.

Označimo fokuse sa F 1 I F 2, udaljenost između njih je 2 c, a zbroj udaljenosti od proizvoljne točke elipse do žarišta - u 2 a(vidi sliku 49). Po definiciji 2 a > 2c, tj. a > c.

Za izvođenje jednadžbe elipse odabiremo koordinatni sustav tako da žarišta F 1 I F 2 ležao na osi, a ishodište se poklapalo sa sredinom segmenta F 1 F 2.

Tada će fokusi imati sljedeće koordinate: i .

Dopustiti biti proizvoljna točka elipse. Tada, prema definiciji elipse, tj.

Ovo je, u biti, jednadžba elipse. Pretvorimo jednadžbu (11.5) u više jednostavan pogled

kako slijedi: a>Jer S

(11.6)

, To . Stavimo

(11.7)

Tada će posljednja jednadžba poprimiti oblik ili Može se dokazati da je jednadžba (11.7) ekvivalentna izvornoj jednadžbi. Zove se .

kanonska jednadžba elipse

Elipsa je krivulja drugog reda.

Proučavanje oblika elipse pomoću njezine jednadžbe

Odredimo oblik elipse pomoću njezine kanonske jednadžbe.

1. Jednadžba (11.7) sadrži x i y samo u parnim potencijama, pa ako točka pripada elipsi, tada joj pripadaju i točke ,,. Iz toga slijedi da je elipsa simetrična u odnosu na osi i , kao i u odnosu na točku koja se naziva središtem elipse. 1 , 2. Odredite sjecišta elipse s koordinatnim osima. Stavljajući , nalazimo dvije točke i , u kojima os siječe elipsu (vidi sliku 50). Stavljajući u jednadžbu (11.7) , nalazimo točke presjeka elipse s osi: i . Bodovi , A, A 2 nazivaju se B 1 B 2 Iz toga slijedi da je elipsa simetrična u odnosu na osi i , kao i u odnosu na točku koja se naziva središtem elipse. 1 2. Odredite sjecišta elipse s koordinatnim osima. Stavljajući , nalazimo dvije točke i , u kojima os siječe elipsu (vidi sliku 50). Stavljajući u jednadžbu (11.7) , nalazimo točke presjeka elipse s osi: i . Bodovi I vrhovi elipse. Segmenti a B 1 B 2 b, kao i njihove duljine 2 i 2 nazivaju se prema tome a I b velike i male osi elipsa. Brojke elipsa.

nazivaju se velikim odnosno malim

osovinske osovine

3. Iz jednadžbe (11.7) slijedi da svaki član na lijevoj strani ne prelazi jedinicu, tj. odvijaju se nejednakosti i ili i. Prema tome, sve točke elipse leže unutar pravokutnika kojeg čine ravne linije.

4. U jednadžbi (11.7) zbroj nenegativnih članova i jednak je jedan. Prema tome, kako se jedan član povećava, drugi će se smanjivati, tj. ako se povećava, smanjuje se i obrnuto.

Oblik elipse ovisi o omjeru.

Kada se elipsa pretvori u krug, jednadžba elipse (11.7) poprima oblik . Omjer se često koristi za karakterizaciju oblika elipse.<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Omjer polovice udaljenosti između žarišta i velike poluosi elipse naziva se ekscentričnost elipse, a o6o se označava slovom ε ("epsilon"):

sa 0

Ovo pokazuje da što je manji ekscentricitet elipse, to će elipsa biti manje spljoštena; ako postavimo ε = 0, tada se elipsa pretvara u kružnicu.

Neka je M(x;y) proizvoljna točka elipse sa žarištima F 1 i F 2 (vidi sliku 51). Duljine odsječaka F 1 M = r 1 i F 2 M = r 2 nazivaju se žarišnim radijusima točke M. Očito,

Formule vrijede Izravne linije se nazivaju

Teorem 11.1. .

Ako je udaljenost od proizvoljne točke elipse do nekog fokusa, d je udaljenost od iste točke do direktrise koja odgovara ovom fokusu, tada je omjer konstantna vrijednost jednaka ekscentričnosti elipse:

Iz jednakosti (11.6) slijedi da je . Ako, tada jednadžba (11.7) definira elipsu čija velika os leži na osi Oy, a mala os na osi Ox (vidi sliku 52). Fokusi takve elipse su u točkama i , gdje

11.4. Hiperbola Jednadžba kanonske hiperbole trikovi Hiperbola

Označimo fokuse sa F 1 I F 2 je skup svih točaka ravnine, modul razlike udaljenosti od svake od njih do dvije zadane točke ove ravnine, tzv. , je konstantna vrijednost manja od udaljenosti između žarišta. udaljenost između njih je 2s, i modul razlike udaljenosti od svake točke hiperbole do žarišta kroz 2s < , je konstantna vrijednost manja od udaljenosti između žarišta. 2a a < c.

. Po definiciji F 1 I , tj. Za izvođenje jednadžbe hiperbole odabiremo koordinatni sustav tako da žarišta F 1 F 2 F 2

ležao na osi, a ishodište se poklapalo sa sredinom segmenta (vidi sliku 53). Tada će žarišta imati koordinate i Neka bude proizvoljna točka hiperbole. Zatim, prema definiciji hiperbole

(11.9)

(11.10)

ili , tj. Nakon pojednostavljenja, kao što je učinjeno prilikom izvođenja jednadžbe elipse, dobivamo

jednadžba kanoničke hiperbole

Hiperbola je pravac drugog reda.

Proučavanje oblika hiperbole pomoću njezine jednadžbe Odredimo oblik hiperbole pomoću njezine kakonske jednadžbe.

2. Odredi točke presjeka hiperbole s koordinatnim osima. Stavljajući u jednadžbu (11.9), nalazimo dvije točke sjecišta hiperbole s osi: i. Stavljajući (11.9), dobivamo , što ne može biti. Dakle, hiperbola ne siječe os Oy.

Bodovi se zovu vrhovi hiperbole i segment

realna os , segment - prava poluos hiperbola.

Segment koji povezuje točke naziva se imaginarna os , broj b - zamišljena poluos . 2s I Pravokutnik sa stranicama 2b nazvao .

osnovni pravokutnik hiperbole

3. Iz jednadžbe (11.9) slijedi da umanjenik nije manji od jedan, tj. da je ili .

To znači da se točke hiperbole nalaze desno od pravca (desni krak hiperbole) i lijevo od pravca (lijevi krak hiperbole).

4. Iz jednadžbe (11.9) hiperbole jasno je da kada se povećava, povećava se.

To slijedi iz činjenice da razlika održava konstantnu vrijednost jednaku jedan. Iz navedenog proizlazi da hiperbola ima oblik prikazan na slici 54 (krivulja koja se sastoji od dvije neograničene grane).

Asimptote hiperbole

(11.11)

Pravac L naziva se asimptota

neograničena krivulja K, ako udaljenost d od točke M krivulje K do ove ravne linije teži nuli kada je udaljenost točke M duž krivulje K od ishodišta neograničena. Slika 55 daje ilustraciju koncepta asimptote: ravna linija L je asimptota za krivulju K.

Pokažimo da hiperbola ima dvije asimptote: Budući da su ravne linije (11.11) i hiperbola (11.9) simetrične u odnosu na koordinatne osi, dovoljno je uzeti u obzir samo one točke navedenih linija koje se nalaze u prvoj četvrtini.

Uzmimo točku N na pravoj liniji koja ima istu apscisu x kao točka na hiperboli

(vidi sliku 56) i pronađite razliku ΜΝ između ordinata pravca i grane hiperbole:

Kao što vidite, kako x raste, nazivnik razlomka raste; brojnik je stalna vrijednost. Prema tome, duljina segmenta

ΜΝ teži nuli. Kako je MΝ veće od udaljenosti d od točke M do pravca, tada d teži nuli. Dakle, linije su asimptote hiperbole (11.9).

(11.12)

Asimptote jednakostranične hiperbole imaju jednadžbe i stoga su simetrale koordinatnih kutova.

Razmotrimo jednadžbu ove hiperbole u novom koordinatnom sustavu (vidi sl. 58), dobivenom iz starog zakretanjem koordinatnih osi za kut.

Koristimo formule za rotiranje koordinatnih osi:

Zamjenjujemo vrijednosti x i y u jednadžbu (11.12):

Jednadžba jednakostranične hiperbole, kojoj su osi Ox i Oy asimptote, imat će oblik .

Više informacija o hiperboli Ekscentričnost

hiperbola (11.9) je omjer udaljenosti između žarišta i vrijednosti stvarne osi hiperbole, označena s ε: .

Budući da je za hiperbolu , ekscentricitet hiperbole veći od jedan: . Ekscentričnost karakterizira oblik hiperbole. Doista, iz jednakosti (11.10) slijedi da je i.e.

I

Iz ovoga se vidi da što je manji ekscentricitet hiperbole, to je manji omjer njezinih poluosi, pa je stoga njezin glavni pravokutnik više izdužen. Ekscentricitet jednakostranične hiperbole je . Stvarno, Žarišni radijusi Ekscentricitet jednakostranične hiperbole je . Stvarno, .

I

za točke desne grane hiperbole imaju oblik i , a za lijevu granu -

Ravne linije se nazivaju direktrise hiperbole. Budući da je za hiperbolu ε > 1, tada . a To znači da se desna direktrisa nalazi između središta i desnog vrha hiperbole, lijeva - između središta i lijevog vrha.

Direktrise hiperbole imaju isto svojstvo kao i direktrise elipse.

Krivulja definirana jednadžbom također je hiperbola, čija se realna os 2b nalazi na osi Oy, a imaginarna os 2

- na osi Ox. Na slici 59 prikazano je isprekidanom linijom.

Očito je da hiperbole imaju zajedničke asimptote. Takve se hiperbole nazivaju konjugiranim.

11.5. Parabola

Jednadžba kanonske parabole

2. Kako je ρ > 0, iz (11.13) slijedi . Prema tome, parabola se nalazi desno od osi Oy.

3. Kada imamo y = 0. Dakle parabola prolazi kroz ishodište.

4. Kako x raste neograničeno, modul y također raste neograničeno. Parabola ima oblik (oblik) prikazan na slici 61. Točku O(0; 0) nazivamo vrhom parabole, odsječak FM = r žarišnim radijusom točke M.

Jednadžbe , , ( p>0) također definiraju parabole, one su prikazane na slici 62

Lako je pokazati da je graf kvadratnog trinoma, gdje su , B i C bilo koji realni brojevi, parabola u smislu svoje gornje definicije.

11.6. Opća jednadžba pravaca drugog reda

Jednadžbe krivulja drugog reda s osi simetrije paralelne s koordinatnim osima

Nađimo najprije jednadžbu elipse sa središtem u točki, čije su osi simetrije paralelne s koordinatnim osima Ox i Oy, a poluosi jednake a I b. Postavimo u središte elipse O 1 početak novog koordinatnog sustava, čije su osi i poluosi a I b(vidi sliku 64):

Konačno, parabole prikazane na slici 65 imaju odgovarajuće jednadžbe.

Jednadžba

Jednadžbe elipse, hiperbole, parabole i jednadžbe kružnice nakon transformacija (otvorite zagrade, pomaknite sve članove jednadžbe na jednu stranu, dovedite slične članove, uvedite nove oznake za koeficijente) mogu se napisati pomoću jedne jednadžbe oblik

gdje koeficijenti A i C nisu istovremeno jednaki nuli.

Postavlja se pitanje: određuje li svaka jednadžba oblika (11.14) jednu od krivulja (kružnicu, elipsu, hiperbolu, parabolu) drugog reda? Odgovor daje sljedeći teorem.

Teorem 11.2. Jednadžba (11.14) uvijek definira: ili krug (za A = C), ili elipsu (za A · C > 0), ili hiperbolu (za A · C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Opća jednadžba drugog reda

Razmotrimo sada opću jednadžbu drugog stupnja s dvije nepoznanice:

Razlikuje se od jednadžbe (11.14) po prisutnosti člana s umnoškom koordinata (B¹ 0). Moguće je rotiranjem koordinatnih osi za kut a transformirati ovu jednadžbu tako da izostane član s umnoškom koordinata.

Korištenje formula za rotaciju osi

Izrazimo stare koordinate kroz nove:

Izaberimo kut a tako da koeficijent za x" · y" postane nula, tj. da vrijedi jednakost

Dakle, kada se osi zakrenu za kut a koji zadovoljava uvjet (11.17), jednadžba (11.15) se svodi na jednadžbu (11.14).

Zaključak: opća jednadžba drugog reda (11.15) definira na ravnini (osim slučajeva degeneracije i raspada) sljedeće krivulje: kružnicu, elipsu, hiperbolu, parabolu.

Napomena: Ako je A = C, tada jednadžba (11.17) postaje besmislena. U ovom slučaju je cos2α = 0 (vidi (11.16)), tada je 2α = 90°, tj. α = 45°. Dakle, kada je A = C, koordinatni sustav treba zakrenuti za 45°.

Kanonska jednadžba elipse ima oblik

gdje je a velika poluos; b – mala poluos. Točke F1(c,0) i F2(-c,0) − c nazivaju se

a, b - poluosi elipse.

Određivanje fokusa, ekscentriciteta, direktrisa elipse, ako je poznata njezina kanonska jednadžba.

Definicija hiperbole. Trikovi s hiperbolom.

Definicija. Hiperbola je skup točaka na ravnini za koje je modul razlike udaljenosti od dviju danih točaka, zvanih žarišta, konstantna vrijednost manja od udaljenosti između žarišta.

Po definiciji |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – žarišta hiperbole. F1F2 = 2c.

Kanonska jednadžba hiperbole. Poluosi hiperbole. Konstruiranje hiperbole ako je poznata njezina kanonska jednadžba.

Kanonička jednadžba:

Velika poluos hiperbole je polovica najmanje udaljenosti između dviju grana hiperbole, na pozitivnoj i negativnoj strani osi (lijevo i desno u odnosu na ishodište). Za granu koja se nalazi na pozitivnoj strani, poluos će biti jednaka:

Ako ga izrazimo kroz konusni presjek i ekscentricitet, tada će izraz dobiti oblik:

Određivanje fokusa, ekscentriciteta, direktrisa hiperbole, ako je poznata njezina kanonska jednadžba.

Ekscentricitet hiperbole

Definicija. Omjer se naziva ekscentricitet hiperbole, gdje c –

polovica udaljenosti između žarišta, a prava je poluos.

Uzimajući u obzir činjenicu da je c2 – a2 = b2:

Ako je a = b, e = , tada se hiperbola naziva jednakostranična (ekvilateralna).

Direktrise hiperbole

Definicija. Dvije ravne crte okomite na stvarnu os hiperbole i smještene simetrično u odnosu na središte na udaljenosti a/e od njega nazivaju se direktrisama hiperbole. Njihove jednadžbe su: .

Teorema. Ako je r udaljenost od proizvoljne točke M hiperbole do bilo kojeg žarišta, d je udaljenost od iste točke do direktrise koja odgovara ovom žarištu, tada je omjer r/d konstantna vrijednost jednaka ekscentričnosti.

Definicija parabole. Fokus i direktrisa parabole.

Parabola. Parabola je geometrijsko mjesto točaka od kojih je svaka jednako udaljena od dane fiksne točke i od dane fiksne linije. Točka o kojoj govorimo o u definiciji se naziva žarištem parabole, a pravac njezinom direktrisom.

Kanonska jednadžba parabole. Parabola parabole. Konstrukcija parabole.

Kanonska jednadžba parabole u pravokutnom koordinatnom sustavu: (ili, ako su osi zamijenjene).

Konstrukcija parabole za zadanu vrijednost parametra p izvodi se u sljedećem nizu:

Nacrtati os simetrije parabole i na njoj iscrtati isječak KF=p;

Direktrisa DD1 povučena je kroz točku K okomito na os simetrije;

Segment KF je podijeljen na pola kako bi se dobio vrh 0 parabole;

Niz proizvoljnih točaka 1, 2, 3, 5, 6 mjeri se od vrha s postupnim povećanjem udaljenosti između njih;

Kroz ove točke nacrtajte pomoćne ravne linije okomite na os parabole;

Na pomoćnim linijama serifi se izrađuju polumjerom jednakim udaljenosti od ravne crte do direktrise;

Rezultirajuće točke povezane su glatkom krivuljom.

Elipsa

Elipsa. Trikovi. Jednadžba elipse. Žarišna duljina.

Velika i mala os elipse. Ekscentričnost. Jednadžba

tangenta na elipsu. Uvjet dodirivanja pravca i elipse.

Elipsa (Sl.1 ) je geometrijsko mjesto točaka, zbroj udaljenosti od kojih do dvije zadane točke F 1 i F 2, tzv trikovi elipsa, postoji konstantna vrijednost.

Jednadžba elipse (Slika 1):

Ovdje podrijetloje centar simetrije elipse, A koordinatne osi su njegove osi simetrije. Naa > bžarišta elipse leže na osi OH (Sl.1) , sa a< b žarišta elipse leže na osi OKO Y, i kada a= belipsa postaje krug(žarišta elipse u ovom slučaju koincidiraju sa središtem kruga). dakle, krug je poseban slučaj elipse .

Segment F 1 F 2 = 2 S, Gdje , nazvao žarišna duljina . SegmentAB = 2 anazvao velika os elipse , i segment CD = 2 b – mala os elipsa . Broje = c / a , e < 1 называется ekscentričnost elipsa .

Neka R(X 1 , na 1 ) je onda točka elipsejednadžba tangente na elipsu V