Система счисления - это метод записи числа при помощи указанного набора специальных знаков (цифр).

Система счисления:

• даёт представление множества чисел (целых и/или вещественных);

• даёт каждому числу уникальное представление (либо, хотя бы, стандартное представление);

• отображает алгебраическую и арифметическую структуру числа.

Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа .

Отдельная позиция в отображении числа называется разряд , значит, номер позиции - номер разряда .

Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся

на однородные и смешанные .

восьмеричная система счисления, шестнадцатеричная система счисления и другие системы счисления.

Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.

Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.

1.3.1.ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Все фантастические возможности вычислительной техники (ВТ) реализуются путем создания разнообразных комбинаций сигналов высокого и низкого уровней, которые условились называть «единицами» и «нулями».

Система счисления (СС) - это система записи чисел с помощью определенного набора цифр.CС называется позиционной , если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется ее местом в числе. Десятичная СС является позиционной: 999.Римская СС является непозиционной . Значение цифры Х в числе ХХІ остается неизменным при вариации ее положения в числе.Количество различных цифр, употребляемых в позиционной СС, называется основанием СС.

Развернутая форма числа - это запись, которая представляют собой сумму произведений цифр числа на значение позиций.

Например : 8527=8*10 3 +5*10 2 +2*10 1 +7*10 0

Развернутая форма записи чисел произвольной системы счисления имеет вид

X - число;
a - основа системыисчисления;
i - индекс;
m - количество разрядов числа дробной части;
n - количество разрядов числа целой части.

Например : 327.46 n=3, m=2, q=10

Если основание используемой СС больше десяти, то для цифр вводят условное обозначение со скобкой вверху или буквенное обозначение.

Например : если 10=А, а 11=В, то число 7А.5В 12 можно расписать так:

7А.5В 12 = В·12 -2 + 5 ·2 -1 +А ·12 0 + 7 ·12 1 .

В шестнадцатеричной СС основа - это цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 с соответствующими обозначениями 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Примеры чисел: 17D.ECH, F12AH.

ДвоичнаяСС - это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число 2.

Двоичный код числа - запись этого числа в двоичной системе счисления. Например,

0=0 2
1=1 2
2=10 2
3=11 2 …
7=111 2
120=1111000 2 .

В ВТ применяют позиционные СС с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Для обозначения используемой СС число снабжают верхним или нижним индексом, в котором записывают основание СС. Другой способ – использование латинских букв после записи числа:

D – десятичная СС
В – двоичная СС
О – восьмеричная СС
Н – 16-ричная СС.

Несмотря на то, что 10-тичная СС имеет широкое распространение, цифровые ЭВМ строятся на двоичных элементах, т.к. реализовать элементы с 10 четко различимыми состояниями сложно. Историческое развитие ВТ сложилось таким образом, что ЭВМ строятся на базе двоичных цифровых устройств: триггеров, регистров, счетчиков, логических элементов и т.д.

16-ричная и 8-ричная СС используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов – команд, данных, адресов и операндов.

Задача перевода из одной СС в другую часто встречается при программировании, особенно, на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, Си, HTML требуют задания параметров в 16-ричной СС. Для непосредственного редактирования данных, записанных на жесткий диск, также необходимо умение работать с 16-ричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ невозможно без представлений о двоичной СС.

В таблице приведены некоторые числа, представленные в различных СС.

Двоичные числа	Восьмеричные числа	Десятичные числа	Шестнадцатеричные числа

1.3.2. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СС В ДЕСЯТИЧНУЮ И ОБРАТНО.

Перевод чисел из произвольной системы в десятичную. Для перевода числа из любой позиционной СС в десятичную необходимо использовать развернутую форму числа, заменяя, если это необходимо, буквенные обозначения соответствующими цифрами. Например:

1101 2 =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =13 10

17D.ECH=12·16 -2 + 14·16 -1 +13·16 0 + 7·16 1 + 1·16 2 =381.921875

Перевод чисел из десятичной СС в заданную.

1) Для преобразования целых чисел десятичной системы счисления в число любой системы счисления последовательно выполняют деление нацело на основание СС, пока не получат нуль. Числа, которые возникают как остаток от деления на основание СС, представляют собой последовательную запись разрядов числа в выбранной СС от младшего разряда к старшему. Поэтому для записи самого числа остатки от деления записывают в обратном порядке.

Например:

Читая остатки от деления снизу вверх, получим 111011011.

Проверка:

1*2 8 +1*2 7 +1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 = 1+2+8+16+64+128+256=475 10 .

2) Для преобразования десятичных дробей десятичной СС в число любой СС последовательно выполняют умножение на основание системы счисления, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Полученные целые части являются разрядами числа в новой системе, и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления. Целые части в дальнейшем отбрасываются.

Например : перевести число 0.375 10 в двоичную СС.

Полученный результат - 0.011 2 .

Необходимо отметить, что не каждое число может быть точно выражено в новой системе счисления, поэтому иногда вычисляют только требуемое количество разрядов дробной части, округляя последний разряд.

1.3.3. ПЕРЕВОД МЕЖДУ ОСНОВАНИЯМИ, СОСТАВЛЯЮЩИМИ СТЕПЕНЬ 2.

Для того, чтобы из восьмеричной системы счисления перевести число в двоичный код, необходимо каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.

Например :

1234.777 8 = 001 010 011 100.111 111 111 2 = 1 010 011 100.111 111 111 2

1234567 8 = 001 010 011 100 101 110 111 2 = 1 010 011 100 101 110 111 2

Обратный перевод: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой, при этом, если необходимо, число выравнивается путем дописывания нулей перед целой частью или после дробной.

Например :

1100111 2 = 001 100 111 2 = 147 8

11.1001 2 = 011.100 100 2 = 3.44 8

110.0111 2 = 110.011 100 2 = 6.34 8

При переводах между двоичной и шестнадцатеричной СС используются четверки цифр. При необходимости выравнивание выполняется до длины двоичного числа, кратной четырем.

Например :

1234.AB77 16 = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111 2 =1 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111 2

CE4567 16 = 1100 1110 0100 0101 0110 0111 2

0.1234AA 16 = 0.0001 0010 0011 0100 1010 1010 2

1100111 2 = 0110 0111 2 = 67 16

11.1001 2 = 0011.1001 2 = 3.9 16

110.0111001 2 = 0110.0111 0010 2 = 65.72 16

При переходе из восьмеричного счисления в шестнадцатеричное счисление и обратно используется вспомогательный двоичный код числа.

Например :

1234567 8 = 001 010 011 100 101 110 111 2 = 0101 0011 1001 0111 0111 2 = 53977 16

0.12034 8 = 0.001 010 000 011 100 2 = 0.0010 1000 0011 1000 2 = 0.2838 16

120.34 8 = 001 010 000. 011 100 2 = 0101 0000.0111 0000 2 = 50.7 16

1234.AB77 16 = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111 2 =

001 001 000 110 100.101 010 110 111 011 100 2 = 11064.526734 8

CE4567 16 = 1100 1110 0100 0101 0110 0111 2 = 110 011 100 100 010 101 100 111 2 = 63442547 8

0.1234AA 16 =0.0001 0010 0011 0100 1010 1010 2 =0.000 100 100 011 010 010 101 010 2 =0.04432252 8

Введение

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине

подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры. Они с нами везде.

Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные. Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

1.История систем счисления

• Единичная система счисления

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Можно предложить, что для облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

• Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления

В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:

Рисунок 1 Запись числа древнеегипетской системой счисления

Обозначение цифр в непозиционной древнеегипетской системе счисления:

Рисунок 2 Единица

Рисунок 3 Десятки

Рисунок 4 Сотни

Рисунок 5 Тысячи

Рисунок 6 Десятки тысяч

Рисунок 7 Сотни тысяч

В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

• Вавилонская(шестидесятеричная) система счисления

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин (рисунок 8) служил для обозначения единиц, лежачий клин (рисунок 9) - для обозначения десятков.

Рисунок 8 Прямой клин

Рисунок 9 Лежачий клин

Таким образом, число 32 записывали так:

Рисунок 10 Запись числа 32 на вавилонской шестидесятеричной системе счисления

Число 60 снова обозначалось тем же знаком(рисунок 8) , что и 1. Этим же знаком обозначались числа 3600 = 60 2 , 216000 = 60 3 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Для определения значения числа нужно было изображение числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков ("цифр") соответствовало чередованию разрядов:

Рисунок 11 Разбивание на разряды числа

Значение числа определяли по значениям составляющих его "цифр", но с учетом того, что "цифры" в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же "цифр" в предыдущем разряде.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной системе с основанием 60.

Запись числа у вавилонян была неоднозначной, так как не существовало "цифры" для обозначения нуля. Запись числа 92, могла обозначать не только 92 = 60 + 32, но и 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32 и т.д. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ (рисунок 12) для обозначения, пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует в привычной нам десятичной системе появлению цифры 0 в записи числа. Но в конце числа этот символ обычно не ставился, то есть этот символ не был нулем в нашем понимании.

Рисунок 12 Символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда

Таким образом, число 3632 теперь нужно было записывать так:

Рисунок 13 Запись числа 3632

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, так как это было практически невозможно. При вычислениях они пользовались готовыми таблицами умножения.

Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе. Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно также же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 частей (градусов).

• Римская система счисления

Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить системы счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а также специальные знаки для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000.

Обозначения для последних четырех чисел с течением времени претерпели значительные изменения. Ученые предполагают, что первоначально знак для числа 100 имел вид пучка из трех черточек наподобие русской буквы Ж, а для числа 50 — вид верхней половинки этой буквы, которая в дальнейшем трансформировалась в знак L:

Рисунок 14 Трансформация числа 100

Для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Centum — сто, Demimille — половина тысячи, Mille — тысяча).

Чтобы записать число, римляне использовали не только сложение, но и вычитание ключевых чисел. При этом применялось следующее правило.

Значение каждого меньшего знака, поставленного слева от большего, вычитается из значения большего знака.

Например, запись IX обозначает число 9, а запись XI — число 11. Десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

Десятичное число 99 имеет такое представление:

Рисунок 15 Число 99

То, что при записи новых чисел ключевые числа могут не только складываться, но и вычитаться, имеет существенный недостаток запись римскими цифрами лишает число единственности представления. Действительно, в соответствии с приведенным выше правилом, число 1995 можно записать, например, следующими способами:

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,

MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5

MVM = 1000 + (1000 - 5),

MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) и так далее.

Единых правил записи римских чисел до сих пор нет, но существуют предложения о принятии для них международного стандарта.

В наши дни любую из римских цифр предлагается записывать в одном числе не более трех раз подряд. На основании этого построена таблицы, которой удобно пользоваться для обозначения чисел римскими цифрами:

Единицы	Десятки	Сотни	Тысячи
	10 X	100 C	1000 M
2 II	20 XX	200 CC	2000 MM
3 III	30 XXX	300 CCC	3000 MMM
4 IV	40 XL	400 CD
	50 L	500 D
6 VI	60 LX	600 DC
7 VII	70 LXX	700 DCC
8 VIII	80 LXXX	800 DCCC
9 IX	90 XC	900 CM

Таблица 1 Таблица римских цифр

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать).

В настоящее время римская система счисления не применяется, за некоторыми исключениями:

• Обозначения веков (XV век и т.д.), годов н. э. (MCMLXXVII т. д.) и месяцев при указании дат (например, 1. V.1975).
• Обозначение порядковых числительных.
• Обозначение производных небольших порядков, больших трёх: yIV, yV и т.д.
• Обозначение валентности химических элементов.
  • Славянская система счисления

Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел.

Единицы		Десятки		Сотни

Таблица 2 Славянская система счисления

Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. До XVII века эта форма записи чиcел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор в православных церковных книгах используется эта нумерация.

• Система счисления майя

Эта система использовалась для календарных расчетов. В быту майя использовали непозиционную систему сходную с древнеегипетской. Об этой системе дают представление сами цифры майя, которые можно трактовать как запись первых 19 натуральных чисел в пятеричной непозиционной системе счисления. Аналогичный принцип составных цифр использован в вавилонской шестидесятеричной системе счисления.

Цифры майя состояли из нуля (знак ракушки) и 19 составных цифр. Эти цифры конструировались из знака единицы (точка) и знака пятёрки (горизонтальная черта). Например, цифра, обозначающая число 19, писалась как четыре точки в горизонтальном ряду над тремя горизонтальными линиями.

Рисунок 16 Система счисления майя

Числа свыше 19 писались согласно позиционному принципу снизу вверх по степеням 20. Например:

32 писалось как (1)(12) = 1×20 + 12

429 как (1)(1)(9) = 1×400 + 1×20 + 9

4805 как (12)(0)(5) = 12×400 + 0×20 + 5

Для записи цифр от 1 до 19 иногда также использовались изображения божеств. Такие цифры использовались крайне редко, сохранившись лишь на нескольких монументальных стелах.

Позиционная система счисления требует использования нуля для обозначения пустых разрядов. Первая дошедшая до нас дата с нулём (на стеле 2 в Чиапа-де Корсо, Чиапас) датирована 36 годом до н. э. Первая позиционная система счисления в Евразии, созданная в древнем Вавилоне за 2000 лет до н. э., первоначально нуля не имела, а впоследствии знак нуля использовался только в промежуточных разрядах числа, что приводило к неоднозначной записи чисел. Непозиционные системы счисления древних народов нуля, как правило, не имели.

В «долгом счёте» календаря майя была использована разновидность 20-ричной системы счисления, в которой второй разряд мог содержать только цифры от 0 до 17, после чего к третьему разряду добавлялась единица. Таким образом, единица третьего разряда означала не 400, а 18×20 = 360, что близко к числу дней в солнечном году.

• История арабских чисел

Это, самая распространенная на сегодняшний день нумерация. Название "арабская" для нее не совсем верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из арабских стран, но там она тоже была не родной. Настоящая родина этой нумерации - Индия.

В различных районах Индии существовали разнообразные системы нумерации, но в какой-то момент среди них выделилась одна. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке - санскрите, использующем алфавит "Деванагари".

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка, или кружок, для указания пустующего разряда; и нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную систему. Как и когда совершился такой переход - до сих пор неизвестно. К середине VIII века позиционная система нумерации получает широкое применение. В это же время она проникает в соседние страны: Индокитай, Китай, Тибет, Среднюю Азию.

Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах она распространяется к XVI веку. Европейцы, заимствовав нумерацию у арабов, называли ее "арабской". Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Из арабского языка заимствовано и слово "цифра" (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" (перевод санскритского слова "сунья", имеющего тот же смысл). Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто).

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.

• История нуля

Нуль бывает разный. Во-первых, нуль – это цифра, которая используется для обозначения пустого разряда; во-вторых, нуль – это необычное число, так как на нуль делить нельзя и при умножении на нуль любое число становиться нулем; в-третьих, нуль нужен для вычитания и сложения, иначе, сколько будет, если из 5 вычесть 5?

Впервые нуль появился в древневавилонской системе счисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах, но такие числа как 1 и 60 у них записывали одинаково, так как нуль в конце числа у них не ставился. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте.

Изобретателем формы нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в его текстах на месте знака пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне.

На стенной надписи в Индии в IX веке н.э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение современного знака нуля. Именно индийские математики изобрели нуль во всех его трех смыслах. Например, индийский математик Брахмагупта еще в VII века н.э. активно стал использовать отрицательные числа и действия с нулем. Но он утверждал, что число, деленное на нуль, есть нуль, что конечно ошибка, но настоящая математическая дерзость, которая привела к другому замечательному открытию индийских математиков. И в XII веке другой индийский математик Бхаскара делает еще попытку понять, что же будет при делении на нуль. Он пишет: "количество, деленное на нуль, становится дробью, знаменатель которой равен нулю. Эту дробь называют бесконечностью".

Леонардо Фибоначчи, в своем сочинении "Liber abaci" (1202) называет знак 0 по-арабски zephirum. Слово zephirum – это арабское слово as-sifr, которое произошло от индийского слова sunya, т. е. пустое, служившего названием нуля. От слова zephirum произошло французское слово zero (нуль) и итальянское слово zero. С другой стороны, от арабского слова as-sifr произошло русское слово цифра. Вплоть до середины XVII века это слово употреблялось специально для обозначения нуля. Латинское слово nullus (никакой) вошло в обиход для обозначения нуля в XVI веке.

Нуль - это уникальный знак. Нуль – это чисто абстрактное понятие, одно из величайших достижений человека. Его нет в природе окружающей нас. Без нуля можно спокойно обойтись в устном счете, но невозможно обойтись для точной записи чисел. Кроме этого, нуль находится в противовесе всем остальным числам, и символизирует собой бесконечный мир. И если “все есть число”, то ничто есть все!

• Недостатки непозиционной системы счисления

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1.Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2.Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3.Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков был счетная доска абак – что-то наподобие наших счетов.

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

2.Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.

• История двоичной системы счисления

В основу поисков инженеры и математики положили двоичную двухпозиционную - природу элементов вычислительной техники.

Возьмите, к примеру, двухполюсный электронный прибор - диод. Он может находиться только в двух состояниях: или проводит электрический ток - «открыт», или не проводит его - «заперт». А триггер? Он тоже имеет два устойчивых состояния. По такому же принципу работают запоминающие элементы.

Почему же не использовать тогда двоичную систему счисления? Ведь в ней только две цифры: 0 и 1. А это удобно для работы на электронной машине. И новые машины стали считать с помощью 0 и 1.

Не думайте, что двоичная система - современница электронных машин. Нет, она намного старше. Двоичным счислением люди интересуются давно. Особенно им увлекались с конца XVI до начала XIX века.

Лейбниц считал двоичную систему простой, удобной и красивой. Он говорил, что «вычисление с помощью двоек... является для науки основным и порождает новые открытия... При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».

По просьбе ученого в честь «диадической системы» - так тогда называли двоичную систему - была выбита медаль. На ней изображалась таблица с числами и простейшие действия с ними. По краю медали вилась лента с надписью: «Чтобы вывести из ничтожества все, достаточно единицы».

Формула 1 Количество информации в битах

• Перевод из двоичной в десятичную систему счисления

Задача перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную чаще всего возникает уже при обратном преобразовании вычисленных либо обработанных компьютером значений в более понятные пользователю десятичные цифры. Алгоритм перевода двоичных чисел в десятичные достаточно прост (его иногда называют алгоритмом замещения):

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:

10110110 2 = (1·2 7 )+(0·2 6 )+(1·2 5 )+(1·2 4 )+(0·2 3 )+(1·2 2 )+(1·2 1 )+(0·2 0 ) = 128+32+16+4+2 = 182 10

В электронике устройство, осуществляющее похожее преобразование, называется дешифратором (декодером, англ. decoder).

Дешифратор — это схема преобразующая двоичный код, подаваемый на входы, в сигнал на одном из выходов, то есть дешифратор расшифровывает число в двоичном коде, представляя его логической единицей на выходе, номер которого соответствует десятичному числу.

• Перевод из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.

Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Шестнад- теричное число

Двоичная тетрада

Таблица 3 Таблица шестнадцатеричных цифр и двоичных тетрад

• Перевод из двоичной в восьмеричную систему счисления

Перевести двоичное число в восьмеричную систему достаточно просто, для этого нужно:

1. Разбить двоичное число на триады (группы из 3-х двоичных цифр), начиная с младших разрядов. Если в последней триаде (старшие разряды) будет меньше трех цифр, то дополним ее до трех нулями слева.
   1. Под каждой триадой двоичного числа записать соответствующую ей цифру восьмеричного числа из следующей таблицы.

Восьмеричное число
Двоичная триада

Таблица 4 Таблица восьмеричных чисел и двоичных триад

3.Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе используется 8 цифр от нуля до семи (0,1,2,3,4,5,6,7).

Применение: восьмеричная система наряду с двоичной и шестнадцатеричной используется в цифровой электронике и компьютерной технике, однако в настоящее время применяется редко (ранее использовалась в низкоуровневом программировании, вытеснена шестнадцатеричной).

Широкое применение восьмеричной системы в электронной вычислительной технике объясняется тем, что для нее характерен легкий перевод в двоичную и обратно с помощью простой таблицы, в которой все цифры восьмеричной системы от 0 до 7 представлены в виде двоичных триплетов (Таблица 4).

• История восьмеричной системы счисления

История: возникновение восьмеричной системы связывают с такой техникой счета на пальцах, когда считались не пальцы, а промежутки между ними (их всего восемь).

В 1716 году король Швеции Карл XII предложил известному шведскому философу Эмануэлю Сведенборгу разработать числовую систему, основанную на 64 вместо 10. Однако Сведенборг считал, что для людей с меньшим интеллектом, чем король, оперировать такой системой счисления будет слишком трудно и предложил в качестве основания число 8. Система была разработана, но смерть Карла XII в 1718 году помешала ввести ее как общепринятую, данная работа Сведенборга не опубликована.

• Перевод из восьмеричной в десятичную систему счисления

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания восьмеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах восьмеричного числа. [ 24]

Например, требуется перевести восьмеричное число 2357 в десятичное. В этом числе 4 цифры и 4 разряда (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 8:

23578 = (2·83)+(3·82)+(5·81)+(7·80) = 2·512 + 3·64 + 5·8 + 7·1 = 126310

• Перевод из восьмеричной в двоичную систему счисления

Для перевода из восьмеричной в двоичную систему нужно каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр триаду(Таблица 4).

• Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления

Для перевода из шестнадцатеричной в двоичную систему нужно каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр тетраду (Таблица 3).

3.Шестнадцатеричная система счисления

Позиционная система счисления по целочисленному основанию 16.

Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 1010 до 1510, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.

В стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости — с ведущими нулями).

Шестнадцатеричный цвет — запись трёх компонент цвета (R, G и B) в шестнадцатеричном виде.

• История шестнадцатеричной системы счисления

Шестнадцатеричная система счисления внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. Минимальной адресуемой (пересылаемой между компонентами компьютера) единицей информации является байт, состоящий, как правило, из 8 бит (англ. bit — binary digit — двоичная цифра, цифра двоичной системы), а два байта, то есть 16 бит, составляют машинное слово (команду). Таким образом, для записи команд удобно использовать систему с основанием 16.

• Перевод из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления

Алгоритм перевода чисел из шестнадцатеричной системы счисления двоичную крайне прост. Необходимо только заменить каждую цифру шестнадцатеричного числа ее эквивалентом в двоичной системе счисления (в случае положительных чисел). Отметим только, что каждое шестнадцатеричное число следует заменять двоичным, дополняя его до 4 разрядов (в сторону старших разрядов).

• Перевод из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число F45ED23C в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (помним, что разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

F45ED23C 16 = (15·16 7 )+(4·16 6 )+(5·16 5 )+(14·16 4 )+(13·16 3 )+(2·16 2 )+(3·16 1 )+(12·16 0 ) = 4099854908 10

• Перевод из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления

Обычно при переводе чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления вначале шестнадцатеричное число переводят в двоичное, затем разбивают его на триады, начиная с младшего бита, а потом заменяют триады соответствующими им эквивалентами в восьмеричной системе(Таблица 4).

Заключение

Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, считают одинаково, "по-арабски".

Но так было не всегда. Еще каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке.

Но тем не менее числа люди все равно как-то записывали. У каждого народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни использовали буквы, другие - значки, третьи - закорючки. У кого-то получалось удобнее, у кого-то не очень.

На данный момент мы используем разные системы счисления разных народов, не смотря на то, что десятичная система счисления имеет ряд преимуществ перед остальными.

Вавилонская шестидесятеричная система счисления до сих используется в астрономии. Ее след сохранился до наших дней. Мы до сих пор измеряем время в шестидесяти секундах, в часах шестьдесят минут, также она применяется в геометрии для измерения углов.

Римская непозиционная система счисления используется нами для обозначения параграфов, разделов и в конечно же в химии.

В компьютерных технологиях используется двоичная система. Именно из-за использования всего двух чисел 0 и 1 она лежит в основе работы компьютера, так как у него два устойчивых состояния: низкое или высокое напряжение, есть ток или нет тока, намагничено или не намагничено.Для людей двоичная система счисления не удобна из-за громоздкости записи кода, но переводить числа из двоичную систему в десятичную и обратно не так уж и удобно, поэтому стали использовать восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Список рисунков

Список таблиц

Формулы

Список литературы и источников

1. Берман Н.Г. "Счет и число". ОГИЗ Гостехиздат Москва 1947 год.
2. Бругш Г. Все о Египте– М:. Ассоциация Духовного Единения «Золотой Век», 2000. — 627 с.
3. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире – М.: Наука, 1967.
4. Ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М., 1959. — 456 с.
5. Г. И. Глейзер. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964, 376 с.
6. Босова Л. Л. Информатика: Учебник для 6 класса
7. Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 2010
8. Всевозможные нумерации и системы счисления (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm )
9. Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 847
10. Талах В.Н., Куприенко С.А. Америка первоначальная. Источники по истории майя, наука (астеков) и инков
11. Талах В.М. Введение в иероглифическую письменность Майя
12. А.П.Юшкевич, История математики, Том 1, 1970
13. И. Я. Депман, История арифметики, 1965
14. Л.З.Шауцукова, "Основы информатики в вопросах и ответах", Издательский центр "Эль-Фа", Нальчик, 1994
15. А.Костинский, В.Губайловский, Триединый нуль (http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp )
16. 2007-2014 "История компьютера" (http://chernykh.net/content/view/50/105/ )
17. Информатика. Базовый курс. / Под ред. С.В.Симоновича. - Спб., 2000 г.
18. Зарецкая И.Т., Колодяжный Б.Г., Гуржий А.Н., Соколов А.Ю. Информатика:Учебное пособие для 10 – 11 кл. средних общеобразовательных школ. – К.: Форум, 2001. – 496 с.
19. ГлавСправ 2009–2014(http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/ )
20. Информатика. Компьютерная техника. Компьютерные технологии. / Пособие под ред. О.И.Пушкаря.- Издательский центр "Академия", Киев, - 2001 г.
21. Учебное пособие «Арифметические основы ЭВМ и систем». Часть 1. Системы счисления
22. О.Ефимова, В.Морозова, Н.Угринович «Курс компьютерной технологии»учебное пособие для старших классов
23. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы.- М.:Энергоатомиздат, 1985
24. Майоров С.А., Кириллов В.В., Приблуда А.А., Введение в микроЭВМ, Л.: Машиностроение, 1988.
25. Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987
26. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
27. Математическая энциклопедия. М: “Советская энциклопедия” 1985г.
28. Шауман А. М. Основы машинной арифметики. Ленинград, Издательство Ленинградского университета. 1979г.
29. Ворощук А. Н. Основы ЦВМ и программирования. М:”Наука” 1978г.
30. Ролич Ч. Н. – От 2 до 16, Минск, «Высшая школа», 1981г.

Система счисления – это совокупность приёмов и правил изображения чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционная система счисления – это система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления может служить римская система счисления, в которой цифры обозначаются различными знаками: Ⅰ – 1, Ⅲ – 3, Ⅵ – 6, L – 50 …

Основным недостатком такой системы является большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Позиционная система счисления – это система, в которой значение символа зависит от его места (позиции) в ряду цифр, изображающих число. Например, в числе 548 первая цифра означает количество сотен, вторая – десятков, третья – единиц. Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили наибольшее распространение.

Позиционные системы счисления характеризуются основанием. Основание (или базис) позиционной системы счисления – это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в разрядах данной системы счисления.

Для записи чисел в конкретной системе счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий и цифр: a 1 , a 2 ,…,a n . При этом каждой цифре a 1 в записи числа ставится в соответствие определённый количественный эквивалент: «вес» — S 1 .

Любое число N в позиционной системе счисления можно представить суммой произведений целых однозначных коэффициентов a 1 , взятых из алфавита системы, на последовательные целые степени основания S:

Сокращенная запись числа N S имеет вид:

При этой позиции цифр a 1 в этой записи называются разрядами. Старшие разряды, соответствующие более высоким степеням основания S, располагаются слева, а младшие – справа. Цифры a 1 в любом i-ом разряде могут принимать S различных значений, при этом всегда a i

В ЭВМ приняты десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Десятичная система счисления – основание S=10. Набор цифр этой системы 0, 1, 2, …, 9. Любое целое число в десятичной системе счисления записывается как сумма величин: 10 0 , 10 1 , 10 2 , …, каждая из которых может быть взята от 1 до 9 раз. Например, число 8765.31 представляет собой сокращенную запись выражения:

Для физического представления чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления.

Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются, так называемые, двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний. Например, реле – замкнуто или разомкнуто, транзистор – заперт или открыт. Одно из этих устойчивых состояний может представлять цифру 0 или – 1. Простота технической реализации двухпозиционных элементов обеспечило наибольшее распространение в ЭВМ двоичной системы.

Двоичная система счисления – основание S=2. Для записи числа используются две цифры: 0 и 1. При этом каждый старший разряд больше соседнего младшего в два раза. Любое число в двоичной системе счисления представляется в виде суммы целых степеней основания S=2, умноженных на соответствующие коэффициенты (0 или 1). Например, двоичное число

Кроме двоичной системы счисления, в ЭВМ используется восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Основания этих систем соответствуют целым степеням числа 2 (8=2 3 , 16=2 4), поэтому для них исключительно просты правила перевода в двоичную систему и наоборот.

Восьмеричная система счисления – основание S=8. Используются цифры: 0, 1, 2, …, 7. Любое число представляется суммой целых степеней основания S=8, умноженных на соответствующие коэффициенты a i =0, …, 7. Например,

Шестнадцатеричная система счисления – основание S=16. Алфавит цифровых знаков состоит из 16-ти символов: первые десять – арабские цифры от 0 до 9 и дополнительные – A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Например,

В табл. 1 представлена запись чисел от 0 до 16 в двоичной, восьмеричной, и шестнадцатеричной системах счисления.

Таблица 1.

десятичная	двоичная	восьмеричная	шестнадцатеричная
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

В некоторых ЭВМ ввод и вывод информации осуществляется в смешанных (двоично-кодированных) системах счисления, имеющих основание S>2, в которых каждая цифра числа представляется в двоичной системе. Наибольшее применение в ЭВМ получили восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная двоично-кодированные системы счисления.

Двоично-восьмеричная система счисления. В этой системе каждая восьмеричная цифра представляется трехзначным двоичным числом – триадой. Например, = 001 011 111, 100 101 2-8.

Двоично-десятичная система счисления. В этой системе каждая десятичная цифра представляет четырёхзначным двоичным числом – тетрадой. Например,

273,59 10 = 0010 0111 0011, 0101 1001 2-10.­

Двоично-шестнадцатеричная система счисления. В этой системе (как и в двоично-десятичной) каждая шестнадцатеричная цифра представляется четырехзначным двоичным числом (тетрадой). Например,

39C 16 =0011 1001 1100 2-16

При работе со смешанными системами счисления справедливо следующее утверждение: если P=S k (где P,S – основания систем, k – положительные целые числа), то запись любого числа в смешанной S-P системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием S с точностью до нулей в начале записи целой части числа и в конце дробной.

Согласно этому утверждению, если P=8, S=2, k=3, то запись любого числа в двоично-восьмеричной системе совпадает с записью этого же числа в двоичной системе. Например: число 68 8 в двоично-восьмеричной системе будет 62 8 =110 010 2-8 ; 6 2

это же число в десятичной системе будет; если теперь число 50 10 представить в двоичной системе, получим 50 10 =110 010 2 .

Таким образом, двоичная и двоично-восьмеричная запись одного итого же числа (62 8) совпадает.

1. Перевод чисел из одной системы счисления в другую .

Если число X из системы счисления с основанием s необходимо перевести в систему счисления с основанием p, перевод осуществляется по следующим правилам:

Правило 1.

При равенстве p=s k , где k – целое положительное число (например, p=8=2 3 , k=3, s=2), в этом случае:

• при переводе числа из двоичной системы счисления в восьмеричную, начиная с запятой в левую сторону для целой части и в правую – для дробной части, число разбивается по триадам и каждая триада заменяется восьмеричной цифрой;
• при переводе числа из восьмеричной системы счисления в двоичную каждая цифра записывается как двоичная по триадам;
• при переводе числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, число разбивается по тетрадам и каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой (P=16=2 4 , k=4, s=2);
• при сохранении числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную каждая цифра записывается как двоичная по тетрадам.

Например,

1. 011 011 011, 101 110 2 = 333,56 8 ;

1. 167,56 8 = 001 110 111, 101 110 2 ;

1. 0011 1011 0100, 1111 1010 2 = 3B4,FA 16 ;

1. A29,CF 16 = 1010 0010 1001, 1100 1111 2 .

Правило 2.

При не выполнении равенства p=s k (где k – целое положительное число), в этом случае:

• Целая часть числа делится на новое основание p; полученный от деления первый остаток является младшей цифрой целой части числа с основанием p; затем полученное число снова делится на основание p, в результате определяется второй остаток, соответствующий следующей после младшей цифре числа с основанием p; деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя; последнее частное даёт старшую цифру числа с основанием p. Например,

1. Перевести число 26 10 в двоичную систему счисления:

Таким образом, 26 10 = 11010 2 .

1. Перевести число 191 10 в восьмеричную систему счисления:

старший разряд

Таким образом, 191 10 = 277 8 .

• Дробная часть числа умножается на новое основание p, при этом целая часть полученного произведения является старшей цифрой дробной части числа с основанием p; затем дробная часть произведения снова умножается на основание p; полученная часть произведения будет второй искомой цифрой; снова дробная часть умножается на основание p и т. д.

Например, число 0,31 10 перевести в двоичную систему счисления:

При переводе чисел в 10-тичную систему счисления пользуются разложением числа по степеням оснований системы счисления.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

Например, VI = 5 + 1 = 6, а IX = 10-1 = 9.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе - шестидесятеричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим - десятки. Следы вавилонской системы сохранились до наших дней в способах измерения и записи величин углов и промежутков времени.

Однако наибольшую ценность для нас имеет индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.

Для того чтобы лучше понять различие позиционной и непозиционной систем счисления, рассмотрим пример сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Большая цифра соответствует большему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 - число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы - это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число х может быть представлено в системе с основанием р, как х = а п х р п + а п _! х р п_1 + а! х р 1 + а 0 х р°, где а п...а 0 - цифры в представлении данного числа. Так, например,

• 1035 10 = 1 х Ю 3 +0 х Ю 2 +3 х Ю 1 + 5 х 10°;
• 1010 2 = 1 X 2 3 + 0 X 2 2 + 1 X 2 1 + О X 2° = 10.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины. Однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Для того чтобы нормально оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, важно понимать, что принципиально они ничем не отличаются от привычной нам десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему же мы не пользуемся другими системами счисления? В основном потому, что в повседневной жизни мы привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и нам не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать над числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

Двоичная система счисления. Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам. Но, не всегда и не везде люди пользовались десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время применялась пятеричная система счисления. В ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими:

• ? для ее реализации используются технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - ненамагничен);
• ? представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
• ? возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
• ? двоичная арифметика проще десятичной (двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты).

В двоичной системе счисления всего две цифры, называемые двоичными (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению термина «бит», ставшего названием разряда двоичного числа. Веса разрядов в двоичной системе изменяются по степеням двойки.

Поскольку вес каждого разряда умножается либо на 0, либо на 1, то в результате значение числа определяется как сумма соответствующих значений степеней двойки. Если какой-либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления.

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной системе перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:

Таблица 1.3

Варианты сложения

Рассмотрим подробнее, как происходит процесс умножения двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной системе счисления). Машина делает это следующим образом: она берет число 1101, и если первый элемент второго множителя равен 1, то она заносит его в сумму. Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, получая тем самым 11010, и если второй элемент второго множителя равен единице, то тоже заносит его в сумму. Если элемент второго множителя равен нулю, то сумма не изменяется.

Двоичное деление основано на методе, знакомом вам по десятичному делению, т. е. сводится к выполнению операций умножения и вычитания. Выполнение основной процедуры - выбор числа, кратного делителю и предназначенного для уменьшения делимого, здесь проще, так как таким числом могут быть только либо 0, либо сам делитель.

Следует отметить, что большинство калькуляторов, реализованных на ЭВМ (в том числе и КСа1с), позволяют осуществлять работу в системах счисления с основаниями 2,8, 16 и, конечно, 10.